Mines Mathématiques 1 PSI 2015Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

La méthode de Stein pour l'approximation de la loi de Poisson

Le problème introduit la méthode de Stein, qui combine résultats d'analyse sur les séries et outils de probabilités pour mesurer l'écart entre deux lois de probabilité. Après des préliminaires sur les suites de probabilité et la distance entre deux lois, le sujet caractérise la loi de Poisson, résout une équation dite de Stein, établit une propriété de Lipschitz, puis conclut par une application probabiliste.

1I. PréliminairesIntroduction de l'ensemble P des suites de probabilité et de la distance dist(P,Q) entre deux lois.
2II. CaractérisationCaractérisation de la loi de Poisson de paramètre λ dans l'ensemble P.
3III. Résolution de l'équation de SteinRésolution d'une équation fonctionnelle liée à la méthode de Stein.
4IV. Propriété de LipschitzÉtablissement d'une propriété de Lipschitz sur la solution de l'équation de Stein.
5V. Application probabilisteApplication des résultats précédents à un problème d'approximation probabiliste.

Difficile. Le rapport indique que l'épreuve a fait apparaître des lacunes pour une majorité des candidats sur les séries et les majorations, et que beaucoup de candidats se sont arrêtés à la question 13 sur 22.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Méconnaissance de la borne supérieure · Majorations sans valeur absolue · Terme oublié dans une majoration

L'épreuve, centrée sur la méthode de Stein, a révélé des lacunes importantes sur l'étude de la convergence des séries et l'obtention de majorations, connaissances pourtant classiques. De nombreuses questions de fin de sujet ont été très peu abordées, beaucoup de candidats s'arrêtant vers la question 13.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Méconnaissance de la borne supérieureQ2
La question 2 était souvent non cherchée, révélant une méconnaissance de la définition d'une borne supérieure, alors qu'il fallait discuter suivant l'appartenance de 0 et 1 à l'ensemble A.
2
Majorations sans valeur absolueQ3, Q4
Sur la convergence d'une série par convergence absolue, de nombreuses copies majorent le terme général sans valeur absolue, révélant une méconnaissance manifeste des techniques de base du cours sur les séries.
3
Terme oublié dans une majorationQ9
À la question 9, très mal traitée, le terme (n-1)!/λ^n n'est souvent pas pris en compte pour borner f, alors qu'il fallait majorer par une quantité indépendante de n.
4
Question 12 très mal traitéeQ12
À quelques exceptions près, les candidats n'ont pas su répondre à cette question et ont introduit à tort une condition suivant λ.
« très mal traitée »
5
Majoration en force sur une somme infinieQ18
À la question 18, très mal traitée, les étudiants ont majoré en laissant la somme infinie et sont passés en force plutôt que de traiter le problème correctement.
« Les étudiants ont majoré en laissant la somme infinie et sont passés en force »
6
Indépendance affirmée sans preuveQ19
L'indépendance de variables aléatoires est souvent citée par les candidats mais rarement prouvée.
« l'indépendance est souvent citée rarement prouvée »

Ce qui a été bien réussi

La question 1 a été réussie par la majorité des candidats.
La question 5 a été réussie par une majorité des candidats.
La question 10 a été assez bien réussie par beaucoup de candidats.

Conseils du jury

Citer précisément le numéro de la question utilisée plutôt que de renvoyer vaguement aux questions précédentes.
Revoir les techniques de base sur les séries : convergence absolue et majoration correcte du terme général.
Bien connaître la définition d'une borne supérieure et savoir discuter selon les cas.
Toujours prouver l'indépendance de variables aléatoires plutôt que de se contenter de l'affirmer.
Lire attentivement l'énoncé pour identifier les grandeurs fixées avant de répondre.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. CONCOURS D'ADMISSION 2015

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note $F$ l'ensemble des fonctions bornées de $N$ dans $R$ .
On note $P$ l'ensemble des suites de nombres réels positifs de somme égale à 1 :

P = {P = (p_n, n ≥ 0) tel que ∀n ≥ 0, p_n ≥ 0 et ∑_(n = 0)^∞p_n = 1}

Pour $P$ et $Q$ deux éléments de $P$ , on définit

dist(P, Q) = sup_(A \subset N)|\sum_(n \in A)p_n - \sum_(n \in A)q_n| = sup_(A \subset N)|\sum_(n = 0)^\infty1_A(n)p_n - \sum_(n = 0)^\infty1_A(n)q_n|,

où

1_A(n) = 1

n \in A

1_A(n) = 0

sinon. On pourra écrire

P(A)

pour

\sum_(n \in A)p_n

Dans tout ce qui suit, $λ$ est un réel strictement positif fixé et $h$ est un élément de $F$ , c'est-à-dire une fonction bornée de $N$ dans $R$ .

I Préliminaires

Trouver le réel $c$ tel que la suite

c(λ^n)/(n!), n \geq 0

appartienne à

P

.
2. Soit

p

q

deux réels de

[0, 1]

. Calculer

dist((1 - p, p, 0, \dots), (1 - q, q, 0, \dots))

Soit $f \in F$ et $P \in P$ , montrer que la série de terme général ( $f(n)p_n, n \geq 0$ ) est convergente.

II Caractérisation

Soit

P_λ = (p_n^((λ)), n \in N) \in P

défini par

p_n^((λ)) = e^(- λ)(λ^n)/(n!) pour tout n \in N

Soit $f \in F$ , montrer que la série de terme général ( $nf(n)p_n^((λ)), n \geq 0$ ) est convergente.
Pour tout $f \in F$ , établir l'identité suivante :

λ\sum_(n = 0)^\inftyf(n + 1)p_n^((λ)) = \sum_(n = 0)^\inftynf(n)p_n^((λ)).

Soit

Q = (q_n, n \geq 0)

un élément de

P

tel que pour tout

f \in F

, l'identité suivante soit satisfaite :

λ\sum_(n = 0)^\inftyf(n + 1)q_n = \sum_(n = 0)^\inftynf(n)q_n.

En choisissant convenablement des éléments de $F$ , montrer que $Q = P_λ$ .

III Résolution de l'équation de Stein

On note

S_h

, l'ensemble des fonctions

f

N

dans

R

, telles que, pour tout entier

n \geq 0

, l'identité suivante soit satisfaite :

λf(n + 1) - nf(n) = h(n) - \sum_(k = 0)^\inftyh(k)p_k^((λ)).

Pour simplifier les notations, on note

h~

la fonction définie pour tout

n \geq 0

par

h~(n) = h(n) - \sum_(k = 0)^\inftyh(k)p_k^((λ))

Montrer que $S_h$ possède une infinité d'éléments et que pour tout $f \in S_h$ , pour tout entier $n \geq 1$ ,

f(n) = ((n - 1)!)/(λ^n)\sum_(k = 0)^(n - 1)h~(k)(λ^k)/(k!)

Pour $f \in S_h$ , pour tout entier $n \geq 1$ , établir l'identité suivante :

f(n) = - ((n - 1)!)/(λ^n)\sum_(k = n)^\inftyh~(k)(λ^k)/(k!)

En déduire que toute fonction $f \in S_h$ est bornée.

IV Propriété de Lipschitz

Pour une fonction

f

N

dans

R

, on considère la fonction

Δf

définie par

Δf : N, ⟶ R; n, ⟼ f(n + 1) - f(n).

On veut montrer que pour

f \in S_h

sup_(n \geq 1)|Δf(n)| \leq (1 - e^(- λ))/λ(sup_(k \in N)h(k) - inf_(k \in N)h(k)).

Pour un entier

m \geq 0

, on considère d'abord le cas particulier où

h = 1_({m})

h(m) = 1 et h(n) = 0 si n \neq m.

On note

f_m

l'un des éléments de

S_(1_({m}))

.
10. Établir pour

1 \leq n \leq m

, l'identité suivante :

f_m(n) = - ((n - 1)!)/(λ^n)p_m^((λ))\sum_(k = 0)^(n - 1)(λ^k)/(k!).

Établir une identité analogue pour $n > m \geq 0$ et en déduire le signe de $f_m(n)$ pour tout $n \geq 1$ .
Montrer que la fonction $Δf_m$ est négative sur $N∖{0, m}$ .

Indication : on distinguera les cas

1 \leq n < m

n > m \geq 0

.
13. Établir les identités suivantes:

Δf_0(0) = (1 - e^(- λ))/λ, Δf_m(m) = (e^(- λ))/λ(\sum_(k = m + 1)^\infty(λ^k)/(k!) + \sum_(k = 1)^m k/m(λ^k)/(k!)) pour m > 0

En déduire que

sup_(n \geq 1)Δf_m(n) \leq (1 - e^(- λ))/λ

On étudie maintenant le cas général. On définit la fonction

h_+

par

h_+(n) = h(n) - inf_(k \in N)h(k)

Montrer que $S_h = S_(h_+)$ .
Montrer que la série

\sum_(m = 0)^\inftyh_+(m)f_m(n)

est convergente pour tout entier

n \geq 1

.
17. Montrer que la fonction

f

définie, pour tout

n \geq 1

, par

f(n) = \sum_(m = 0)^\inftyh_+(m)f_m(n)

appartient à

S_h

.
18. En déduire que pour tout entier

n \geq 1

f(n + 1) - f(n) \leq (1 - e^(- λ))/λ(sup_(k \in N)h(k) - inf_(k \in N)h(k))

En utilisant

- f

h_- = sup_(k \in N)h(k) - h

, on prouverait de façon analogue que pour tout entier

n \geq 1

- (f(n + 1) - f(n)) \leq (1 - e^(- λ))/λ(sup_(k \in N)h(k) - inf_(k \in N)h(k)),

et qu'ainsi l'inégalité (5) est vraie dans le cas général.

V Application probabiliste

On considère (

X_k, k = 1, \dots, n

) une suite de variables aléatoires discrètes indépendantes. On suppose que pour tout entier

k ∈ {1, ⋯, n}, X_k

suit une loi de Bernoulli de paramètre

r_k \in ]0, 1]

P(X_k = 1) = r_k = 1 - P(X_k = 0)

On pose

λ = \sum_(k = 1)^n r_k

ainsi que

S = ∑_(k = 1)^n X_k et pour tout k ∈ {1, ⋯, n}, W_k = S − X_k

On identifie la loi de la variable aléatoire

S

et l'élément (

P(S = k), k \in N

) de

P

, l'ensemble défini au début de ce texte.
19. Pour tout

k \in {1, \dots, n}

, pour tout

f \in F

, montrer que

X_k f(S) = X_k f(W_k + 1) et que E(f(W_k)X_k) = r_k E(f(W_k))

Soit $h \in F$ et $f \in S_h$ , établir l'identité suivante.

E(λf(S + 1) - Sf(S)) = \sum_(k = 1)^n r_k E(X_k(f(W_k + 2) - f(W_k + 1)))

Établir que

dist(loi(S), P_λ) = sup_(A \subset N)|E(λf_A(S + 1) - Sf_A(S))|,

où

f_A

est un élément de

S_(1_A)

.
22. En déduire que

dist(loi(S), P_λ) \leq (1 - e^(- λ))/λ\sum_(k = 1)^n r_k^2

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Mines PSI 2015 sur la méthode de Stein ?

Le sujet porte sur les séries numériques, les probabilités (loi de Poisson, espérance, indépendance) et les fonctions lipschitziennes.

Le sujet Mathématiques 1 Mines PSI 2015 est-il difficile ?

Oui, le rapport signale des lacunes importantes sur les séries et les majorations, et beaucoup de candidats se sont arrêtés vers la question 13 sur 22.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 1 Mines PSI 2015 ?

Des majorations sans valeur absolue, une méconnaissance de la borne supérieure, et une indépendance de variables aléatoires affirmée sans être prouvée.

Qu'est-ce que la méthode de Stein étudiée dans ce sujet Mines PSI 2015 ?

C'est une méthode combinant analyse des séries et probabilités pour mesurer l'écart entre deux lois de probabilité, notamment pour caractériser la loi de Poisson.

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