E3A Modélisation PSI 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Ondes ultrasonores
Vecteur de Poynting et réflexion d'ondes
Filtrage et relation de dispersion
Motorisation électrique
Traitement de données en Python

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BanqueE3A Année2016 FilièrePSI MatièrePhysique Modelisation

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Présentation du sujet

Difficile

Robot autonome : télémétrie par ultrasons et motorisation

Le sujet étudie deux volets indépendants d'un robot autonome : la télémétrie par ultrasons puis la détermination expérimentale des paramètres physiques de sa motorisation. Il mêle modélisation physique, programmation et exploitation de résultats expérimentaux, avec une difficulté progressive sur sept sous-parties.

1A. Détecteur à ultrasonsComparer les technologies de détecteurs et analyser les facteurs d'influence de la télémétrie par ultrasons.
2B. Célérité de l'onde ultrasonoreÉtablir l'expression de la célérité de l'onde ultrasonore à partir de la compressibilité adiabatique du gaz.
3C. Réflexion de l'onde ultrasonoreÉtudier le vecteur de Poynting et les coefficients de réflexion et de transmission de l'onde.
4D. Détection d'un obstacle mobileÉtudier la relation de dispersion et l'identification de filtres pour détecter un obstacle mobile.
5E. Essai à rotor bloquéExploiter des données expérimentales en Python pour déterminer des paramètres du moteur.
6F. Essai à vide en fonctionnement générateurDéterminer d'autres paramètres physiques de la motorisation à partir d'un essai à vide.
7G. Essai de lâchéÉtudier l'équation du mouvement lors d'un essai de lâché du moteur.

Difficile. La moyenne de l'épreuve s'élève à 9,60 sur 20 avec un écart-type de 3,46, et plusieurs parties en fin de sujet ont été très rarement voire quasiment jamais abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,6 / 20 · écart-type 3,46 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,6/ 20
Écart-type: 3,46

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Question de cours sur la diffraction mal traitée · Justifications insuffisantes en partie B · Unité de l'écart mal identifiée

Le sujet, de difficulté progressive, a permis aux candidats les plus faibles d'avancer un peu et a révélé une grande variété de compétences chez les meilleures copies. Le jury regrette cependant des réponses souvent peu concises, des démonstrations non rigoureuses et un manque de temps qui a rendu les dernières parties peu abordées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Question de cours sur la diffraction mal traitéeA5
La dispersion ou la diffusion sont citées à tort, et peu d'étudiants donnent les bonnes grandeurs physiques intervenant dans le phénomène de diffraction.
2
Justifications insuffisantes en partie BB
Des explications comme « par approximation acoustique » ou « c'est adiabatique car il n'y a pas de transfert thermique » ne constituent pas des justifications suffisantes.
« par approximation acoustique » ne peut être considérée comme une explication suffisante en elle -même »
3
Unité de l'écart mal identifiéeB12
Rares sont les candidats qui ont déterminé la bonne unité de l'écart, le pourcentage ayant eu un certain succès à tort.
« Rares sont les candidats qui ont déterminé la bonne unité de l'écart dans la question B12 »
4
Vecteur de Poynting méconnuC
La signification et l'unité du vecteur de Poynting sont méconnues, avec parfois des confusions avec l'électromagnétisme.
5
Identification des filtres laborieuseD
Beaucoup de candidats effectuent une étude du comportement asymptotique sans finalement donner le nom du filtre.
« Beaucoup de candidats effectuent une étude du comportement asymptotique sans finalement donner le nom du filtre »
6
Notions d'incertitude quasi inconnuesE2
Les notions relatives au calcul d'incertitude sont quasiment inconnues des candidats.
« les notions relatives au calcul d’incertitude sont quasiment inconnues des candidats »

Ce qui a été bien réussi

L'analyse de documents en partie A a été globalement bien traitée par une grande majorité de candidats.
La partie B a été très souvent traitée et une grande majorité de candidats obtient les résultats attendus.
La partie D a été assez bien comprise et correctement traitée, malgré quelques erreurs de signe.
Les questions d'informatique proches du cours en partie E sont globalement maîtrisées.

Conseils du jury

Apprendre à gérer son temps, notamment via des tableaux de synthèse et des réponses concises mais précises.
Être exigeant avec soi-même sur la rigueur de chaque démonstration, sans raccourci non justifié.
Toujours exprimer les résultats avec leur unité, sous peine de ne pas être comptabilisés.
Ne pas négliger les questions relatives aux aspects numériques et à la programmation.
Vérifier la cohérence physique des ordres de grandeur obtenus.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Physique - Modélisation PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

AVERTISSEMENT

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés.
Tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e).
La lecture ou l'écriture de programme peut se faire aussi bien en python qu'en scilab. Une annexe syntaxique python scilab est présente en fin d'épreuve.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
«Un robot est une machine équipée de capacités de perception, de décision et d'action qui lui permettent d'agir de manière autonome dans son environnement en fonction de la perception qu'il en a. » David Filliat - ENSTA ParisTech

La robotique est donc un très bon exemple de domaine pluridisciplinaire qui implique de nombreuses thématiques. Le but de ce problème est d'étudier quelques caractéristiques d'un robot autonome. II comporte deux volets : le premier étudie les propriétés de la télémétrie par ultrasons et le second a pour but de déterminer les principaux paramètres physiques du moteur qui alimente le robot.

PREMIERE PARTIE TÉLÉMETRIE PAR ULTRASONS

A / DÉTECTEUR À ULTRASONS

La recherche du maximum d'information sur l'environnement est une quête perpétuelle en robotique.

Pour se faire, la télémétrie, qui consiste à mesurer des distances, est extrêmement importante. Elle permet au robot de déterminer la position des obstacles (ou leur absence) et ainsi de prendre la décision adéquate.

Dans un premier temps, on compare à l'aide du Cahier Technique suivant deux types de télémétrie.

Les différentes technologies de détecteurs

A. Les détecteurs photoélectriques

Leur principe les rend aptes à détecter tous types d'objets, qu'ils soient opaques, réfléchissants ou même quasi-transparents.
Principe : Une diode électroluminescente (LED) émet des impulsions lumineuses, généralement dans l'infrarouge proche ( 850 à 950 nm ). Cette lumière est reçue ou non par une photodiode ou un phototransistor en fonction de la présence ou l'absence d'un objet à étudier.
II existe différents systèmes de détection, le système à réflexion directe (sur l'objet) consiste par exemple, à utiliser la réflexion directe (diffuse) de l'objet à détecter.
Points faibles : la distance de détection de ce système est faible (jusqu'à 2 m ). De plus elle varie avec la couleur de l'objet à « voir » et du fond dans lequel il se trouve (pour un réglage donné, la distance de détection est plus grande pour un objet blanc que pour un objet gris ou noir) et un arrièreplan plus clair que l'objet à détecter peut rendre le système inopérant.

Principe d'un détecteur photoélectrique

B. Les détecteurs à ultrasons

Les ultrasons sont produits électriquement à l'aide d'un transducteur électroacoustique (effet piézoélectrique) qui convertit l'énergie électrique qui lui est fournie en vibrations mécaniques.

Principe d'un transducteur électroacoustique

Le principe est de mesurer le temps de propagation entre le capteur et la cible. L'avantage des capteurs ultrasons est de pouvoir fonctionner à grande distance (jusqu'à 10 m ), mais surtout d'être capable de détecter tout objet réfléchissant le son indépendamment de la forme et de la couleur.
Facteurs d'influence : les détecteurs à ultrasons sont particulièrement adaptés à la détection d'objet dur et présentant une surface plane et perpendiculaire à l'axe de détection. Cependant le fonctionnement du détecteur à ultrasons peut être perturbé par différents facteurs :

Les courants d'air brusques et de forte intensité peuvent accélérer ou dévier l'onde acoustique.
Les gradients de température importants dans le domaine de détection : une forte chaleur dégagée par un objet crée des zones de température différentes qui modifient le temps de propagation de l'onde et empêchent une détection fiable.
Les isolants phoniques : les matériaux tels le coton, les tissus, le caoutchouc, absorbent le son. - L'angle entre la face de l'objet à détecter et l'axe de référence du détecteur.

Cahier Technique Schneider Electric nº209
Pour choisir la solution la plus adaptée à l'utilisation du robot autonome, on choisit de présenter les principaux avantages et inconvénients des deux solutions dans un tableau.

	Ultrason	Infrarouge
Portée	Abordé dans la question A1	Abordé dans la question A1
Nature des matériaux compatibles	Abordé dans la question A2	Abordé dans la question A2
Facteurs d'influence	Abordé dans la question A3	Abordé dans la question A3
Directivité	Les ultrasons sont très évasifs (cône d'émission large d'environ $30^\circ$ ), ce qui peut être un avantage (détection d'obstacle rapprochée) ou un inconvénient (détection d'obstacles sur les côtés alors que la route en face est dégagée).	La directivité est très précise (cône d'émission d'environ $5^\circ$ ).
Coût	Quelques dizaines d'euros	Quelques dizaines d'euros

A1. À l'aide des informations apportées par ce Cahier Technique, comparer les portées de ces deux détecteurs.

A2. Comparer les capacités de détection des deux capteurs en fonction de la nature du matériau et de la couleur de l'obstacle.

A3. Relever au moins un facteur d'influence perturbant la détection par ultrasons et un perturbant la détection par infrarouges.

Pour produire les ultrasons, on utilise l'effet piézoélectrique inverse que possède une lame de quartz. Si ses deux faces sont soumises à une tension alternative de haute fréquence

f_0

, soit

u_0(t) = U_0 cos(2πf_0 t)

, elle se met à vibrer à la même fréquence

f_0

, ce qui engendre une onde ultrasonore dans le milieu environnant.

A4. Pour obtenir des ultrasons, donner l'ordre de grandeur caractéristique de la fréquence

f_0

de la tension alternative à laquelle il faut soumettre la lame de quartz. On précisera les limites du domaine des fréquences des signaux acoustiques audibles par l'homme.

A5. Quel est le nom du phénomène physique à l'origine de l'élargissement des ondes émises ? Dans le tableau, ce phénomène est caractérisé par le cône d'émission. Quelle(s) est (sont) le(s) grandeur(s) physique(s) qui permettent d'expliquer l'écart entre les cônes d'émission ?

A6. Nommer un autre exemple d'utilisation de détecteurs par ultrasons, ainsi qu'un autre exemple d'utilisation de détecteurs infrarouges.

Dans toute la suite de la première partie sur la télémétrie, on considère que le détecteur par ultrasons a été choisi et on cherche à comprendre les facteurs perturbant le fonctionnement du détecteur à ultrasons. Dans la sous-partie B, on étudie pourquoi «les forts gradients de température [...] empêchent une détection fiable » ; puis on s'intéresse, dans la sous-partie

C

, au problème «des isolants phoniques » et pour finir, on analyse le problème de la détection d'obstacles mobiles dans la sous-partie D.

B / CÉLÉRITÉ DE L'ONDE ULTRASONORE

On étudie la propagation d'une onde ultrasonore produite dans l'air.
L'air est assimilé à un gaz parfait, initialement au repos de vitesse

v_0^(\to-) = 0\to

, et qui en l'absence de toute perturbation possède une masse volumique

μ_0

, une pression

P_0

et à une température

T_0

On suppose que la lame de quartz, positionnée à l'abscisse

x = 0

, transmet ses vibrations aux couches d'air environnantes et crée ainsi une onde ultrasonore sinusoïdale de fréquence

f_0

se propageant suivant (

0, e_x^(\to-)

) à la célérité

c

Le passage de l'onde perturbe l'équilibre.
En un point

M

de l'air d'abscisse

x

, à l'instant

t

, on note ainsi :

$p(x, t)$ la pression avec :

p(x, t) = P_0 + p_1(x, t)

$μ(x, t)$ la masse volumique avec :

μ(x, t) = μ_0 + μ_1(x, t),

$v⃗(x, t) = v(x, t)e_x^(\to-)$ le champ des vitesses avec:

ù v⃗(x, t) = v_0^(\to-) + v_1(x, t)e_x^(\to-) où v_1(x, t) est petit devant c.

L'écoulement du fluide est considéré parfait et on néglige l'action de la pesanteur.
On donne la constante des gaz parfaits :

R = 8, 31 J.mol^(- 1).K^(- 1)

.
Dans toute la suite, on se place dans l'approximation acoustique. Cela signifie que :

on considère des ondes de faible amplitude, pour lesquelles la surpression $p_1$ est très petite par rapport à la pression $P_0$ de l'air au repos : $|p_1|≪P_0$ ;
on mène les calculs au premier ordre.

B1. L'air étant assimilé à un gaz parfait de masse molaire

M_a

, à la température

T_0

supposée (dans un premier temps) constante, retrouver l'expression de la pression

p

de l'air en fonction de

μ, M_a, T_0

R

. En déduire que l'approximation acoustique se traduit aussi par la relation

μ_1≪μ_0

Bilan de masse

On considère un volume élémentaire d'air d

τ

, fixe dans le référentiel du laboratoire, contenu dans un cylindre de section

S

constante, d'axe (

0, e_x^(\to-)

) et compris entre les surfaces situées en

x

et en

x + dx

. Ce système est ouvert.

Figure 1 - Volume élémentaire d'air

B2. Donner l'expression de la masse

dm(t)

présente dans le volume

dτ

à l'instant

t

. De même pour la masse

dm(t + dt)

présente dans le volume

dτ

à l'instant

t + dt

B3. Exprimer la masse

δm_e

entrant dans

dτ

pendant la durée

dt

par la surface située en

x

. Même question pour la masse

δm_s

sortant de

dτ

pendant la durée

dt

par la surface située en

x + dx

B4. Montrer que, dans le cas de l'approximation acoustique, la conservation de la masse pour le système étudié se traduit par la relation (R1) :

(\partialμ_1)/(\partialt) + μ_0(\partialv_1)/(\partialx) = 0

Équation du mouvement

La loi de la quantité de mouvement, appliquée à la particule de fluide contenue dans le cylindre précédemment défini, conduit à la relation suivante :

μ(\partialv⃗)/(\partialt) = - grad^(\to-)p

B5. Que devient l'expression précédente, dans le cas unidimensionnel et dans le cadre de l'approximation acoustique? On appelle (R2) la relation ainsi obtenue.

Évolution isentropique

Historiquement, Isaac Newton a supposé que les particules d'air subissent une transformation isotherme lors du passage d'une onde sonore. Cette hypothèse s'est avérée en désaccord avec les valeurs expérimentales de la célérité des ondes sonores. Ce fut Pierre Simon de Laplace qui montra que l'hypothèse d'une transformation isentropique est plus adéquate.

B6. On considère que, pour des ondes ultrasonores se propageant dans des fluides, l'hypothèse adiabatique est adéquate. Justifier succinctement et sans calculs, la raison de cette hypothèse.

Les particules d'air subissant une transformation isentropique lors du passage de l'onde ultrasonore, on définit alors l'expression du coefficient de compressibilité isentropique :

χ_S = 1/μ((\partialμ)/(\partialp))_S

B7. Établir, dans le cas de l'approximation acoustique, la relation liant

μ_1

μ_0, p_1

χ_S

. Cette relation constitue la relation (R3).

Équation de propagation

B8. En utilisant les relations (R1), (R2) et (R3), montrer que la surpression

p_1

vérifie l'équation de d'Alembert à une dimension :

(\partial^2 p_1)/(\partialx^2) - 1/(c^2)(\partial^2 p_1)/(\partialt^2) = 0

On donnera l'expression de la célérité

c

de l'onde ultrasonore en fonction de

μ_0

χ_S

.
B9. L'air étant assimilé à un gaz parfait de coefficient

γ

(rapport des capacités thermiques à pression et volume constant), exprimer

χ_S

en fonction de

γ

P_0

et en déduire que l'expression de la célérité

c

est :

c(T_0) = \sqrt((γRT_0)/(M_a)).

On notera par la suite

c_0

, la valeur de

c(T_(273))

pour une température

T_(273) = 273 K

Précision des mesures par télémétrie par ultrasons

On suppose, dans cette partie, que l'onde est bien réfléchie sur un obstacle. La mesure du temps de propagation de l'onde, connaissant sa célérité, permet de déterminer la distance parcourue par l'onde lors d'un aller-retour entre le robot et l'obstacle.

Sur un document technique concernant la télémétrie par ultrasons dans le cas d'un robot autonome, on trouve le graphe suivant :

Figure 2 - Célérité des ultrasons en fonction la température

B10. Sur l'intervalle envisagé de température (voir figure 2 ) l'évolution de la célérité des ultrasons est fonction de la température

θ

mesurée en degré Celsius suivant la relation :

c(θ) = a \cdot θ + b

. Déterminer graphiquement les valeurs de

a

et de

b

B11. Sur l'intervalle envisagé de température de la figure 2, linéariser la relation obtenue à la question B9. Déterminer les expressions de

a

et de

b

en fonction de

c_0

T_(273) = 273 K

. Déduire de

b

les valeurs numériques de

c_0

γ

, sachant que dans le cas de l'air,

M_a = 29, 0 g.mol^(- 1)

Le robot n'est pas équipé d'un capteur de température, les distances sont donc calculées avec une célérité

c(θ_(ref))

correspondant à une température de référence

θ_(ref)

. Sur la figure 3 , on trace l'écart entre la distance réelle

d_r

parcourue par l'onde lors d'un aller-retour et la distance mesurée

d_m

par le robot.

Figure 3 - Écart systématique

e

entre la distance réelle

d_r

parcourue par l'onde lors d'un allerretour et la distance mesurée

d_m

par le robot pour différentes températures

En python 3		En scilab
import numpy as np	1
import matplotlib.pyplot as plt	2	function[ecart]=c(temp)
def C (temp) :	3	ecart=330.938*(1+temp/273)^0.5
return 330.938(1+temp/273)*0.5	4	endfunction
Temp=[0,10,20,30]	5	Temp=[0,10,20,30]
n=len(Temp)	6	$n =$ length ( Temp)
d=np.linspace(0,4,41)	7	d=0:0.1:4
$N = len(d)$	8	N=length(d)
e=[ ]	9	e=[ ]
for $i$ in range( $n$ ) :	11	for $i = 1 : n$
e.append([])	12	for $j = 1 : N$
for j in range(N):	13	$e(i, j) = d(j)(c(20)/c(Temp(i)) - 1)100$
e[i].append(d[j](c(20)/c(Temp[i])-1)100)	14	end
plt.plot(d,e[i])	15	plot(d,e(i,:))
	16	end

Le programme proposé permet de tracer l'écart

e = d_m - d_r

sur la mesure de distance induite par la variation de température.

B12. Justifier l'expression mathématique (lignes 13 et 14) du programme qui calcule la valeur de l'écart

e

. Quelle est la valeur de la température de référence

θ_(ref)

B13. D'après le programme, quelle est l'unité de l'écart

e

qui devrait être précisée sur la figure 3 ? Quelles sont les valeurs numériques de

θ_1, θ_2, θ_3

θ_4

? Pourquoi

e

est-il négatif pour

θ_4

B14. Que vaut l'écart relatif pour une distance réelle robot-obstacle de

1, 5 m

et une température

θ = 30^\circC

? Est-il pertinent d'intégrer un capteur de température au robot pour estimer les perturbations dues aux variations de température pouvant exister dans le domaine de détection?

Dans toute la suite du problème, on prendra pour valeur de la célérité des ondes ultrasonores

c = 343 m.s^(- 1)

pour une température de l'air de

20^\circC

C / RÉFLEXION DE L'ONDE ULTRASONORE

On désire, dans cette partie, vérifier que l'onde ultrasonore est bien réfléchie par les matériaux usuels rencontrés dans une maison.

Pour cela, on étudie la réflexion et la transmission d'une onde ultrasonore sur une interface plane séparant l'air (milieu 1) d'un milieu solide (milieu 2), les deux milieux sont supposés s'étendre à l'infini.

On considère que l'interface plane est de masse négligeable, imperméable, perpendiculaire à la direction de propagation et au repos dans le référentiel d'étude en l'absence d'onde acoustique. On place désormais l'origine du repère à l'interface.

Figure 4 - Réflexion et transmission sur une interface plane

On considère le cas d'ondes planes progressives, harmoniques se propageant suivant l'axe

(0, e_x^(\to-))

à la célérité

c

On adopte la notation complexe pour les surpressions instantanées et pour les vitesses instantanées.

De plus, on introduit l'impédance acoustique

Z_i

d'un milieu

i

, coefficient supposé réel positif. On a donc pour l'onde incidente :

$v⃗_i_-(x, t) = v_i_-(x, t)e_x^(\to-) = v_(i0)exp[j(ω_0 t - k_i x)]e_x^(\to-)$
$p_i_-(x, t) = p_(i0)exp[j(ω_0 t - k_i x)] = Z_1.v_(i0)exp[j(ω_0 t - k_i x)]$ ;
pour l'onde réfléchie :
$v_r_-(x, t) = v_r_-(x, t)e_x^(\to-) = v_(r0)exp[j(ω_0 t + k_r x)]e_x^(\to-)$
$p_r_-(x, t) = p_(r0)exp[j(ω_0 t + k_r x)] = - Z_1 \cdot v_(r0)exp[j(ω_0 t + k_r x)]$ ;
et pour l'onde transmise :
$v_t_-(x, t) = v_t_-(x, t)e_x^(\to-) = v_(t0)exp[j(ω_0 t - k_t x)]e_x^(\to-)$
$p_t_-(x, t) = p_(t0)exp[j(ω_0 t - k_t x)] = Z_2.v_(t0)exp[j(ω_0 t - k_t x)]$ ;
où toutes les amplitudes $v_(i0), v_(r0)$ et $v_(t0)$ sont des coefficients supposés réels.
C1. Expliciter la condition aux limites à l'interface pour la pression et montrer qu'elle conduit à la relation :

p_(i0) + p_(r0) = p_(t0).

C2. Expliciter la condition aux limites à l'interface pour la vitesse et montrer qu'elle conduit à la relation :

v_(i0) + v_(r0) = v_(t0).

C3. Déduire des relations (R4) et (R5) les expressions des coefficients de réflexion

r = (v_(r0))/(v_(i0))

et de transmission

t = (v_(t0))/(v_(i0))

en amplitude, en fonction de

Z_1

et de

Z_2

On introduit le vecteur de Poynting acoustique réel

π⃗

associé au vecteur de Poynting acoustique complexe

π⃗_-

défini par

π⃗_- = p_-^* \cdot v⃗_-

où

p_-^*

est le nombre complexe conjugué de

p_-

. Le module de la valeur moyenne temporelle de

π⃗

est donnée par la relation :

‖⟨π⃗⟩‖ = ‖1/2Re(π⃗_-)‖

où Re est la partie réelle d'un nombre complexe.
Au niveau de l'interface, en

x = 0

, on définit les coefficients de réflexion et de transmission en puissance par :

R = (‖⟨π⃗_r⟩‖)/(‖⟨π⃗_i⟩‖) T = (‖⟨π⃗_t⟩‖)/(‖⟨π⃗_i⟩‖)

C4. Quelle est la signification physique du vecteur de Poynting

π⃗

? Quelle est son unité usuelle ?
C5. Exprimer

R

T

en fonction de

Z_1

et de

Z_2

.
C6. En déduire que

R + T = 1

. Que traduit cette relation?

Le tracé du coefficient de transmission en puissance entre deux milieux en fonction du rapport de leur impédance acoustique donne la courbe suivante :

Figure 5 - Coefficient de transmission en puissance en fonction du rapport des impédances

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de l'impédance acoustique de quelques milieux présents dans une maison.

Milieu	Impédance acoustique Z ( $kg.m^(- 2).s^(- 1)$ )
air	4,2. $10^2$
béton	8,8. $10^6$
bois dur	2,8. $10^6$
verre	1,4. $10^7$
polystyrène expansé	6,0.10 $^3$
milieu biologique	1,5. $10^6$

Figure 6 - Impédance acoustique de quelques milieux

C7. En utilisant les figures 5 et 6 , et en expliquant votre raisonnement, déterminer le milieu que le robot autonome détectera le moins. Pour ce milieu, déterminer les valeurs des coefficients de réflexion et de transmission. L'onde est-elle bien réfléchie par les matériaux usuels rencontrés dans une maison ?

D / DÉTECTION D'UN OBSTACLE MOBILE

Effet Doppler

Le robot doit aussi être capable de détecter des obstacles mobiles : enfant ou animal domestique se déplaçant.

On étudie donc, dans cette partie, la réflexion d'une onde ultrasonore sur un obstacle (ou paroi) assimilé à une interface plane, imperméable, perpendiculaire à la direction de propagation.

L'obstacle se déplace en direction de l'émetteur à vitesse constante

V⃗ = - Ve_x^(\to-)

.
On place l'origine du repère à la position initiale de l'obstacle, la position de ce dernier est donc:

x_P(t) = - Vt

On admet, dans cette partie, qu'il n'y a pas d'onde transmise.
On néglige l'effet de l'écoulement de l'air engendré par le déplacement de la paroi, c'est-àdire que l'on considère que les ondes incidentes et réfléchies se propagent comme si l'air était au repos.

Figure 7 - Réflexion sur une interface plane mobile

On considère le cas d'ondes planes progressives, harmoniques se propageant suivant l'axe

(O, e_x^(\to-))

à la célérité

c

On adopte la notation complexe pour les surpressions instantanées et pour les vitesses instantanées.

On a donc pour l'onde incidente :

$p_i_-(x, t) = p_(i0)exp[j(ω_0 t - k_i x)]$
$v⃗_i_-(x, t) = v_i_-(x, t)e_x^(\to-) = v_(i0)exp[j(ω_0 t - k_i x)]e_x^(\to-);$
pour l'onde réfléchie :
$p_r_-(x, t) = p_(r0)exp[j(ω_r t + k_r x)]$
$v_r\to_-(x, t) = v_r_-(x, t)e_x^(\to-) = v_(r0)exp[j(ω_r t + k_r x)]e_x^(\to-)$ .

D1. Sachant que les vitesses instantanées incidentes

v⃗_i_-(x, t)

et réfléchies

v⃗_r_-(x, t)

vérifient l'équation de d'Alembert à une dimension:

(\partial^2 v⃗)/(\partialx^2) - 1/(c^2)(\partial^2 v⃗)/(\partialt^2) = 0\to

, déterminer la relation reliant

ω_0

k_i

ainsi que celle reliant

ω_r

k_r

D2. En considérant qu'au voisinage de l'interface la vitesse de la particule de fluide suivant l'axe (

0, e_x^(\to-)

) est nulle dans le référentiel du laboratoire, déterminer la relation entre

ω_0, ω_r k_i, k_r

V

D3. En déduire que la pulsation

ω_r

de l'onde reçue par le récepteur à ultrasons, après réflexion de l'onde sonore émise à la pulsation

ω_0

sur un obstacle mobile à la vitesse

V

est:

ω_r = ω_0(1 + V/C)/(1 - V/C).

D4. Dans le cas où l'obstacle mobile est un chien voulant jouer avec le robot et se déplaçant à une vitesse de

V = 3, 6 km.h^(- 1)

vers ce dernier, justifier la relation :

ω_r ≃ ω_0(1 + 2V/c)

Pour la suite du problème, on considère que

ω_r = ω_0(1 + 2V/c)

Détection hétérodyne

Pour prendre la décision adéquate : rebrousser immédiatement son chemin ou continuer encore son trajet, le robot doit déterminer la vitesse

V

de l'obstacle mobile. Pour cela on va effectuer une détection hétérodyne, c'est-à-dire qui exploite un décalage de fréquence. Dans un premier temps on multiplie la tension

u_0

à laquelle à été soumise la lame de quartz par la tension

u_r

délivrée par le récepteur à ultrasons. Puis on filtre le signal

u_e

ainsi obtenu.

Formulaire mathématique :

cosacosb = 1/2[cos(a + b) + cos(a - b)]

D5. Représenter sur un schéma-bloc les opérations effectuées sur les signaux

u_0(t)

u_r(t)

par la détection hétérodyne pour obtenir un signal dont l'amplitude est proportionnelle à la vitesse

V

recherchée.

On a :

u_0(t) = U_0 cos(ω_0 t), u_r(t) = U_r cos(ω_r t + φ)

u_e(t) = k.u_0(t).u_r(t)

.
D6. Exprimer

u_e(t)

comme une somme de composantes harmoniques puis représenter l'allure de son spectre en pulsation.

D7. Dans le cas où l'obstacle mobile est un chien voulant jouer avec le robot et se déplaçant à une vitesse de

V = 3, 6 km \cdot h^(- 1)

, avec

c = 343 m \cdot s^(- 1)

f_0 = 40kHz

, on désire ne conserver que la composante

ω_r - ω_0

pour accéder à la valeur de

V

. Justifier ce choix. En déduire la nature du filtre nécessaire. Dans quel domaine de valeurs numériques doit se situer la pulsation de coupure ?

On cherche une réalisation simple de ce filtre, pour cela on étudie les 3 quadripôles suivants, pour lesquels on considère que l'intensité is du courant de sortie est nulle :

Figure 8-1 - Filtre

n^\circ1

Figure 8-2 - Filtre

n^\circ2

Figure 8-3 - Filtre

n^\circ3

D8. Analyser le comportement à basses et hautes fréquences des 3 quadripôles. Lequel de ces quadripôles réalise la fonction de filtrage désirée ?

D9. Déterminer l'expression de la fonction de transfert harmonique du filtre choisi. Exprimer la pulsation de coupure

ω_C

du filtre en fonction de

R

C

D10. On désire atténuer d'un facteur 100 l'amplitude de la composante haute fréquence du signal

u_e(t)

, déterminer la valeur de la pulsation de coupure

ω_C

du filtre. Quel est alors la valeur du facteur d'atténuation de la composante basse fréquence du signal ? Commenter.

DEUXIÈME PARTIE DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DES PARAMÈTRES PHYSIQUES DE LA MOTORISATION DU ROBOT

La motorisation du robot est assurée par une machine à courant continu M.C.C. à aimants permanents. La M.C.C. entraîne les roues motrices du robot par l'intermédiaire d'un réducteur. Un capteur de vitesse de rotation placé sur l'arbre de la M.C.C. permet de réaliser un asservissement (non étudié ici) en vitesse du robot.

La mise en place d'un asservissement nécessite une connaissance précise du comportement électrique et mécanique de la motorisation du robot. Pour cela, on réalise plusieurs essais afin d'en déterminer expérimentalement les paramètres caractéristiques :

$φ$ constante de proportionnalité entre la force contre-électromotrice $E$ et la vitesse de rotation angulaire $Ω \to$ essai à vide
$R$ résistance électrique de l'induit $\to$ essai à rotor bloqué
$L$ inductance d'induit $\to$ essai à rotor bloqué
J moment d'inertie ramené sur l'arbre de la M.C.C. de l'ensemble des masses que constitue le robot $\to$ essai de lâché

Les caractéristiques de la machine à courant continu sont :

Tension nominale d'induit : $U_n = 12 V$
Courant nominal d'induit : $I_n = 1, 8 A$
Vitesse nominale : $N_n = 1500tr/min$ .

E/ ESSAI À ROTOR BLOQUÉ

On effectue un essai à rotor bloqué. L'enregistrement de la tension

u(t)

aux bornes de la M.C.C. et du courant i (

t

) sont présentés sur la figure 10.

Figure 10 - Evolution temporelle de la tension

u(t)

et du courant

i(t)

Figure 10 - Evolution temporelle de la tension

u(t)

et du courant

i(t)

E1. Donner le schéma électrique équivalent de l'induit d'une M.C.C. dans le cas général puis dans le cadre d'un essai à rotor bloqué.

E2. À partir des graphes de

i(t)

u(t)

, proposer et mettre en œuvre une méthode permettant de déterminer la résistance

R

et l'inductance

L

du bobinage du moteur.

E3. Pourquoi cet essai doit-il être réalisé sous tension réduite ?

Afin d'améliorer la précision sur la mesure de la résistance

R

on enregistre dix mesures du courant

i

et de la tension

u

en régime permanent. Les résultats ont été stockés par le système d'acquisition dans le fichier mesures.txt.

Les programmes suivants permettent de lire le fichier et d'affecter dans deux listes les valeurs de

u(t)

i(t)

en régime permanent, notées

U

I

Dans le fichier mesures.txt, l'espace entre les valeurs de

u

et les valeurs de

i

est réalisé par une tabulation, caractère

∖t

Figure 11 - Contenu du fichier mesures.txt

$U(V)$	$I(A)$
1.378	1.772
1.379	1.785
1.395	1.835
1.396	1.842
1.378	1.780
1.369	1.782
1.378	1.811
1.368	1.784
1.361	1.779
1.369	1.792

En python 3		En scilab
fichier = open('mesures.txt','r')	1	fichier=mopen("mesures.txt","r")
ligne_titre = fichier.readline()	2	ligne_titre=mgetl(fichier,1)
donnees = fichier.readlines()	3	donnees=mgetl(fichier)
fichier.close()	4	mclose("mesures.txt")
	5
serie1=[]	6	serie1=[]
serie2=[ ]	7	serie2=[]
for element in donnees:	8	for i=1:10
ligne=element.split('\t')	9	ligne=msscanf(lignes(i),' %s %s')
serie1...	10	serie1...
serie2...	11	serie2...
	12	end

À la première itération de la boucle for le contenu de la variable ligne est le suivant:

En python	En scilab
$[^' 1.378^', ^' 1.772∖n^']$	$^' 1.378^', ^' 1.772^'$

E4. Quel est le type de la variable ligne ? Au cours de ce programme combien de fois la variable ligne est-elle affectée ?

E5. On désire stocker sous forme de liste de flottants les valeurs du courant

i

et de la tension

u

respectivement dans les variables serie1 et serie2. Pour cela, compléter les lignes 10 et 11.

Afin d'estimer au mieux la valeur de

R

, on réalise une étude statistique.
E6. Écrire une fonction calcul_R(valeurs_U, valeurs_I) qui prend comme argument les deux listes valeurs_U et valeurs_I contenant les valeurs de

U

I

et qui retourne une liste contenant les valeurs des résistances

R = U/I

E7. Écrire une fonction moyenne(valeurs_R) qui retourne la moyenne

R¯

des

N

valeurs de

R

notées

R_j

contenues dans la liste valeurs_R.

E8. La meilleure estimation de l'écart-type (de répétabilité)

σ(R)

sur la mesure de

R

est donnée par la relation.

σ(R) = \sqrt((\sum_(j = 1)^N(R_j - R¯)^2)/(N - 1)⎷).

Quelle est la différence entre l'écart-type

σ(R)

et l'incertitude-type

u_A(R)

? Préciser la relation entre ces deux grandeurs. Écrire une fonction incertitude_type(valeurs_R) qui retourne

u_A(R)

L'application de ces fonctions donne le résultat suivant :

En python 3		En scilab
>>>valeurs_R=calcul_R(serie1,serie2)	1	-->valeurs_R=calcul_R(serie1,serie2)
>>>moyenne(valeurs_R)	2	-->moyenne(valeurs_R)
0.7667395640895386	3	0.7667396
>>>incertitude_type(valeurs_R)	4	-->incertitude_type(valeurs_R)
0.002043940093438388	5	0.0020439

E9. En déduire la valeur de

R

en précisant l'incertitude élargie correspondant à un niveau de confiance de

95%

. Que représente l'incertitude élargie?

E10. Du point du vue du codage des nombres flottants en machine, comment justifier la différence du nombre de chiffres significatifs fournis par scilab et python ?

F/ ESSAI À VIDE EN FONCTIONNEMENT GÉNÉRATEUR

Au cours de cet essai, la M.C.C. fonctionne en génératrice à vide ; aucune charge électrique n'est connectée. L'arbre est mis en rotation par un dispositif mécanique extérieur. On mesure pour différentes valeurs de la vitesse angulaire de rotation

Ω

de la M.C.C., la tension E générée à ses bornes. Le capteur de vitesse fournit une tension alternative dont la fréquence

f

en hertz est 30 fois la fréquence de rotation

n

de la M.C.C. en tours par seconde.

F1. Quelles sont les expressions de la vitesse angulaire de rotation

Ω

(en rad.

s^(- 1)

) et de la fréquence de rotation

N(

tr/min)

en fonction de la fréquence

f

mesurée ?

Figure 12 - Schéma de montage de l'essai à vide

Mesure $k :$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$E_k(enV)$	1,0293	2,2551	3,4583	4,7254	5,946	7,162	8,338	9,098	10,686	12,027
$f_k(en Hz)$	76,80	167,24	256,34	350,48	442,3	535,1	625,8	684,9	807,6	910,4
$u_k(E)(enmV)$	0,4	0,8	1,1	1,5	3	3	4	4	4	5

On désire, à l'aide de ces mesures, déterminer la constante de proportionnalité

φ

entre la force contre électromotrice

E

et la vitesse angulaire de rotation

Ω

de la M.C.C. :

E = φΩ.

Pour cela les données expérimentales ont été reportées sur un graphe

E = f(Ω)

de la figure 13.

Figure 13 - Force contre-électromotrice

E

en fonction de la fréquence de rotation

N

Au cours de la

è 8^(ème)

mesure, on visualise sur le voltmètre la valeur de

E

Affichage : 9,098 V
Données constructeurs : calibre 50 V incertitude de construction 0,05%+2 NUR

L'incertitude de construction s'exprime en pourcentage de la valeur lue (%L) plus un certain nombre NUR d'unités de représentation (l'unité de représentation est la plus petite valeur que l'affichage numérique peut donner dans le calibre utilisé).

Sous forme mathématique, on a :

é é Δx = %L de la lecture (x) + nombre NUR d'unités de représentation

F2. En utilisant la notice du voltmètre, déterminer l'incertitude de construction sur la

è 8^(ème)

mesure de

E

et retrouver l'ordre de grandeur de l'incertitude-type

u_8

sur la mesure de

E

figurant dans le tableau.

Afin de déterminer la constante

φ

, on procède par régression linéaire. À l'aide de la méthode des moindres carrés, on cherche à faire passer une droite d'équation

y = φΩ

au plus proche du nuage de points (

Ω_k, E_k

). Pour cela, on utilise le critère classique qui consiste à minimiser la somme

S

des distances

E_k - φΩ_k

des points expérimentaux à la droite

S(φ) = \sum_(k = 1)^N(E_k - φΩ_k)^2.

Ce critère accorde la même importance à tous les points expérimentaux, alors qu'il est important de privilégier les points de mesure pour lesquels l'incertitude-type

u_k

est minimale, c'est à dire ceux qui sont obtenus avec la meilleure précision.

Pour remédier à ce problème, on choisit de pondérer chacun des termes de la somme

E_k - φΩ_k

par l'inverse de l'incertitude-type

u_k

sur la mesure de

E_k

, afin de minimiser la somme

S

S(φ) = \sum_(k = 1)^N 1/(u_k^2)(E_k - φΩ_k)^2.

F3. Montrer que lorsque

S(φ)

est minimale,

φ

est donnée par la relation

φ = (\sum_(k = 1)^N(E_k Ω_k)/(u_k^2))/(\sum_(k = 1)^N(Ω_k^2)/(u_k^2)).

L'incertitude-type sur la détermination de

φ

est donnée par

u^2(φ) = 1/(\sum_(k = 1)^N(Ω_k^2)/(u_k^2)).

La fonction regression_linaire(

x, y, u

), définie ci-dessous, prend comme argument trois listes de même taille contenant les valeurs expérimentales

Ω_k

pour la liste

x, E_k

pour la liste

y

u_k

pour la liste u.

En python 3		En scilab
def regression_lineaire(x,y,u):	1	function[phi,u]=regression_lineaire( $x, y, u$ )
c1=0	2	$c1 = 0$
c2 $= 0$	3	$c2 = 0$
$n = len(x)$	4	$n =$ length ( $x$ )
for i in range(n):	5	for $i = 1 : n$
c1=c1+x[i]y[i]/u[i]*2	6	c $1 = c1 + x(i)*y(i)/u(i)^\land2$
c2 $= c2 + (x[i]/u[i])**2$	7	$c2 = c2 + (x(i)/u(i))^\land2$
	8	end
phi=c1/c2	9	phi=c1/c2,
$u = 1/c2**0.5$	10	$u = (1/c2)^\land0.5$
return [phi,u]	11	endfunction

F4. On suppose que, suite à une erreur, les trois listes

x, y

z

ne possèdent pas toutes le même nombre d'éléments. Que se passe-t-il au moment de l'exécution de la fonction si la liste la plus longue est x ?

L'exécution de la fonction regression_lineaire donne

φ = 6, 98mV

.min/tr. On se propose d'étudier la validité du modèle linéaire obtenu. Pour cela, on visualise graphiquement, pour chaque mesure, l'écart

ε_k = E_k - φΩ_k

sur la figure 14.

Figure 14 - Écart

ε_k = E_k - φΩ_k

pour chaque mesure

F5. Proposer et expliquer un algorithme qui permet de vérifier au sens strict si la valeur absolue de chaque écart

|ε_k|

reste inférieure à l'incertitude-type

u_k

. Ecrire une fonction python ou scilab qui retourne le nombre de mesures ne vérifiant pas ce critère.

F6. Par analyse graphique de la figure 14 , évaluer le nombre de mesures qui ne respectent pas le critère, conclure sur la validité du modèle linéaire.

G/ ESSAI DE LÂCHÉ

La machine à courant continu est alimentée par une source de tension et tourne à sa vitesse de rotation nominale. A l'instant

t = 0

, la M.C.C. est déconnectée de la source de tension. On enregistre l'évolution de sa vitesse angulaire de rotation

Ω(t)

On note

C_r = C_(r0) + fΩ

le couple de frottement ramené sur l'arbre moteur, où

C_(r0)

est le couple de frottement sec et

f

le coefficient de frottement visqueux. Le moment d'inertie ramené sur l'arbre de la M.C.C. de l'ensemble des masses que constitue le robot est noté J.

Figure 15 - Essai de lâché

G1. Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de

Ω(t)

pour

t \geq 0

. À partir du relevé, que peut-on dire de la valeur de

f

Un essai non étudié ici nous permet de déterminer

C_(r0) = 8mN.m

.
G2. Proposer une méthode de mesure du moment d'inertie

J

. Calculer la valeur expérimentale de

J

à l'aide du relevé de la figure 15.

On mesure pour la M.C.C. un diamètre de 4 cm et une masse de 160 g .
G3. En précisant les hypothèses retenues, déduire de ces mesures une estimation de la valeur du moment d'inertie

J

du moteur. Comparer à la valeur expérimentale obtenue.

TROISIÈME PARTIE ANNEXES

EXTRAITS DE DOCUMENTATIONS POUR LIRE DANS UN FICHIER

a) En Python

f=open(name[ , mode[ , buffering ]])
Open a file, returning an File type object f . If the file cannot be opened, IOError is raised. name is the file name to be opened, and mode is a string indicating how the file is to be opened. The most commonly-used values of mode are '

r

' for reading, '

w

' for writing (truncating the file if it already exists), and ' a ' for appending.
f.readline()

Reads a single line from the file ; a newline character (

∖n

) is left at the end of the string, and is only omitted on the last line of the file if the file doesn't end in a newline. If f.readline() returns an empty string, the end of the file has been reached, while a blank line is represented by

∖n

, a string containing only a single newline.
f.readlines()

Return a list of lines from the stream.
f.close()

When you're done with a file, call this function to close it and free up any system resources taken up by the open file. After calling f.close(), attempts to use the file object will automatically fail.
b) En Scilab
fd = mopen(file [, mode ])
opens a file in Scilab fd, a scalar : a file descriptor (it's a positive integer). file : a character string containing the path of the file to open. mode : a character string specifying the access mode requested for the file. The parameter can have one of the following values : r : opens for reading (default). The file must exist, otherwise it fails. w : opens for writing. If the file exists, its contents are destroyed. a : opens for appending. It creates the file if it does not exist.
mclose(fd)
closes an opened file. fd, a scalar : the fd parameter returned by the function mopen is used as a file descriptor.
txt = mgetl(file_desc [,m])
mgetl function allows to read a lines from an text file. file_desc, a character string giving the file name or an integer giving a logical unit returned by mopen.

m

, an integer scalar : a number of lines to read. Default value is -1 . txt , a column vector of strings. If m is omitted or is -1 all lines till end of file occurs are read. If

m

is given mgetl tries to read exactly

m

lines.

SYNTAXES PYTHON ET SCILAB

En python, certaines des fonctions suivantes sont définies dans la librairie numpy.

En python 3

En scilab

Convertir une chaîne de caractères en flottant

float('14.32')

float('-4.32 \n')

Evstr('14.32')

Liste de valeurs équiréparties de 0 à 4 par pas de 0.1

linspace(0,4,41)

0:0.1:4

Caractères spéciaux

tabulation :

∖t

Retour à la ligne :

∖n

Tracé de y en fonction de x

plot(x,y)

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Physique-Modélisation e3a PSI 2016 ?

Le sujet porte sur les ondes ultrasonores et leur télémétrie, puis sur la détermination expérimentale des paramètres physiques de la motorisation d'un robot autonome, avec du traitement de données en Python.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève des justifications physiques insuffisantes, une mauvaise identification de l'unité de l'écart de mesure, et une méconnaissance du vecteur de Poynting et des notions d'incertitude.

Le sujet Physique-Modélisation e3a PSI 2016 est-il difficile ?

Oui : la moyenne est de 9,60 sur 20 avec un écart-type de 3,46, et les dernières parties, F et G, ont été très rarement voire quasiment jamais abordées faute de temps.

Pas de description pour le moment

Commentaires• E3A Modélisation PSI 2016

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Physique - Modélisation PSI

Durée 3 h

L'usage de calculatrices est autorisé.

AVERTISSEMENT

PREMIERE PARTIE TÉLÉMETRIE PAR ULTRASONS

A / DÉTECTEUR À ULTRASONS

Les différentes technologies de détecteurs

A. Les détecteurs photoélectriques

B. Les détecteurs à ultrasons

B / CÉLÉRITÉ DE L'ONDE ULTRASONORE

Bilan de masse

Équation du mouvement

Évolution isentropique

Équation de propagation

Précision des mesures par télémétrie par ultrasons

C / RÉFLEXION DE L'ONDE ULTRASONORE

D / DÉTECTION D'UN OBSTACLE MOBILE

Effet Doppler

Détection hétérodyne

DEUXIÈME PARTIE DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DES PARAMÈTRES PHYSIQUES DE LA MOTORISATION DU ROBOT

E/ ESSAI À ROTOR BLOQUÉ

F/ ESSAI À VIDE EN FONCTIONNEMENT GÉNÉRATEUR

Affichage : 9,098 V Données constructeurs : calibre 50 V incertitude de construction 0,05%+2 NUR

G/ ESSAI DE LÂCHÉ

TROISIÈME PARTIE ANNEXES

EXTRAITS DE DOCUMENTATIONS POUR LIRE DANS UN FICHIER

a) En Python

SYNTAXES PYTHON ET SCILAB

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Physique-Modélisation e3a PSI 2016 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le sujet Physique-Modélisation e3a PSI 2016 est-il difficile ?

Commentaires• E3A Modélisation PSI 2016

Commentaires• E3A Modélisation PSI 2016

Affichage : 9,098 V
Données constructeurs : calibre 50 V incertitude de construction 0,05%+2 NUR