Mines Physique 2 PSI 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Statique des fluides
Écoulements visqueux et nombre de Reynolds
Mécanique en référentiel non galiléen
Mécanique du solide
Lois de Coulomb du frottement
Énergie potentielle et stabilité d'un équilibre

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Présentation du sujet

Physique des arbres : pressions négatives dans la sève, cavitron et chute d'arbres

Le sujet étudie la physique des arbres en deux parties indépendantes. La première relève de la mécanique des fluides : pressions négatives dans l'eau, conductance hydraulique d'un tuyau puis écoulement de la sève dans une branche en rotation (cavitron). La seconde relève de la mécanique du solide : abattage d'un arbre mort par un bûcheron, puis chute d'un arbre vivant sous l'effet du vent.

1Partie I.A : pressions négativesÉquilibre d'un volume d'eau soumis à une traction, énergie potentielle et stabilité.
2Partie I.B : conductance hydrauliqueÉcoulement visqueux d'eau dans un tuyau cylindrique horizontal et nombre de Reynolds.
3Partie I.C : le cavitronÉcoulement de l'eau dans une branche mise en rotation, étudié dans le référentiel de la branche.
4Partie II.A : chute d'un arbre mortStatique avec lois de Coulomb pour le bûcheron et l'arbre, angle de traction optimal, énergie potentielle de l'arbre.
5Partie II.B : chute d'un arbre vivant sous l'effet du ventMoment des actions du vent, modèle du moment résistant des racines, équilibres et stabilité, mouvement de l'arbre.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Résultats fournis forcés · Pression et énergie potentielle · Stabilité d'un équilibre

Le sujet offrait plusieurs points d'entrée grâce à des résultats fournis à démontrer. Le jury regrette que trop de candidats forcent ces résultats par des calculs faux ou malhonnêtes. Il relève des lacunes sur l'énergie potentielle, les bilans locaux de forces, les calculs numériques sans calculatrice et la rigueur du calcul intégral.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Résultats fournis forcésQuestion 12
Des intégrations entre des bornes arbitraires aboutissent miraculeusement au résultat de l'énoncé. Le jury attend une démonstration cohérente, quitte à se corriger.
« ce n'est vraiment pas la démarche scientifique rigoureuse attendue. »
2
Pression et énergie potentielleQuestions 2 et 3
La pression est souvent définie comme une force multipliée par une surface, et les relations entre travail des forces de pression et énergie potentielle donnent lieu à des erreurs de signe.
« Trop d’erreurs de signes sur cette question »
3
Stabilité d'un équilibreQuestions 5 et 28
L'analyse qualitative à partir du minimum local et de la barrière d'énergie potentielle est confuse, et la stabilité ne se traite pas toujours par l'énergie potentielle.
« Peu de candidats savent trouver correctement une position d'équilibre et sa stabilité »
4
Écoulement incompressible et divergenceQuestion 6
La définition d'un écoulement incompressible est mal maîtrisée, ce qui empêche d'utiliser l'expression de la divergence fournie.
« De nombreux étudiants confondent les trois composantes vectorielles de la vitesse »
5
Ordres de grandeur absurdesQuestion 10
Certains obtiennent une vitesse de sève proche d'une fraction de la vitesse de la lumière sans réagir, ou donnent une unité au nombre de Reynolds.
« il ne semble pas acquis pour tous les candidats que le nombre de Reynolds est sans dimension »
6
Projection des forces en statiqueQuestions 16 et 17
L'orientation inexacte des composantes tangentielles et les projections mal maîtrisées entraînent de nombreuses erreurs de signe.
« Trop d’erreurs de signe, souvent dues à l’orientation inexacte de T1 ou T2 »

Conseils du jury

S'entraîner toute l'année au calcul numérique sans calculatrice.
Donner les résultats numériques sous forme décimale, avec une unité, et vérifier leur ordre de grandeur.
Utiliser l'homogénéité des éléments différentiels pour contrôler un calcul intégral.
Faire un bilan des forces rigoureux en distinguant forces volumiques et surfaciques.
Ne pas négliger l'analyse des graphes, à laquelle un nombre de points significatif est affecté.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

A2019 - PHYSIQUE II PSI

Concours commun
Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique des arbres

Dans tout le problème, exprimer ou déterminer une grandeur signifie en donner une expression littérale. En revanche calculer une grandeur signifie en donner une valeur numérique avec au plus deux chiffres significatifs. Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (

g⃗

) dans le cas général ou d'un chapeau s'ils sont unitaires (

‖uˆ_z‖ = 1

).
Dans tout le problème le champ de pesanteur

g⃗ = - guˆ_z

est uniforme et le référentiel terrestre galiléen. Les données numériques utiles ainsi qu'un formulaire sont rassemblés en fin d'énoncé.

I. - Physique du cavitron

En phase liquide, les molécules exercent entre elles des forces attractives (assurant entre autres la cohésion du liquide) qui permettent au liquide de supporter des forces de traction équivalentes à des pressions négatives.
La vie d'un arbre suppose une montée efficace de la sève (assimilée dans toute la suite à de l'eau) sur une hauteur qui peut atteindre quelques dizaines de mètres. Ceci conduit à l'existence de zones de pression négative, où l'état liquide de l'eau est métastable : sous l'effet d'une petite perturbation, des bulles de vapeur d'eau peuvent se former. Ceci se produit significativement lorsqu'un arbre subit un stress hydrique associant une forte évaporation (due à un fort ensoleillement) et une faible ressource en eau (due à des sols désséchés). La circulation de la sève est alors gênée par la formation de bulles de gaz au sein de l'écoulement. Pour tester quantitativement la sensibilité des espèces au stress hydrique, des chercheurs de l'INRA ont mis au point un dispositif appelé CAVITRON.

I.A. - Pressions négatives

1 - Exprimer la pression $p$ dans un arbre assimilé à une colonne d'eau verticale emprisonnée dans un tube fermé au sommet, supposée en équilibre mécanique sous l'effet des seules forces de pression et de pesanteur, en fonction de la masse volumique $ρ_e$ de l'eau, de la cote $z$ mesurée à partir du sol, de l'intensité de la pesanteur $g$ et de la pression $p_0$ imposée par l'atmosphère au niveau du sol via les racines. Calculer l'altitude $z_m$ à partir de laquelle la pression devient négative. Commenter la valeur obtenue.

Figure 1 - Cylindre vertical

Pour les questions 2 à 5 on ne prendra en compte ni

g⃗

p_0

. Sur la figure 1(a), on envisage un volume

V

d'eau en équilibre dans un cylindre d'axe (

O, uˆ_z

) et de section

S

, fermé par un piston de surface

S

et de masse nulle sur lequel un opérateur exerce lentement une force de traction

F⃗ = Fuˆ_z

avec

F > 0

uˆ_z

vertical ascendant.

2 - Exprimer la pression dans l'eau en fonction de $F$ et $S$ . Quel est son signe?

L'opérateur veut créer au sein de l'eau liquide, une bulle de vapeur d'eau sphérique de rayon

r

en tirant le piston sur une hauteur

z

et en maintenant la force

F⃗

constante 1(b). On néglige la quantité d'eau contenue dans la bulle devant

V

, ce qui revient à l'assimiler à une bulle de vide.

◻3

- On considère le système constitué d'une bulle vide de rayon

r

et de l'interface qui la sépare de l'eau à la pression

p

. Exprimer le travail infinitésimal

δW_p

des forces de pression quand le rayon de la bulle passe de

r

r + dr

. En déduire l'expression de la contribution des forces pressantes à l'énergie potentielle

E_p

du système.

On admet qu'il convient d'ajouter à cette énergie potentielle une énergie potentielle de tension superficielle de la forme

γ_e Σ

où

Σ

est l'aire de l'interface entre l'eau liquide et l'eau vapeur et où la constante positive

γ_e

est le coefficient de tension superficielle de l'eau.

4 - Montrer que l'énergie potentielle totale du système s'exprime sous la forme d'un polynôme de degré 3 en $r$ dont on précisera les coefficients. Montrer qu'elle admet un maximum en $r_c = - 2γ_e/p$ . On pose $x = r/r_c$ et $E_a = E_p(r_c)$ . Calculer $r_c$ et $E_a$ pour $p = - 2, 0MPa$ . Tracer la courbe $ε(x) = E_p(x)/E_a$ pour $x \in [0, 2]$ .
$◻5$ - Ce modèle n'est évidemment valide que pour $r < r_b$ où $r_b$ est le rayon de la bulle que l'on considèrera égal à $2r_c$ . Montrer que dans le cadre de ce modèle, l'état liquide sans bulle est un état d'équilibre stable mais qu'il n'est pas le plus stable : on dit qu'il est métastable. Quelle énergie faut-il apporter au système pour qu'il évolue spontanément vers l'équilibre le plus stable? Quel est cet état? Cette évolution est-elle envisageable si $p = - 2, 0MPa$ ?

I.B. - Conductance hydraulique

On envisage un écoulement d'eau, de masse volumique

ρ_e

et de viscosité dynamique

η_e

, dans un tuyau cylindrique d'axe (

O, uˆ_x

) horizontal, de longueur

2R

et de section circulaire de rayon

a

. Les faces d'entrée et de sortie de ce cylindre sont centrées sur les points

A_1(x = - R)

A_2(x = R)

de l'axe (

O, uˆ_x

) où l'on impose respectivement des pressions

p_1

p_2

. L'ensemble est représenté sur la figure 2(a). On repère un point

M

dans l'eau par ses coordonnées cylindriques (

r, θ, x

) d'axe (

O, uˆ_x

), avec

- R < x < R, 0 < r < a

0 < θ < 2π

. Lorsque l'on impose une différence de pression

p_1 - p_2

positive et constante, un écoulement d'eau incompressible et stationnaire apparaît. Cet écoulement est décrit par un champ des vitesses

v⃗ = v(r, x)uˆ_x

indépendant de

θ

et un champ de pression

p(x)

indépendant de

r

θ

Figure 2 - Cylindre horizontal

Dans toute la partie I.B, on considère ce cylindre sans rotation, soit

ω = 0

6 - Montrer que $v(r, x)$ est indépendant de $x$ . On le notera $v(r)$ dans la suite.

On s'intéresse au système fermé

(𝒮_r)

constitué du fluide compris à l'instant

t

dans le cylindre d'axe (

O, uˆ_x

) et de rayon

r < a

, entre les abscisses

x

x + dx

. Le fluide situé au delà de

r

exerce sur la surface latérale de

(𝒮_r)

une force surfacique tangentielle de la forme :

ù é (dF⃗)/(dS) = εη_e(\partialv)/(\partialr)uˆ_x où η_e est la viscosité dynamique de l'eau et ε = \pm 1.

7 - Indiquer, en justifiant qualitativement la réponse, le choix du signe de $ε$ correspondant à la situation étudiée. Exprimer la résultante des forces de viscosité sur $(𝒮_r)$ . Justifier sans calcul que la quantité de mouvement du système ( $𝒮_r$ ) est indépendante du temps. En déduire la relation :

(dp)/(dx) = (2η_e)/r(\partialv)/(\partialr)

Justifier le fait que

(dp)/(dx)

est une constante. En déduire l'expression de

p(x)

en fonction de

p_1, p_2

x

R

On définit la conductance hydraulique

G_H = (D_V)/(p_1 - p_2)

du tuyau, où

D_V

est le débit volumique.

◻8

- Déduire des questions précédentes l'expression de

v(r)

en fonction de

r, η_e, p_1, p_2, a

R

. Exprimer

G_H

en fonction de

η_e, R

a

$9$ - Exprimer la vitesse moyenne $v¯ = (D_V)/(πa^2)$ en fonction de $a, p_1, p_2, R$ et $η_e$ . Vérifier que la force de viscosité subie par la tranche d'eau située à l'instant $t$ dans le tuyau entre les abscisses $x$ et $x + dx$ s'écrit :

dF⃗ = - 8πη_e v¯ dxuˆ_x

◻10

- Calculer

v¯

et le nombre de REYNOLDS Re pour

a = 0, 02 mm

(rayon typique des canaux dans lesquels la sève s'écoule),

p_1 - p_2 = 10^5 Pa

R = 0, 4 m

. Que peut-on en conclure sur la nature de l'écoulement?

I.C. - Le cavitron

Pour tester les effets du stress hydrique sur la conductance, on coupe une branche d'arbre quasirectiligne de longueur

2R

que l'on met en communication avec deux récipients contenant de l'eau, non représentés sur la figure 2(a), dans des conditions telles que la pression aux extrémités

x = - R

x = + R

de la branche vaut toujours

p_1 = p(x = - R)

p_2 = p(x = + R)

. On fait maintenant tourner l'ensemble autour de l'axe (

O, uˆ_z

) avec une vitesse angulaire

ω > 0

constante et suffisamment élevée pour que la pesanteur soit négligeable dans l'écoulement. On assimile la branche à un unique canal cylindrique d'axe (

O, uˆ_x

) et de rayon

a

dans lequel s'écoule la sève toujours assimilée à de l'eau.

11 - On étudie le mouvement de l'eau dans le référentiel ( $ℛ_b$ ) solidaire de la branche. Soit une particule de fluide de masse $dm = ρ_e dτ$ , d'abscisse $x$ et de vecteur vitesse $vuˆ_x$ dans le référentiel ( $ℛ_b$ ). On admet que la rotation de la branche agit sur le mouvement de cette particule par l'intermédiaire de deux forces volumiques $f⃗_(i, 1) = ρ_e ω^2 xuˆ_x$ et $f⃗_(i, 2) = - 2ρ_e ω⃗ \land v⃗$ . Vérifier l'homogénéité de ces formules et représenter ces forces volumiques sur une figure dans deux cas d'abscisses opposées. Citer un exemple de la vie courante dans lequel la force $f⃗_(i, 1)$ peut être ressentie.

On adopte désormais pour l'écoulement de l'eau dans la branche d'arbre en rotation un modèle semblable à celui introduit à la question 9 . On fait l'hypothèse que le champ de pression ne dépend que de

x

, que l'écoulement est uniforme de vitesse

v¯uˆ_x

et que la paroi exerce sur la tranche de fluide située entre

x

x + dx

une force de viscosité donnée par la relation (1).

12 - Montrer que la pression dans le domaine $x > 0$ s'écrit :

p(x > 0) = p_2 - (ρ_e ω^2(R^2 - x^2))/2 - (8η_e v¯(x - R))/(a^2)

On montre de manière analogue (travail non demandé) que :

p(x < 0) = p_1 - (ρ_e ω^2(R^2 - x^2))/2 - (8η_e v¯(x + R))/(a^2)

◻13

- En déduire les expressions de

p(x = 0)

v¯

en fonction de

p_1, p_2, ρ_e, η_e, ω

R

. Vérifier que la rotation est sans effet sur la conductance hydraulique

G_H

de la branche.

Pour imposer les pressions

p_1

p_2

, on place aux extrémités de la branche des réservoirs remplis partiellement d'eau avec des quantités légèrement différentes. Ces réservoirs sont solidaires de la branche en rotation à vitesse angulaire

ω

Lorsque l'équilibre est établi, la surface libre de l'eau dans les réservoirs devient verticale du fait des forces d'inertie. La branche, les réservoirs et la présence d'eau indiquée en gris sont représentés sur la figure 2(b).
On crée des ouvertures - non représentées sur la figure 2(b) - dans les réservoirs vers l'atmosphère, de telle sorte que l'air - qui occupe la partie des réservoirs non occupée par l'eau impose la pression

p_0

respectivement en

x_1 = - L + d

et en

x_2 = L

avec

L < R

0 < d≪L

. On mesure alors par une méthode optique le débit volumique en suivant l'évolution de la surface libre de l'eau dans l'un des réservoirs. Cette évolution est suffisamment lente au cours de l'expérience pour que l'on puisse supposer que les pressions

p_1

p_2

sont constantes.

◻14

- Exprimer

p_1

p_2

en fonction de

ρ_e, p_0, ω, L, R

d

en supposant que l'eau est quasiment en équilibre relatif dans les réservoirs tournants. Vérifier que

p_1 - p_2 = ρ_e ω^2 Ld

dans l'approximation

d≪L

La figure 3 représente l'allure du graphe de la perte de conductance relative

δ_G = 1 - (G_H(ω))/(G_H(ω = 0))

en fonction du paramètre

Δp = - ρ_e ω^2 L^2

mesuré en mégapascals dans un CAVITRON tel que

d = 1 cm, L = 0, 3 m

pour une branche telle que

R = 0, 4 m

◻15

- Calculer la valeur de

ω

permettant de faire baisser la conductance de

50%

, valeur choisie comme limite << objective >>

Figure 3 - Perte de conductance relative

FIN DE LA PARTIE I

II. - Chute d'arbres

II.A. - Chute d'un arbre mort

Un bûcheron assimilé à un point matériel

B

de masse

m

souhaite abattre un arbre mort assimilé à un cylindre homogène de masse

M

avec

M > m

, de hauteur

H

et de section droite carrée de côté

2a

représenté sur la figure 4(a).
Il tire pour celà sur un câble fixé en

C

à l'arbre, de longueur

BC = ℓ

et de masse négligeable, afin de faire tourner l'arbre autour de l'axe (

O, uˆ_y

) dirigé par le vecteur

uˆ_y = uˆ_z \land uˆ_x

.
L'arbre étant mort, on néglige l'action de ses racines, de telle sorte qu'au moment où l'arbre commence à tourner, les actions de contact qu'il subit se limitent à une force

R⃗_1 = T_1 uˆ_x + N_1 uˆ_z

appliquée au point

O

et satisfaisant aux lois de COULOMB avec un coefficient de frottement

f

. De même les actions du sol sur le bûcheron sont décrites par une force

R_2^(\to-) = T_2 uˆ_x + N_2 uˆ_z

appliquée au point

B

et satisfaisant aux lois de COULOMB avec le même coefficient de frottement

f

. Les composantes

T_1, N_1, T_2

N_2

ont des valeurs algébriques. Le câble est supposé tendu. On note

F⃗

la force exercée par le câble sur l'arbre au point

C

, supposée parallèle au câble et

F

sa norme. Les angles sont orientés positivement dans le sens trigonométrique autour de

(O, uˆ_y)

et on note

α

l'angle (positif) entre

BO^(\to-)

BC^(\to-)

Figure 4 - Chute d'un arbre

16 - Le bûcheron est supposé ne pas glisser dans la situation initiale décrite par la figure 4(a). Exprimer $N_2$ et $T_2$ en fonction de $F, α, m$ et $g$ . En déduire l'expression de la valeur maximale $F_(max)$ de $F$ en fonction de $f, m, g$ et $α$ .
17 - L'arbre est supposé au repos dans la situation initiale décrite par la figure 4(a). Exprimer $N_1$ et $T_1$ en fonction de $F, α, M$ et $g$ . En déduire que pour $0 \leq F \leq F_(max)$ le glissement n'est pas possible en $O$ .
$◻18$ - Exprimer le moment $Γ_g$ du poids de l'arbre par rapport à l'axe ( $O, uˆ_y$ ) dans la situation initiale décrite par la figure 4(a).

19- Soit

Γ_B

le moment par rapport à l'axe (

O, uˆ_y

) exercé par le bûcheron sur l'arbre via le câble. Quelle est la valeur minimale de

Γ_B

permettant à l'arbre de pivoter autour de l'axe

(O, uˆ_y)

◻20

- En supposant

F

constant, justifier (avec ou sans calculs, mais rigoureusement) qu'il existe une valeur optimale

α_m

de l'angle

α

On suppose que, quelque soit l'angle

α

, l'action du bûcheron est telle que l'on est à la limite du glissement :

F

prend la valeur

F_(max)

$21$ - Montrer que le moment $Γ_B$ par rapport à l'axe ( $O, uˆ_y$ ) exercé par le bûcheron via le câble s'écrit $Γ_B = (mgℓ)/(φ(α))$ avec $φ(α) = 1/(fsinα) + 1/(cosα)$ . En déduire l'expression de $α_m$ en fonction de $f$ . Vérifier que $α_m = π/4$ pour $f = 1$ .
22 - On donne $M = 10^3 kg, H = 20 m, a = 0, 5 m, m = 10^2 kg$ et $f = 1$ . Calculer la force $F_(max)$ et la longueur de corde $ℓ$ nécessaires pour initier la rotation de l'arbre. Commenter.

On suppose que l'arbre a commencé sa rotation autour de l'axe (

O, uˆ_y

), repérée par l'angle

θ

que fait

OC^(\to-)

avec

(O, uˆ_z)

◻23

- Après avoir fait une figure représentant la situation et faisant apparaître les différents paramètres, exprimer l'énergie potentielle de pesanteur

E_p

de l'arbre en fonction de

M, g, H

a

θ

. Le bûcheron opère de manière quasi-statique c'est-à-dire sans communiquer d'énergie cinétique à l'arbre. À partir de quel angle

θ_s

peut-il lâcher le câble?

II.B. - Chute d'un arbre vivant sous l'effet du vent

Dans cette partie, on s'intéresse à la chute d'un arbre vivant, de hauteur

H

, sous l'effet d'un coup de vent violent. On néglige le rôle du poids de l'arbre : son mouvement résulte uniquement d'une compétition entre l'action du sol via les racines et l'action du vent.

◻24

- Proposer un ordre de grandeur de la vitesse

U

pour un vent violent. En évaluant un nombre sans dimension que l'on définira pour un arbre de section carrée de côté

2a = 1 m

, justifier qu'il convient de décrire l'action d'un vent soufflant dans la direction

uˆ_x

sur une tranche d'arbre (supposé vertical à ce stade) comprise entre

z

z + dz

, figure 4(b), par une force élémentaire de la forme

dF⃗_v = 2aC_x ρ_a U^2 dzuˆ_x

où

ρ_a

est la masse volumique de l'air et

C_x

un coefficient aérodynamique..

◻25

- L'arbre étant vertical, exprimer le moment total

Γ_v

des actions du vent par rapport à l'axe

uˆ_y

en fonction de

C_x, ρ_a, a, H

U

26 - Lorsque l'arbre commence à pencher, on repère son mouvement par l'angle $θ$ représenté sur la figure $4(c)$ . Le moment $Γ_v$ varie en fonction de $θ$ et on constate que $Γ_v(θ)$ est proportionnel à $(cosθ)^n$ avec $n$ entier. Proposer une valeur de l'entier $n$ en justifiant votre réponse. Dans toute la suite, on omet la dépendance de $Γ_v$ en $θ$ car celui-ci reste inférieur à $10^\circ$ .

Figure 5 - Mesures du moment résistant. La taille des carrés représente l'incertitude de mesure.

L'action du sol sur l'arbre est décrite par un moment résistant

Γ_r

par rapport à l'axe (

O, uˆ_y

), qui met en jeu des phénomènes complexes comme l'élasticité des racines, un déracinement partiel, l'entraînement de la terre, etc. Des essais de traction via un câble comme dans la partie II.A ont permis de relever les variations de

Γ_r

(en

10^3

N.m) en fonction de

θ

(en degrés) de la figure 5 dans le domaine

θ > 0

auquel on se limite. Cette figure fait notamment apparaître une variation brutale au voisinage de

θ = 0

que l'on modélise par une discontinuité telle que

Γ_r(0) = 0

Γ_r(0_+) = Γ_0

. Par ailleurs, au-delà d'un certain angle

θ_c

, l'arbre est totalement déraciné, de telle sorte que

Γ_r = 0

. Dans le domaine

0 < θ \leq θ_c

, on modélise les mesures expérimentales de

Γ_r

par un polynôme du deuxième degré de la forme :

Γ_r = Γ_0(β + 4θ/(θ_c) - 5(θ^2)/(θ_c^2)) avec Γ_0 < 0

27 - Quelles valeurs doit-on donner aux paramètres $θ_c$ et $β$ afin qu'il rende compte des mesures de la figure 5. Exprimer l'angle $θ_m$ pour lequel $Γ_r$ atteint sa valeur minimale et la valeur $Γ_m$ de ce minimum. Vérifier la cohérence entre les résultats expérimentaux et les valeurs de $θ_m/θ_c$ et $Γ_m/Γ_0$ issues du modèle.

Du point de vue de sa dynamique, l'arbre est désormais assimilé à une barre mince en rotation autour de l'axe (

O, uˆ_y

) avec un moment d'inertie

J

, soumis au moment constant

Γ_v

et au moment

Γ_r(θ)

décrit par le modèle de l'équation (2). Initialement l'arbre est au repos en

θ = 0

en présence d'un vent de vitesse

U

indépendante du temps et on s'interroge sur son évolution. On définit le paramètre

p = Γ_v/|Γ_0|

28 - Discuter graphiquement selon la valeur de $p$ la possibilité pour l'arbre de rester en équilibre en $θ = 0$ . Cet équilibre est-il stable? Discuter graphiquement selon la valeur de $p$ l'existence et la stabilité de positions d'équilibre en $θ_e \neq 0$ . Dans le cas où il existe une position d'équilibre stable inférieure à $θ_c$ , expliquer sans calculs pourquoi on ne peut néanmoins pas être certain que l'arbre résiste au vent.

On se propose de trancher cette question. Les conditions initiales restent

θ = 0

θ˙ = 0

$29$ - Montrer que la vitesse angulaire de l'arbre se met sous la forme $1/2Jθ˙^2 = |Γ_0|θP(u)$ où $P(u)$ est un trinôme du second degré pour la variable réduite $u = θ/θ_c$ que l'on explicitera en fonction de l'unique paramètre $p = Γ_v/|Γ_0|$ . En déduire, en précisant soigneusement le raisonnement adopté, la valeur minimale $p_c$ de $p$ permettant au vent de déraciner l'arbre. Calculer la vitesse minimale $U_c$ du vent permettant de déraciner l'arbre correspondant au graphe de la figure 5 sachant que $H = 20 m$ et $a = 0, 5 m$ . On prendra $C = 0, 5$ .

On se place désormais dans le cas

p = 4/3

$30$ - Déterminer les bornes du mouvement de l'arbre. En réalité l'arbre finit par atteindre une position $θ_\infty$ où il reste immobile. Interpréter qualitativement ce résultat.

FIN DE LA PARTIE II

Données numériques

intensité de la pesanteur : $g = 1 \times 10^1 m \cdot s^(- 2)$
masse volumique de l'eau : $ρ_e = 1 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)$
pression atmosphérique au niveau du sol : $p_0 = 1 \times 10^5 Pa$
viscosité dynamique de l'eau : $η_e = 1 \times 10^(- 3) kg \cdot m^(- 1) \cdot s^(- 1)$
coefficient de tension superficielle de l'eau : $γ_e = 7 \times 10^(- 2) N \cdot m^(- 1)$
masse volumique de l'air : $ρ_a = 1 kg \cdot m^(- 3)$
viscosité dynamique de l'air : $η_a = 2 \times 10^(- 5) kg \cdot m^(- 1) \cdot s^(- 1)$

Formulaire

Lois de Coulomb : Un solide en contact quasi-ponctuel sur un support subit de la part du support des actions de contact équivalentes à une force

F⃗

que l'on peut décomposer en une composante normale

N⃗

et une composante tangentielle

T⃗

.
En l'absence de glissement, on a

‖T⃗‖ < f‖N⃗‖

où

f

est le coefficient de frottement.
En présence de glissement, la composante tangentielle

T⃗

est dirigée dans la direction opposée à celle du vecteur-vitesse de glissement et on a

‖T⃗‖ = f‖N⃗‖

Expression de la divergence d'un champ de vecteurs en coordonnées cylindriques (

r, θ, x

)

diva⃗ = 1/r(\partial(ra_r))/(\partialr) + 1/r(\partiala_θ)/(\partialθ) + (\partiala_x)/(\partialx)

≪

À la mémoire d'Olivier Cervera (1964-2018), auteur de ce sujet.

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique 2 Mines PSI 2019 ?

Sur la physique des arbres : mécanique des fluides pour la montée de la sève et le cavitron, puis mécanique du solide pour l'abattage d'un arbre mort et la chute d'un arbre sous l'effet du vent.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique 2 Mines PSI 2019 ?

Des résultats fournis obtenus par des calculs faux, des erreurs de signe sur l'énergie potentielle et les projections, une mauvaise analyse de stabilité et des applications numériques aberrantes ou sans unité.

Les parties du sujet de physique 2 Mines PSI 2019 sont-elles indépendantes ?

Oui, la partie de mécanique des fluides et celle de mécanique du solide sont indépendantes, et des résultats fournis permettaient d'entrer dans les différentes sous-parties.

Comment rendre les applications numériques en physique 2 Mines PSI 2019 ?

Le jury exige une forme décimale, sans fraction ni racine, avec une unité, et rappelle que ces calculs se font sans calculatrice.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 2 PSI 2019

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