Mines Physique 2 PSI 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

• Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
• Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

MACHINES À ÉCOULEMENT PERMANENT

I. - Dimensionnement d'une installation de liquéfaction

Figure 1 - Schéma de principe d'une installation de liquéfaction de diazote

• la température du diazote ne doit, en aucun point du dispositif, dépasser T_(max) = 400 K;
• la température de l'eau de refroidissement ne doit pas dépasser T_(max)^′ = 350 K en sortie des réfrigérants (R).
  Le diazote gazeux est diatomique, sa masse molaire vaut M = 28, 0 × 10^(− 3) kg ⋅ mol^(− 1). On notera h_K son enthalpie massique en un point K du schéma de la figure 1 .
  La constante molaire des gaz parfaits est R = 8, 31 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1).

I.A. - Dimensionnement des étages de compression

I.B. - Diagramme enthalpique du diazote

• 4 - Identifier la grandeur conservée le long de la courbe 𝒞_1. En justifiant votre réponse, déterminer l'asymptote de cette courbe à basse pression.
• 5 - Identifier la grandeur conservée le long de la courbe 𝒞_2. Justifier le sens de variation de cette courbe.
• 6 - Identifier et nommer les états possibles du diazote sur la courbe 𝒞_3.
• 7 - Identifier la grandeur conservée le long de la courbe 𝒞_4. On considère la transformation amenant le diazote de l'état représenté par le point M_1 à celui représenté par le point M_2 suivant le segment [M_1 M_2]. Décrire l'état du diazote en M.

I.C. - Dimensionnement de l'échangeur ( E )

• 9 - Le réservoir utilisé en sortie de l'appareil fonctionne aussi en régime permanent; relier x, D et D_m puis x, D^′ et D.

• 11 - En exploitant le diagramme enthalpique du diazote fourni en annexe, déterminer les valeurs de h_A, h_E, h_(liq) et h_(vap). Évaluer x avec 2 chiffres significatifs. Quelle valeur aurait-on obtenue en considérant que le diazote gazeux vérifie la loi des gaz parfaits?

• 13 - La production de diazote liquide s'effectue avec un débit D_m = 3, 0 × 10^(− 2) kg. s^(− 1). Dans le cadre du modèle du gaz parfait, évaluer la puissance mécanique qui est nécessaire au fonctionnement de l'ensemble des N compresseurs (C). Comparer votre résultat à la citation suivante, publiée lors de l'exposition universelle de 1900 : Nous avons immédiatement décrit le principe de l'appareil de M. le Dr. Carl Linde; quelques mois plus tard, M. le Dr. d'Ar-
  

  

  
  sonval faisait installer dans son laboratoire du Collège de France une petite machine de 3 chevaux destinée à fournir un litre d'air liquide par heure. L'illustration ci-dessus accompagnait l'article cité.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Roue-vanne de Sagebien

Rous Sagebier - Dispositions généralis.

Figure 3 - Roue-vanne de Sagebien

Figure 4 - Tore à section rectangulaire

II.A. - Étude dynamique du mouvement de la roue-vanne.

• 14 - Déterminer le débit massique D_m d'eau qui traverse le dispositif. Expliciter la vitesse angulaire ω de la roue en fonction de v et des paramètres géométriques décrivant la roue-vanne.
  ◻15 - Quelle relation faut-il imposer entre R, R^′ et h_0 pour que la vitesse v de l'eau soit égale à la vitesse moyenne des points d'une pale de la roue? On se placera dans ce cas dans la suite. Déterminer les valeurs de h_0 et R^′ si D_m = 3, 6 × 10^3 kg ⋅ s^(− 1), d = 1, 40 m, R = 11, 0 m et v = 0, 60 m ⋅ s^(− 1).
  ◻16 - Déterminer les relations donnant les champs de pression en amont de la roue p_1(z) et en aval de celle-ci p_2(z) en fonction des données.

• 17 - Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur une pale inactive. Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur la pale active. Déterminer le moment M = Me_x des forces de pression exercées sur l'ensemble de la roue.
• 18 - Comment ce résultat est-il modifié si les diverses pales séparent la zone d'écoulement en volumes à pression constante et régulièrement décalées : p_1(z) = p_a > p_b > p_c > p_d > p_e > p_f = p_2(z).
• 19 - Application numérique : on donne H = 3, 0 m et g = 9, 80 m ⋅ s^(− 2). Déterminer le couple Γ exercé par la roue-vanne sur son axe de rotation.
• 20 - Déduire de vos connaissances personnelles une évaluation de l'ordre de grandeur du couple moteur nominal développé par une automobile courante, et le comparer à Γ.
  À titre documentaire, on rappelle qu'un ≪ cheval-vapeur ≫ ou hp vaut 1hp ≃ 0, 74 kW.

II.B. - Bilans énergétiques de fonctionnement.

• 21 - Quelle est la puissance P des forces mécaniques exercées sur la roue par l'eau? Commenter l'ordre de grandeur obtenu.
  On considère le système 𝒮 constitué par l'eau contenue entre deux sections droites du canal, l'une située en amont de la roue et l'autre en aval.
• 22 - Déduire d'un bilan d'énergie appliqué à 𝒮, l'expression de la puissance fournie par l'eau à la roue.
• 23 - Définir et calculer le rendement énergétique η de la roue. Commenter; préciser en particulier les causes probables, à votre avis, d'une diminution du rendement effectif du dispositif.

FIN DE LA PARTIE II

Annexe

FIN DE L'ÉPREUVE