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Mines Mathématiques 2 PSI 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Racine carrée de l'opposé du Laplacien et équation de la chaleur généralisée : séries de Fourier et opérateurs différentiels
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Le problème étudie un opérateur différentiel apparenté à la racine carrée de l'opposé du Laplacien, dans le cadre de l'équation de la chaleur généralisée. Il part des séries de Fourier pour introduire cet opérateur, en étudie les propriétés et en établit une représentation intégrale, avant de traiter les conditions initiales et la décroissance d'une fonction énergie associée.

  1. 11 - Séries trigonométriquesÉtudie les séries de Fourier et introduit la notion d'opérateur différentiel.
  2. 22 - Équation de la chaleur généraliséeIntroduit l'opérateur différentiel et étudie ses propriétés, notamment une équation différentielle.
  3. 33 - Représentations intégralesÉtablit une représentation intégrale de l'opérateur.
  4. 44 - Données initiales continuesÉtudie les propriétés relatives aux conditions initiales.
  5. 55 - Décroissance de l'énergieIntroduit une fonction énergie et en étudie la décroissance.

Difficile. Le rapport indique que malgré un barème généreux, la moyenne obtenue par les candidats n'est que de 8 sur 20, et que les prestations sont globalement très décevantes.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8 / 20
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Moyenne
8/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Encadrement d'une suite complexe · Confusion entre types de convergence · Lecture insuffisante de l'énoncé
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Le jury constate que l'énoncé est souvent lu avec une attention insuffisante et que le cours, en particulier les définitions et les grands théorèmes classiques, est très souvent mal su. Les questions 3 et 4, essentielles pour de nombreuses questions ultérieures, ont posé des difficultés dès le départ. Les prestations sont globalement très décevantes, avec une moyenne de 8 sur 20.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Encadrement d'une suite complexe1

    De nombreux candidats encadrent une quantité complexe comme si elle était réelle, alors qu'il suffit de majorer son module.

    « Trop de candidats encadrent »
  2. 2
    Confusion entre types de convergence3

    De nombreux candidats se trompent sur le type de convergence à invoquer, ou les citent tous en espérant que le bon y figure.

    « Trop de candidats se trompent sur les types de convergence, ou les invoquent tous, en espérant que le bon figurera dans la liste »
  3. 3
    Lecture insuffisante de l'énoncé7

    Les deux tiers des candidats ne remarquent pas que la fonction n'est que continue, et non de classe C, ce qui invalide l'inégalité utilisée.

    « Les deux tiers des candidats ne lisent pas l'énoncé avec suffisamment d'attention »
  4. 4
    Recours hors sujet à Cauchy-Lipschitz10

    Un certain nombre de candidats invoquent un théorème de Cauchy-Lipschitz totalement hors sujet pour justifier existence et unicité.

    « invoque l'existence et l'unicité d'une solution à l'aide d'un théorème de Cauchy-Lipschitz, ce qui est complètement hors sujet »
  5. 5
    Calculs menés sans justification13

    Les calculs sont trop souvent menés sans justification, en particulier pour établir la formule demandée à la question 13.

    « Il y a trop souvent des calculs sans justification »

Ce qui a été bien réussi

  • Le jury a eu la satisfaction de corriger un certain nombre de bonnes copies.
  • Une bonne partie des candidats savent prouver la convergence simple et la continuité à la question 3.
  • Les convergences normales sont souvent établies avec succès à la question 4.

Conseils du jury

  • Lire le sujet en entier avant de commencer la résolution, pour bénéficier d'une vision globale.
  • Bien connaître son cours, qui comporte tous les outils nécessaires à la résolution.
  • Réfléchir complètement à une question avant d'en commencer la rédaction, pour la clarté et la rigueur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

A 2014 MATH II PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2014

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Racine de l'opposé du Laplacien
et Equation de la chaleur généralisée

Notations

On note N l'ensemble des entiers naturels, Z l'ensemble des entiers relatifs, R l'ensemble des nombres réels, N^∗ l'ensemble des nombres entiers strictement positifs, R^− l'ensemble des nombres réels négatifs ou nuls, R^+l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls et R^(+ ∗) l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
On note 𝒞_#^k l'ensemble des fonctions R ⟶ C de classe 𝒞^k, de période 2π, où k ∈ [0, ∞], et pour f ∈ 𝒞_#^0, on note ‖f‖ = sup_(x ∈ [0, 2π])|f(x)|.
On note e_n la fonction R ⟶ C définie par e_n(x) = e^(inx), et pour f ∈ 𝒞_#^0,
c_n(f) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(θ)e_(− n)(θ)dθ, n ∈ Z.
Lorsqu'une série est absolument convergente, on montre que sa somme ne dépend pas de l'ordre des termes, ce qui justifie d'écrire
d_0 + ∑_(n = 1)^(+ ∞)d_(− n) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)d_n = ∑_(n ∈ Z)d_n
et de dire que la série ∑_(n ∈ Z)d_n converge absolument si et seulement si les séries ∑_(n = 1)^(+ ∞)d_(− n) et ∑_(n = 1)^(+ ∞)d_n convergent absolument.

1 Séries trigonométriques

Question 1 Soit f ∈ 𝒞_#^0, démontrer que la suite des c_n(f) où n ∈ Z, est bornée.
Question 2 Soit f ∈ 𝒞_#^∞, donner l'expression de c_n(f^((k))) en fonction de c_n(f). En déduire que pour tout k ∈ N, il existe C_k > 0 tel que, pour tout entier relatif non nul n
|c_n(f)| ≤ (C_k)/(|n|^k).
Soit (d_n)_(n ∈ Z), une suite d'éléments de C, telle que la série ∑_(n ∈ Z)d_n converge absolument.
Question 3 Montrer que pour tout x réel la série ∑_(n ∈ Z)d_n e_n(x) converge et que sa somme h(x) appartient à 𝒞_#^0. Justifier que, pour tout n ∈ Zd_n = c_n(h).
Réciproquement, on suppose pour cette question que quel que soit l'entier k, il existe C_k > 0 et N_k ≥ 1 tels que
|d_n| ≤ (C_k)/(|n|^k)∀|n| ≥ N_k.
Question 4 Démontrer que pour tout ℓ entier, la série ∑_(n ∈ Z)d_n e_n^((ℓ)) converge normalement; en déduire que h(x) = ∑_(n ∈ Z)d_n e_n(x) appartient à 𝒞_#^∞.
Un opérateur différentiel sur 𝒞_#^∞ est une application linéaire B de 𝒞_#^∞ dans luimême de la forme suivante :
Bf = ∑_(k = 0)^∞b_k f^((k)),
où les réels b_k sont tous nuls sauf un nombre fini. On appelle ordre de B l'entier K défini par K = max{k ∈ N|b_k ≠ 0}.
Question 5 Démontrer qu'une application linéaire B de 𝒞_#^∞ dans lui-même est un opérateur différentiel d'ordre K si et seulement si il existe un polynôme P_K d'ordre K tel que, pour tout entier relatif n, et pour tout f ∈ 𝒞_#^∞, c_n(Bf) = P_K(n)c_n(f).

2 Equation de la chaleur généralisée

Soit ρ une fonction : R^+ → R^+, strictement croissante, telle qu'il existe ℓ ∈ N^+avec
∀y ≥ 1, y ≤ ρ(y) ≤ y^ℓ.
Question 6 Soit f ∈ 𝒞_#^∞, démontrer que la série ∑_(n ∈ Z)ρ(|n|)c_n(f)e_n converge normalement et que sa somme appartient à 𝒞_#^∞.
Question 7 Soit f ∈ 𝒞_#^0, démontrer que pour tout t > 0, la série ∑_(n ∈ Z)e^(− tρ(|n|))c_n(f)e_n converge normalement et que sa somme appartient à 𝒞_#^∞.
On définit l'opérateur A : 𝒞_#^∞ ⟶ 𝒞_#^∞ par la formule
A(f) = ∑_(n ∈ Z)ρ(|n|)c_n(f)e_n.
On suppose désormais que t ∈ R^(+ ∗),
et on définit l'opérateur Q_t sur 𝒞_#^0 par la formule suivante :
Q_t(f) = ∑_(n ∈ Z)e^(− tρ(|n|))c_n(f)e_n.
Question 8 Montrer que pour x réel fixé et f ∈ 𝒞_#^0, la fonction t ⟼ Q_t(f)(x) est de classe 𝒞^∞ sur R^(+ ∗).
Question 9 Démontrer que, pour f ∈ 𝒞_#^0 et t > 0,
∂/(∂t)Q_t(f)(x) = − A(Q_t(f))(x)∀x ∈ R.
On note I l'opérateur identité de 𝒞_#^∞.
Question 10 Soit α ∈ C, α ∉ R^−. Montrer que pour tout g ∈ 𝒞_#^∞ il existe un et un seul élément, noté u, appartenant à 𝒞_#^∞ qui soit solution de l'équation (A + αI)u = g.
Question 11 Montrer que pour ℜ𝔢α > 0 et g ∈ 𝒞_#^∞, et pour tout x réel,
(A + αI)^(− 1)(g)(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− αt)Q_t(g)(x)dt
Question 12 Déterminer les valeurs propres de A, c'est-à-dire les λ complexes tels qu'il existe g ≠ 0 vérifiant A(g) = λg.

3 Représentations intégrales

Dans ce paragraphe on s'intéresse à deux occurences particulières de la fonction ρ : ρ_1 et ρ_2 définies sur R^+par ρ_1(y) = y et ρ_2(y) = y^2. On pose
A^1(f) = ∑_(n ∈ ℤ)|n|c_n(f)e_n et A^2(f) = ∑_(n ∈ ℤ)n^2 c_n(f)e_n
ainsi que
Q_t^1(f) = ∑_(n ∈ ℤ)e^(− t|n|)c_n(f)e_n, et Q_t^2(f) = ∑_(n ∈ ℤ)e^(− tn^2)c_n(f)e_n.
Question 13 Démontrer que si f ∈ C_#^∞, (A^1 ∘ A^1)(f) = A^2(f).
Question 14 Démontrer que A^2 est un opérateur différentiel et en donner l'expression. En est-il de même pour A^1 ?
Question 15 En référence aux résultats des questions 13 et 9, justifier le titre du document.
Si g est une fonction continue et intégrable sur R, on pose
ℱ(g)(ω) = 1/(√(2π))∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− iωx)g(x)dx
où ω ∈ R; c'est la transformée de Fourier de f.
On admettra les formules suivantes :
ℱ(1/(1 + x^2))(ω) = √(π/2)e^(− |ω|) et ℱ(e^(− x^2/2))(ω) = e^(− ω^2/2)
Question 16 Déterminer le réel a tel que, pour tout f ∈ 𝒞_#^∞, pour tout y réel et tout t ∈ R^(+ ∗),
Q_t^1(f)(y) = α∫_(− ∞)^(+ ∞)t/(t^2 + x^2)f(y − x)dx

4 Données initiales continues

On suppose dans ce paragraphe que f ∈ 𝒞_#^0, et on se limite à l'étude de Q_t^1(f).
On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction f continue T-périodique et tout ε > 0, il existe un polynôme trigonométrique p, soit
p(t) = ∑_(n ∈ Z_N)c_n e^(2iπnt/T) où c_n ∈ C, et Z_N = {n ∈ Z| − N ≤ n ≤ N},
tel que ‖f − p‖ ≤ ε.
Question 17 En s'aidant du théorème ci-dessus, montrer que pour tout y réel et tout t réel strictement positif
Q_t^1(f)(y) = 1/π∫_(− ∞)^(+ ∞)t/(t^2 + x^2)f(y − x)dx
Question 18 En utilisant l'expression de Q_t^1(f) sous forme de série, montrer que
lim_(t → 0; t > 0)∫_0^(2π)(f(y) − Q_t^1(f)(y))dy = 0
Question 19 En utilisant l'expression intégrale de Q_t^1 obtenue à la question 17, montrer que pour tout y réel,
f(y) = lim_(t → 0; t > 0)Q_t^1(f)(y)

5 Décroissance de l'énergie

Pour f ∈ 𝒞_#^0, on pose Q_0^1(f) = f et
E(t) = 1/2∫_0^(2π)|Q_t^1(f)(x)|^2 dx, t ≥ 0
Question 20 Montrer que E est une fonction décroissante de t et déterminer sa limite en t = + ∞.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques 2 Mines PSI 2014 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques 2 Mines PSI 2014 ?

Le sujet porte sur les séries de Fourier, les séries de fonctions, la convergence normale et uniforme, le théorème d'intégration terme à terme et les équations différentielles, autour d'un opérateur apparenté au Laplacien.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 2 Mines PSI 2014 ?

Une confusion entre types de convergence, une lecture insuffisante de l'énoncé, un recours hors sujet à Cauchy-Lipschitz, et des sommes doubles simplifiées sans justification.

Le sujet Mathématiques 2 Mines PSI 2014 est-il difficile ?

Oui, le rapport indique une moyenne de 8 sur 20 malgré un barème généreux et qualifie les prestations de globalement très décevantes.

Quelle est la moyenne au sujet Mathématiques 2 Mines PSI 2014 ?

La moyenne obtenue par les candidats est de 8 sur 20.

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