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Mines Mathématiques 1 PSI 2014Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Somme de projecteurs orthogonaux
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Le sujet d'algèbre linéaire porte sur les projecteurs, puis les projecteurs orthogonaux avec leurs propriétés de positivité et de symétrie. Il est composé de trois parties : une étude de la trace, une étude des projecteurs, puis une décomposition d'un endomorphisme en somme de projecteurs orthogonaux. La difficulté est très progressive, les premières questions étant proches du cours et les dernières, en particulier les questions 16 et 18, nettement plus ardues.

  1. 11. TraceÉtudier des propriétés de la trace d'une matrice, notamment son invariance par permutation circulaire et par changement de base.
  2. 22. ProjecteursÉtudier les propriétés des projecteurs, en particulier la décomposition de l'espace en somme du noyau et de l'image.
  3. 33. Décomposition en somme de projecteurs orthogonauxÉtablir des conditions pour décomposer un endomorphisme positif en somme de projecteurs orthogonaux.

Difficile. Le rapport indique un échelonnement marqué de la difficulté, avec des questions initiales proches du cours permettant une bonne progressivité des notes, mais des questions plus ardues, en particulier les questions 16 et 18, qui ont permis de bien départager les candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal · Raisonnement par équivalence non séparé · Confusion entre somme et union d'espaces vectoriels
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Les questions 1 à 9, très proches du programme, ont permis une bonne progressivité des notes, tandis que des questions plus ardues comme les questions 16 et 18 ont permis de bien départager les différents niveaux de candidats. L'erreur de compréhension principale a été de confondre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal, le seul endomorphisme vérifiant ces deux propriétés étant l'identité.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonalQ8, Q9

    L'erreur de compréhension principale du sujet a été de confondre ces deux notions, le seul endomorphisme vérifiant les deux propriétés étant l'identité.

  2. 2
    Raisonnement par équivalence non séparéQ7, Q8, Q9

    Pour démontrer une équivalence, notamment aux questions 7, 8 et 9, les candidats auraient dû séparer nettement l'implication et la réciproque, car dans la majorité des cas le raisonnement était faux dans un sens.

  3. 3
    Confusion entre somme et union d'espaces vectorielsQ5

    À la question 5, certains candidats confondent la somme et l'union d'espaces vectoriels, ou utilisent la formule de Grassmann avec une erreur de signe.

  4. 4
    Erreur de trace par mauvaise permutation circulaireQ2

    À la question 2, l'erreur la plus courante a consisté à écrire Tr(ABC)=Tr(BAC) au lieu de Tr(BCA).

    « Tr(ABC)=Tr(BAC) »
  5. 5
    Diagonalisable confondu avec orthodiagonalisableQ7

    Pour la réciproque de la question 7, beaucoup de candidats se contentent d'indiquer que T était diagonalisable, alors qu'il fallait des vecteurs propres orthogonaux.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 a été la mieux réussie du sujet.
  • La question 2 a été assez bien réussie.
  • La question 4 a souvent été bien traitée grâce à une écriture matricielle bien choisie faisant apparaître un bloc identité.
  • La question 5 a souvent été réussie, notamment par l'utilisation directe de la formule de Grassmann.

Conseils du jury

  • Éviter de répondre à une question par un simple « il est évident que la propriété est vraie ».
  • Relire chaque réponse pour vérifier que tous les items de la question ont été traités.
  • Citer précisément le numéro de la question utilisée plutôt que de mentionner vaguement « d'après les questions précédentes ».
  • Représenter une matrice diagonale avec des valeurs propres nulles selon la décomposition noyau-image pour guider la rédaction.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2014

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Somme de projecteurs orthogonaux

Notations

On note N l'ensemble des entiers naturels, R l'ensemble des réels, R_+l'ensemble des réels positifs ou nuls et ℳ_n l'ensemble des matrices n × n à coefficients réels.
Dans tout le problème, X est un espace vectoriel de dimension n ≥ 2 sur le corps des réels et T un endomorphisme de X.
Si ℬ est une base de X, on note 𝕋_ℬ la matrice représentant T dans cette base.
On note N(T) le noyau de T et R(T) l'image de T , rg T le rang de T et σ(T) le spectre de T.
On appelle projecteur un endomorphisme P de X idempotent, c'est-à-dire tel que P^2 = P.
On note I l'endomorphisme identité de X, 𝕀_n la matrice identité de ℳ_n et 𝕆 la matrice nulle.

1 Trace

Si 𝔸 ∈ ℳ_n, on appelle trace de 𝔸 le nombre réel suivant :
tr𝔸 = ∑_(i = 1)^n a_(ii)
Question 1 Soient 𝔸 et 𝔹 ∈ ℳ_n, montrer que tr𝔸𝔹 = tr𝔹𝔸.
Question 2 Soit T un endomorphisme de X, montrer que la trace de la matrice 𝕋_ℬ associée à T est indépendante de la base ℬ.
On appelle trace de T , notée trT, la valeur commune des traces des matrices représentant T . On dit que la trace est un invariant de similitude.

2 Projecteurs

Question 3 Soit P un projecteur de X, démontrer que X = N(P) ⊕ R(P).
Question 4 En déduire que rgP = trP.
Question 5 Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F et G de X est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions.
Question 6 Soit S un endomorphisme de X. Montrer que si S est une somme finie de projecteurs P_i, i = 1, …, m, alors trS ∈ N et trS ≥ rgS.

3 Décomposition en somme de projecteurs orthogonaux

On considère maintenant le cas où X est un espace (pré)hilbertien. On dit que T est symétrique positif s'il est symétrique et si
(Tx|x) ≥ 0∀x ∈ X.
Question 7 Montrer que T , supposé symétrique, est positif si et seulement si σ(T) ⊂ R_+. Question 8 Montrer qu'un projecteur P est un projecteur orthogonal si et seulement si il vérifie
(x − Px|y) = 0, ∀x ∈ X, ∀y ∈ R(P).
Question 9 Montrer qu'un projecteur est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique; montrer également qu'un projecteur orthogonal est positif.
On suppose désormais que T est symétrique positif et vérifie trT ∈ N et trT ≥ rgT.
On note r le nombre de valeurs propres strictement positives de T , comptées avec leur multiplicité. On note e_i les vecteurs d'une base propre ℬ de T orthonormée, ordonnés de telle façon que les valeurs propres associées soient strictement positives si et seulement si i ≤ r. On note Y l'espace engendré par les e_i, i = 1, …, r et Z celui engendré par les e_i, i = r + 1, …, n.
Question 10 Montrer que Y = R(T), Z = N(T), ainsi que rgT = r.
Pour i = 1, …, n, on note Q_i l'endomorphisme de X défini par
Q_i(e_j) = δ_(ij)e_i, j = 1, …, n
Question 11 Montrer que Q_i est un projecteur orthogonal de rang 1.
Question 12 On se place dans le cas particulier où trT > rgT. Montrer qu'on peut choisir i tel que T − Q_i soit symétrique positif et vérifie rg(T − Q_i) = rgT. Quelle est la valeur de tr(T − Q_i) ?
Question 13 On se place maintenant dans le cas général où trT ≥ rgT. Déduire de la question 12 qu'il existe S symétrique positif tel que Y soit stable par S, trS = rgS = rgT et que T − S soit la somme de k = trT − r projecteurs orthogonaux de rang 1 .
On note μ_i, i = 1, …, r les valeurs propres strictement positives de S.
Question 14 Montrer que S_(|Y) est inversible.
On pose U = S_(|Y) et pour x et y ∈ Y, ξ(x, y) = (U^(− 1)x|y). On note ε_i, i = 1, …, r une base de vecteurs propres de U associés aux valeurs propres μ_i.
Question 15 Démontrer que ξ constitue un produit scalaire sur Y.
Question 16 Déterminer w ∈ Y, tel que ‖w‖ = 1 et ξ(w, w) = 1. On pourra, si nécessaire, chercher w dans le sous-espace de dimension 2 engendré par deux vecteurs propres ε_i et ε_j bien choisis.
Question 17 Montrer que P est un projecteur orthogonal de rang 1 sur X si et seulement si il existe un vecteur z unitaire dans X, tel que pour tout x ∈ X, P(x) = (x|z)z.
On considère maintenant un w tel que défini à la question 16 et l'endomorphisme P_w défini sur X par la formule suivante :
P_w(x) = (x|w)w
Question 18 Démontrer que S − P_w est symétrique et positif.
Question 19 Démontrer que N(S − P_w) = N(S) ⊕ Vect(U^(− 1)w), où Vect(U^(− 1)w) note l'ensemble des vecteurs colinéaires à U^(− 1)w. En déduire que rg(S − P_w) = rg(S) − 1.
Question 20 Déduire des questions 1718 et 19 que S est la somme d'un nombre fini de projecteurs orthogonaux de rang 1.
Question 21 En déduire qu'un endomorphisme symétrique positif T est une somme finie de projecteurs orthogonaux si et seulement si trT ∈ N et trT ≥ rgT.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines PSI 2014 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines PSI 2014 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire, en particulier les projecteurs, les projecteurs orthogonaux, la trace, et la réduction des endomorphismes symétriques dans un espace euclidien.

Le sujet de mathématiques 1 Mines PSI 2014 est-il difficile ?

Le rapport décrit une difficulté très progressive : les premières questions sont proches du cours, mais les questions 16 et 18 sont nettement plus ardues et ont permis de bien départager les candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines PSI 2014 ?

Le jury relève une confusion fréquente entre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal, des raisonnements par équivalence mal séparés en implication et réciproque, et une confusion entre somme et union d'espaces vectoriels.

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