CCINP Mathématiques 1 PSI 2000Sujet et corrigé

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n^∘ 99-018 du 01.02.99.

Dans la partie I, on étudie les solutions d'une équation différentielle

solutions vérifiant en outre des conditions aux limites.
Dans la partie II, on introduit une fonction K de deux variables, fonction qui est définie comme somme d'une série.

Dans la partie III, à chaque fonction f continue impaire 2π-périodique sur R, on associe une fonction h grâce à la relation

et on étudie quelques propriétés de la fonction ainsi obtenue.

Lorsque p ∈ N, on désigne par 𝒞^P([0, π], R) le R-espace vectoriel des applications de classe 𝒞^P de [0, π] dans R.
Lorsque α ∈ R et f ∈ 𝒞^∘([0, π], R) on considère l'équation différentielle :

On désigne par :

I.1/ On suppose, dans cette question, que f est la fonction nulle.
I.1.1/ Déterminer l'ensemble 𝒮^0(E) lorsque α = 0.
I.1.2/ Déterminer l'ensemble 𝒮^0(E) (selon la valeur de ω ∈ R_+^∗ )
I.1.2.1/ lorsque α = ω^2,
I.1.2.2/ lorsque α = − ω^2.
I.2./ On suppose, dans cette question, que α = 0.
I.2.1/ Déterminer l'ensemble 𝒮^0(E)
I.2.1.1/ lorsque f(x) = cosx,
I.2.1.2/ lorsque f(x) = sin(nx) (où n désigne un entier naturel non nul fixé).
I.2.2/ On suppose que f(x) = |cosx|.
I.2.2.1/Déterminer l'ensemble 𝒮(E).
I.2.2.2/ Montrer que 𝒮^0(E) contient un seul élément, (seule fonction F de classe 𝒞^2 sur [0, π] telle que pour tout x ∈ [0, π]; F^(′′)(x) = |cosx| et F(0) = F(π) = 0 ); expliciter F(x) et indiquer l'allure de son graphe.
I.3/ On suppose toujours que α = 0 et on désigne par f une fonction quelconque appartenant à 𝒞^0([0, π], R).
Montrer que F ∈ 𝒮(E) si et seulement si il existe (A, B) ∈ R^2 tel que pour tout x ∈ [0, π] on ait :

En déduire que pour tout f ∈ 𝒞^∘([0, π], R) l'ensemble 𝒮^∘(E) contient un seul élément que l'on notera F_1.

Dans toute la suite de cette partie, on désigne par φ l'application de 𝒞^0([0, π], R) dans lui même qui à f associe l'élément F_1, unique solution sur l'intervalle [0, π] de l'équation différentielle :

I.4/ Vérifier que φ est un endomorphisme de ℒ^0([0, π], R).
I.5/ L'endomorphisme φ est-il injectif ? surjectif ?
I.6/ Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme φ.
I.7/ Pour tout x ∈ [0, π] on désigne par T_x l'ensemble des couples (t, u) ∈ R^2 tels que 0 ≤ t ≤ u ≤ x.
I.7.1/ Représenter l'ensemble T_x dans le plan euclidien pour un x fixé, ( 0 < x < π ).
I.7.2/ Justifier les égalités suivantes, pour x ∈ [0, π] et f ∈ 𝒞^0([0, π], R) :

I.7.3/ Soient f ∈ 𝒞^0([0, π], R) et F_1 = φ(f).
I.7.3.1/ Montrer qu'il existe β ∈ R ( β que l'on explicitera) tel que pour tout x ∈ [0, π] on ait l'égalité : F_1(x) = ∫_0^x(x − t)f(t)dt + βx∫_0^π(π − t)f(t)dt.
I.7.3.2/ En déduire qu'il existe γ ∈ R ( γ que l'on explicitera) tel que pour tout x ∈ [0, π] on ait l'égalité : F_1(x) = γ[∫_0^x t(π − x)f(t)dt + ∫_x^π x(π − t)f(t)dt].

Pour (x, y) ∈ R^2 on note K(x, y) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin(nx)sin(ny))/(n^2), lorsque la série converge.
II.1/ Montrer que la fonction K est définie sur R^2.
II.2/ Soit y un réel fixé, étudier la continuité de l'application x ↦ K(x, y).
II.3/ Développement en série de Fourier d'une fonction E_x.

On considère un nombre réel x fixé, x ∈ [0, π] et on désigne par E_x l'application de R dans R2π-périodique et impaire, définie sur [0, π] par:

II.3.1/ Indiquer l'allure du graphe de t ↦ E_x(t) sur l'intervalle [ − π, π] (pour un x fixé, x ∈ ]0, π[ ) ; justifier la convergence de la série de Fourier réelle de E_x et préciser sa somme.
(Rappel : la série de Fourier réelle de E_x est : (a_0)/2 + ∑_(n ≥ 1)a_n cos(nt) + b_n sin(nt)
où a_n = 1/π∫_(− π)^π E_x(t)cos(nt)dt et b_n = 1/π∫_(− π)^π E_x(t)sin(nt)dt
sont les coefficients de Fourier réels de E_x ).
II.3.2/ Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction E_x.
II.3.3/ Exprimer K(x, t) en fonction de E_x(t) pour x ∈ [0, π] et t ∈ [0, π].
II.4/ On considère les sous-ensembles suivants de R^2 :
le carré C ensemble des couples (x, t) ∈ [0, π] × [0, π],
le triangle U ensemble des couples (x, t) ∈ C tels que 0 < t < x < π,
le triangle U¯ ensemble des couples (x, t) ∈ C tels que 0 ≤ t ≤ x ≤ π.
II.4.1/ Déduire de II.3.3 l'existence d'un minimum et d'un maximum pour la fonction K sur le carré C et préciser la valeur du minimum.
II.4.2/ La fonction K possède-t-elle un maximum relatif sur le triangle U ?
II.4.3/ Etudier les extremums de la fonction K sur l'ensemble U¯∖U (bords du triangle de U¯ ).
II.4.4/ En déduire la valeur du maximum de K sur le carré C.
II.4.5/ Si δ ∈ R on note Γ_δ l'ensemble des (x, t) ∈ C tels que K(x, t) = δ, ( Γ_δ est la ligne de niveau δ ).
Représenter (sur un même croquis) l'ensemble C, Γ_0 et la ligne Γ_δ passant par le point (π/4, π/4).

Dans cette partie on désigne par:

A toute fonction f appartenant à I_(2π) on associe la fonction h = ψ(f) définie sur R par

III.1/ Vérifier que si f ∈ Z_(2π) et si h = Ψ(f) alors la fonction h est impaire, 2π-périodique. Justifier l'égalité

III.2/ Déduire de II.3.3 et de la partie I que si f ∈ Z_(2π) alors les fonctions h = ψ(f) et F_1 = φ(f) sont proportionnelles sur [0, π]; en déduire que h est de classe 𝒞^2 sur ]0, π[ et qu'elle vérifie les relations :

III.3/ En utilisant (en particulier) l'imparité de f et de h, montrer que h est de classe 𝒞^2 sur R.

Dans toute la suite de cette partie, pour chaque application g2π-périodique, continue par morceaux de R dans R, on désigne par a_n(g) et b_n(g) les coefficients de Fourier réels de g : pour tout n ∈ N : a_n(g) = 1/π∫_(− π)^π g(t)cos(nt)dt, b_n(g) = 1/π∫_(− π)^π g(t)sin(nt)dt.
Soient désormais f ∈ I_(2π) et h = ψ(f).
III.4/ Etablir une relation entre b_n(h) et b_n(h^(′′)) pour n ∈ N^∗.
III.5/ Justifier la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)(b_n(f))^2( respectivement ∑_(n ≥ 1)((b_n(f))^2)/(n^4)) et exprimer ∑_(n = 1)^(+ ∞)(b_n(f))^2( respectivement ∑_(n = 1)^(+ ∞)((b_n(f))^2)/(n^4)) en fonction d'une intégrale.
III.6/ Etablir l'inégalité :

III.7/ Soit D = {(x, y) ∈ R^2/ − π ≤ x ≤ π et − π ≤ y ≤ π}.On considère l'intégrale double :

III.7.1/ Exprimer J(f) en fonction de l'intégrale ∫_0^π f(x)h(x)dx.
III.7.2/ Exprimer J(f) en fonction de l'intégrale ∫_0^π(h^′(x))^2 dx.
III.7.3/ Montrer que :

III.7.4/ Déterminer les fonctions f ∈ I_(2π) telles que :