Systèmes RFID à 860 MHz : adaptation d'impédance, antenne et traitement numérique
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Le problème illustre le fonctionnement des systèmes d'identification par radiofréquence (RFID) à travers sept sous-parties indépendantes. Une première grande partie, de physique, étudie l'adaptation d'impédance, l'influence du câble coaxial, une antenne filaire et le système RFID passif complet. Une seconde grande partie, d'informatique, traite de la résolution numérique d'une équation, du calcul d'une intégrale et de la puissance rayonnée par l'antenne réelle du TAG.
1Partie A : Adaptation d'impédanceÉtude du transfert de puissance maximal entre un générateur et une charge, puis adaptation par deux réactances.
2Partie B : Influence du câble coaxialÉtude de la ligne de transmission reliant le générateur à l'antenne.
3Partie C : Antenne filaireCalcul du champ électrique rayonné, approximation ARQS, vecteur de Poynting et puissance rayonnée.
4Partie D : Système RFID passifMise en relation des parties précédentes pour modéliser le TAG passif complet, alimenté par l'onde reçue.
5Partie E : Résolution d'une équation de deux variablesÉcriture et analyse d'un programme Python résolvant une équation par recherche des solutions sol1 et sol2.
6Partie F : Calcul d'une intégraleProgrammation de la méthode des rectangles en Python et analyse de complexité, avec une question de récursivité.
7Partie G : Puissance rayonnée de l'antenne réelle du TAGCalcul de la puissance rayonnée par l'antenne réelle, en lien avec les parties précédentes.
Difficulté moyenne. Le rapport indique que le niveau d'ensemble est satisfaisant, avec une moyenne de 9,57/20, mais des écarts marqués entre parties très bien traitées (câble coaxial) et parties très mal faites (vecteur de Poynting et puissance rayonnée).
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Question préliminaire paraphrasée plutôt que traitée · Notation complexe mal maîtrisée en puissance · Vecteur de Poynting et puissance rayonnée très mal traités
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Le sujet, qui combine physique et informatique autour des systèmes RFID, a globalement donné un niveau satisfaisant avec des notes s'étalant du médiocre au très bon. La partie sur le câble coaxial a été très bien traitée par tous, tandis que les questions de rayonnement électromagnétique (vecteur de Poynting) ont été très mal faites.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Question préliminaire paraphrasée plutôt que traitéeQuestion préliminaire
La réponse à la question préliminaire n'était pas fournie dans le texte d'introduction et demandait du bon sens ; beaucoup de candidats se sont contentés de paraphraser le sujet.
« beaucoup de candidats paraphrasaient le sujet ce qui n'était pas demandé »
2
Notation complexe mal maîtrisée en puissancePartie A
La partie sur l'adaptation d'impédance semblait simple mais fut discriminante : la notation complexe n'est pas maîtrisée par beaucoup, surtout dans les calculs de puissance.
3
Vecteur de Poynting et puissance rayonnée très mal traitésPartie C
Les questions relatives au vecteur de Poynting et à la puissance rayonnée par l'antenne ont été très mal faites, malgré une bonne compréhension de la conservation de la charge.
« Les questions relatives au vecteur de Poynting et à la puissance ont été très mal faites »
4
Schéma à deux interrupteurs rarement donnéPartie D
Le schéma avec deux interrupteurs du système RFID passif n'a été donné que par quelques rares candidats, alors que cet aspect est au cœur de la section PSI.
5
Description du programme mal rédigéePartie E
Beaucoup de candidats donnent le sentiment d'avoir compris le programme de résolution d'équation mais sont incapables de le rédiger clairement, avec de sérieux problèmes d'expression écrite.
6
Indices de boucles et complexité approximatifsPartie F
Les candidats sont souvent peu rigoureux avec les indices des boucles et approximatifs dans leurs calculs de complexité en Python.
Ce qui a été bien réussi
La partie B sur l'influence du câble coaxial a été très bien traitée et a permis à tous les candidats de produire quelque chose de juste.
La conservation de la charge est bien comprise et son application bien menée en partie C.
La méthode des rectangles est bien comprise par la majorité des candidats, et les programmes Python sont dans l'ensemble bien rédigés et clairement présentés.
Conseils du jury
Approfondir les notions de puissance en régime sinusoïdal et le calcul en notation complexe.
Revoir les notions de valeur moyenne et de valeur efficace, et leur lien.
Ne pas négliger les applications numériques et soigner les dessins et figures demandés.
Rédiger les programmes le plus clairement possible en faisant bien apparaître l'indentation.
S'entraîner à formuler ses idées clairement et simplement, dans un français correct.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Physique - Modélisation PSI
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est autorisé.
AVERTISSEMENT
Les parties A, B, C, D, et les parties E, F, G sont à rédiger sur copies séparées.
Remarques importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
Il faudra exclusivement utiliser les notations de l'énoncé.
Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques (données avec un nombre de chiffres significatifs adapté); les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés (S.I. n'est pas une unité).
Tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e).
Un document réponse est à rendre non plié avec la copie de la deuxième partie.
Ce problème traite de systèmes d'identification par radio fréquence (RFID). Aucune connalssance particulière sur les antennes n'est demandée.
La radio-identification, le plus souvent désignée par le sigle RFID (de l'anglais radio frequency identification), est une méthode pour mémoriser et récupérer des données à distance en utilisant des marqueurs appelés "radio-étiquettes" ("RFID tag "ou "RFID transponder " en anglais). Les radio-étiquettes peuvent être des étiquettes autoadhésives, pouvant être collées sur des objets. Les radio-étiquettes comprennent une antenne associée à une puce électronique qui leur permet de recevoir et de répondre aux requêtes radio émises (signal radiofréquence) depuis un émetteur-récepteur.
Cette puce électronique contient un identifiant et éventuellement des données complémentaires. Les puces RFID tentent aujourd'hui de supplanter les codes à barres en jouant de leurs avantages, à savoir qu'il est possible d'écrire, d'effacer et de réécrire les données stockées dans la puce un grand nombre de fois, que leur portée peut être supérieure aux lecteurs optiques utilisés pour les codes à barres, et que la communication peut se faire à travers certains obstacles contrairement aux systèmes à lecture optique.
Un système RFID passif est composé de deux entités qui communiquent entre elles (Fig. 0) :
Un TAG passif (dénommé TAG par la suite) ou radio-étiquette, associé à l'élément à identifier. Il est capable de répondre à une demande venant du système émetteur = récepteur. Le TAG n'a pas d'alimentation de type batterie ou pile mais est autoalimenté par l'onde électromagnétique reçue (il existe cependant des TAG actifs alimentés par pile).
Une station de base ou lecteur RFID qui a pour mission d'identifier le TAG. Le lecteur envoie une onde électromagnétique en direction de l'élément à identifier, cette onde alimente le TAG qui peut alors communiquer avec le générateur - lecteur grâce à sa puce électronique interne. En retour, le générateur - lecteur reçoit l'information renvoyée par le TAG.
La figure 0 présente le fonctionnement général d'un système RFID. Le générateur - lecteur relié à une antenne émettrice agit en maître par rapport au TAG : si le TAG est dans la zone de lecture du générateur - lecteur, ce dernier l'active en lui envoyant une onde électromagnétique et entame la communication. Le TAG est quant à lui, constitué d'une antenne et d'une puce électronique qui
module l'onde réémise vers le générateur - lecteur. En démodulant le signal reçu, le générateur lecteur relié à une application interne récupère l'information pour la traiter, il est chargé de l'interface et de la gestion de l'identification des TAGs qui se présentent à lui.
II existe plusieurs familles de systèmes RFID dont le principal critère de différentiation est la fréquence de fonctionnement. Les système RFID utilisent des bandes de fréquence diverses allant de 125 kHz à 2, 45GHz. Le sujet étudie quelques aspects d'un système RFID à 860 MHz . Les parties A_–, B_–, C_–, D_–, E_–, E_– et G_– de ce sujet sont largement indépendantes les unes des autres.
Question préliminaire. Quel peut être l'avantage majeur d'un système RFID actif par rapport à un système RFID passif ?
Partie I : Système RFID à 860 MHz
A Adaptation d'impédance
La notation complexe est utilisée et à x(t) = X_(eff)√2cos(ωt + φ) est associé la grandeur complexe X_– = X_(eff)√2e^(j(ωt + φ)).
Un générateur de tension, de fem interne E_6_– et d'impédance interne Z_G_– = R_G + jX_G est connecté à une impédance de charge variable Z_U_– = R_U + jX_U (Fig. 1), La fréquence de fonctionnement est f = 860MHz. On note P_(E_0) la puissance moyenne délivrée par la
Figure 1
fem E_6_–, P_(Z_0) la puissance moyenne dissipée dans Z_6_– et P_(Z_0) la puissance moyenne reçue par Z_U_–.
A1. Déterminer le courant I_1_– débité par le générateur, puis déterminer l'expression de P_(z_0) en fonction de |E_G_–|, R_G, X_G, R_U et X_U.
A2. Pour Z_0_– et E_0_– fixés, montrer que P_(Z_0) est maximale quand l'impédance de la charge vérifie: R_U + jX_U = R_G − jX_G. Dans ce cas on dit que l'impédance de charge est adaptée à celle de la source (adaptation en puissance). Dans ces conditions, que valent les puissances P_(Z_0), P_(E_0) et P_(Z_0) ?
On insère entre le générateur et la charge les deux composants de réactance X_1 et X_2 (Fig. 2). La condition d'adaptation n'est plus réalisée et maintenant, Z_G_– = R_G et X_G = 0 ce qui correspond à un générateur standard; on a encore Z_U_– = R_U + jX_U.
Pour les applications numériques prendre R_G = 50, 0Ω, R_U = 73, 2Ω et X_U = 42, 5Ω. On appelle Z_(IN)_– = R_(IN) + jX_(IN) l'impédance équivalente comprenant jX_1, jX_2 et Z_U_–.
Figure 2
A3. Montrer qualitativement que les deux réactances X_1 et X_2 modifient l'impédance de la charge vue du générateur et permettent éventuellement une adaptation entre le générateur et le reste du montage.
Application numérique: on a tracé sur la figure 3 les lieux des points de coordonnées ( X_1, X_2 ) donnant d'une part X_(IN) = 0Ω et R_(IN) = 50, 0Ω d'autre part. En analysant cette figure, déterminer chaque couple de ( X_1, X_2 ) assurant l'adaptation d'impédance ; donner le type de composant correspondant (bobine ou condensateur) et sa caractéristique (inductance ou capacité), Quel est le meilleur choix? Expliquer.
Le montage de la figure 2 ne convient pour réaliser l'adaptation que dans la situation où R_G < R_U.
A4. Sans calcul et en invoquant des propriétés de symétrie, proposer une modification simple de la figure 2 pour permettre une adaptation d'impédance dans le cas où R_G > R_U.
B influence du câble coaxial
On étudie un câble coaxial d'axe (Ox), de longueur ℓ_L intercalé entre le générateur et la charge équivalente adaptée en puissance de la figure 2 (cf. A2.). Le schéma équivalent est donné par la figure 4 où θ_G est la fem du générateur.
Figure 4
On admet que la portion de cáble comprise entre les plans de section droite repérés par x et par x + dx peut être modélisée par le circuit de la figure 5. Elle possède une capacité 「dx entre les conducteurs et une inductance propre Λdx entre les sections d'entrée et de sortie. La tension
entre l'âme et la gaine du câble s'écrit v(x, t) et le courant traversant une section de l'âme est i(x, t).
Figure 5
B1. Démontrer les relations suivantes: (∂v)/(∂x) = − Λ(∂i)/(∂t) et (∂i)/(∂x) = − Γ(∂v)/(∂t).
B2. En déduire l'équation de propagation vérifiée par v(x, t) et i(x, t). Exprimer c_L la vitesse de propagation.
On admet que les solutions générales sont de la forme : v(x, t) = v_1(t − x/c_L) + v_2(t + x/c_L) et i(x, t) = i_1(t − x/c_L) + i_2(t + x/c_L).
B3. Interpréter les significations physiques des grandeurs d'indice 1 et 2 . Illustrer avec un graphique et expliquer.
Le générateur de tension (Fig. 4) de fem interne e_G et de résistance interne R_G impose un régime sinusoïdal forcé de pulsation ω dans le câble coaxial. Les grandeurs v_1, v_2, i_1 et i_2 précédentes deviennent des fonctions sinusoïdales dépendant de ω(t − x/c_L) pour les grandeurs d'indice 1 et de ω(t + x/c_L) pour les grandeurs d'indice 2. On pose: k_L = ω/(c_L).
B4. En utilisant la notation complexe, montrer que: v_1(t − x/c_L) = R_C ⋅ l_1(t − x/c_L) et v_2(t + x/c_L) = − R_C ⋅ l_2(t + x/c_L) où R_C est la résistance caractéristique du câble. Exprimer R_c en fonction de Γ et de Λ. Vérifier l'homogénéité.
La résistance équivalente R_G est branchée en sortie du câble. Les grandeurs à l'entrée du câble sont notées avec l'indice e et les grandeurs à la sortie du câble avec l'indice s de sorte que: v_0(t) = v(0, t), v_0(t) = v(ℓ_L, t), i_0(t) = i(0, t) et i_0(t) = i(ℓ_L, t). Avec la notation complexe: V_1_– = V_(10)_– ⋅ e^(j(ωt − k_L x)), V_2_– = V_(20)_– ⋅ e^(j(ωt + k_L x)), i_1_– = (V_(10)_–/R_C) ⋅ e^(j(ωt − k_L x)), i_2_– = − (V_(20)_–/R_C) ⋅ e^(j(ωt + k_L x)) où V_(10)_– et V_(20)_– sont des nombres complexes constants. On utilisera les amplitudes complexes V_–(x) et I_–(x) associées à v(x, t) et i(x, t) telles que:
B6. En déduire l'impédance d'entrée Z_0_– = (V_0)/(I_0_–) en fonction de R_0, R_0, K_L et ℓ_L.
B7. Pour quelles valeurs particulières de ℓ_L a-t-on Z_0_– = R_G ? Interpréter et discuter les différents cas.
Application numérique : calculer la longueur ℓ_L qu'il faut donner au câble coaxial de type RG58C/U entre le générateur - lecteur et l'antenne (Fig. 0) pour qu'il ne perturbe pas la condition d'adaptation d'impédance, si la distance D entre les deux vaut trois mètres ? On donne Λ = 250nH ⋅ m^(− 1) et Γ = 100pF ⋅ m^(− 1).
C Antenne filaire
Une antenne a_1 (Fig. 6) est modélisée par un conducteur filiforme de longueur ℓ, centré sur O, dirigé suivant l'axe Oz de vecteur unitaire u_z^(→−). L'antenne est parcourue par un courant de pulsation ω et de longueur d'onde λ, dont la répartition est de la forme: i(z, t) = I_0(z)√2cos(ωt), soit I_–(z, t) = I_0(z)√2exp(jωt) en complexe avec − ℓ/2 < z < ℓ/2. Le générateur d'alimentation (qui est le générateur - lecteur de la figure 0) n'est pas représenté, mais fournit à l'antenne le courant i(0, t) par l'intermédiaire d'un câble coaxial. La répartition des charges sur le conducteur est donnée par la densité linéique de charges λ_c(z, t); (λ_c(z, t) = (δq(z, t))/(δz) où δq(z, t) est la charge contenue dans le tronçon de longueur δz situé à z ). On se place dans le cas où I_0(z) = I_0 cos(kz) = I_0 cos((2πz)/λ) avec la condition ℓ = λ/2 (antenne demi-onde). Dans la suite du problème c désigne la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide. Pour les applications numériques, c ≈ 3 ⋅ 10^6 m ⋅ s^(− 1). On rappelle également que la valeur de la perméabilité magnétique du vide vaut : μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1).
C1. Rappeler les équations de Maxwell dans une région vide de charge et de courant. Peut-on se placer dans l'hypothèse de l'ARQS ? Que peut-on dire de l'intensité aux extrémités de l'antenne? Expliquer le nom donné à cette antenne : «antenne demi-onde». Application numérique: si f = 860MHz, calculer la longueur ℓ de l'antenne demi-onde.
C2. Etablir une condition sur ω, c et ℓ pour que i(z, t) soit solution d'une équation de d'Alembert (dont les ondes se propagent à la célérité c )? Que représente I_0 ?
C3. Faire un bilan de charges sur un tronçon de conducteur infinitésimal de longueur δz pendant l'intervalle de temps δt. En déduire une relation entre une dérivée de λ_c(z, t) et une dérivée de i(z, t).
C4. Exprimer λ_0(z, t) sachant de plus que pour tout z tel que − ℓ/2 < z < ℓ/2 : ∫_0^((2π)/ω)λ_0(z, t)dt = 0. Déterminer la charge q + (t) portée par la moitié supérieure de l'antenne? Que vaut la charge totale q(t) portée par la totalité de l'antenne?
Formulaire en coordonnées sphériques: si B^(→−) = B_r u_r^(→−) + B_0 u_0^(→−) + B_φ u_φ^(→−) rot^(→−)(B→) = | 1/(r^2 sinθ)(∂/(∂θ)(B_φ rsinθ) − ∂/(∂φ)(rB_0)), sur u_r^(→−); 1/(rsinθ)(∂/(∂φ)B_r − ∂/(∂r)(B_φ rsinθ)), sur u_0^(→−); 1/r(∂/(∂r)(B_0) − ∂/(∂θ)B_r), sur u_φ^(→−) Et : dS^(→−) = r^2 sinθ ⋅ dφ ⋅ dθ ⋅ u_r^(→−)
Figure 6
On admet que le champ magnétique complexe B→(M, t) produit par l'antenne en un point M éloigné (zone de champ lointain) repéré par ( OM = r≯λ ) et θ = (Oz^(→−), OM^(→−)) est à l'instant t : B⃗_–(M, t) = B_φ_–u_φ^(→−) = (jμ_0 l_0√2)/(2πr)(cos(π/2cosθ))/(sinθ)exp(j(ωt − kr))u_φ^(→−) avec k = ω/c, Dans la suite on ne gardera dans les calculs que les termes en k/r, en négligeant les termes en 1/(r^2).
C5. Justifier que B⃗_–(M, t) soit polarisé selon u_φ^(→−).
C6. A partir d'une équation de Maxwell à préciser (utiliser le formulaire), trouver les composantes complexes ( E_r_–, E_0_–, E_φ_– ) du champ E→_–(M, t) et montrer en particulier qu'll est orthoradial. Donner les composantes réelles correspondantes de E⃗(M, t) associé au champ complexe E_–→(M, t).
C7. En un point A_1 de l'axe ( Ox ) tel que OA_1 = d, déterminer l'amplitude et la polarisation du champ E⃗(A_1, t) dans la base (u_x^(→−), u_y^(→−), u_z^(→−)).
C8. Donner les composantes réelles correspondantes du champ B⃗(M, t) associé au champ complexe B⃗(M, t).
C9. Vérifier que le champ électromagnétique en M a la structure d'une onde plane progressive harmonique.
C10. Calculer le vecteur de Poynting Π⃗(M, t) et sa valeur moyenne temporelle ⟨Π⃗(M, t)⟩ au point M.
On donne le résultat de l'intégrale suivante : ∫_0^π(cos^2(π/2cosθ))/(sinθ)dθ ≈ 1, 22 évaluée en partie E_–.
C11. Quelle est la puissance moyenne P_a rayonnée à travers la sphère de centre O et de rayon r (r≫λ) ? Identifier une résistance R_a équivalente (dite de rayonnement) en z = 0 telle que : P_a = R_a ⋅ l_0^2. Application numérique : calculer R_a et l_0 dans le cas où P_a = 3, 30 W.
D Système RFID passif
Une antenne peut être émettrice comme dans la partie précédente mais peut étre également réceptrice comme l'est une antenne de téléphone portable. En conséquence, on admettra par la suite qu'une antenne est équivalente à un circuit d'impédance Z_a_– = R_a + jX_a parcouru par le courant émetteur dans le cas d'une émission. De même, dans le cas d'une réception, cette antenne est équivalente à un générateur comprenant en série une fem induite E_R et l'impédance interne de l'antenne Z_a_– = R_a + jX_a. Dans les deux cas (émission et réception), la résistance R_a modélise la puissance moyenne P_a = R_a ⋅ |^2 rayonnée par celle-ci lorsqu'elle est parcourue par un courant efficace I. Pour les applications numériques, on prendra R_a = 73, 2Ω et X_a = 42, 5Ω. On pourra remarquer que R_a ≈ √3X_a.
En mode émission le schéma équivalent de l'antenne alimentée par un générateur de tension E_G_– et d'impédance de sortie Z_G_– = R_G + jX_G est donné à la figure 7.
En mode réception l'antenne est connectée à une charge d'impédance Z_C_– = R_C + jX_C. Le schéma équivalent de l'antenne et de sa charge est donné à la figure 8. E_R est la fem induite dans l'antenne due au champ électromagnétique incident.
Figure 8
D1. En mode réception (Fig. 8), soit I le courant efficace circulant dans le circuit. Expliquer pourquoi l'antenne «re-rayonne» un champ électromagnétique. Déterminer la puissance P_R « re-rayonnée» par l'antenne en fonction de R_a et de I.
Soit une deuxième antenne a_2 demi onde, du même type que a_1 et centrée sur le point A_1 de coordonnées ( x = d, y = 0, z = 0 ) et parallèle à ( Oz ). On rappelle que la permittivité du vide vaut ε_0 ≈ 8.85 ⋅ 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1). On admet que la tension efficace de la fem induite dans l'antenne a_2 et due
au champ électromagnétique incident produit par a_1 s'écrit V_(beff) = (λ ⋅ I_0)/(2π^2 ε_0 cd) (où I_0 est le courant dans a_1 (cf. C.11.)). Pour les applications numériques prendre d = 5m et I_0 = 212mA. On fera l'hypothèse que l'antenne a_2 ne perturbe pas l'émission de a_1.
D2. Faire une figure faisant apparaître a_1 et a_2. Application numérique : calculer V_(beff).
L'antenne a_2 est chargée par une charge d'impédance Z_0_– = R_C + jX_C = R_a − jX_a pour qu'll y ait adaptation en puissance (cf. A.2.).
D3. Exprimer la puissance moyenne P_C reçue par la charge en fonction de V_(beff) et R_a. Rappeler la signification physique de ‖⟨Π⃗(A_1, t)⟩‖. Montrer que a_2 reçoit une puissance P_(Ra2) = k_b λ^2‖(Π⃗(A_1, t))‖ où k_b sera explicitée,
On définit la grandeur A_e = k_b λ^2 appelée «aire équivalente de l'antenne».
D4. Pourquoi un tel nom pour A_0 ? Application numérique : calculer k_b et A_0.
Le TAG est modélisé par a_2 et pour simplifier le fonctionnement, les parties émission et réception du système émetteur - récepteur de la figure 0 sont disjointes et modélisées par a_1 et a_3, qui est une troisième antenne demi-onde, du même type que a_1 et centrée sur le point B_1 de coordonnées (x = 0, y = 0, z = (3ℓ)/2) et parallèle à (Oz). L'antenne a_3 est toujours connectée à une charge adaptée en puissance. On admet que la puissance reçue par l'antenne a_3 ne vient que de a_2. Lorsque l'antenne a_2 est connectée à une charge adaptée en puissance, la puissance reçue par la charge de a_3 vaut P_(30); enfin on pourra remarquer que a_3 vis-à-vis de a_2 joue le même rôle que a_2 vis-àvis de a_1.
D5. Faire une figure faisant apparaître a_1, a_2 et a_3. Déterminer P_(30) en fonction de k_b, λ_1, V_(beff), ε_0, c, d et R_a, Application numérique : calculer P_(30).
D6. Lorsque la charge de a_2 a une impédance Z_c_– = R_C + jX_c quelconque (non adaptée en puissance), montrer alors que la charge de a_3 reçoit la puissance P_3 telle que P_3 = (k_b^′ R_a^2)/(|Z_a_– + Z_0_–|^2) ⋅ P_(30) où k_b^′ est une constante à déterminer.
Application numérique : calculer (P_3)/(P_(30)) = (k^′_b R_a^2)/(|Z_a_– + Z_c_–|^2) pour Z_a_– = 0, puis pour Z_c_– = Z_a_– '(conjugué de Z_a_– ) et enfin pour Z_0_– = ∞.
D7. Montrer à partir d'un schéma reprenant les éléments de la figure 8 comment réaliser en pratique ces trois conditions ( Z_0_– = 0, Z_0_– = Z_a_–^′ et Z_0_– = ∞ ) avec seulement deux interrupteurs commandables.
D8. Montrer que la modulation (appellée ici «rétromodulation») de la charge de a_2 (réalisée par la puce électronique) permet de communiquer avec le générateur - lecteur RFID.
Partie II: quelques aspects numériques du problème
L'objectif des parties E_–, E_– et G_– est de décrire quelques méthodes algorithmiques et numériques permettant d'obtenir des résultats admis dans la première partie de ce sujet.
E Résolution d'une équation de deux variables
On souhaite obtenir la courbe de la figure 3 utillsée à la question A3. Supposons qu'on dispose d'une fonction XIN(X1,X2) qui pour deux valeurs des réactances X_1 et X_2 et pour une impédance de charge Z_U_– = 73, 2 + 42, 5j calcule la valeur de la réactance équivalente X_(IN) correspondante. On souhaite résoudre numériquement l'équation X_(IN)(X_1, X_2) = 0.
On propose la fonction Resolution( N, eps ) donnée en annexe.
E1. La fonction proposée ne fonctionne pas. Lorsqu'on l'utilise, on reçoit le message d'erreur suivant :
En langage Python:
En langage Scilab:
local variable 'soll' referenced before
assignment
variable non définie: soll
Ajouter dans le code d'une des deux fonctions en annexe les instructions manquantes pour son bon fonctionnement.
E2. Expliquer le fonctionnement de l'algorithme. Préciser en particulier ce qu'il retourne et ce que représentent les variables d'entrées N et eps.
E3. Quelles contraintes informatiques empêchent d'utiliser ce programme pour des valeurs arbitrairement grandes de N ?
F Calcul d'une intégrale
L'objectif de cette partie est d'étudier une méthode générale d'intégration. On l'utilisera pour obtenir une valeur numérique approchée de : I = ∫_0^π(cos^2(π/2cosθ))/(sinθ)dθ
L'application f : x ↦ (cos^2(π/2cos(x)))/(sin(x)) est continue sur ]0, π[ et est prolongeable par continuité en 0 et π en posant f(0) = f(π) = 0. L'Intégrale I est donc bien définie.
La méthode des rectangles consiste à approcher l'intégrale par la suite (R_n)_(neN ^′) définie pour notre fonction f par:
R_1 = 0 et pour tout n ≥ 2, R_n = λ_n∑_(k = 1)^(n − 1)f((kπ)/n)
où λ_n désigne un nombre réel qu'll faudra préciser.
Tous les algorithmes demandés dans cette partie devront être réalisés dans un même langage. Ce langage pourra être le langage Python ou le langage Scilab. On n'utilisera aucune librairie particulière mais on considérera que les fonctions cos et sin ainsi que le nombre pi ont été importés dans Python. On rappelle que le nombre π se note % pi dans Scilab.
II n'est pas demandé de vérifier dans les algorithmes que les variables d'entrée sont bien du type voulu. Il est ainsi par exemple inutile dans la question F2. de tester si la variable d'entrée x est bien dans l'intervalle ]0, π[.
F1. Illustrer le principe de la méthode des rectangles en représentant R_(10) sur le graphe de la fonction f fourni en annexe. Donner l'expression de λ_n en fonction de n.
F2. Écrire une fonction f(x) qui retourne la valeur de f pour un nombre réel x de ]0, π[.
F3. Ecrire une fonction Rectangle1 ( n ) qui, pour un nombre entier n ≥ 1, retourne la valeur de R_n,
F4. Combien d'évaluations de l'application f nécessite cet algorithme pour une valeur de n donnée?
II faut déterminer une valeur de n pour laquelle R_n fournit une bonne estimation de I . La méthode 1 consiste à calculer les termes successifs de la suite R_n jusqu'à ce que celle-cl semble se stabiliser.
F5. Ecrire une fonction Integrale1 (eps) qui calcule, pour eps > 0, les termes successifs de la suite (R_n)_(n ≥ 1) jusqu'à ce qu'on obtienne |R_n − R_(n − 1)| < eps, puis qui retourne la dernière valeur R_n calculée.
F6 Pour eps = 10^(− 7), Integrale1 (eps) s'arrête pour n = 34. Vérifier que cela a nécessité plus de 500 évaluations de la fonction f.
F7. Quelle contrainte informatique empêche d'obtenir un résultat pertinent pour des valeurs arbitrairement petites de eps ?
II est possible d'améliorer la méthode 1. La méthode 2 repose sur la relation de récurrence suivante :
F8. Écrire la relation de récurrence pour un entier n de la forme n = 2^(m − 1). Écrire une fonction récursive Rectangle2 (m) qui pour un nombre entier m retourne la valeur de R_(2^m).
F9. Combien d'évaluations de la fonction f nécessite cet algorithme pour une valeur de m donnée?
F10. Écrire une fonction Integrale2 (eps) qui calcule, pour eps > 0, les termes successifs de la suite (R_(2^m))_(m ≥ 0) jusqu'à ce qu'on obtienne |R_(2^m) − R_(2^(m − 1))| < eps , puis qui retourne la dernière valeur R_(2^m) calculée. Cet algorithme doit impérativement être élaboré dans le but de minimiser le nombre total d'évaluations de f.
F11. Pour eps = 10^(− 7), Integrale2(eps) s'arrête pour m = 7. Combien d'évaluations de la fonction f ont été nécessaires ?
G Puissance rayonnée de l'antenne réelle du TAG
Dans les questions C5. et C6. de la première partie, on cherche à déterminer la résistance de rayonnement R_a de l'antenne. On souhaite proposer une façon de déterminer R_a dans un cadre plus général.
Une antenne est en réalité rarement filaire et l'expression analytique du champ électromagnétique produit est très difficile (voire impossible) à obtenir en tout point. Une antenne de TAG RFID est representée figure 9.
Figure 9
On considère une antenne centrée en l'origine dont les dimensions sont inférieures à 16 cm . Supposons qu'on ait estimé numériquement le champ électrique et le champ magnétique en tout point d'un maillage de pas 0, 1 m contenant l'origine et pour des temps espacés d'un centième de période du courant d'alimentation. On a ainsi accès aux coordonnées cartésiennes ( E_x, E_y, E_z ) et ( B_x, B_y, B_z ) des champs E˙(M, t) et B˙(M, t) en chaque point M = (x, y, z) de la forme (a/(10), b/(10), c/(10)) où a, b et c désignent des nombres entiers et en tout instant t de la forme p/(100f) où p est un nombre entier et f = 860MHz. Enfin, on supposera I_0 = 1 A. Ainsi la valeur numérique de R_a est simplement donnée par la valeur de P_a, la puissance rayonnée par l'antenne.
L'objectif de cette partie est de proposer une démarche numérique permettant d'estimer Ra. On ne demande ni programme, ni justification mathématique des formules proposées.
G1. Proposer une façon d'estimer, à partir des données disponibles, la valeur moyenne temporelle ⟨Π⃗(M, t)⟩ du vecteur de Poynting dú à l'antenne en un point M du maillage.
G2. On souhaite maintenant estimer la puissance moyenne rayonnée par l'antenne à travers une surface fermée contenant l'antenne. Compte tenu des données disponibles, quelle est parmi les surfaces suivantes la plus pertinente pour obtenir une estimation précise de P_a (et donc de R_a ) : la surface du cube [(− 1)/(10), 1/(10)]^3, celle du cube [ − 5, 5]^3, la sphère de centre O et de rayon 1/(10) ou la sphère de centre O et de rayon 5 ?
G3. Notons (⟨Π_x(M, t)⟩, ⟨Π_y(M, t)⟩, ⟨Π_z(M, t)⟩) les coordonnées de la valeur moyenne du vecteur de Poynting en un point M du maillage. Proposer une formule permettant d'estimer numériquement la résistance de rayonnement R_a.
G4. Proposer une démarche, qui en faisant varier la surface choisie, permettrait de s'assurer une bonne précision de la valeur estimée de R_a.
FIN DE L'EPREUVE
s!unot słuəunnoop sәุ.dde,d - tZOL GL - <SIOHJ NI
Document réponse
Annexe : Document réponse
Question E1: fonction Resolution en langages Python et Scilab.
En langage Python:
En langage Scilab:
def Resolution (N, eps) :
function [soll,sol2]=Resolution(N,eps)
valeurs = [i∗300/N for i in range (− N, N + 1)]
valeurs = − 300 : 300/N : 300;
for X1 in valeurs :
for X1=valeurs
for X2 in valeurs :
for X2-valeurs
if abs(Xin(X1, X2)) <eps :
if abs(Xin(X1, X2)) <eps then
soll=sol1, append(X1)
soll=[soll, X1] ;
sol2=so12, append(X2)
sol2=[so12, X2] ;
return [soll,sol2]
end ;
end ;
end ;
endfunction
Question F1 : graphe de la fonction f.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique-modélisation e3a PSI 2015 ?
Afficher ou masquer la section
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique-modélisation e3a PSI 2015 ?
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Le sujet porte sur l'adaptation d'impédance, les lignes de transmission, le rayonnement d'une antenne et, en informatique, la résolution numérique d'équations et le calcul d'intégrales en Python, à travers l'étude des systèmes RFID.
Quelle est la moyenne à l'épreuve physique-modélisation e3a PSI 2015 ?
+
La moyenne est de 9,57/20 avec un écart-type de 4,13.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet e3a modélisation PSI 2015 ?
+
Une notation complexe mal maîtrisée en puissance, des questions sur le vecteur de Poynting très mal traitées, et une description des programmes Python mal rédigée.
Ce sujet e3a physique-modélisation PSI 2015 est-il difficile ?
+
Le niveau global est jugé satisfaisant par le jury, avec des parties très bien traitées comme le câble coaxial et d'autres très mal réussies comme le rayonnement de l'antenne.
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Commentaires• E3A Modélisation PSI 2015
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Même année, X-ENSX ENS Modélisation PSI 2015X-ENS · 2015Sujet seul
Même année, CCINPCCINP Modélisation PSI 2015CCINP · 2015Sujet seul
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