Mines Mathématiques 2 PSI 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Matrices quasi-nilpotentes : majoration de la dimension d'un sous-espace quasi-nilpotent par n(n-1)/2

Le sujet de mathématiques II du concours Mines-Ponts PSI 2016 étudie les sous-espaces vectoriels de matrices dont aucun élément n'a de valeur propre non nulle. Après des exemples (matrices symétriques, antisymétriques, triangulaires strictes) et le cas réel, il démontre un lemme des colonnes par un argument combinatoire sur les permutations, puis en déduit que la dimension d'un tel sous-espace est au plus n(n-1)/2.

1Partie A : exemplesMatrices quasi-nilpotentes en dimension 2, sous-espaces des matrices symétriques, antisymétriques et triangulaires supérieures strictes et leurs dimensions (questions 1 à 6).
2Partie B : cas réelMatrices symétriques réelles quasi-nilpotentes et majoration de la dimension par un argument de supplémentaire (questions 7 et 8).
3Partie C : lemme des colonnesRécurrence sur n, matrices de permutation, itérés d'une fonction sur un ensemble fini, écriture d'un algorithme et recherche d'une valeur propre (questions 9 à 19).
4Partie D : cas généralDémonstration de l'inégalité de dimension dans le cas général par récurrence (questions 20 à 22).

Difficulté moyenne. Le jury indique qu'une bonne note était possible en traitant correctement les deux premières parties, alors que la partie C, dont la question 17 n'a presque jamais été réussie, a été très sélective.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Sous-espaces et dimensions mal justifiés · Supplémentaire confondu avec complémentaire · Matrices symétriques complexes

L'épreuve testait l'algèbre linéaire des deux années de prépa ; la plupart des candidats ont abordé les questions 1 à 14 et les meilleurs tout le sujet. Les notions de matrices par blocs, de déterminant et de polynôme caractéristique sont maîtrisées, mais la logique et la rigueur font souvent défaut. Beaucoup n'ont pas saisi la structure du sujet, ni l'usage des exemples de la partie A.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Sous-espaces et dimensions mal justifiésQ3, Q4
Les preuves de sous-espace oublient une condition, les dimensions sont données par heuristique et des résultats hors programme PSI sont admis sans preuve ; voir une partie comme noyau ou image d'une application linéaire était la voie efficace.
2
Supplémentaire confondu avec complémentaireQ8
Beaucoup pensent qu'un sous-espace a un unique supplémentaire ou qu'un espace en somme directe avec les matrices symétriques est forcément inclus dans les antisymétriques.
« Cette question a mis en évidence de graves erreurs de raisonnement de la part des candidats. »
3
Matrices symétriques complexesQ7
Le cas complexe est presque jamais traité : trop de candidats pensent qu'une matrice symétrique complexe est diagonalisable malgré le contre-exemple de l'énoncé.
4
Question simple mal traitéeQ9
Le cas n = 1 du lemme des colonnes demandait seulement de remarquer qu'une matrice de taille 1 a pour valeur propre son coefficient.
« Le jury a été très surpris qu’une question aussi simple ait été aussi mal traitée par les candidats. »
5
Itérés d'une fonction non bijectiveQ17
Des candidats ont appliqué à tort le cours sur les orbites d'une permutation ; l'argument de finitude (lemme des tiroirs) n'apparaît presque jamais.
« Presque aucun candidat n’a réussi cette question. »
6
Grappillage sans les prérequisQ18, Q20
Traiter l'algorithme sans avoir fait la question précédente n'est pas récompensé, et le code proposé sans explication ne répond souvent pas à la question.

Ce qui a été bien réussi

La question 2 est correctement traitée en général.
À la question 1, les candidats qui ont calculé le polynôme caractéristique ont le plus souvent réussi.
À la question 10, bon nombre de candidats utilisent intelligemment le polynôme caractéristique.

Conseils du jury

Maîtriser parfaitement le cours et lire l'énoncé très attentivement, notamment les notations.
Chercher la structure de l'énoncé et utiliser les exemples traités pour écarter les idées fausses.
Vérifier la cohérence de chaque résultat avec ce qui a déjà été établi.
Préférer traiter à fond un nombre réduit de questions plutôt que survoler tout le sujet.
Distinguer une famille d'un ensemble lorsqu'on parle de base.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

A 2016 - MATH II PSI.

CONCOURS
COMMUN

MINES
PONTS

École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).

CONCOURS 2016

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours
Centrale-Supélec (Cycle international).

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

Mathématiques II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices quasi-nilpotentes

Notations

Dans tout le problème,

K

désigne

R

C

.
Étant donnés deux entiers naturels

n

p

non nuls, on note

M_(n, p)(K)

l'espace vectoriel des matrices à

n

lignes,

p

colonnes et à coefficients dans

K

, et

M_n(K)

celui des matrices carrées à

n

lignes et à coefficients dans

K

. Pour

i

j

dans

[ [1, n] ]

, on note

E_(i, j)

la matrice élémentaire de

M_n(K)

ayant exactement un coefficient non nul, situé en position

(i, j)

et de valeur 1. La transposée d'une matrice

M

sera notée

^t M

Une matrice carrée

A \in M_n(K)

est dite triangulaire supérieure stricte lorsqu'elle est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous nuls.

On note

S_n(K), A_n(K)

T_n^(+ +)(K)

les sous-ensembles de

M_n(K)

constitués, respectivement, des matrices symétriques, antisymétriques, et triangulaires supérieures strictes.

On rappelle la notation du symbole de Kronecker : pour

x

y

deux entiers,

δ_(x, y) = {1, si x = y; 0, sinon

Définition 1 Étant donné un entier naturel non nul n, un sous-espace vectoriel

V

M_n(K)

, et un élément

j

[ [1, n] ]

, on note

C_j(V)

l'ensemble des matrices de

V

dont toutes les colonnes sont nulles à l'exception éventuelle de la j-ième.

Pour toute matrice

M \in M_n(K)

avec

n ⩾ 2

, on notera

K(M) \in M_(n - 1)(K)

R(M) \in M_(n - 1, 1)(K), L(M) \in M_(1, n - 1)(K)

a(M) \in K

la décomposition de

M

en blocs suivante:

M = [K(M), R(M); L(M), a(M)].

On a en particulier défini des fonctions

K : V \to M_(n - 1)(K)

L : V \to M_(1, n - 1)(K)

, évidemment linéaires.

Objectifs

Définition 2 Soit

A

une matrice de

M_n(K)

. On dit que

A

est quasi-nilpotente lorsqu'elle ne possède aucune valeur propre non nulle dans

K

. Une partie

V

M_n(K)

est dite

quasi

-nilpotente lorsque tous ses éléments sont quasi-nilpotents.

On se propose d'étudier les sous-espaces vectoriels quasi-nilpotents de

M_n(K)

. En particulier, le résultat principal que nous souhaitons établir s'énonce comme suit :

Théorème (Dimension des espaces quasi-nilpotents) Pour tout sous-espace vectoriel quasi-nilpotent

V

M_n(K)

, on a

dimV ⩽ (n(n - 1))/2.

La clé pour démontrer ce résultat réside dans le lemme suivant, démontré dans la partie C.

Lemme (Lemme des colonnes) Pour tout sous-espace vectoriel

V

M_n(K)

, quasi-nilpotent, il existe un élément

j

[ [1, n] ]

tel que

C_j(V) = {0}

A Exemples

Dans cette partie,

n

désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

Montrer que la matrice $D = [0, - 1; 1, 0]$ est quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(R)$ . Est-elle quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(C)$ ?
Montrer que la matrice $B = [1, i; i, - 1]$ est quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(C)$ .
Montrer que $S_n(K), A_n(K)$ et $T_n^(+ +)(K)$ sont des sous-espaces vectoriels de $M_n(K)$ . Montrer que la dimension de $S_n(K)$ est $n(n + 1)/2$ .
Montrer que $T_n^(+ +)(K)$ est quasi-nilpotent dans $M_n(K)$ . Vérifier que

dimT_n^(+ +)(K) = (n(n - 1))/2.

Soit $A \in A_n(R)$ . Montrer que pour tout $X \in M_(n, 1)(R), ^t XAX = 0$ . En déduire que $A_n(R)$ est quasi-nilpotent dans $M_n(R)$ .
Montrer qu'il n'existe pas de matrice inversible $P \in GL_n(R)$ telle que :

A_n(R) = {PMP^(− 1)|M ∈ T_n^(+ +)(R)}.

Indication : on pourra commencer par étudier le cas

n = 2

, en utilisant par exemple la matrice

D

introduite à la question 1 .

B Cas réel

Dans cette partie,

n

désigne un entier naturel non nul.
7. Déterminer l'ensemble des matrices de

S_n(R)

qui sont quasi-nilpotentes dans

M_n(R)

. Le résultat obtenu tient-il si l'on remplace

R

par

C

?
8. Soit

V

un sous-espace vectoriel de

M_n(R)

, quasi-nilpotent dans

M_n(R)

. Déduire de la question précédente que :

dimV ⩽ (n(n - 1))/2

C Lemme des colonnes

On se propose ici de démontrer le lemme des colonnes par récurrence sur l'entier

n

.
9. Justifier que le lemme des colonnes est vrai dans le cas

n = 1

Dans la suite, on fixe un entier naturel

n ⩾ 2

et on suppose le lemme des colonnes vrai pour l'entier

n - 1

. On se donne un sous-espace vectoriel quasinilpotent

V

M_n(K)

. On raisonne par l'absurde en supposant que

C_j(V) ≠ {0}

pour tout

j \in [ [1, n] ]

. On introduit le sous-ensemble

V^'

V

constitué de ses matrices de dernière colonne nulle. Toute matrice

M

V^'

s'écrit donc par blocs
comme suit :

M = [0; K(M), ⋮; 0; L(M), 0]

Montrer que l'ensemble $K(V^′) = {K(M)|M ∈ V^′}$ est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de $M_(n - 1)(K)$ .
En déduire qu'il existe un entier $j \in [ [1, n - 1] ]$ tel que $E_(n, j) \in V$ .

Soit

σ

une bijection de

[ [1, n] ]

dans lui-même. Soit

(e_1, \dots, e_n)

la base canonique de

K^n

. On considère l'application linéaire

u_σ

K^n

dans

K^n

définie sur la base canonique par

u_σ(e_j) = e_(σ(j)) pour tout j \in [ [1, n] ].

On considère la matrice

P_σ

M_n(K)

P_σ = (δ_(i, σ(j)))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

Vérifier que $u_σ$ est inversible et préciser son inverse.
Vérifier que $P_σ$ est la matrice de $u_σ$ dans la base canonique de $K^n$ . Montrer que $P_σ$ est inversible et préciser les coefficients de son inverse.
Pour $M \in M_n(K)$ , préciser les coefficients de $P_σ^(- 1)MP_σ$ en fonction de ceux de $M$ et de $σ$ .

On pourra utiliser un changement de base.
15. Montrer que l'ensemble

V^σ = {P_σ^(− 1)MP_σ|M ∈ V}

est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de

M_n(K)

et que

C_j(V^σ) ≠ {0}

pour tout

j \in [ [1, n] ]

.
16. En déduire que pour tout

j \in [ [1, n] ]

on peut choisir un

f(j) \in [ [1, n] ]∖{j}

tel que

E_(j, f(j)) \in V

. On obtient ainsi une fonction

f : [ [1, n] ] \to [ [1, n] ].

En considérant les images successives de 1 , montrer qu'il existe une suite finie $(j_1, \dots, j_p)$ d'éléments deux à deux distincts de $[ [1, n] ]$ telle que

\forallk \in [ [1, p - 1] ], f(j_k) = j_(k + 1) et f(j_p) = j_1.

Ecrire un algorithme qui permette d'identifier une telle suite connaissant les valeurs de $f$ .
Démontrer que 1 est valeur propre de la matrice $N = \sum_(k = 1)^p E_(j_k, f(j_k))$ , et conclure.

D Cas général

On va ici prouver l'inégalité ( QN ) par récurrence sur

n

. Le cas

n = 1

est trivialement vrai. On fixe donc un entier naturel

n ⩾ 2

et on suppose l'inégalité (QN) établie au rang

n - 1

. Soit

V

un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de

M_n(K)

On rappelle qu'on peut écrire toute matrice

M

M_n(K)

, et en particulier de

V

, sous la forme (1) et qu'en particulier, les applications

K : V \to M_(n - 1)(K)

L : V \to M_(1, n - 1)(K)

sont linéaires. On introduit le sous-espace vectoriel

W = {M \in V|L(M) = 0}.

Jusqu'à la question 21 incluse, on suppose que

C_n(V) = {0}

.
20. Montrer que

: dimV ⩽ dimK(W) + (n - 1)

.
21. En déduire que :

dimV ⩽ (n(n - 1))/2

On ne suppose plus désormais que

C_n(V) = {0}

.
22. Démontrer que :

dimV ⩽ (n(n - 1))/2

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines PSI 2016 ?

Sur les matrices quasi-nilpotentes : le but est de montrer qu'un sous-espace de matrices sans valeur propre non nulle est de dimension au plus n(n-1)/2, à l'aide d'un lemme des colonnes.

Quels chapitres réviser pour le sujet Mines-Ponts maths II PSI 2016 ?

L'algèbre linéaire des deux années : dimension, sommes directes, matrices par blocs, polynôme caractéristique, théorème spectral et matrices de permutation, avec une question d'algorithmique.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 Mines PSI 2016 ?

Des preuves de sous-espace et de dimension incomplètes (Q3, Q4), la confusion entre supplémentaire et complémentaire (Q8), un cas n = 1 mal traité (Q9) et l'absence d'argument de finitude (Q17).

Faut-il finir le sujet maths 2 Mines PSI 2016 pour avoir une bonne note ?

Non. Le jury précise qu'on pouvait obtenir une bonne note en traitant correctement les deux premières parties.

Pas de description pour le moment

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