CCINP Mathématiques PSI 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Systèmes différentiels linéaires : exemples de résolution, norme matricielle et exponentielle de matrice, intégrale de Gauss

Ce problème de mathématiques, filière PSI, étudie les systèmes différentiels linéaires. La partie I traite deux exemples de résolution par recherche de vecteurs propres communs à une famille de matrices dépendant du temps. La partie II introduit une norme matricielle induite pour développer les solutions en série entière et retrouver l'exponentielle de matrice, avec un exemple s'appuyant sur le théorème de Cayley-Hamilton. La partie III étudie l'intégrale de Gauss puis deux fonctions u et v solutions d'un système différentiel du premier ordre.

1Partie I : quelques exemples d'étude d'un système différentielStructure de l'ensemble des solutions, recherche de vecteurs propres communs, et deux exemples de systèmes différentiels résolus par réduction.
2Partie II : norme matricielle et développement en série entière des solutionsConstruction d'une norme matricielle induite, développement en série entière des solutions d'un système différentiel, et exemple utilisant le théorème de Cayley-Hamilton.
3Partie III : étude de deux fonctionsÉtude de l'intégrale de Gauss par une intégrale à paramètre, puis de deux fonctions u et v solutions d'un système différentiel du premier ordre.

Difficile. Le jury indique que malgré l'absence de difficulté insurmontable, la moyenne générale est particulièrement basse, avec un niveau extrêmement faible de nombreux candidats, et qualifie certaines questions de plus mal traitées de tout le sujet, voire de vraie catastrophe.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Malentendu sur la nature de la question posée · Nature vectorielle du système différentiel mal comprise · Définition de la norme mal connue

Le jury signale une rédaction souvent désinvolte, avec des sigles et symboles remplaçant les phrases de justification, ainsi qu'une confusion fréquente entre équation différentielle, solutions et ensemble des solutions. Il relève aussi de nombreuses inégalités mathématiquement dénuées de sens portant sur des matrices ou des nombres complexes, révélant une mauvaise maîtrise de la nature des objets manipulés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Malentendu sur la nature de la question poséeI.1
De nombreux candidats répondent en affirmant l'existence et l'unicité d'une solution une fois la condition initiale donnée, alors que la question portait sur la structure de l'ensemble des solutions.
2
Nature vectorielle du système différentiel mal compriseI.3, I.4.4
Certains candidats trouvent des « solutions scalaires » à un système différentiel vectoriel, preuve qu'ils n'ont pas compris la nature de l'objet manipulé.
3
Définition de la norme mal connueII.1
Les propriétés définissant une norme sont mal connues : il en manque souvent une, ou des propriétés fausses comme N(A+B)=N(A)+N(B) sont ajoutées.
4
Majorations sans fondement sur une norme matricielle induiteII.1.2
Cette question, jugée la plus mal traitée de tout le sujet, donne lieu à des majorations fausses comme l'inégalité ||ABX|| inférieure au produit ||AX||.||BX||, sans justification valable.
« II.1.2 est peut-être la question la plus mal traitée de t out le sujet. »
5
Convergence de l'intégrale de Gauss mal justifiéeIII.1.1
La majorité des candidats répond à la question mais oublie souvent de préciser que la fonction est positive et continue, donc localement intégrable ; certains utilisent même des majorations par des intégrales elles-mêmes divergentes.
6
Convergence simple confondue avec convergence de l'intégraleIII.1.4
Un grand nombre de candidats affirme qu'une convergence simple de l'intégrande suffit à conclure sur la limite de l'intégrale, sans voir qu'il y a une interversion limite-intégrale à justifier.

Ce qui a été bien réussi

Certaines copies bien rédigées parviennent à mener la résolution du problème jusqu'à son terme sans sacrifier la rigueur.
La qualité de la présentation des copies semble s'améliorer, avec des résultats plus espacés et plus systématiquement encadrés.
Le polynôme caractéristique de la question II.3.1 est le plus souvent correctement calculé.
L'application du théorème de Cayley-Hamilton en II.3.3 a en général été bien vue.

Conseils du jury

Lire attentivement l'énoncé pour bien identifier ce qui est réellement demandé avant de répondre.
Garder à l'esprit la nature vectorielle ou matricielle des objets manipulés dans un système différentiel.
Connaître précisément les axiomes d'une norme avant de les utiliser ou de les redémontrer.
Justifier soigneusement toute interversion entre limite et intégrale, notamment via le théorème de convergence dominée.
Rédiger des phrases explicites plutôt que des sigles ou symboles cabalistiques, la rédaction étant prise en compte dans la notation.
Vérifier systématiquement les hypothèses de positivité et de continuité avant de conclure à l'intégrabilité d'une fonction.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Notations

$ℝ$ désigne l'ensemble des réels et $ℝ^+$ désigne l'intervalle $[0, + \infty[$ .
Si $I$ est un intervalle réel non réduit à un point, on note $C^1(I)$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^1$ définies sur $I$ à valeurs dans $ℝ$ .
Soit $𝕂$ l'ensemble $ℝ$ ou $ℂ$ . Pour tout entier naturel non nul, $M_n(𝕂)$ désigne le $𝕂$ -espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $n$ colonnes et à coefficients dans $𝕂$ .
Un vecteur de $𝕂^n$ est noté :

X = (x_k)_(1 \leq k \leq n) = (x_1; x_2; ⋮; x_n)

Une matrice $A$ de $M_n(𝕂)$ est notée :

A = ((a_(j, k)))_(1 \leq j, k \leq n)

où

a_(j, k)

est le coefficient de

A

situé en ligne

j

et colonne

k

On dit qu'une application :

M :, I, \to, M_n(𝕂); t, \mapsto M(t) = ((a_(j, k)(t)))_(1 \leq j, k \leq n)

est de classe

C^1

sur

I

, si pour tout couple

(j, k)

la fonction

t \mapsto a_(j, k)(t)

est de classe

C^1

sur

I

et dans ce cas, on note

M^'(t)

la matrice

((a_(j, k)^'(t)))_(1 \leq j, k \leq n)

.
Soient

I

un intervalle réel non réduit à un point et

A : I \to M_n(ℂ)

une fonction continue.
Dans ce problème, on s'intéresse au système différentiel :

X^'(t) = A(t)X(t)

où

X : I \to ℂ^n

est une application de classe

C^1

A l'exception de la question I. 2 utilisée tout au long du sujet, les trois parties sont indépendantes.

Partie I

Quelques exemples d'étude d'un système différentiel

I. 1 Qu'affirme le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire quant à la structure de l'ensemble des solutions de

(E)

I. 2 Vecteurs propres communs

On suppose qu'il existe un vecteur non nul

V \in ℂ^n

et une fonction continue

λ : I \to ℂ

tels que pour tout

t \in I

on ait :

A(t)V = λ(t)V.

Montrer que la fonction :

X :, \to ℂ^n; t \mapsto α(t)V

est solution de

(E)

si, et seulement si, la fonction

α

est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on précisera et pour laquelle on donnera une expression des solutions.

I. 3 Un premier exemple

On suppose pour cette question que

n = 2

. Soient

a

b

deux complexes tels que

a - 1 - b \neq 0

. On suppose que, pour tout

t \in I = ℝ

, on a :

A(t) = (a, 1 - a; b, 1 - b).

Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de (

E

I. 4 Un deuxième exemple

On suppose également pour cette question que

n = 2

. Soient

μ

une constante complexe et

a, b

des fonctions continues de

I

dans

ℂ

, la fonction

b

ne s'annulant jamais sur

I

. On suppose que pour tout réel

t \in I

, on a :

A(t) = (a(t), μb(t); b(t), a(t) + (μ - 1)b(t)).

I.4.1 Traiter le cas particulier où

μ = 1

.
I.4.2 Montrer qu'il existe deux vecteurs non nuls

V_1

V_2

dans

ℂ^2

et deux fonctions continues

λ_1

λ_2

I

dans

ℂ

tels que pour tout

t \in I

on ait:

A(t)V_1 = λ_1(t)V_1 et A(t)V_2 = λ_2(t)V_2.

I.4.3 Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur

μ

pour que l'on ait:

\forallt \in I, λ_1(t) \neq λ_2(t).

On supposera cette condition vérifiée pour la question suivante.
I.4.4 Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de

(E)

Partie II
Développement en série entière des solutions pour $A$ constante

II. 1 Norme matricielle induite

On se donne une norme vectorielle

X \mapsto ‖X‖

sur

ℂ^n

et on lui associe la fonction

N

définie sur

M_n(ℂ)

par :

∀A ∈ M_n(ℂ), N(A) = sup_(X ∈ ℂ^n∖{0})(‖AX‖)/(‖X‖).

II.1.1 Montrer que l'application

N

définit une norme sur

M_n(ℂ)

.
II.1.2 Montrer que, pour toutes matrices

A

B

dans

M_n(ℂ)

, on a :

N(AB) \leq N(A)N(B).

II. 2 Développement en série entière des solutions

II.2.1 On suppose pour cette question, que

I = ℝ

et que la fonction

A

est constante.

Montrer que si

X

est solution de (

E

), elle est alors de classe

C^\infty

sur

I

et que pour tout entier naturel

k

, on a :

X^((k))(t) = A^k X(t)

(avec la convention que

X^((0)) = X

A^0 = I_n

).
II.2.2 On note

X_0 = X(0)

. Montrer que pour tout entier naturel

p

et tout réel

t \in I

, on a :

X(t) = (\sum_(k = 0)^p(t^k)/(k!)A^k)X_0 + \int_0^t((t - u)^p)/(p!)A^(p + 1)X(u)du.

II.2.3 Montrer que :

X(t) = lim_(p \to + \infty)(\sum_(k = 0)^p(t^k)/(k!)A^k)X_0

et en déduire que les coordonnées de

X

sont développables en série entière sur

ℝ

II. 3 Un exemple

On suppose pour cette question, que

n = 4

, que

I = ℝ

et que la fonction

t \mapsto A(t)

est constante et égale à :

A = (1, 0, - 1, 1; 0, 1, 1, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 1, 0) \in M_4(ℂ)

II.3.1 Calculer le polynôme caractéristique

P_A(X)

A

.
II.3.2 Soit

k

un entier naturel non nul.

Montrer que la famille

(1, X, X(X - 1), X(X - 1)^2)

est une base de

ℂ_3[X]

, puis exprimer le reste de la division euclidienne de

X^k

par

P_A(X)

dans cette base.
II.3.3 En déduire, pour tout entier

k \geq 1

, une expression de

A^k

en fonction de

A

A(A - I_4)

A(A - I_4)^2

.
II.3.4 Calculer

A(A - I_4)

A(A - I_4)^2

.
II.3.5 Préciser le rayon de convergence de la série entière :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(t^n)/(n!)(n - 1)

ainsi que sa somme.
II.3.6 Soit

X_0 = (1; 0; 1; 0) \in ℂ^4

. Déterminer la solution du problème de Cauchy linéaire

{X^′, =, AX; X(0), =, X_0

Partie III

Etude de deux fonctions

III. 1 L'intégrale de Gauss

III.1.1 Montrer que l'intégrale de la fonction

f : t \mapsto e^(- t^2)

est convergente sur

ℝ^+

.
III.1.2 Montrer que les fonctions

F

G

définies sur

ℝ^+

par :

\forallx \in ℝ^+, F(x) = (\int_0^x e^(- t^2)dt)^2, G(x) = \int_0^1(e^(- x^2(t^2 + 1)))/(t^2 + 1)dt

sont de classe

C^1

sur

ℝ^+

, puis préciser les dérivées d'ordre 1 de

F

et de

G

.
III.1.3 Montrer que :

\forallx \in ℝ^+, F^'(x) + G^'(x) = 0

et en déduire la valeur de

F + G

.
III.1.4 Montrer que :

lim_(x \to + \infty)G(x) = 0 et lim_(x \to + \infty)F(x) = π/4.

III.1.5 En déduire que :

\int_0^(+ \infty)e^(- t^2)dt = (\sqrtπ)/2.

III. 2 Les fonctions $u$ et $v$

III.2.1 Montrer que les fonctions :

u(t) = \int_0^(+ \infty)(e^(- x)cos(tx))/(\sqrtx)dx et v(t) = \int_0^(+ \infty)(e^(- x)sin(tx))/(\sqrtx)dx

sont bien définies et de classe

C^1

sur

ℝ

.
III.2.2 Montrer que la fonction

w = u + iv

est solution d'une équation différentielle, puis en déduire que :

X(t) = ((u(t))/(v(t)))

est solution d'un système différentiel du premier ordre

X^'(t) = A(t)X(t) (E_1)

où la fonction matricielle

A : ℝ \to M_2(ℂ)

est à déterminer.
III.2.3 Déterminer, pour tout réel

t

, les valeurs propres complexes et les sous-espaces propres de

A(t)

.
III.2.4 Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions sur

ℂ

du système (

E_1

) et en déduire la solution générale de

(E_1)

.
III.2.5 Calculer

u(0), v(0)

et en déduire l'expression réelle de

u

et de

v

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques CCINP PSI 2015 ?

Elle porte sur les systèmes différentiels linéaires, la réduction des endomorphismes, les normes matricielles, le développement en série entière et l'exponentielle de matrice, ainsi que sur les intégrales à paramètre.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths CCINP PSI ?

Le jury signale une confusion sur la nature des objets manipulés (vecteurs, scalaires, matrices), une définition de la norme mal connue, des majorations sans fondement, et une convergence d'intégrale mal justifiée.

Ce sujet de mathématiques CCINP PSI 2015 sur les systèmes différentiels est-il difficile ?

Oui, le jury indique que malgré l'absence de difficulté insurmontable, la moyenne générale a été particulièrement basse, avec un niveau jugé extrêmement faible chez de nombreux candidats.

Faut-il bien maîtriser la réduction des endomorphismes pour ce sujet CCINP PSI 2015 ?

Oui, la résolution des systèmes différentiels de la partie I repose sur la recherche de valeurs propres et de vecteurs propres, une étape où le jury relève de nombreuses erreurs.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Notations

A l'exception de la question I. 2 utilisée tout au long du sujet, les trois parties sont indépendantes.

Partie I

Quelques exemples d'étude d'un système différentiel

I. 2 Vecteurs propres communs

I. 3 Un premier exemple

I. 4 Un deuxième exemple

Partie II Développement en série entière des solutions pour A constante

II. 1 Norme matricielle induite

II. 2 Développement en série entière des solutions

II. 3 Un exemple

Partie III

Etude de deux fonctions

III. 1 L'intégrale de Gauss

III. 2 Les fonctions u et v

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques CCINP PSI 2015 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths CCINP PSI ?

Ce sujet de mathématiques CCINP PSI 2015 sur les systèmes différentiels est-il difficile ?

Faut-il bien maîtriser la réduction des endomorphismes pour ce sujet CCINP PSI 2015 ?

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Partie II
Développement en série entière des solutions pour $A$ constante

III. 2 Les fonctions $u$ et $v$