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Centrale Mathématiques 1 PSI 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

Familles orthonormales de fonctions lipschitziennes

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MATHÉMATIQUES I

Définitions et notations

On note E = C^0([0, 1], IR ) l'espace vectoriel réel des fonctions définies et continues dans l'intervalle [ 0,1 ] à valeurs réelles.
Pour f et g éléments de E, on pose (f|g) = ∫_0^1 f(t)g(t)dt, ce qui définit sur E un produit scalaire dont la norme associée est notée ‖‖ (on rappelle que ‖f‖ = √((f|f)) ) et munit E d'une structure d'espace préhilbertien réel.
On dit qu'une suite Φ = (Φ_n)_(n ∈ IN) d'éléments de E est orthonormale si elle vérifie la condition
∀(m, n) ∈ ℕ^2, (Φ_m|Φ_n) = δ_(m, n) = 0, si m ≠ n; 1, si m = n
Soit Φ une suite orthonormale de E.
  1. Si n ∈ IN, on désigne par V_Φ^n le sous-espace vectoriel de E engendré par {Φ_j|0 ≤ j ≤ n}, par ∏_Φ^n l'opérateur de projection orthogonale de E sur V_Φ^n et enfin par d_Φ^n(f) la distance de f ∈ C^0([0, 1], IR) à V_Φ^n.
  2. On désigne par V_Φ le sous-espace vectoriel de E réunion des V_Φ^n
V_Φ = ⋃_(n ∈ IN)V_Φ^n;
par définition V_Φ est égal à l'ensemble des éléments de E qui sont combinaisons linéaires finies d'éléments de la famille, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme ∑λ_i Φ_(j_i), où j_1, j_2, …, j_p sont des entiers distincts et λ_1, λ_2, …, λ_p des coeffi 1, ≤ i ≤ p cients réels.
3) On dit que la suite orthonormale Φ est totale dans E si pour tout élément f de E il existe une suite (f_n)_(IN) d'éléments de V_Φ convergeant vers f.

Filière PSI

Enfin pour n ∈ IN et x ∈ [0, 1], on pose
C_n(x) = 1, si n = 0; √2cos(nπx), si n > 0; S_n(x) = √2sin((n + 1)πx)
et on note C = (C_n)_(n ∈ IN) et S = (S_n)_(n ∈ IN).
La partieIV est largement indépendante des trois parties précédentes.

Partiel - Généralités sur les suites orthonormales

I.A - Montrer que C et S sont des suites orthonormales de E.
I.B - Soit Φ une suite orthonormale de E, n ∈ IN et f ∈ E.
I.B.1) Établir la formule ‖f‖^2 = ‖Π_Φ^n(f)‖^2 + [d_Φ^n(f)]^2.
I.B.2) Calculer
sup_(‖f‖ = 1)‖∏_Φ^n(f)‖
I.B.3) Expliciter ∏_Φ^n(f) dans la base {Φ_j|0 ≤ j ≤ n}.
En déduire que la série de terme général (f|Φ_k)^2 est convergente et que
∑_(k = 0)^(+ ∞)(f|Φ_k)^2 ≤ ‖f‖^2
I.C - On suppose toujours que Φ est une suite orthonormale de E.
I.C.1) Soit (f_k)_(k ∈ IN) une suite d'éléments de V_Φ, convergeant dans E et soit f = lim_(k → ∞)(f_k).
a) Montrer que pour k ∈ IN donné, on peut trouver N ∈ IN tel que
(∀n ∈ IN), n ≥ N ⇒ f − ∏_Φ^n(f) = f − f_k + ∏_Φ^n(f_k − f)
b) En déduire que lim_(n → + ∞)‖∏_Φ^n(f) − f‖ = 0.
I.C.2) Démontrer alors l'équivalence entre les deux propositions suivantes:
i) Φ est totale dans E.
ii) ∀f ∈ E, lim_(n → + ∞)‖∏_Φ^n(f) − f‖ = 0.
I.C.3) On suppose de plus dans cette question seulement que Φ est totale dans E .
Pour f ∈ E et n ∈ IN expliciter ‖f‖^2 et [d_Φ^n(f)]^2 à l'aide des (f|Φ_k).

I.D - Étude de la suite C.

I.D.1) Soit f ∈ E. Montrer qu'il existe une unique fonction continue paire périodique et de période 2 notée f~ telle que sa restriction à [0, 1] soit égale à f.
I.D.2) Montrer alors que la suite C définie dans le préambule est totale dans E. On pourra introduire les coefficient de Fourier de la fonction 2π-périodique h définie par h(x) = f~x/π, la fonction f~ étant celle de la question précédente. I.D.3) Exhiber une suite orthonormale de E non totale dans E .

Partie II - Fonctions lipschitziennes

On note I un intervalle de IR non vide et non réduit à un point. Une fonction f définie dans I et à valeurs réelles est dite lipschitzienne dans I si elle vérifie la condition :
∃C ∈ I_+^∗, (∀(x, y) ∈ I^2), |f(x) − f(y) ≤ C|x − y|
On notera Lip(I,IR) I'ensemble de toutes les fonctions réelles définies et lipschitziennes dans I .

II.A - Propriétés élémentaires.

II.A.1) Vérifier que Lip(I,IR) est un sous-espace vectoriel de C^0(I, IR).
Le produit de deux éléments de Lip(I,IR) est-il encore un élément de Lip(I,IR) ? si f ∈ Lip(l, IR) justifier l'existence du réel k(f) défini par
k(f) = sup|(f(x) − f(y))/(x − y)| | (x, y) ∈ I^2, x ≠ y
Ce réel sera appelé la constante de Lipschitz de f.
II.A.2) Si I est un intervalle compact de IR, vérifier que Lip(I,IR) est une sous-al gèbre de C^0(I, IR). Exhiber une fonction définieet continuesur [ 0,1 ] mais non lipschitzienne sur ce même intervalle.
II.B - Soit f une fonction de classe C^1 sur I .
Montrer que f^′ est lipschitzienne sur I si et seulement si f^′ est bornée sur I . Exprimer dans ce cas la constante de Lipschitz à l'aide de f'.
II.C - Soit (f_n)_(n ∈ IN) une suite d'éléments de Lip(I,IR) qui converge simplement sur I vers une fonction f. On suppose de plus quel'ensemble des {k(f_n)|n ∈ IN} est borné.
Montrer que f ∈ Lip(I, IR).
II.D - Soit g ∈ Lip([0, 1], IR) telle que k(g) ≤ 1.
II.D.1) Montrer qu'il existe gˆ ∈ Lip(IR, IR) telle que:
k(g) ≤ 1 et ∀x ∈ [0, 1] gˆ(x) = g(x)
II.D.2) Pour n ∈ IN^∗ et x ∈ IR on pose g_n(x) = n∫_x^(x + 1/n)g(t)dt.
Montrer que g_n est de classe C^1 sur IR à dérivée bornée par 1 .
Montrer que la suite g_n converge uniformément sur IR vers gˆ.

II.E - Dans les deux dernières questions de cette partie les suites S et C sont celles définies dans le préambule.

Soit f ∈ C^1([0, 1], IR ).
II.E.1) Pour n ∈ I^∗, calculer ( f|C_n ) en fonction de ( f^′|S_(n − 1) ).
II.E.2) Montrer quela série determe général n^2(f|C_n)^2 est convergente et que
∑_(n = 1)^(+ ∞)n^2(f|C_n)^2 ≤ 1/(π^2)‖f^′‖^2
II.F - Soit f ∈ Lip([0, 1], IR ).
II.F.1) Montrer quela série determegénéral n^2(f|C_n)^2 est convergente et que
∑_(n = 1)^(+ ∞)n^2(f|C_n)^2 ≤ 1/(π^2)k(f)^2
II.F.2) En déduire alors que ∀n ∈ IN^∗, d_c^(n − 1)(f) ≤ 1/(nπ)k(f).

Partie III - Constantes de Lipschitz d’une suite orthonormale

L'objectif est de montrer que la suite des constantes de Lipschitz des éléments d'une suite orthonormale de E est toujours minorée par une suite de la forme (Γn)_(n ∈ IN) où Γ est une constante positive indépendante de la suite choisie dans E .
III.A - Soient Φ = (Φ_n)_(n ∈ IN) et ψ = (ψ_n)_(n ∈ IN) deux suites orthonormales de E. Montrer que
∀m ∈ IN, ∀n ∈ IN^∗, n + ∑_(j = 0)^m d_Φ^(n − 1)(Ψ_j)^2 ≥ m + 1
et en déduire que
∀n ∈ I^∗, ∑_(j = 0)^(2n − 1)d_Φ^(n − 1)(Ψ_j)^2 ≥ n
III.B - On donne maintenant une suite Φ = (Φ_n)_(n ∈ IN) orthonormale de E. On suppose de plus que toutes les fonctions Φ_n sont lipschitziennes dans [ 0,1 ]. III.B.1) Montrer que
∀n ≥ 1, ∑_(j = 0)^(2n − 1)k(Ψ_j)^2 ≥ π^2 n^3
III.B.2) Montrer que la suite (k(Ψ_j))_(j ∈ IN) est non bornée.
III.B.3) Montrer que lim_(n → + ∞)k(Ψ_n) = + ∞.
III.B.4) Trouver la valeur de k(C_n).
III.B.5) Montrer qu'il existe un réel Γ > 0 vérifiant la propriété suivante : pour toute suite orthonormale Ψ = (Ψ_n)_(n ∈ IN) de fonctions lipschitziennes sur [0,1] telle que la suite (k(Ψ_j))_(j ∈ IN) soit une suite croissante, on a
∀n ∈ IN, k(Ψ_n) ≥ ⌈n
Ce résultat est dû à W. Rudin (1952).

Partie IV - Constantes de Lipschitz des polynômes de Legendre

Le but de cette dernière partie est le calcul des constantes de Lipschitz d'une suite orthonormale d'éléments de E constituée de polynômes.
Pour n ∈ IN et x ∈ IR on note:
U_n(x) = (x^2 − 1)^n, P_n = U_n^((n)), L_n = 1/(2^n n!)P_n
La notation f^((n)) représente la dérivée n-ième de la fonction f.
On démontre, et on admettra, que l'on a:
∀(m, n) ∈ ℕ^2, ∫_(− 1)^1 P_m(x)P_n(x)dx = 0, si m ≠ n; (2^(2n + 1)(n!)^2)/(2n + 1), si m = n
IV.A - Montrer qu'il existe une unique suite de réels tous strictement positifs notée (α_n)_(n ∈ IN) telle que la suite Q = (Q_n)_(n ∈ IN) d'éléments de E définie par
∀n ∈ IN, ∀n ∈ IR, Q_n(x) = α_n L_n(2x − 1)
est une suite orthonormale de E.
Donner la valeur de α_n pour chaque n ∈ IN.
Dans la suite, la notation Q_n désigne l'élément ainsi calculé.

IV.B -

IV.B.1) Soit f ∈ E donné. Montrer que la suite (d_Q^n(f))_(n ∈ IN) est décroissante.
IV.B.2) Montrer que la suite Q définie ci-dessus est totale dans E .
Pour cela on pourra montrer quela suite (d_Q^n(f))_(n ∈ IN) tend vers 0 quand n → + ∞ en appliquant le théorème de Weierstrass à la fonction f ∈ E donnée.
IV.B.3) Déterminer toutes les suites orthonormales (Φ_n)_(n ∈ IN) de E possédant la propriété suivante:
∀n ∈ IN, Φ_n est une fonction polynomiale de degré n
IV.C - Montrer que
∀n ∈ IN, ∀n ∈ IR, P_n(x) = n!∑_(k = 0)^(k = n)(C_n^k)^2(x − 1)^k(x + 1)^(n − k)
IV.D - Soient (n, x) ∈ IN × IR. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2.
La lettre θ désigne une variable réelle.
IV.D.1) Démontrer quesi |x| ≤ 1 alors L_n(x) = 1/(2π)∫_(− π)^(+ π)(x + i√(1 − x^2)cosθ)^n dθ.
On pourra remarquer que
x + i√(1 − x^2)cosθ = √((1 + x)/2) + i√((1 − x)/2)e^(iθ)√((1 + x)/2) + i√((1 − x)/2)e^(− iθ)
IV.D.2) Établir que
max_(x ∈ [ − 1, + 1])|L_n(x)| = 1
Quelles sont les valeurs de x ∈ [ − 1, + 1] telles que |L_n(x)| = 1 ?

IV.E -

IV.E.1) En remarquant que (x^2 − 1)U_n^′(x) = 2nxU_n(x), montrer que
∀n ∈ IN, (1 − x^2)P_n^(′′)(x) − 2xP_n^′(x) + n(n + 1)P_n(x) = 0
IV.E.2) Prouver que
∀x ∈ 𝕀ℝ, ∀n ∈ 𝕀ℕ, L_(n + 1)^′(x) = xL_n^′(x) + (n + 1)L_n(x)
IV.F - Calculer enfin la valeur k(Q_n) pour n ∈ 𝕀N.

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