Centrale Mathématiques 2 PSI 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Décomposition de matrices en produits de matrices simples : décomposition LU, de Cholesky et QR

Le sujet porte sur des décompositions de matrices en produits de matrices « simples », faciles à mettre en œuvre dans diverses applications numériques ou théoriques. Il aborde successivement la décomposition LU d'une matrice, la décomposition de Cholesky des matrices symétriques définies positives, la décomposition QR via les matrices de Householder, puis des résultats sur la convergence de suites de matrices et la diagonalisation.

1Partie I : décomposition LUExistence, unicité et algorithme de la décomposition d'une matrice en produit d'une matrice triangulaire inférieure et d'une matrice triangulaire supérieure.
2Partie II : matrices symétriques définies positives et décomposition de CholeskyCaractérisation des matrices définies positives et décomposition en produit tB·B.
3Partie III : matrices de Householder et décomposition QRÉtude des symétries orthogonales de Householder puis de la décomposition QR d'une matrice.
4Partie IV : convergence de suites de matrices et diagonalisationRésultats préliminaires sur la convergence de suites de matrices et l'existence d'une diagonalisation.

Difficile. Le rapport décrit un problème grave de rigueur logique et syntaxique touchant une immense proportion de candidats, avec plusieurs fautes de logique élémentaire relevées dans une majorité de copies.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Quantificateur « au plus un » ignoré · Réciproque fausse déduite de l'unicité mal comprise · Cauchy-Schwarz invoqué hors de son cadre

Le sujet, abordé d'emblée dans sa généralité sans cas particuliers préalables, a mis en évidence des difficultés au niveau le plus élémentaire du langage, de la logique et de la syntaxe. Le jury constate que ce n'est pas la somme des connaissances qui est en cause, mais le mode de fonctionnement de la pensée logique des candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Quantificateur « au plus un » ignoréI.B.1
Plus de la moitié des candidats simplifient à tort l'énoncé en supprimant le « au plus », ce qui constitue une faute de logique grave.
« Un exemple flagrant concerne plus de la moitié des candidats »
2
Réciproque fausse déduite de l'unicité mal compriseI.B.1
De nombreux candidats concluent à tort que si A n'est pas inversible, il n'existe pas de couple (L,U), ce qui constitue une seconde faute de logique grave.
« Seconde faute de logique très grave ! »
3
Cauchy-Schwarz invoqué hors de son cadreIV.A.2.b
Près des trois quarts des candidats invoquent Cauchy-Schwarz pour majorer la norme d'un produit de matrices, alors que ce théorème ne s'applique que dans une structure euclidienne, absente ici.
« plébiscité” par près de trois quart des candidats au IV .A.2.b., pour démontrer que la norme »
4
Changement de base non justifiéII.A
La notion de changement de base, pourtant à justifier, disparaît complètement des copies.
« La notion de changement de base (à justifier) disparaît complétement. »
5
Erreur grossière sur les valeurs propres et les normes
Le jury qualifie cette erreur, révélatrice d'un manque de rigueur, d'erreur digne d'une classe de seconde.
« Erreur digne d’une classe de seconde ! »

Conseils du jury

Lire très attentivement les quantificateurs d'un énoncé (« au plus », « il existe », etc.) avant de le reformuler.
Ne jamais invoquer un théorème hors de son cadre d'application, comme Cauchy-Schwarz en dehors d'une structure euclidienne.
Justifier systématiquement tout changement de base utilisé dans une démonstration.
Se demander si une assertion écrite a un sens mathématique avant de la poser comme acquise.
Travailler la rigueur logique du raisonnement autant que l'acquisition des connaissances du cours.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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MATHÉMATIQUES II

Rappels, notations et objectifs du problème
Dans tout ce problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. Toutes les matrices considérées ici sont à coefficients réels. On note :

$𝒰_n$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre n .
$𝒮_n$ (resp. $𝒮_n^(+ +)$ ) l'ensemble des matrices symétriques (resp. symétriques définies positives c'est-à-dire dont les valeurs propres sont strictement positives).
$𝒰_n$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (termes sous-diagonaux nuls) et $𝒰_n^+$ l'ensemble des matrices appartenant à $𝒰_n$ dont tous les termes diagonaux sont positifs ou nuls.
$ℒ_n$ l'ensemble des matrices triangulaires inférieures dont les termes diagonaux valent 1 . Le symbole $I_n$ désigne la matrice unité diag $(1, \dots, 1)$ élément de $𝒰_n$ .
Pour $A \in ℳ_n$ , le terme de A situé sur la ligne i et la colonne j est noté $A_(i, j)$ . Dans les parties I et II seulement, si $1 \leq i \leq n$ , $A_i$ désigne la matrice d'ordre $i$

[A_(1, 1), A_(1, 2), \dots, A_(1, i); A_(2, 1), A_(2, 2), \dots, A_(2, i); ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; A_(i, 1), A_(i, 2), \dots, A_(i, i)] extraite de A.

On confond respectivement :

matrice et endomorphisme de $IR^n$ canoniquement associé.
vecteur de IR $^n$ et matrice colonne de ses coordonnées.
une matrice d'ordre 1 et le réel la constituant.

Si nécessaire, IR

^n

sera muni de sa structure eudidienne rendant la base canonique orthonormale. Ainsi, si

v \in 𝕀ℝ^n, v^t v

est une matrice de

ℐ_n

tandis que

^t vv

représente

‖v‖^2

(norme euclidienne).
Le but de ce problème est d'étudier trois types de décompositions matricielles : décomposition LU (partie I), décomposition de Cholesky (partie II), décomposition QR (partie III).

Filière PSI

La partie IV utilise des décompositions des parties I à III, pour déterminer des approximations des valeurs propres d'une matrice.

Partiel -

I.A -

I.A.1) Montrer que si A appartient à

𝒰_n

est triangulaire inversible, son inverse

A^(- 1)

est aussi triangulaire.
I.A.2) Montrer que (

ℒ_n, \times

) est un groupe.
I.B - Soit

A \in ℳ_n

:
I.B.1) Montrer que si A est inversible, il existe au plus un couple

(L, U) \in ℒ_n \times 𝒰_n

tel que

A = LU

.
Si c'est le cas, on dira que A possède une décomposition lu (l comme Lower et U comme Upper).
I.B.2) Montrer que si A est inversible et possède une décomposition LU, alors pour tout

k

{1, …, n}, det(A_k) ≠ 0

(on pourra utiliser une décomposition par blocs de

A

).
I.B.3) On suppose que

det(A_(n - 1)) \neq 0

et on écrit A par blocs sous la forme:

A = (A_(n - 1), V; W, A_(n, n)).

Montrer qu'il existe H dans

ℒ_n

telle que:

(∀i ∈ {1, …, n − 1},)(HA)_(n, i) = 0

En posant a priori

H = (H_(n - 1), 0; H^', 1)

expliciter une telle matrice

H

ainsi que son inverse, c'est-à-dire expliciter les blocs

H_(n - 1)

H^'

, ainsi que les blocs correspondants de

H^(- 1)

en fonction des blocs de la matrice A .
I.B.4) Montrer que si pour tout

k

dans

{1, …, n}, det(A_k) ≠ 0

alors

A

a une décomposition LU
(on pourra opérer par récurrence en utilisant unedécomposition par blocs de A ).

I.C -

I.C.1) Soit deux entiers

p

q

tel que

1 \leq p < q \leq n

. Montrer que l'opération élémentaire consistant à échanger les lignes

p

q

d'une matrice de

ℳ_n

correspond à la multiplication à gauche par une matrice de

𝒰_n

à déterminer.
1.C.2) Pour

1 \leq k \leq n

1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_k \leq n, 1 \leq j_1 < j_2 < \dots < j_k \leq n

, le symbole

[i_1, i_2, \dots, i_k; j_1, j_2, \dots, j_k]_A

désigne le déterminant de la matrice

(A_(i_1, j_1), A_(i_1, j_2), \dots, A_(i_1, j_k); A_(i_2, j_1), A_(i_2, j_2), \dots, A_(i_2, j_k); ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; A_(i_k, j_1), A_(i_k, j_2), \dots, A_(i_k, j_k))

extraite de A . Ainsi par exemple,

det(A_i) = [1, 2, \dots, i; 1, 2, \dots, i]_A

.
Sous les hypothèses de la question I.B.4, et notant A = LU la décomposition LU de A, trouver dans l'ordre:
a) la première ligne de

U

,
b) Ia première colonne de L ,
c) les éléments diagonaux de

U

,
d) les éléments de

L

des colonnes

2, 3, \dots, n

(on utilisera I.C.1) sous forme PA = PLU où

P

est une matrice telle que la multiplication de

M

par

P

à gauche permute deux lignes de

M

),
e) les éléments de

U

des lignes

2, 3, \dots, n

On montrera que pour

2 \leq j \leq i \leq n, L_(i, j) = ([1, 2, \dots, j, - 1; 1, 2, \dots, j, - 1; 1, j, j]_A)/([1, 2, \dots; 1, 2, \dots]_A)

et on donnera pour

U_(i, j)(2 \leq i \leq j \leq n)

une formule analogue.

I.D - Écriture de l'algorithme

En utilisant:

un algorithme induit par la question I.C.2),
un langage de programmation (qu'on précisera) comprenant la fonction déterminant (notée det),
écrire une procédure donnant, pour une matrice A satisfaisant aux conditions du I.B.4), les matrices $L$ et $U$ telles que $A = LU$ .

I.E - Exemples:

I.E.1)

a) À l'aide de l'algorithme mis en place au I.D - , effectuer la décomposition LU de la matrice

A = (1, 1, 3, 1; 1, 2, 1, 3; 0, 1, - 1, 2; 1, - 1, 2, 1)

en indiquant les différentes étapes et les calculs intermédiaires.
b) En déduire la résolution du système matriciel

AX = Y

d'inconnue

è X = (x; y; z; t) et de paramètre Y = (a; b; c; t).

I.E.2) Donner deux exemples de matrices de

𝒰_2

, l'une ne possédant pas de décomposition lu , l'autre en possédant plusieurs.
I.E.3) Dans cette question

C_p^q

désigne le coefficient du binôme de Newton avec la convention

C_p^q = 0

p < q

, si

p < 0

ou si

q < 0

.
a) Soient

p, q

r

entiers naturels. Montrer la formule deVandermonde:

C_(p + q)^r = \sum_(k \in ℤ)C_p^k C_q^(r - k)

(on pourra utiliser la formule du binôme de Newton).
b) Soit

p \in 𝕀ℕ

; déterminer la décomposition lu de la matrice A de

ℳ_n

telle que

A_(i, j) = C_(p + j - 1)^(i - 1)

. En déduire det

A

.
Écrire

A, L, U

lorsque

p = 1

n = 4

Partiell -

II.A - Soit

A \in 𝒮_n

. Montrer que A appartient à

𝒮_n^(+ +)

si et seulement si pour tout

v

appartenant à

IR^n

non nul,

^t vAv > 0

.
On suppose dans le reste de cette partie II - , que

A \in 𝒮_n^(+ +)

.
II.A.1) Montrer que

A

possède une décomposition lu unique notée:

ù A = LU où L \in ℒ_n et U \in 𝒰_n. (on pourra utiliser I.B).

II.A.2) Montrer que

∀i ∈ {1, …, n}, U_(i, i) > 0

II.B -

II.B.1) Montrer qu'il existe B dans

𝒰_n

telle que

A = ^t BB

(on pourra modifier

L

U

et se ramener au cas de matrices triangulaires inférieure et supérieure à diagonales identiques).
II.B.2) Montrer que la décomposition obtenue à la question précédente est unique si on impose

∀i ∈ {1, …, n}, B_(i, i) > 0

.
II.C - Si

M \in 𝒰_n

, montrer que les 3 propositions suivantes sont équivalentes :
i)

M \in 𝒮_n^(+ +)

,
ii)

\existsB \in 𝒰_n

inversible telle que

M = ^t BB

,
iii)

M \in 𝒮_n

∀k ∈ {1, …, n}, det(M_k) > 0

Partielll -

III.A - Soit

v \in I^n

unitaire (

‖v‖ = 1

). On pose

H^((v)) = I_n - 2v^t v

(matrice de Householder) et par convention

H^((0)) = I_n

.
III.A.1) Montrer que

H^((v))

est une symétrie orthogonale que I'on caractérisera.
III.A.2) Montrer que pour tout a dans

IR^n

, il existe

v

dans

IR^n

tel que

H^((v))

a soit de la forme

(*, 0, 0, \dots, 0)

.
III.B - Soit

A \in ℳ_n

.
III.B.1) Montrer qu'il existe

H_1, \dots, H_(n - 1)

matrices de H ouseholder telles que:

H_(n - 1)H_(n - 2)\dotsH_1 A \in 𝒰_n.

III.B.2) En déduire que toute matrice de

𝒞_n

s'écrit sous la forme

A = QR

où

Q \in 𝒰_n

est orthogonale et

R \in 𝒰_n^+

(on parle de décomposition QR ).
III.B.3) Montrer quesi A est inversible, il y a unicité de la décomposition.
III.C - Quel résultat de cours permet d'obtenir directement une décomposition du type QR lorsque A est supposée inversible?

PartielV -

Dans cette partie A est une matrice de

ℳ_n

inversible et possédant n valeurs propres réelles

λ_1, \dotsλ_n

avec

|λ_1| > |λ_2| > \dots > |λ_n|

.
IV.A - Dans cette section, on montre des résultats préliminaires.
IV.A.1) On rappelle qu'une suite de matrice

(M_k)_(k \in IN)

converge vers une matrice

M

si et seulement si chaque coefficient de

M_k

converge vers le coefficient de M correspondant.
Montrer quesi

(M_k)_(k \in IN)

(N_k)_(k \in IN)

sont deux suites de

ℳ_n

convergentes de limites respectives

M

N

alors la suite

(M_k N_k)_(k \in IN)

converge vers

MN

.
IV.A.2) Pour tout

M \in ℳ_n

, on définit

‖M‖‖ = sup_(‖X‖ \leq 1)‖MX‖,

et on admet que

M \mapsto ‖‖M‖

définit une norme dans

ℳ_n

.
a) Montrer quesi M et N sont dans

𝒰_n

, on a

|‖M N‖ \leq |‖M‖‖ \cdot ‖N‖‖.

b) Montrer quesi

M \in ℳ_n

vérifie

‖M‖‖ < 1

alors

M + I_n

est inversible.
IV.A.3) J ustifier l'existence d'une matrice

P

inversible telle que

A = PDP^(- 1)

avec

D

diagonale:

D = (λ_1; ⋱; (0); λ_n).

On suppose dans la suite de cette partie que

P^(- 1)

possède une décomposition LU sous la forme

P^(- 1) = LU

et on pose

P = QR

la décomposition QR de P .
IV.B - Soit

(A_k)_(k \geq 1)

la suite d'éléments de

ℳ_n

définie par récurrence de la façon suivante:

$A_1 = A$ ;
si $A_k$ a été construite, on pose $A_k = Q_k R_k$ la décomposition $QR$ de $A_k$ ;
on définit $A_(k + 1) = R_k Q_k$ .

Montrer que les matrices

A_k(k \geq 1)

sont semblables à

A

.
IV.C - Déterminer explicitement la matrice

D^k LD^(- k)

lim_(k \to + \infty)D^k LD^(- k)

(la matrice D est celle définie au IV.A.3)).
On posera dans la suite

E_k = D^k LD^(- k) - I_n

.
IV.D - Montrer qu'à partir d'un certain rang

I_n + RE_k R^(- 1)

admet une décomposition QR unique de la forme:

I_n + RE_k R^(- 1) = Q~_k R~_k

où

R~_k

est à termes diagonaux strictement positifs.

On admet dans toute la suite que la suite

(Q~_k)_(k \geq 1)

converge dans

ℳ_n

IV.E -.

IV.E.1) Montrer que la limite

Q~

de la suite

(Q~_k)_(k \geq 1)

est orthogonale.
IV.E.2) Montrer quela suite

(R~_k)_(k \geq 1)

converge et quesa limite

R~

est dans

𝒰_n^+

.
IV.E.3) Déterminer Q̃ et

R~

.
IV.F - En utilisant deux compositions QR de

A^k

, montrer que la suite

(A_k)_(k \geq 1)

est telle que :

lim_(k \to + \infty)(A_k)_(i, i) = λ_i(1 \leq i \leq n) lim_(k \to + \infty)(A_k)_(i, j) = 0(1 \leq j < i \leq n)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Centrale PSI 2001 ?

Le sujet porte sur les décompositions de matrices en produits simples : décomposition LU, décomposition de Cholesky et décomposition QR via les matrices de Householder.

Ce sujet de Mathématiques II Centrale PSI 2001 est-il difficile ?

Le rapport décrit un problème grave de rigueur logique touchant une large majorité des candidats, avec plusieurs fautes de logique élémentaire très répandues.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale Maths II PSI 2001 ?

Le jury relève l'oubli du quantificateur « au plus », une réciproque fausse sur l'existence de la décomposition LU, et un usage abusif du théorème de Cauchy-Schwarz hors structure euclidienne.

Ce sujet Centrale Maths II PSI 2001 nécessite-t-il de bien connaître son cours d'algèbre linéaire ?

Oui, il porte sur des notions classiques d'algèbre linéaire (décomposition de matrices, diagonalisation) mais exige surtout une grande rigueur logique dans leur mise en œuvre.

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Commentaires• Centrale Mathématiques 2 PSI 2001

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