E3A Mathématiques 1 PSI 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

e3a 2015 - PSI 1
durée 4 heures - calculatrices interdites

Exercice 1

But de l'exercice

Figure 1
déplacements permis

Figure 2 un exemple

Motivation et méthode retenue

• Si ce nombre est égal à 64 = 8 × 8, alors le problème est résolu.
• Sinon, il faut revenir en arrière et tester d'autres chemins.

1. Exemple : on considère le parcours suivant d'un cavalier démarrant en a1 (figure 2)

def CasA(n):
    Deplacements= [[1,-2], [2,-1], [2,1], [1,2], [-1,2], [-2,1], [-2,-1], [-1,-2]]
    L= []
    i,j=Coord(n)
    for d in Deplacements:
        u=i+d[0]
        v=j+d[1]
        if }\textrm{u}>=0\mathrm{ and }\textrm{u}<8\mathrm{ and }\textrm{v}>=0\mathrm{ and }\textrm{v}<8\mathrm{ :
            L.append(Indice([u,v]))
    return(L)

• si le cavalier se déplace sur une autre case que celle d'indice k, alors cette dernière ne pourra plus jamais être atteinte;
• si le cavalier se déplace sur la case d'indice k, il est bloqué pour le coup suivant. Soit la mission est accomplie, soit le cavalier n'a pas parcouru toutes les cases.

• prend comme argument un entier n (indice d'une case), l'ajoute à la fin de la variable globale ListeCoups,
• puis enlève n de toutes les listes ListeCA[k] pour toutes les cases k permises depuis la case d'indice n,
• renvoie enfin la valeur True si nous sommes dans une situation critique et False sinon.

• récupère le dernier élément n de la variable globale ListeCoups (i.e. l'indice de la dernière case jouée à l'aide de la fonction OccupePosition),
• puis l'enlève de ListeCoups,
• et enfin, qui ajoute n à toutes les listes ListeCA [k] pour toutes les cases d'indice k permises depuis la case d'indice n.
  On pourra utiliser la méthode pop qui renvoie le dernier élément d'une liste et le supprime de cette même liste.
  L = [1, 2, 3, 4, 2, 5, 2]
  n = L.pop() #n = 2 et L = [1, 2, 3, 4, 2, 5]
  (c) Ecrire une fonction TestePosition d'argument un entier n (indice d'une case) qui :
• occupe la position d'indice n,
• vérifie si la situation est critique.

Exercice 2

1. Soit A = (0, 1; y − 4, 2x) ∈ M_2(ℝ). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que A soit diagonalisable dans M_2(ℝ).
2. On note E_1 = {u ∈ ℝ^+/u^2 ∉ ℕ} et E_2 son complémentaire dans ℝ^+. Prouver que E_2 est un ensemble dénombrable.
3. Soient ( Ω, A ) un espace probabilisable et f définie de ℝ^+dans ℝ par

Exercice 3

1. Déterminer l'ensemble de définition I de f.
2. En justifiant son existence, calculer ∫_0^(+ ∞)(dx)/(e^x + e^(− x)).
3. Calculer f(1). On pourra utiliser l'application φ : u > 0 ↦ ch(u).
4. Calculer f(2). On pourra remarquer que la dérivée de x ↦ (sh(x))/(ch(x)) est égale a^‵x ↦ 1/(ch^2(x)).
5. Vérifier que f est positive sur I.
6. Montrer que f est décroissante sur I.
7. Prouver que f est de classe C^1 sur I et préciser l'expression de f^′(x). Retrouver alors le résultat de la question précédente.
8. Soit x ∈ I. Démontrer la relation

13. En utilisant des parties entières, prouver que

14. Déduire des questions précédentes le tableau des variations de f sur I et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
15. Prouver que la fonction φ est constante sur ℝ^(+ ∗).

Exercice 4

1. Soit P un élément de ℝ[X] unitaire (le terme de plus haut degré de P est égal à 1).
   (a) Soit α ∈ ℝ. Montrer que ∀z ∈ ℂ, |z − α| ≥ |Im(z)|.
   (b) On suppose dans cette question que P est scindé sur ℝ. En utilisant une factorisation de P, montrer que