E3A Mathématiques 1 PSI 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

E3A PSI 12017

EXERCICE 1

1. Montrer que l'application : T : P ↦ (P(a_1), …, P(a_n)) est un isomorphisme de E dans ℝ^n.
2. On note E = (e_1, …, e_n) la base canonique de ℝ^n et pour tout i ∈ [ [1, n] ], on note L_i = T^(− 1) ( e_i ), c'est-àdire l'unique polynôme dont l'image par T est e_i. Montrer que B^′ = (L_1, …, L_n) est une base de E puis déterminer les composantes d'un polynôme P quelconque de E dans cette base.
   Dans la suite de l'exercice, on note M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) la matrice de passage de la base B à la base B^′
3. Dans cette question uniquement, on suppose que n = 3, a_1 = 0, a_2 = 1 et a_3 = 2.
   (a) Donner, sans justification, les polynômes L_1, L_2, L_3 et expliciter la matrice M.
   (b) Montrer que 1 est valeur propre de la matrice M et déterminer le sous-espace propre associé.
   (c) En déduire tous les polynômes P de ℝ_2[X] vérifiant : P(X) = P(0) + P(1)X + P(2)X^2.
4. On revient au cas général.
   (a) Montrer que M est inversible. Calculer son inverse. (On pourra utiliser la question 2)
   (b) Etablir la relation : ∑_(i = 1)^n L_i = 1.
   (c) Montrer que l'on a : ∑_(j = 1)^n m_(1, j) = 1. Montrer ensuite que pour tout i ∈ [ [2, n] ], ∑_(j = 1)^n m_(i, j) = 0.
   (d) Lorsque a_1 = 1, déterminer la somme des coefficients de chaque colonne de M.
5. Dans cette question, on suppose que n ⩾ 4 et soit u l'endomorphisme de E défini par : ^1

EXERCICE 2

Questions de cours

1. Prouver que pour tous réels a et b, ab ⩽ 1/2(a^2 + b^2).
2. Montrer que le produit de deux éléments de E est une application intégrable sur I.
3. Soit φ l'application qui au couple (f, g) ∈ E^2 associe le réel : φ(f, g) = ∫_0^(+ ∞)f(t)g(t)dt.

Partie 1

1. Pour tout n ∈ ℕ, on pose J_n = ∫_n^(n + 1)h(t)dt.

Partie 2

1. Montrer que les intégrales ∫_0^(+ ∞)[f(t)]^2 dt et ∫_0^(+ ∞)tf(t)f^′(t)dt convergent.
2. Etablir l'égalité : ∫_0^(+ ∞)tf(t)f^′(t)dt = − 1/2∫_0^(+ ∞)[f(t)]^2 dt.

4. Déterminer toutes les applications f ∈ F pour lesquelles il y a égalité dans l'inégalité (*).

EXERCICE 3

1. Montrer que l'existence de l'espérance des variables aléatoires X_i entraine l'existence de l'espérance de Y.
   On pourra constater que ([T = j])_(j ∈ [0, k]) constitue un système complet d'événements.
2. Calculer alors 𝔼(Y) en fonction de 𝔼(X_0) et 𝔼(T).
3. On suppose que 𝔼(X_0) = 0 et que X_0^2 possède une espérance.

EXERCICE 4

PARTIE A. Recherche de zéro d'une fonction

1. Soient a et b deux réels, f : [a, b] → ℝ une fonction continue telle que f(a)f(b) < 0.
   (a) Justifier que f s'annule sur [a, b].
   (b) Écrire une fonction Python rech_dicho prenant en arguments une fonction f, deux flottants a et b tels que f(a)f(b) < 0 et une précision eps et qui renvoie un couple de réels encadrant un zéro de f à une précision eps près.
2. Soit f une fonction continue de [0, 1] dans [0, 1].
   (a) Montrer que f admet un point fixe (c'est-à-dire un réel c de [0, 1] tel que f(c) = c ).
   (b) Écrire une fonction Python rech_pt_fixe qui prend en argument une fonction f que l'on suppose continue de [0, 1] dans [0, 1], un précision eps et qui renvoie un couple de réels encadrant un point fixe de f à une précision eps près. On pourra utiliser la fonction rech_dicho.

PARTIE B. Recherche dans une liste

1. On propose l'algorithme suivant

1def rech_dicho(L,g,d,x):
2 """L est une liste telle que
            L[g:d+1] est triee"""
3 if x>L[d] :
        return d+1
    else :
        a=g
        b = d
        while a != b :
            c = (a+b)//2
            if x <= L[c] :
                b = c
            else:
                a = c+1
    return a

rech_dicho(L, 0, 5, 1 )
On donnera les valeurs prises par les variables a et b à chaque passage ligne 9 .
(b) Détailler clairement ce que fait le programme rech_dicho.
(c) Déterminer, en le justifiant, la complexité du programme, mesurée en nombre de comparaisons. On utilisera, si besoin est, la notation O, et on pourra exprimer cette complexité en fonction d'un ou plusieurs paramètres parmi len (L), g, d, x.

2. Proposer un algorithme tri_dicho de tri par insertion utilisant la fonction rech_dicho pour trouver la position à laquelle insérer l'élément.
3. Estimer le nombre d'affectations de tri_dicho ainsi que le nombre de comparaisons effectuées par l'algorithme tri_dicho. Comparer avec le tri par insertion classique.