Mesures de champs magnétiques : balance de Cotton, boussole, sonde à effet Hall et magnétorésistance
Afficher ou masquer la section
Le problème étudie quatre méthodes de mesure de champ magnétique. La balance de Cotton, historique, montre les limites de précision liées à l'incertitude sur une masse. L'étude d'une boussole permet de remonter au champ magnétique terrestre. Une sonde à effet Hall est ensuite étudiée avec son électronique d'amplification, avant une magnétorésistance dont la précision se révèle insuffisante.
1I. La balance de CottonÉquilibre des fléaux, moment des forces de Laplace et limite de précision de la mesure de champ magnétique liée à la sensibilité de la balance.
2II. Utilisation d'une boussoleÉquation différentielle du mouvement de l'aiguille aimantée, mesure du rapport gyromagnétique par bobines de Helmholtz, puis détermination du champ magnétique terrestre à Paris.
3III. Utilisation d'une sonde à effet HallPrincipe de la tension de Hall dans une plaquette semi-conductrice, puis conception du circuit électronique d'amplification (source de courant, amplificateur différentiel, montage suiveur).
4IV. Utilisation d'une magnétorésistanceModèle de Drude du conducteur cylindrique en champ magnétique et calcul de l'écart relatif de résistance induit par ce champ.
Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet bien construit et les copies plutôt soignées, mais déplore que l'homogénéité des résultats ne soit pas systématiquement vérifiée et que l'équation de l'oscillateur harmonique soit mal reconnue par un grand nombre de candidats.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Calcul du moment des forces de Laplace mal maîtrisé · Équation de l'oscillateur harmonique non reconnue · Commentaire des résultats aberrants pas systématique
Afficher ou masquer la section
Le sujet, qui couvre mécanique, électromagnétisme et électronique, est jugé bien construit par le jury. Les copies sont dans l'ensemble bien présentées et les parties non traitées dans l'ordre sont clairement indiquées. Le jury regrette cependant un manque de vérification d'homogénéité et une méconnaissance des ordres de grandeur des champs magnétiques usuels.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Calcul du moment des forces de Laplace mal maîtriséQ2, Q3
Si l'expression de la force de Laplace est bien connue, le calcul du moment associé pose davantage de difficultés.
« L'expression de la force de Laplace est bien connue »
2
Équation de l'oscillateur harmonique non reconnueQ5
De nombreux candidats ne reconnaissent pas l'équation différentielle de l'aiguille aimantée comme celle d'un oscillateur harmonique et oublient d'étudier la stabilité des positions d'équilibre.
« Cette question a été bien souvent mal traitée »
3
Commentaire des résultats aberrants pas systématique
Peu de candidats ont le réflexe de commenter un résultat numérique manifestement incohérent, alors que certains le font avec pertinence.
« Certains candidats ont le (bon) réflexe de commenter leur résultat lorsque celui-ci semble aberrant »
4
Montage suiveur non identifiéQ19
De nombreux candidats ne reconnaissent pas la configuration en montage suiveur de l'amplificateur opérationnel.
« De nombreux candidats n'ont pas su reconnaître un montage suiveur »
5
Étude des invariances et symétries négligéeQ23
Ce préalable indispensable à tout calcul de champ électrique ou magnétique est trop souvent oublié, conduisant à des raisonnements faux sur la magnétorésistance.
« Il convient de rappeler que l'étude des invariances et symétries est un préalable à tout calcul de champ électrique ou magnétique »
6
Homogénéité des résultats insuffisamment vérifiée
Le jury juge inadmissible que l'homogénéité des expressions obtenues ne soit pas systématiquement contrôlée par les candidats.
« il est inadmissible que l'homogénéité des expressions obtenues ne soit pas systématiquement vérifiée »
Ce qui a été bien réussi
L'expression de la force de Laplace est bien connue des candidats.
Certains candidats ont le bon réflexe de commenter leur résultat lorsque celui-ci semble aberrant, même si ce n'est pas systématique.
De nombreux candidats ont su calculer l'expression du gain de l'amplificateur différentiel.
Conseils du jury
Vérifier systématiquement l'homogénéité de chaque expression obtenue.
Connaître les ordres de grandeur typiques des champs magnétiques pour commenter les résultats numériques de façon pertinente.
Reconnaître les équations classiques du cours (oscillateur harmonique, montages à amplificateur opérationnel) pour aller plus vite et éviter les erreurs.
Toujours étudier les invariances et symétries avant tout calcul de champ électrique ou magnétique.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Sujet mis à la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours
Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Mesures de champs magnétiques
Dans ce problème sont abordées quelques méthodes de mesure de champs magnétiques, permanents ou éventuellement lentement variables dans le temps. Les vecteurs seront traditionnellement surmontés d'une flèche, par exemple B⃗ pour le champ magnétique; sauf s'ils sont unitaires et seront alors surmontés d'un chapeau, par exemple uˆ tel que ‖uˆ‖ = 1. Le référentiel terrestre sera considéré comme galiléen. On rappelle que μ_0 = 4π × 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1).
I. - La balance de Cotton
La photo d'un modèle de balance de Cotton est placée ci-contre. Ce type de balance, destinée à la mesure de champ magnétique, a été mis au point par Aimé Cotton en 1900. Elle est constituée de deux fléaux. L'un, à gauche, comprend sur sa périphérie, un conducteur métallique qui sera parcouru par un courant et dont une partie sera placée dans le champ magnétique, uniforme et permanent, à mesurer. Le conducteur sera soumis à des forces de Laplace et la balance penchera du côté de ce fléau. L'autre comporte
un plateau sur lequel on peut déposer des masses marquées pour équilibrer la balance et déduire ainsi la norme du champ magnétique. Le schéma de principe de la balance est représenté sur la figure 1.
Figure 1 - Schéma de principe de la balance
Sur le fléau dessiné à gauche, les conducteurs permettent le passage d'un courant d'intensité i, selon le parcours A_1 → A_2 → A_3 → A_4 → A_5 → A_6. Les portions de circuit A_2 A_3 et A_4 A_5 sont des arcs de cercle de même centre O. L'ensemble des deux fléaux constitue un système rigide, mobile sans frottement, autour d'un axe horizontal passant par le point O et noté Oz. On désigne par C le milieu du segment A_3 A_4 et D le point de suspension du plateau. On note d_1 la distance OC entre les points O et C, d_2 la distance OD entre les points O et D et ℓ la longueur du segment A_3 A_4.
La procédure de mesure est la suivante :
Équilibrage ≪ à vide ≫ : en l'absence de courant i et de masses marquées dans le plateau, le contrepoids 𝒞 est déplacé de façon à ce que la balance soit à l'équilibre, les trois points C, O et D étant alignés sur l'horizontale.
Mesure du champ : on ferme le circuit électrique, ce qui permet au courant d'intensité i de circuler ≪ dans la balance ≫, le fléau de gauche penche vers le bas; on ajoute alors des masses dans le plateau jusqu'à ce que la balance soit à l'équilibre, les trois points C, O et D étant alignés sur l'horizontale.
1 - Montrer que, lorsque l'équilibrage à vide est réalisé, le centre de masse, G, des parties mobiles de la balance est situé en O.
2 - Lorsque le courant circule ≪ dans la balance ≫, montrer que le moment résultant en O des forces de Laplace s'exerçant sur les parties en arc de cercle est nul.
3 - A l'équilibre, en présence de courant et de champ magnétique, établir l'expression du moment en O des forces de Laplace. En déduire la relation liant B = ‖B⃗‖, la somme m des masses marquées posées sur le plateau, i, ℓ, d_1, d_2 et le module g du champ de pesanteur g⃗.
4 - La sensibilité de la balance étant de δ_m = 0, 05 g, déterminer la plus petite valeur de B mesurable pour i = 10 A, g = 10 m ⋅ s^(− 2), ℓ = 5 cm et d_1 = d_2 = 10 cm. En comparant cette valeur avec une ou des références connues, conclure quant à l'utilisabilité de la balance.
FIN DE LA PARTIE I
II. - Utilisation d'une boussole
II.A. - Etude générale
Dans cette partie on utilise une boussole constituée d'une aiguille aimantée mobile, présentant un axe de symétrie
Figure 2 - La Boussole
longitudinal. Cette aiguille peut pivoter sans frottement autour d'un axe passant par son centre de masse G et perpendiculaire à l'axe de symétrie. La liaison avec l'axe est du type ≪ pivot parfait ≫ sans frottement. Cette aiguille aimantée se comporte comme un dipôle magnétique de moment magnétique ℳ^(→−)_m ayant la direction de l'axe de symétrie de celle-ci.
Cette boussole est placée dans un champ magnétique B⃗, permanent et localement uniforme (il est considéré comme uniforme tout le long de l'aiguille aimantée). Les forces magnétiques soumettent la boussole à un couple Γ⃗ = ℳ_m^(→−) ∧ B⃗. On note J le moment d'inertie de l'aiguille aimantée par rapport à l'axe de rotation. Dans un premier temps nous allons étudier les petits mouvements de l'aiguille autour de sa position d'équilibre stable, en négligeant les frottements fluides dus à l'air. Le champ magnétique et l'axe de symétrie de l'aiguille sont dans un plan horizontal. On appelle α l'angle entre la direction de B⃗ et celle de ℳ_m^(→−).
5 - Après avoir exprimé le couple des forces magnétiques s'exerçant sur l'aiguille en fonction des paramètres du problème que sont B = ‖B⃗‖, ℳ_m = ‖ℳ_m^(→−)‖ et α, établir l'équation différentielle dont α est solution. En déduire les positions d'équilibres de l'aiguille, et indiquer sans calcul l'équilibre stable. En supposant α≪1, donner l'expression de α(t) en notant α_0 la valeur maximale de cet angle, en faisant apparaître le rapport κ = (ℳ_m)/J et en supposant que (dα)/(dt)|_(t = 0) = 0rad ⋅ s^(− 1).
On cherche à mesurer le rapport κ. Pour cela on mesure la période des petites oscillations de l'aiguille aimantée placée dans un champ magnétique uniforme connu, créé par des bobines de Helmholtz.
Les bobines de Helmholtz sont constitués de deux bobines plates, c'est-àdire d'épaisseurs négligeables, identiques et équidistantes. Chacune d'entre elles comprend N spires circulaires de rayon R, parcourues par le même courant d'intensité I et dont le sens est indiqué sur la figure 3. Ces deux bobines sont distantes de d = R. L'axe Ox de révolution des spires a pour origine le point O tel que les bobines soient équidistantes de celui-ci. On montre qu'en un point M situé à l'abscisse x, sur l'axe Ox, le champ magnétique B⃗(x) créé par les bobines s'écrit
◻6 - La quantité B_0 = ‖B⃗_0‖ s'exprime en fonction de μ_0, R et I. Par comparaison avec d'autres champs magnétiques, choisir en justifiant précisément ce choix, l'expression de B_0 parmi les suivantes :
Dans quelle zone située sur l'axe Ox, peut-on considérer que la variation relative de la norme du champ est inférieure à 2% ? Préciser la valeur numérique de cette norme sachant que N = 50 spires et I = 4 A ?
8 - La valeur mesurée de la période des petites oscillations de l'aiguille aimantée est T = 0, 30 s. Déterminer l'unité et calculer la valeur numérique du rapport κ pour cette boussole.
II.B. - Applications au champ magnétique terrestre
On se place à Paris dont l'altitude ( 42 m ) est négligeable devant le rayon terrestre R_T = 6400 km , la longitude est φ = 2^∘21^′ et la latitude λ = 48^∘52^′ nord. On rappelle que la latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et le rayon terrestre passant par le point considéré. On effectue deux mesures avec la boussole précédemment calibrée :
Quand l'axe de la boussole est vertical, la période des petites oscillations est de T = 2, 31 s.
Quand l'axe de la boussole est horizontal, à l'équilibre, et que l'axe de symétrie de l'aiguille aimantée est dirigé selon le champ magnétique local vers le pole nord magnétique terrestre, l'aiguille fait un angle i = 64^∘0^′ avec l'horizontale locale.
On suppose que le champ magnétique terrestre est celui d'un dipôle magnétique de moment ℳ^(→−)_T placé au centre de la terre, dont la direction est celle d'un axe ( O, uˆ_z ) passant par les deux pôles magnétiques et orienté du nord vers le sud.
On indique qu'un dipôle magnétique situé en l'origine O du référentiel considéré, d'axe ( O, uˆ_z ) et de moment ℳ^(→−) = ℳuˆ_z, crée en un point M éloigné de O et de coordonnées sphériques
( r, θ, φ ) un champ magnétique
B⃗(M) = (μ_0 ℳ)/(4πr^3)(2cosθuˆ_r + sinθuˆ_θ)
Dans le système de coordonnées sphériques adapté à la géométrie du champ magnétique terrestre, l'angle θ = 0 indique la direction du pôle sud magnétique et φ correspond à une longitude.
9 - Après avoir fait un schéma représentant ℳ^(→−)_T ainsi que le vecteur B⃗(M), les angles i et θ si le point M est la ville de Paris, déduire des mesures effectuées la coordonnée θ de cette ville. Que peut-on en conclure concernant l'axe de symétrie du champ magnétique terrestre et l'axe de rotation de la terre?
10 - En indiquant les arguments utilisés, déduire des mesures effectuées et du résultat de la question 8 , l'intensité du champ magnétique terrestre à Paris. Calculer alors ℳ_T = ‖ℳ_T^(→−)‖.
FIN DE LA PARTIE II
III. - Utilisation d'une sonde à effet Hall
L'élément principal d'une sonde à effet Hall est une plaquette constituée d'un semi-conducteur, dopé N, dans laquelle les porteurs de charges libres sont des électrons, dont la charge est q = − e = − 1, 6 × 10^(− 19)C.
La densité volumique de ces électrons dans cette plaquette est n = 3, 30 × 10^(18) m^(− 3).
Cette plaquette possède la forme d'un parallélépipède, dont les six faces sont numérotées conformément à la figure 4 , ses dimensions sont a = 3 mm, b = 6 mm et c =
Figure 4 - Plaquette de semi-conducteur
0, 2 mm. Les faces 1 et 3 sont reliées aux bornes d'une source de courant idéale, délivrant un courant d'intensité I_0 = 10 mA constante. En régime permanent, on peut considérer que les lignes de courant sont rectilignes et parallèles, le vecteur densité volumique de courant est uniforme et s'écrit j⃗ = juˆ_x.
11 - Établir l'expression de la vitesse v⃗ des porteurs de charge et calculer sa norme.
La plaquette est placée dans une zone de l'espace où règne un champ magnétique considéré comme constant, tel que B⃗ = Buˆ_y avec B > 0.
12 - Après avoir exprimé la force magnétique s'exerçant sur une charge mobile, justifier que des densités surfaciques de charge apparaissent sur les faces 2 et 4 . On précisera les signes de ces densités.
Ces densités surfaciques de charges créent un champ électrique E⃗_h = E_h uˆ_z au sein de la plaquette. En régime permanent, la vitesse des porteurs de charge reste inchangée.
13 - En appliquant le principe fondamental de la mécanique à un porteur de charge en projection sur uˆ_z, déterminer l'expression de E_h. Montrer qu'il apparait une différence de potentiel u_h = V_4 − V_2 entre les faces 4 et 2 . Celle-ci est appelée tension de Hall, on l'écrira sous la forme u_h = γB en précisant l'expression et la valeur numérique de la constante γ.
La création de la source de courant nécessite un circuit électronique de commande. Les tensions de Hall étant souvent très faibles, on doit les amplifier à l'aide d'un circuit électronique de mesure. Le circuit de commande comprend un circuit intégré, nommé régulateur de tension, ayant trois broches, notées : e (entrée), s (sortie) et c (commun). La tension u = V_s − V_c est constante et sa valeur est fixée à u = 5 V. La tension
Figure 5 - Source de courant idéale
d'alimentation est V_(cc) = 9V. L'intensité I_c du courant entrant en c, est contrôlée à la valeur I_c = 10nA. Le dipôle AM ainsi réalisé est représenté sur la figure 5 .
14- Pour quelle valeur de la résistance R le dipôle AM se comporte-t-il comme une source de courant idéale, délivrant un courant I_0 = 10 mA ?
Le premier amplificateur de mesure que l'on pourrait envisager pourrait être constitué d'un amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal utilisé en montage non inverseur conformément à la figure 6. L'entrée e_+est reliée à la face 4 , la masse M est reliée à la face 2.
15- Montrer que l'utilisation du montage de la figure 6 associé à celui de la figure 5 peut poser des problèmes de référence de potentiel.
On modifie le circuit de mesure en utilisant un amplificateur
Figure 6 - Montage non inverseur
différentiel représenté sur la figure 7, qui utilise un ALI, supposé idéal et en fonctionnement linéaire. Les courants sur les deux entrées sont nuls et ses deux entrées sont au même potentiel.
16- Montrer que le problème rencontré à la question 15 est résolu par l'utilisation d'un amplificateur différentiel. Établir la relation entre u_s et u_h = V_4 − V_2. A quelle condition sur R_2 et R_1 la tension de Hall est elle amplifiée?
Figure 7 - Amplificateur différentiel
17 - Établir l'expression de la résistance d'entrée sur la face 4 . Quel problème pose le résultat obtenu?
Afin de pallier ce problème, on utilise le montage de la figure 6 dans un cas limite.
18 - Établir l'expression de la résistance d'entrée et du gain en tension A = (u_s)/(u_e) pour le montage de la figure 6.
19-Dans quelle limite peut-on se placer en ce qui concerne les valeurs de R et de R^′ pour résoudre le problème soulevé à la question 17. Comment s'appelle le montage de la figure 6 dans cette limite.
20 - Représenter le montage complet incluant la plaquette semi-conductrice et l'électronique qui permet la mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre. On placera cette composante sur la figure qui utilisera entre autres 5 résistances et 3 ALI. ◻21 - On choisit R_1 = 100Ω et R_2 = 1kΩ. On obtient alors u_s = 20, 0mV, quelle est la valeur de cette composante?
On veut maintenant vérifier l'influence du champ magnétique propre B⃗_0 créé par le courant I_0. Pour cela on adopte un modèle simplifié dans lequel la plaquette est supposée infiniment longue dans les directions uˆ_x et uˆ_z uniquement. Le semi-conducteur est supposé avoir la même perméabilité μ_0 que le vide.
22 - Déterminer, dans ce modèle, la direction de B⃗_0 ainsi que les variables spatiales du problème dont ce champ ne dépend pas. A l'intérieur de la plaquette où la variable y ∈ [ − c/2, c/2], écrire la ou les équations différentielles dont les composantes de B⃗_0 sont solutions. En déduire l'expression de B⃗_0. Calculer la valeur maximale de la norme de ce champ. Dans la mesure du champ terrestre, pouvait-on négliger l'influence de B⃗_0 ?
FIN DE LA PARTIE III
IV. - Utilisation d'une magnétorésistance
On considère un conducteur électrique se présentant sous la forme d'une couronne cylindrique d'axe Oz, de hauteur h, délimitée par un cylindre intérieur de rayon r_1 et par un cylindre extérieur de rayon r_2. À l'aide d'une source de tension on impose les potentiels V(r_1) = V_1 et V(r_2) = V_2. On se place en régime permanent et on néglige les effets de bord, ce qui revient à supposer que le comportement de cette couronne est le même que si elle était infiniment haute. L'existence de deux équipotentielles cylindriques permet d'émettre l'hypothèse que le potentiel ne dépend que de r, ainsi
V = V(r), ΔV(r) = 1/rd/(dr)(r(dV)/(dr)) et gradV(r) = (dV)/(dr)uˆ_r.
◻23 - Le conducteur est globalement non chargé, vérifier que l'hypothèse V = V(r) est la seule possible. Déterminer le potentiel électrique en un point M de ce conducteur. En déduire l'intensité E du champ électrique E⃗ en ce même point en fonction de V_1, V_2, r_1, r_2 et r.
La couronne cylindrique est placée dans un champ magnétique B⃗ = Buˆ_z avec B > 0. Le conducteur contient n électrons libres par m^3. On considère de plus le modèle de Drude dans lequel chaque électron de vitesse v⃗ est soumis, en plus des forces électromagnétiques, à une force de frottement s'exprimant sous la forme F⃗ = − λv⃗ avec λ > 0.
24 - Pour chaque électron, établir, en régime permanent, la relation entre v⃗, B⃗ et E⃗ paramétrée par λ et la charge élémentaire e. En déduire l'expression, dans la base cylindrique ( uˆ_r, uˆ_θ, uˆ_z ), des coordonnées de v⃗ en fonction de e, λ, E et B puis celles du vecteur densité volumique de courant j⃗.
25 - Exprimer l'intensité du courant électrique traversant une surface équipotentielle de rayon r. En déduire la résistance électrique R de la couronne, en fonction de e, n, λ, B, h, r_1 et r_2. On note R_0 la résistance en l'absence de champ magnétique. Exprimer l'écart relatif ε = (R − R_0)/(R_0) en fonction de e, B et λ. Calculer la valeur numérique de R_0 ainsi que celle de ε pour B = 1, 0mT, r_1 = 1, 0 mm, r_2 = 3, 0 mm, h = 1, 0 mm, n = 1, 1 × 10^(21) m^(− 3) et λ = 1, 8 × 10^(− 17) kg ⋅ s^(− 1). Commenter l'utilisation du phénomène pour la mesure de champs magnétiques.
FIN DE LA PARTIE IV
FIN DE L'ÉPREUVE
Questions fréquentes
4 questions
Le sujet Mines physique 2 PSI 2016 porte-t-il sur la mesure de champs magnétiques ?
Afficher ou masquer la section
Le sujet Mines physique 2 PSI 2016 porte-t-il sur la mesure de champs magnétiques ?
+
Oui, il étudie quatre méthodes : la balance de Cotton, la boussole, la sonde à effet Hall et la magnétorésistance.
Le sujet Mines physique 2 PSI 2016 est-il difficile ?
+
Le jury le juge bien construit et les copies plutôt soignées, mais regrette un manque de vérification d'homogénéité et une méconnaissance de l'oscillateur harmonique par de nombreux candidats.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mines physique 2 PSI 2016 ?
+
Un calcul du moment des forces de Laplace mal maîtrisé, une équation de l'oscillateur harmonique non reconnue, un montage suiveur non identifié et un manque d'étude des invariances et symétries.
Faut-il bien connaître l'effet Hall pour ce sujet Mines PSI physique 2 2016 ?
+
Oui, la partie III étudie en détail le principe de la tension de Hall dans une plaquette semi-conductrice et l'électronique d'amplification associée.
Pas de description pour le moment
Commentaires• Mines Physique 2 PSI 2016
Connectez-vous pour participer aux discussions
Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté
Même année, X-ENSX ENS Physique PSI 2016X-ENS · 2016Corrigé
Même chapitre : Oscillateur harmonique et…ENS Physique PSI 2017, épreuve UENS · 2017Corrigé.jpg)
.jpg)
.jpg)
