CCINP Modélisation PSI 2015Sujet et rapport du jury

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MODELISATION ET INGENIERIE NUMERIQUE

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

• 14 pages de texte de présentation et énoncé du sujet;
• 2 pages d'annexes.

REMARQUES PRELIMINAIRES

Dispositif Médical d'Injection

I Présentation du système

Figures 1 - Différents contenants actuels

I. 1 Dispositifs Médicaux d'Injection innovants (DMI)

Figure 2 - Dispositif médicalisé d'injection de l'entreprise Eveon

Figures 3 - Micropompe à membrane

I. 2 Exigences du système

Figure 4 - Diagramme partiel des exigences

Objectif

II Modélisation de l'asservissement du volume injecté

Objectif

II. 1 Actionneur thermique

Objectif

Figures 5 - Actionneur thermique et réponse à un échelon de tension

II. 2 Écoulement dans le canal de l'aiguille

Objectif

II. 3 Membrane de la micropompe

Objectif

II.3.1 Modélisation générale

Figure 6 - Modélisation de la membrane

• chaque segment i est supposé indéformable, d'axe directeur noté x⃗_i, de longueur L_0, de sorte que tout déplacement selon l'axe x⃗_0 est négligé;
• chaque segment i est relié par des liaisons pivots supposées parfaites aux segments i + 1 et i − 1, le torseur modélisant les actions mécaniques de la liaison entre le segment i et le segment i − 1 est au point O_i de la forme : {T_(i − 1 → i)} = {x_i x⃗_0 + y_i y⃗_0; 0→}_(O_i);
• il existe un effort de torsion entre chaque segment i et i − 1, défini par un torseur exprimé au point O_i de la forme : {T_(i − 1 → i)^(torsion)} = {0→; − k_t(θ_i − θ_(i − 1))z_0^(→−)}}}{{_(O_i);
• le déplacement de l'actionneur est donné selon l'axe y⃗_0 par la distance u_(actionneur);
• sur chaque segment i s'applique un glisseur de résultante P⃗ au point M_i centre du segment it tel que {T_(P → i)} = {Py⃗_i; 0→}_(M_i) avec O_i M_i^(→−) = (L_0)/2x⃗_i;
• l'effort exercé par l'actionneur est modélisé par un glisseur (figure 6) tel que {T_(actionneur → membrane)} = {− Fy⃗_0; 0→}_(O_(n + 1));
• le segment 0 possède un degré de liberté selon l'axe x⃗_0 grâce à une liaison glissière avec le bâti d'axe x⃗_0.

II.3.2 Application dans le cas de deux segments

• la longueur d'un segment i est de 1, 25 mm;
• l'effort P⃗ exercé par le fluide sur chaque segment est considéré constant et de norme P = 10 N;
• la raideur de torsion k_t est identique pour chaque nœud avec k_t = 5 N/rad;
• la norme de l'effort exercé par l'actionneur F⃗_(membrane) est : F = 8 N;
• on suppose par la suite que θ_3 est nul (θ_3 = 0).

Figure 7 - Modélisation de la membrane avec 2 segments

II.3.3 Modélisation dynamique

import numpy as np
def derivee2(y,dy)
        $d d y=(f-c * y-b * d y) / a$
        return ddy
def Euler_ordre2(dt,nbdt):
    $\mathrm{y}=[0] \quad$ \#condition init. nulle
    $\mathrm{dy}=[0] \quad$ \#condition init. nulle
    for i in range (nbdt) :
        $\mathrm{d} \mathrm{y}=\mathrm{dy}+\ldots \quad \#$ completer
        $\mathrm{y}=\mathrm{y}+[\mathrm{y}[\mathrm{i}]+\mathrm{dt} * \mathrm{dy}[\mathrm{i}]]$
    return $y$

1function ddy=derivee2 ( $y$, dy)
$2 \quad d d y=(f-c * y-b * d y) / a$
3endfunction
4function $y=$ Euler_ordre2 (dt,nbdt)
$5 \quad \mathrm{y}=[0] \quad / /$ condition init .nulle
$6 \quad \mathrm{dy}=[0] \quad / /$ condition init. nulle
7 for $\mathrm{i}=1: \mathrm{nbdt}$
8 dy $(\mathrm{i}+1)=$ //a completer
$9 \quad \mathrm{y}(\mathrm{i}+1)=\mathrm{y}(\mathrm{i})+\mathrm{dt} * \mathrm{dy}(\mathrm{i})$
10 end
11endfunction

II. 4 Commande de l'actionneur piézoélectrique

Figure 8 - Actionneur piézoélectrique utilisé

II. 5 Débitmètre à fil chaud

Objectif

II.5.1 Principe de base d'un anémomètre à fil chaud : loi de King

Figure 9 - Fil chaud dans l'écoulement

II.5.2 Electronique d'asservissement : anémométrie à température constante (CTA)

Figure 10 - Pont de Wheatstone

Figure 11 - Circuit avec rétroaction

II.5.3 Validation expérimentale de la modélisation

II.5.4 Le débitmètre à fil chaud MEMS

Figure 12 - Structure MEMS du débimètre

II. 6 Simulation de l'asservissement en volume injecté

Objectif

Figure 13 - Schéma-bloc fonctionnel simulé

Figure 14 - Simulation d'injection d'un volume de 5 mL avec K_(corr) = 1

Annexe 1 - Schéma-bloc fonctionnel simplifié

Figure 15 - Schéma-bloc fonctionnel simplifié

• V_(cons)(t) le volume de la solution à injecter ;
• V_(réel)(t) le volume réel déjà injecté de la solution;
• u_c(t) la tension consigne proportionnelle au volume à injecter;
• u_(piézo) et u_(th) les tensions de commande après correction envoyées aux actionneurs piézoélectrique et thermique;
• F_(th), F_(piézo), F_(charges) les actions mécaniques exercées sur la membrane par respectivement l'actionneur thermique, l'actionneur piézoélectrique et la pression de la solution injectée créée par les pertes de charge dans la conduite et la pression artérielle;
• q(t) le débit de solution;
• u_e(t) la tension image du volume de solution injecté.

Annexe 2 - Code informatique pour le pivot de Gauss (Q9).

Version Python
Version Python

Version Scilab
Version Scilab

limport numpy as np
2def Augmente(A,B):
$3 \quad n=\operatorname{len}(A)$
$4 \quad \mathrm{~m}=\operatorname{len}(\mathrm{B} . \mathrm{T})$
5 M=np.concatenate((A,B.T),axis=1)
6 return M
7def Echligne (M, i, j) :
$8 \quad \mathrm{~N}=$ np.copy (M[i ])
$9 \quad \mathrm{M}[\mathrm{i}]=\mathrm{M}[\mathrm{j}]$
    $\mathrm{M}[\mathrm{j}]=\mathrm{N}$
        return M
    Pivot (M, i ) :
        $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{M})$
        $\mathrm{j}=\mathrm{i}$
        for k in $\operatorname{range}(\mathrm{i}+1, \mathrm{n})$ :
            if $\boldsymbol{\operatorname { a b s }}(\mathrm{M}[\mathrm{k}, \mathrm{i}])>\boldsymbol{\operatorname { a b s }}(\mathrm{M}[\mathrm{j}, \mathrm{i}])$ :
                $j=k$
        return j
        Elimine ( $\mathrm{M}, \mathrm{i}, \mathrm{j}$ ) :
        $\mathrm{a}=-\mathrm{M}[\mathrm{j}, \mathrm{i}] / \mathrm{M}[\mathrm{i}, \mathrm{i}]$
        $\mathrm{M}[\mathrm{j}]+=\mathrm{a} * \mathrm{M}[\mathrm{i}]$
        return M
        Normalise_diagonale(M):
        $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{M})$
        for $i$ in range( $n$ ):
            $M[i] /=M[i, i]$
        return M
        Gauss (A, B) :
        $\mathrm{M}=$ Augmente (A,B)
        $\mathrm{n}=$ len (M)
        for $i$ in range $(n-1)$ :
                $\mathrm{p}=\operatorname{Pivot}(\mathrm{M}, \mathrm{i})$
                if $i!=p$ :
                    M=Echligne (M, i , p)
                for $j$ in range $(i+1, n)$ :
                    Elimine (M, i , j )
            print (M, " $\backslash \mathrm{n}$ " ) \#Affichage1
        Normalise_diagonale(M)
        for $i$ in range $(n-1,0,-1)$ :
                for $j$ in range $(i-1,-1,-1)$ :
                        Elimine (M, i , j )
        return (M)
limport numpy as np
    2def Augmente (A, B) :
4
        return M
                                            ion
            ction
                                def $\quad \begin{aligned} & \text { Augmente } \\ & \mathrm{n}=\text { len }(\mathrm{A})\end{aligned}$
$4 \quad \mathrm{~m}=\operatorname{len}(\mathrm{B} . \mathrm{T})$
$5 \quad \mathrm{M}=\mathrm{np} . \mathrm{concatenate}((\mathrm{A}, \mathrm{B} . \mathrm{T})$, axis
$6 \quad$ return M
            $\mathrm{M}[\mathrm{i}]=\mathrm{M}[\mathrm{j}] \quad$ 9funct
                return $M$
                                    $=\mathrm{M}(\mathrm{j},:)$
                                                n M

Fin de l'énoncé
Fin de l'énoncé