Centrale Mathématiques 1 PSI 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Intégrale de Dirichlet et intégrales I_n = ∫(sin t / t)^n dt calculées par plusieurs méthodes, avec application à une équation différentielle

Le sujet de mathématiques 1, Centrale PSI 2000, calcule par plusieurs méthodes l'intégrale de Dirichlet, puis plus généralement les intégrales I_n définies comme l'intégrale de (sin t / t) puissance n sur R+. Il combine encadrements, intégration par parties itérée et linéarisation trigonométrique, avant de terminer par l'étude d'une équation différentielle vérifiée par une fonction A_n(x) construite à partir de ces intégrales.

1Partie I : l'intégrale de DirichletÉtude des intégrales J_n = intégrale de sin(nt)/sin(t), encadrements successifs pour établir que F(X) tend vers pi/2 en +infini, puis que sin(t)/t n'est pas intégrable sur ]0, +infini[.
2Partie II : premières propriétés des I_nDémonstration de l'intégrabilité de (sin t / t) puissance n pour n supérieur ou égal à 2, égalité I_1 = I_2, limite nulle et stricte positivité de la suite (I_n).
3Partie III : calcul explicite des I_nCalcul des I_n par intégration par parties itérée sur des fonctions auxiliaires, puis par linéarisation trigonométrique des puissances de sinus faisant intervenir des coefficients binomiaux.
4Partie IV : équation différentielle associéeÉtude de la fonction A_n(x), démonstration de l'équation différentielle qu'elle vérifie, résolution explicite pour n=2 et n=3, puis forme polynomiale générale de A_n.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit une difficulté très inégale selon les parties : la partie I a été abordée assez complètement par la plupart des candidats, une majorité a traité le début de la partie II, mais les tentatives sur la partie III sont jugées décevantes, les candidats n'ayant pas l'habitude de manipuler des intégrales sans expression analytique explicite.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Fonction 1/t² crue intégrable sur R+ tout entier · Confusion entre convergence indexée par un entier et convergence en la variable réelle · Théorème de convergence dominée mal appliqué

Les candidats ont pour la plupart abordé assez complètement la partie I, sauf la question I.C.2, et une majorité a traité le début de la partie II avant d'achopper sur la question II.D, plus délicate. De nombreux candidats ont aussi abordé les questions IV.A et IV.C.1. En revanche, les diverses tentatives sur la partie III sont jugées décevantes : il est clair que les candidats n'ont pas l'habitude de manipuler des intégrales de fonctions dont ils ne voient pas l'expression analytique.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Fonction 1/t² crue intégrable sur R+ tout entier
Une erreur fréquente consiste à croire qu'une fonction du type 1/t² est intégrable sur R+ dans son ensemble, alors qu'elle ne l'est qu'au voisinage de l'infini, pas au voisinage de 0.
2
Confusion entre convergence indexée par un entier et convergence en la variable réelleI.D
Des candidats confondent, à la question I.D, la convergence d'une suite pour un réel fixé et un entier tendant vers l'infini avec la convergence d'une fonction lorsque la variable réelle tend elle-même vers l'infini.
3
Théorème de convergence dominée mal appliquéII.C
Le théorème de convergence dominée est utilisé de façon erronée à la question II.C, la domination n'étant parfois établie que sur une partie de l'intervalle d'intégration.
« l’utilisation erronée du th éorème de convergence domin ée »
4
Théorème de dérivation sous le signe somme mal maîtrisé
Pour appliquer correctement ce théorème, il faut penser que l'on peut localiser la domination par rapport au paramètre, mais pas par rapport à la variable d'intégration, une distinction que beaucoup de candidats ignorent.
« localiser par rapport au paramètre, mais pas par rapport à la variable d’intégration »
5
Arguments d'intégrabilité locale systématiquement oubliés
Les candidats oublient souvent de justifier l'intégrabilité locale des fonctions étudiées, en particulier leur continuité, seule condition à vérifier dans le cadre strict du programme.
6
Difficulté à manipuler des intégrales sans expression analytique explicitePartie III
Les diverses tentatives sur la partie III sont jugées décevantes, les candidats n'ayant pas l'habitude de manipuler des intégrales de fonctions dont ils ne voient pas l'expression analytique.
« n’ont pas l’habitude de manipuler des intégrales de fonctions dont ils ne voient pas l’expression analytique »

Ce qui a été bien réussi

La partie I a été abordée assez complètement par la plupart des candidats, à l'exception de la question I.C.2.
Une majorité de candidats aborde la partie II, de II.A à II.C.
De nombreux candidats abordent les questions IV.A et IV.C.1.

Conseils du jury

S'entraîner à manipuler des intégrales de fonctions données de façon implicite, sans expression analytique explicite.
Vérifier soigneusement les hypothèses de domination du théorème de convergence dominée sur l'intervalle d'intégration entier.
Distinguer clairement la domination par rapport au paramètre de celle par rapport à la variable d'intégration pour le théorème de dérivation sous le signe somme.
Justifier systématiquement l'intégrabilité locale des fonctions manipulées, notamment leur continuité.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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MATHÉMATIQUES I

Objet du problème :

Il s'agit de calculer par plusieurs méthodes les intégrales

I_n

définies dans la partie II.
Notations :

C_n^p = n; p = (n!)/(p!(n - p)!)

Partie I -

I.A - Soit

f

une application de classe

C^1

sur

[a, b]

et à valeurs dans

ℝ

. Montrer que:

lim_(x \to + \infty)\int_a^b f(t)sinxtdt = 0

.
I.B - On note

J_n = \int_0^(π/2)(sinnt)/(sint)dt

, pour

n \in ℕ

.
I.B.1) Justifier l'existence de

J_n

.
I.B.2) Calculer

J_0, J_1, J_2, J_3

.
I.B.3) Exprimer

J_n - J_(n - 2)

en fonction de

n

et en déduire une expression de

J_n

en fonction de

n

.
I.B.4) Montrer que :

lim_(n \to + \infty)(J_n - J_(n - 1)) = 0

, et en déduire :

lim_(n \to + \infty)J_n = π/2

.
I.B.5) Déduire des résultats précédents l'égalité :

π = 4\sum_(n = 0)^(+ \infty)((- 1)^n)/(2n + 1)

.
I.C -
I.C.1) Soit

a

un réel strictement positif. Justifier l'existence de l'intégrale

\int_0^a(sinnt)/(sint)dt

Filière PSI

I.C.2) Soit

a \in ]0, π[

. Prouver que l'application

f

telle que

f(x) = 1/x - 1/(sinx)

pour

x \neq 0

f(0) = 0

est de classe

C^\infty

sur

[0, a]

. On pourra écrire :

f(x) = ((sinx - x)/(x^2))/((sinx)/x)

, pour

x \in ]0, a]

.
I.C.3) Déterminer

lim_(n \to + \infty)\int_0^a(sinnt)/tdt - \int_0^a(sinnt)/(sint)dt lorsque a \in ]0, π[

I.C.4) En déduire la valeur de

lim_(n \to + \infty)\int_0^a(sinnt)/tdt

lorsque

a = π/2

, puis

a < π/2

, puis

a > π/2

.
I.D - En utilisant les résultats précédents et l'intégrale

\int_0^(nπ)(sint)/tdt

, montrer que la fonction

F : X \mapsto \int_0^X(sint)/tdt

admet

π/2

pour limite lorsque

x

tend vers en

+ \infty

.
On posera

I_1 = \int_0^(+ \infty)(sint)/tdt = π/2

.
I.E - En utilisant

\int_(nπ)^((n + 1)π)|(sint)/t|dt

, montrer que l'application

é [t \mapsto (sint)/t] n'est pas intégrable sur ]0, + \infty[.

Partie II -

II.A - Montrer que pour tout

n \geq 2

, l'application

[t \mapsto (sint)/t^n]

est intégrable sur

]0, + \infty[

. On pose :

I_n = \int_0^(+ \infty)(sint)/t^n dt

II.B - Montrer que :

I_1 = I_2

(

I_1

a été définie en I.D).
II.C - Montrer :

lim_(n \to + \infty)I_n = 0

.
II.D - Montrer que :

I_n > 0

pour

n \geq 1

. (On pourra utiliser une partition judicieuse de l'intervalle d'intégration).

Partie III -

Pour

n \in ℕ

k \in {0, \dots, n - 1}

, on considère les applications

é é g_n : ]0, + \infty[ \to ℝ définie par g_n(t) = (sint)^n; et h_(n, k) : ]0, + \infty[ \to ℝ définie par h_(n, k) = 1/(t^(n - k))g_n^((k))(t),

où

g_n^((k))

désigne la dérivée d'ordre

k

g_n

.
III.A - Montrer que pour tout

k ∈ {0, …, n − 2}, h_(n, k)

est intégrable sur

]0, + \infty[

.
III.B - Montrer que pour

n \geq 2

k \in {0, \dots, n - 2}

, la valeur de l'expression

(n - k - 1)!\int_0^(+ \infty)h_(n, k)(t)dt

ne dépend pas de

k

.
III.C - Pour

n \geq 2

, prouver que la fonction

G : X \mapsto \int_0^X h_(n, k)(t)dt

admet en

+ \infty

une limite finie, notée

\int_0^(+ \infty)h_(n, k)(t)dt

, et que, pour tout

k \in {0, \dots, n - 1}

\int_0^(+ \infty)h_(n, n - 1)(t)dt = (n - k - 1)!\int_0^(+ \infty)h_(n, k)(t)dt

III.D - En déduire, pour

n \geq 2 : I_n = 1/((n - 1)!)\int_0^(+ \infty)1/tg_n^((n - 1))(t)dt

III.E -

III.E.1) Établir pour tout

p \in ℕ^*

et tout

t \in ℝ

les résultats suivants :

4^p(sint)^(2p) = C_(2p)^p + 2\sum_(k = 1)^p(- 1)^k C_(2p)^(p - k)cos(2kt); 4^p(sint)^(2p + 1) = \sum_(k = 0)^p(- 1)^k C_(2p + 1)^(p - k)sin(2k + 1)t

III.E.2) En déduire, en distinguant les cas

n = 2p

n = 2p + 1

, une expression de

I_n

du type

q_n π

où

q_n

est une somme de nombres rationnels (on pourra faire intervenir

I_1

dans les calculs).

Retrouver la valeur de

I_2

, puis calculer

I_3

I_4

Partie IV -

IV.A - Montrer, pour tout

n \in ℕ*

et tout

x

réel positif l'existence de l'intégrale :

A_n(x) = \int_0^(+ \infty)((sintx)^n)/(t^n(1 + t^2))dt

IV.B - Montrer que l'application

[x \mapsto A_n(x)]

est de classe

C^2

sur

ℝ^+

, et qu'elle vérifie, pour tout

n \geq 2

, l'équation différentielle :

(E_n) : y^('') - n^2 y = n(n - 1)A_(n - 2)(x) - n^2 x^(n - 1)I_n.

IV.C -

IV.C.1) Résoudre l'équation (

E_2

).
IV.C.2) En déduire une expression de

A_2

à l'aide de

I_2

(on considérera les valeurs de

A_2(0)

A^'_2(0)

).
IV.C.3) Montrer que

A_2(x) = O(x^2)

quand

x

tend vers

+ \infty

et retrouver ainsi la valeur de

I_2

.
IV.D - Exprimer

A^'_1

à l'aide de

A^('')_2

et en déduire une expression de

A_1

.
IV.E - En procédant de manière analogue à IV.C, obtenir

A_3

I_3

.
IV.F - Montrer que, pour tout

n \in ℕ^*, A_n

peut se mettre sous la forme :

A_n(x) = e^(- x)Q_n(e^(- x)) + R_n(x)

où

Q_n

R_n

sont des fonctions polynômes vérifiant:
le degré de

R_n

est égal à

n - 1

;
le degré de

Q_n

est égal à

n

;

R_n

a même parité que

n - 1

;

Q_n

a même parité que

n

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 Centrale PSI 2000 ?

Le sujet porte sur l'intégrale de Dirichlet et les intégrales I_n = intégrale de (sin t / t) puissance n, calculées par plusieurs méthodes, avec une application finale à une équation différentielle linéaire du second ordre.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 1 Centrale PSI 2000 ?

Le rapport ne communique aucune moyenne ni écart-type chiffrés pour cette épreuve.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 1 Centrale PSI 2000 ?

Le jury relève une mauvaise application des théorèmes de convergence dominée et de dérivation sous le signe somme, un oubli fréquent des arguments d'intégrabilité locale, et une difficulté générale à manipuler des intégrales sans expression analytique explicite.

Cette épreuve de mathématiques 1 Centrale PSI 2000 est-elle difficile ?

La difficulté est très inégale selon les parties : la partie I a été abordée assez complètement par la plupart des candidats, alors que la partie III, qui demandait de manipuler des intégrales sans expression analytique, a donné lieu à des tentatives jugées décevantes.

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