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Mines Mathématiques 1 PSI 2016Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Marche aléatoire symétrique sur Z : loi du temps de retour en 0 et théorème taubérien
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La première épreuve de mathématiques PSI du concours Mines-Ponts 2016 étudie la marche aléatoire symétrique et la loi de son temps de retour en 0. Après un préliminaire sur un développement en série entière, le sujet établit une identité de Karamata et un théorème taubérien, qui servent ensuite à obtenir un équivalent de la probabilité de ne pas être revenu en 0 et la loi exacte du temps de retour.

  1. 1Partie A : préliminaireDéveloppement en série entière de 1/√(1-x) avec des coefficients binomiaux centraux (question 1).
  2. 2Partie B : identité de KaramataLimites de sommes de séries entières quand x tend vers 1, intégrales généralisées, passage des polynômes à une fonction en escalier et équivalent de sommes partielles (questions 2 à 7).
  3. 3Partie C : théorème taubérienPour une suite décroissante positive dont les sommes partielles sont équivalentes à 2√n, encadrement puis équivalent du terme général (questions 8 à 11).
  4. 4Partie D : marche aléatoireStationnarité des accroissements, décomposition selon le dernier passage en 0, produit de Cauchy de séries génératrices, équivalent de P(T > n), retour presque sûr en 0 et loi de T (questions 12 à 22).

Difficulté moyenne. Le jury ne voyait a priori pas de difficulté majeure, calculatoire ou conceptuelle, mais juge les résultats assez décevants, avec des taux de succès très faibles sur les dernières questions.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Calculs arrangés pour retomber sur le résultat · Questions simples manquées · Convergence d'une série mal justifiée
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Le jury estimait le sujet sans difficulté majeure, mais les résultats globaux sont assez décevants. Les questions techniques sans difficulté conceptuelle sont correctement traitées ; dès qu'un peu d'abstraction apparaît, les réponses deviennent rares et hasardeuses. Il relève aussi des aberrations non repérées, comme des probabilités négatives ou supérieures à 1.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calculs arrangés pour retomber sur le résultatQuestion 1

    En question 1, des calculs qui aboutissent soudain au résultat demandé sont repérés par les correcteurs et nuisent à l'indulgence pour la suite.

  2. 2
    Questions simples manquéesQuestions 2 et 4

    La question 2 se ramenait à une composition de limites et la question 4 à la linéarité (vraie pour les monômes, donc pour les polynômes), mais peu de candidats les ont réussies.

    « ce n'est pas une raison pour perdre toute lucidité le jour du concours et oublier les éléments les plus basiques ! »
  3. 3
    Convergence d'une série mal justifiéeQuestions 6 et 7

    En question 6, il suffisait de voir que le terme général est nul à partir d'un certain rang ; en question 7, c'est la suite des sommes partielles, et non la somme, qui admet un équivalent.

  4. 4
    Double passage à la limiteQuestions 10 et 11

    Les questions 10 et 11 demandaient de séparer l'évolution en n des bornes de celle du terme central, puis de faire tendre α et β vers 1 indépendamment de ε et n.

  5. 5
    Lois et indépendance mal comprisesQuestions 13 et 14

    L'égalité des lois se déduisait directement de la question 12 ; affirmer que les sommes partielles sont indépendantes valait zéro, il fallait réécrire l'événement et utiliser le lemme des coalitions.

  6. 6
    Hypothèses des théorèmes non vérifiéesQuestions 15 et 16

    Le système complet d'événements doit être justifié et la convergence absolue vérifiée avant un produit de Cauchy.

    « Les probabilités, pas plus que la géométrie, ne sont le domaine du « on voit bien que ». »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 3 est la mieux traitée du sujet (taux de succès de 88 %).
  • La question 12 est bien traitée dans l'immense majorité des copies (85 %).
  • Les questions 5 et 7 sont généralement bien traitées, ainsi que les questions 8 et 9 par ceux qui les ont abordées.

Conseils du jury

  • Garder sa lucidité sur les questions basiques : limites composées, linéarité, séries à support fini.
  • Vérifier les hypothèses des théorèmes en probabilités comme en algèbre ou en analyse.
  • Contrôler la vraisemblance des résultats : une probabilité est comprise entre 0 et 1 et l'intégrale d'une fonction positive est positive.
  • Ne pas s'attarder sur des justifications triviales au détriment de la gestion du temps.
  • Faire attention aux constantes de normalisation lors de la combinaison des résultats (question 19).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

CONCOURS 2016

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Mathématiques I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Marche aléatoire : retour à 0

A Préliminaire

  1. Montrer que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,
1/(√(1 − x)) = ∑_(k = 0)^∞(((2k)/k))/(4^k)x^k

B Identité de Karamata

On considère dans cette partie une suite réelle (a_k)_(k ∈ N) telle que, pour tout réel x ∈ ] − 1, 1[, la série de terme général a_k x^k converge absolument. Pour tout réel x ∈ ] − 1, 1[, on note f(x) la somme de cette série et l'on suppose que
lim_(x → 1^−)√(1 − x)f(x) = √π
  1. Pour tout p ∈ N, déterminer :
lim_(x → 1^−)√(1 − x)∑_(k = 0)^∞a_k x^((p + 1)k)
  1. Pour tout p ∈ N, justifier la convergence de l'intégrale
∫_0^(+ ∞)(e^(− (p + 1)t))/(√t)dt
et calculer sa valeur. En déduire l'égalité :
lim_(x → 1^−)√(1 − x)∑_(k = 0)^∞a_k x^((p + 1)k) = ∫_0^(+ ∞)(e^(− (p + 1)t))/(√t)dt
On admettra que ∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/(√t)dt = √π.
4. Montrer que, pour toute application polynomiale réelle Q, on a :
lim_(x → 1^−)√(1 − x)∑_(k = 0)^∞a_k x^k Q(x^k) = ∫_0^(+ ∞)(e^(− t)Q(e^(− t)))/(√t)dt
Soit h la fonction définie, pour tout x ∈ [0, 1], par :
h(x) = {0, si x ∈ [0, e^(− 1)[; 1/x, si x ∈ [e^(− 1), 1].
  1. Justifier la convergence de l'intégrale
∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/(√t)h(e^(− t))dt
et donner sa valeur.
6. Soit x ∈ [0, 1[. Justifier la convergence de la série de terme général a_k x^k h(x^k).
On admet l'égalité (dite de Karamata) :
lim_(x → 1^−)√(1 − x)∑_(k = 0)^∞a_k x^k h(x^k) = ∫_0^(+ ∞)(e^(− t)h(e^(− t)))/(√t)dt.
  1. En utilisant ce résultat pour x = e^(− 1/n), en déduire que
∑_(k = 0)^n a_k ∼ _(n → ∞)2√n.

C Théorème taubérien

On considère une suite (a_n)_(n ∈ N) décroissante de réels positifs et, pour tout entier naturel n, on pose : S_n = ∑_(k = 0)^n a_n. On fait l'hypothèse que
S_n ∼ _(n → ∞)2√n.
On va montrer qu'alors
a_n ∼ _(n → ∞)1/(√n).
On notera [x] la partie entière d'un réel x.
8. Soit α, β un couple de nombres réels vérifiant : 0 < α < 1 < β. Pour tout entier naturel n tel que n − [αn] et n − [βn] soient non nuls, justifier l'encadrement :
(S_([βn]) − S_n)/([βn] − n) ≤ a_n ≤ (S_n − S_([αn]))/(n − [αn])
  1. Soit γ un réel strictement positif. Déterminer les limites des suites de termes généraux
n/([γn]) et (S_([γn]))/(√n).
  1. Soit ε un réel strictement positif. Montrer que, pour tout entier naturel n assez grand, on a :
(2(√β − 1))/(β − 1) − ε ≤ √na_n ≤ (2(1 − √α))/(1 − α) + ε.
  1. En déduire que lim_(n → ∞)√na_n = 1.

D Marche aléatoire

On considère Ω = Z^(N^∗) l'ensemble des suites indexées par N^∗ à valeurs dans Z. On définit les applications coordonnées, pour tout i ≥ 1,
X_i : Ω, ⟶ Z; ω = (ω_1, ω_2, ⋯), ⟼ ω_i.
On admet que l'on peut construire une tribu B et une mesure de probabilité P sur Ω, de sorte que les X_i soient des variables aléatoires, indépendantes et de même loi donnée par
P(X_1 = 1) = P(X_1 = − 1) = 1/2
On définit la suite de variables aléatoires ( S_n, n ≥ 0 ) par
S_0(ω) = 0, S_n(ω) = ∑_(i = 1)^n X_i(ω)
On définit enfin la variable aléatoire T par
T : Ω, ⟶ N^∗^– = N^∗ ∪ { + ∞}; ω, ⟼ {+ ∞, si S_n(ω) ≠ 0, ∀n ≥ 1,; inf{n ≥ 1, S_n(ω) = 0}, s'il existe n ≥ 1 tel que S_n(ω) = 0.
Pour tout entier naturel n, on note E_n = {T > n}, pour n ≥ 1, A_n^n = {S_n = 0} et pour k ∈ {0, ⋯, n − 1},
A_k^n = {S_k = 0} ∩ ⋂_(i = k + 1)^n{S_i ≠ 0}.
Figure 1 - Notations. Ici ω commence par ( 1, 1, − 1, 1, − 1, − 1, − 1, 1, 1, − 1, 1 ). ω appartient à A_6^6 et A_8^8, ainsi qu'à A_0^1, A_0^2, …, A_0^5, A_6^7, etc.
  1. Montrer pour tout 1 ≤ k < n, pour tout (i_1, ⋯, i_(n − k)) ∈ { − 1, 1}^(n − k),
P(X_(k + 1) = i_1, ⋯, X_n = i_(n − k)) = P(X_1 = i_1, ⋯, X_(n − k) = i_(n − k)).
  1. Montrer pour tout 1 ≤ k < n, pour tout (j_1, ⋯, j_(n − k)) ∈ Z^(n − k) que
P(S_(k + 1) − S_k = j_1, ⋯, S_n − S_k = j_(n − k)) = P(S_1 = j_1, ⋯, S_(n − k) = j_(n − k)).
Indication : on pourra considérer l'application
θ : Z^(n − k), ⟶ Z^(n − k); (z_1, ⋯, z_(n − k)), ⟼ (z_1, z_1 + z_2, ⋯, ∑_(j = 1)^(n − k)z_j).
  1. En déduire que pour tout k ∈ {0, ⋯, n}
P(A_k^n) = P(S_k = 0)P(E_(n − k)).
  1. Montrer l'égalité :
1 = ∑_(k = 0)^n P(S_k = 0)P(E_(n − k))
  1. Pour tout réel x de ]0, 1[, établir l'égalité :
1/(1 − x) = (∑_(n = 0)^∞P(S_n = 0)x^n)(∑_(n = 0)^∞P(E_n)x^n)
  1. Pour tout entier naturel n, calculer P(S_n = 0).
Indication : on discutera suivant la parité de n.
18. En déduire que, pour tout x ∈ ]0, 1[, on a :
∑_(n = 0)^∞P(E_n)x^n = √((1 + x)/(1 − x))
  1. À l'aide des résultats obtenus dans les parties précédentes déterminer, quand l'entier naturel n tend vers l'infini, un équivalent de P(E_n).
  2. Montrer que l'on a: P(T = + ∞) = 0.
  3. Pour tout réel x ∈ [0, 1], prouver l'égalité :
1 − √(1 − x^2) = ∑_(n = 1)^∞P(T = n)x^n
  1. En déduire que, pour tout n ∈ N^∗,
P(T = 2n) = 1/(2n − 1)(((2n)/n))/(4^n)

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte l'épreuve de maths 1 PSI des Mines 2016 ?
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Sur quoi porte l'épreuve de maths 1 PSI des Mines 2016 ?

Sur la marche aléatoire symétrique et la loi du temps de retour en 0, avec en préparation des séries entières, une identité de Karamata et un théorème taubérien.

Quelles questions ont été les mieux réussies en maths 1 Mines PSI 2016 ?

D'après le rapport, la question 3 (88 % de taux de succès) et la question 12 (85 %), puis la question 5 (68 %). Les questions 20 à 22 ont été trop rarement abordées.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines PSI 2016 ?

Des questions simples manquées faute de lucidité (questions 2 et 4), une indépendance affirmée à tort en question 14, des hypothèses non vérifiées avant un produit de Cauchy et des probabilités négatives ou supérieures à 1.

Le sujet de maths 1 Mines PSI 2016 était-il difficile ?

Le jury n'y voyait pas de difficulté majeure, mais les résultats sont assez décevants : les questions techniques sont bien traitées, celles qui demandent un peu d'abstraction beaucoup moins.

Pas de description pour le moment