La mission MICROSCOPE : un test du principe d'équivalence
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Le sujet étudie la mission spatiale MICROSCOPE, qui teste le principe d'équivalence entre masse inertielle et masse grave en comparant la chute libre de deux cylindres de compositions différentes. Il part d'un préliminaire sur les pendules de Galilée, passe par la mesure de la distance Terre-Lune et le principe du satellite, puis détaille le dispositif électrostatique de mesure avant d'analyser les résultats expérimentaux publiés en 2017.
1Préliminaire : tester le principe d'équivalence avec des pendulesMontrer comment une violation du principe d'équivalence modifierait la période de deux pendules de compositions différentes.
2Partie I : un test du principe d'équivalence : la mesure de la distance Terre-LuneÉtudier comment une violation du principe d'équivalence induirait une variation périodique de la distance Terre-Lune dans le système Soleil-Terre-Lune.
3Partie II : fonctionnement de la mission MICROSCOPEÉtablir l'expression de l'accélération différentielle entre deux masses de test en orbite et identifier la fréquence caractéristique d'une violation du principe d'équivalence.
4Partie III : les mesures électriques dans la mission MICROSCOPEÉtudier le dispositif électrostatique de contrôle et de mesure de la position des cylindres de test à l'aide de condensateurs et d'un transformateur différentiel.
5Partie IV : les premiers résultats de la mission MICROSCOPEAnalyser les densités spectrales de puissance du signal mesuré, identifier les sources de bruit puis conclure sur la validité du principe d'équivalence.
MERCREDI 24 AVRIL 2019-8h00 - 14h00
FILIERE PSI
ÉPREUVE DE PHYSIQUE
(U)
Durée : 6 heures
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COMPOSITION DE PHYSIQUE - U
(Durée : 6 heures)
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Le sujet comporte 17 pages numérotées de 1 à 17 .
La mission MICROSCOPE : un test du principe d'équivalence
Au XVII ^(ième) siècle, Galilée constatait que, dans le champ de gravité de la Terre, deux corps tombent avec le même mouvement. Dans une expérience de pensée célèbre, il proposait ainsi de vérifier que deux objets de masses différentes, lâchées du haut de la tour de Pise, arrivent bel et bien simultanément au bas de la tour. En 1638, il réalisait une première expérience, plus réaliste, à l'aide de pendules, lui permettant de constater l'universalité de la chute libre. Elle découle du principe d'équivalence, qui postule l'égalité entre la masse inertielle d'un corps, m_I, et sa masse grave, m_G :
La première intervient dans la définition de la quantité de mouvement, p, de l'objet : p = m_I v, avec v la vitesse de l'objet ;
La seconde caractérise la force, F, subie par l'objet dans un champ de pesanteur g : F = m_G g.
Au début du XX ^(ième) siècle, Einstein fit du principe d'équivalence le postulat de départ de sa théorie de la Relativité Générale. En conséquence, dans le cadre relativiste, la trajectoire d'un corps tombant en chute libre ne dépend ni de sa structure interne ni de sa composition. Certaines théories plus récentes de la gravitation, tentant d'unifier gravitation et mécanique quantique, remettent en cause cette dernière propriété. Tester la validité du principe d'équivalence, c'est donc éprouver ces nouvelles théories.
Depuis Galilée, de nombreux tests du principe d'équivalence ont été réalisés. En 2016, était finalement lancée la mission MICROSCOPE : deux masses, de compositions différentes, sont placées en chute libre au sein d'un satellite, dans le champ de gravitation de la Terre. En cherchant une possible différence dans la trajectoire des deux masses de test, la mission promet un test du principe d'équivalence 1000 fois plus précis que les tests les plus poussés réalisés jusqu'alors. En décembre 2017, les premiers résultats de la mission MICROSCOPE étaient révélés. Dans ce problème nous étudierons certains des principaux aspects de la mission et analyserons, dans une dernière partie, les premiers résultats de la mission.
Dans les deux premières parties du problème, pour tout objet dit «de masse m », on fera la distinction entre sa masse inertielle, notée m_I, et sa masse grave, notée m_G, définies plus haut. On introduit alors le paramètre sans dimension η, infinitésimal, défini par
(m_G)/(m_I) = 1 + η, |η|≪1.
Pour deux objets de masses m_1 et m_2, on définit enfin le paramètre d'Eötvos ℰ_(1, 2) :
ℰ_(1, 2) = ((m_G)/(m_I))_1 − ((m_G)/(m_I))_2
L'objectif de la mission MICROSCOPE est de vérifier le principe d'équivalence à une précision de 10^(− 15), c.-à-d. de vérifier que, pour deux objets de compositions différentes, |ℰ_(1, 2)| < 10^(− 15).
Le sujet est constitué de quatre parties très largement indépendantes. Les deux premières parties sont des problèmes de mécanique newtonienne.
Après un préliminaire sur l'expérience des pendules de Galilée, la première partie se concentre sur le test du principe d'équivalence par mesure de la distance Terre-Lune;
La seconde partie présente le principe de la mission MICROSCOPE;
La troisième partie, centrée sur l'électrostatique et l'électronique, présente la mesure de l'accélération différentielle et de la position des masses de test dans le satellite;
La quatrième partie est dédiée à l'étude des résultats de la mission MICROSCOPE. Elle fait appel à des résultats des parties précédentes donnés dans l'énoncé.
Les applications numériques seront effectuées avec deux chiffres significatifs. On utilisera les valeurs approchées des constantes fondamentales et divers paramètres suivants.
Grandeurs physiques
Constante universelle de la gravitation : G = 6, 5 × 10^(− 11) N ⋅ m^2 ⋅ kg^(− 2)
Vitesse de la lumière : c = 3, 0 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Période de rotation de la Lune autour de la Terre : T_L = 30 jours.
Les paramètres de la mission MICROSCOPE
Altitude du satellite : d_s = 7, 0 × 10^2 km
Cylindre de test n^∘1
Rayon intérieur : R_1^((1)) = 15 cm
Rayon extérieur : R_2^((1)) = 20 cm
Hauteur : h^((1)) = 40 cm
Masse : m_c^((1)) = 0, 40 kg
Écart moyen aux électrodes de contrôle : e = 2, 0 cm
Cylindre de test n^∘2
Rayon intérieur : R_1^((2)) = 30 cm
Rayon extérieur : R_2^((2)) = 35 cm
Hauteur : h^((2)) = 80 cm
Masse : m_c^((2)) = 1 kg
Formulaire
On note en gras un vecteur v, sa norme est notée v = ‖v‖.
L'opérateur grad est représenté par le vecteur ∇. En coordonnées cartésiennes :
∇ = ∂/(∂x)u_x + ∂/(∂y)u_y + ∂/(∂z)u_z
Pour toute fonction sinusoïdale f(t) = f_0 cos(ωt + φ), on note f_– = f_0 e^(jωt)e^(jφ) sa notation complexe. On notera j la racine complexe de − 1 : j^2 = − 1.
Pour deux nombres réels a, b quelconques, on donne les relations suivantes:
2cosacosb, = cos(a + b) + cos(a − b); 2sinasinb, = cos(a − b) − cos(a + b); 2cosasinb, = sin(a + b) − sin(a − b)
Préliminaire : Tester le principe d'équivalence avec des pendules
En 1638, Galilée éprouva le principe d'équivalence en comparant le mouvement de deux pendules simples. Chaque pendule est réalisé en accrochant une masse au bout d'une corde non-extensible de longueur l. Les deux masses utilisées, m^((1)) et m^((2)), sont de compositions différentes. On se place ici dans la limite des petits angles.
Q.1. Montrer que, si le principe d'équivalence n'est pas vérifié, la période T_k du pendule simple k ∈ {1, 2} dépend du paramètre η_k = m_G^((k))/m_I^((k)) − 1 introduit équation ( i. 1 ) du préambule.
Q.2. Sachant que |η_k|≪1, exprimer en fonction du paramètre d'Eötvos ℰ_(1, 2) le rapport (T_1 − T_2)/(T_1 + T_2).
Q.3. Estimer le nombre de périodes d'oscillation des pendules qu'aurait dû observer Galilée pour atteindre la précision visée par la mission MICROSCOPE. Commenter. À quelle précision peut-on espérer tester le principe d'équivalence avec cette expérience?
Partie I : Un test du principe d'équivalence : la mesure de la distance Terre-Lune
Avant la mission MICROSCOPE, l'un des tests les plus précis du principe d'équivalence a été réalisé par une mesure des variations de la distance Terre-Lune. On se propose ici, dans un modèle simple, de montrer comment une possible violation du principe d'équivalence induit une variation périodique de cette distance.
On considère ici seulement le système, supposé isolé, formé du Soleil, de la Terre et de la Lune, en interaction gravitationnelle. Leurs masses respectives sont notées M^((S)), M^((T)) et M^((L)).
On se place dans le référentiel héliocentrique, supposé galiléen. On note r_T et r_L les vecteurs position de la Terre et de la Lune, respectivement, dans ce référentiel et r = r_L − r_T.
Dans toute la suite, on notera μ_k = GM_G^((k)), pour k ∈ { T, L, S}.
Q.4. Faire un bilan des forces et exprimer les accélérations de la Terre, a_T, et de la Lune, a_L, dans le référentiel héliocentrique en fonction des coefficients μ_k et η_k, k ∈ { T, L, S}.
Q.5. En déduire que
où l'on donnera l'expression de μ^∗.
Q.6. Que devient cette équation si l'on néglige l'influence gravitationnelle du Soleil sur la distance TerreLune? Si l'on suppose alors que l'orbite de la Lune autour de la Terre est circulaire de rayon r_0, exprimer la fréquence angulaire ω_0 de cette trajectoire en fonction de μ^∗ et r_0.
Q.7. Quelle valeur μ_0 prend le paramètre μ^∗ dans le cas où le principe d'équivalence est vérifié? Justifiez que la correction de la valeur de μ^∗ due à une possible violation du principe d'équivalence n'induit pas de variations temporelles de la distance Terre-Lune.
Q.8. Justifiez que les deux termes proportionnels à μ_S dans l'équation ( I. 1 ) correspondent à une variation périodique de la distance Terre-Lune par rapport à la trajectoire circulaire considérée question Q.6.
On s'intéresse ici seulement aux variations de la distance Terre-Lune qui seraient dues à une violation du principe d'équivalence. Le second terme du membre de droite dans l'équation ( I. 1 ) correspond aux marées solaires. Pour simplifier, nous l'omettrons dans toute la suite du problème et considérerons que μ^∗ = μ_0. L'équation ( I. 1 ) se récrit donc
Dans cette sous-partie, on cherche à estimer l'influence relative des deux termes en η_T et η_L dans l'équation ( I. 2 ). On postule pour cela que le coefficient η_k d'un corps de densité volumique de masse ρ_k prend la forme
η_k = η(∬_V G(ρ_k(r)ρ_k(r^′))/(|r − r^′|)d^3 r d^3 r^′)/(∫_V ρ_k(r)c^2 d^3 r), k ∈ { T, L}
où η est un coefficient sans dimension indépendant du corps et où les intégrales sont faites sur tout le volume V du corps considéré. Pour le calcul des intégrales ci-dessus, on ne fera pas de distinction entre masses volumiques inertielles et graves dans la définition de ρ_k, et on note M_k la masse du corps.
Q.9. Calculer la valeur de l'intégrale au dénominateur de la fraction en fonction de M_k. À quoi correspond ce terme? Quelle est sa dimension?
Q.10. Quel est le sens physique de l'intégrale au numérateur de la fraction?
L'intégrale I_k(r) = − ∫_V Gρ_k(r^′)1/(|r − r^′|)d^3 r^′ est le potentiel gravitationnel créé par la distribution de masse ρ_k au point r : le champ gravitationnel créé par cette même distribution s'écrit g_k(r) = − ∇I_k(r). On considère que l'astre k est une boule de rayon R_k, centrée en r = 0, et de densité de masse uniforme.
Q.11. En faisant une analogie avec l'électrostatique et une distribution de charge de même géométrie, calculer le champ gravitationnel créé par cette distribution de masse. En déduire que, pour r < R_k, I_k(r) = − 2πGρ_k(R_k^2 − (r^2)/3).
Q.12. En déduire que, pour k ∈ { T, L}, η_k = ηG/(c^2)6/5(M_k)/(R_k).
Q.13. Application numérique : Calculer η_T/η et η_L/η et en déduire que le terme en η_L dans l'équation ( I. 2 ) peut être négligé par rapport au terme en η_T.
Modification de l'orbite lunaire
Le mouvement de la Lune autour de la Terre peut donc être décrit par l'équation du mouvement simplifiée
On considérera dorénavant que l'équation précédente est l'équation du mouvement de la Lune dans le référentiel géocentrique R_g supposé galiléen. La position de la Lune dans R_g est donc r.
On suppose par ailleurs que la Terre a une trajectoire circulaire uniforme autour du Soleil, de rayon r_T, de fréquence angulaire ω_T. On rappelle que, dans R_g, la Lune et le Soleil tournent dans le même sens autour de la Terre. Pour simplifier, on suppose enfin que l'orbite de la Lune est contenue dans le plan de l'orbite de la Terre autour du Soleil. On note u_z la normale à ce plan, orientée pour que ω_T > 0.
On note Φ(t) = (r_T, r)ˆ l'angle qui repère la position de la Lune par rapport à celle du Soleil. Si le principe d'équivalence est vérifié, on suppose que l'orbite de la Lune est circulaire uniforme, de rayon r_0, de fréquence angulaire ω_0. On notera Ω = ω_0 − ω_T.
Q.14. On note L le moment cinétique de la Lune dans R_g, par rapport au centre de la Terre. On introduit le moment cinétique réduit ℓ défini par L = M_I^((L))ℓ. Montrer que
(dℓ)/(dt) = − δarsinΦu_z, δa = μ_S η_T 1/(r_T^2)
Quelle est la dimension de δa ? Que devient cette équation si le principe d'équivalence est vérifié? Montrer alors que ℓ = ℓ_0 = ℓ_0 u_z avec ℓ_0 = ω_0 r_0^2.
Q.15. Montrer que
On suppose par ailleurs que δr, δℓ et δΦ ont tous une moyenne temporelle nulle.
Les paramètres δa, δr, δℓ et δΦ sont tous d'ordre 1 en η(|η|≪1).
Q.16. Donner l'expression de Φ_0(t).
Q.17. En supposant les perturbations suffisamment faibles, calculer δℓ(t). En déduire que
Q.18. De quel type d'équation différentielle s'agit-il? Comment est modifiée l'orbite de la Lune par une violation du principe d'équivalence?
Q.19. En utilisant le fait que ω_T≪ω_0, que l'on justifiera, montrer que l'amplitude δr_0 de δr(t) est
Q.20. Les mesures les plus précises des variations de la distance Terre-Lune ont une précision de 2 cm . Proposer une méthode pour mesurer la distance Terre-Lune avec une telle précision.
Q.21. Calculer le rapport δr_0/η.
Q.22. Avec quelle précision peut-on estimer η_T et ainsi tester le principe d'équivalence par mesure de la distance Terre-Lune?
Partie II : Fonctionnement de la mission MICROSCOPE
Pour tester la validité du principe d'équivalence, la mission MICROSCOPE a placé en orbite autour de la Terre deux cylindres métalliques, concentriques, de compositions différentes. Dans l'hypothèse où l'universalité de la chute libre serait vérifiée, les deux cylindres devraient avoir strictement la même orbite autour de la Terre. Une violation du principe d'équivalence se traduirait par un déplacement relatif des deux cylindres.
Plutôt que d'observer une différence de trajectoire, les orbites des deux cylindres sont asservies sur l'orbite du satellite qui les contient. On utilise pour cela un dispositif électrostatique qui permet d'appliquer une force f_(el, k) sur le cylindre k, k ∈ {1, 2}. Une violation du principe d'équivalence se traduit dans ce cas par une différence entre les accélérations Γ_(el, k) = f_(el, k)/m_I^((k)) appliquées sur les deux cylindres, de masses m^((k)), aussi appelés masses de test.
Figure 2.1 - Mode d'opération inertiel du satellite MICROSCOPE : les deux cylindres de test et le satellite sont en chute libre dans le champ de gravitation g de la Terre.
Dans cette partie, l'on cherche à exprimer la différence d'accélération δΓ = Γ_(el, 1) − Γ_(el, 2) en fonction du paramètre d'Eötvos ℰ_(1, 2). Pour cela, on étudie la trajectoire des deux cylindres dans le référentiel géocentrique R_g supposé galiléen. On ne considérera ici que le champ gravitationnel créé par la Terre, noté g(r), et on note μ_T = GM_G^((T)) comme dans la partie précédente.
Dans R_g, le satellite de masse m^((s)) a une trajectoire circulaire uniforme de rayon r_s, de fréquence angulaire Ω_s. On note u_y la normale au plan de l'orbite du satellite. On note O_s le centre de masse du satellite, O_k celui de la masse test k et O le centre de la Terre. On munit R_g du repère ( O, x, y, z ). Le repère ( O_s, x^′, y^′, z^′ ) est en translation circulaire par rapport au repère ( O, x, y, z ) (voir Fig. 2.1). La position du satellite est repérée par l'angle θ_s que fait r_s avec ( Ox ).
La forme des cylindres est choisie afin de minimiser les éventuels couples de force gravitationnelle. Dans tout le problème, on négligera donc les couples de forces appliqués sur les masses de test.
Estimation de l'accélération différentielle δΓ
Q.23. Montrer que la résultante des forces appliquées à la masse de test k s'écrit
F_k = ∫_(V_k)g(r)ρ_G^((k))d^3 r + f_(el, k)
En déduire que le satellite est soumis à la force totale
F_s = ∫_(V_s)g(r)ρ_G^((s))d^3 r − ∑_(k = 1, 2)f_(el, k)
Dans les deux précédentes équations, les sommes sont prises sur tous les éléments de volume d^3 r du cylindre k de volume V_k, de densité volumique de masse grave ρ_G^((k)), ou du satellite de volume V_s, de densité volumique de masse grave ρ_G^((s)).
Q.24. En déduire l'expression de l'accélération (d^2 O_s O_k)/(dt^2).
Pour prendre en compte la dépendance en position du champ de pesanteur g, on introduit la matrice [T] définie comme
[T_(i, j)] = [(∂g_i)/(∂x_j)] = [(∂g_x)/(∂x), (∂g_x)/(∂y), (∂g_x)/(∂z); (∂g_y)/(∂x), (∂g_y)/(∂y), (∂g_y)/(∂z); (∂g_z)/(∂x), (∂g_z)/(∂y), (∂g_z)/(∂z)], i, j ∈ {1, 2, 3}, où l'on a écrit (x_1, x_2, x_3) ≡ (x, y, z).
Q.25. Montrer que les composantes de la matrice [T] prennent la forme
où δ_(ij) est le symbole de Kronecker : δ_(ij) = 1 si i = j, 0 sinon.
Les variations de g sont suffisamment faibles à l'échelle du satellite pour pouvoir écrire, pour tout point P du satellite, g(P) = g(O_s) + [T(O_s)]O_s P.
Q.26. En déduire que
∫_(V_k)g(r)ρ_G^((k))d^3 r = m_G^((k))(g(O_s) + [T(O_s)]O_s O_k)
Q.28. Les forces f_(el, k) sont imposées afin d'asservir l'orbite des masses de test sur l'orbite du satellite, c.-à-d. afin d'annuler les accélérations (d^2 O_s O_k)/(dt^2). En admettant que le terme η_k en facteur de [T(O_s)] peut être omis dans l'équation ( II. 4 ), en déduire que
δΓ = ℰ_(2, 1)g(O_s) + [T(O_s)]Δ, Δ = O_1 O_2.
Signal de violation du principe d'équivalence
D'après l'équation ( II. 5 ), une mesure de δΓ permet de révéler une possible violation du principe d'équivalence lorsque les deux cylindres de test sont bien alignés ( Δ = O_1 O_2 = 0 ). Si les deux cylindres ne sont pas bien alignés, Δ ≠ 0 et le second terme de l'équation (II. 5 ) rend δΓ non nul même en l'absence de violation du principe d'équivalence.
Pour distinguer ces deux contributions à δΓ, les composantes spectrales de δΓ sont analysées : on cherche à faire en sorte qu'une violation du principe d'équivalence et qu'un mauvais alignement des cylindres induisent des variations de δΓ à des fréquences différentes. On notera par la suite f_(PE) la fréquence des oscillations de δΓ induites par la violation du principe d'équivalence.
On admet que l'axe le plus sensible de mesure de δΓ est, par construction, l'axe du cylindre, et l'on ne s'intéresse donc dorénavant qu'à la composante δΓ_x.
On prendra l'origine des temps à l'instant où le satellite est à la position ( x_s = r_s, y_s = 0, z_s = 0 ).
Q.29. Montrer qu'une violation du principe d'équivalence induirait des oscillations de δΓ_x à la pulsation Ω_s.
Q.30. Calculer les composantes T_(xx)(O_s), T_(xy)(O_s) et T_(xz)(O_s) en fonction du temps. À quelle fréquence un mauvais alignement vient-il faire varier le terme δΓ_x ? Commenter.
En pratique, la trajectoire du satellite n'est pas parfaitement circulaire mais elliptique. Une trajectoire elliptique a pour équation
r^′(θ^′) = p/(1 + ecosθ^′)
où r^′ et θ^′ sont les coordonnées polaires repérant la position de l'objet dans un repère centré sur l'un des foyers de l'ellipse ( F ou F^′ sur la figure ci-contre), et où p > 0 est le paramètre de l'ellipse et e ∈ ] − 1, 1[ son excentricité.
Trajectoire elliptique de foyers F et F^′, de centre O .
On suppose que le grand axe de la trajectoire est selon l'axe ( Ox ) et que son excentricité est faible : |e|≪1.
Q.31. Montrer que la distance entre les deux foyers de la trajectoire elliptique est négligeable devant r_s^((0)), rayon de l'orbite circulaire obtenue pour e = 0. En déduire que r_s(θ_s) ∼ r_s^((0))(1 − ecosθ_s).
Q.32. Montrer que T_(xx)(O_s) présente maintenant un terme oscillant à f_(PE) et calculer l'amplitude de ces oscillations. Faire de même pour T_(xz). Qu'en est-il de T_(xy) ?
Q.33. En déduire que la part de δΓ_x qui oscille à f_(PE) prend la forme, avec g_s = ‖g(O_s)‖,
Q.34. Comment pourrait-on mesurer Δ_x et Δ_z une fois le satellite mis en orbite? Pourquoi ne peut-on pas faire cette mesure au sol?
Q.35. Application numérique : Sachant que la mesure de Δ_x est réalisée avec une précision de 0, 1μ m, et en supposant Δ_z = 0, quelle doit être l'excentricité de l'orbite choisie pour que l'objectif de précision de la mission MICROSCOPE puisse être atteint?
Figure 2.2 - Mode d'opération rotation du satellite MICROSCOPE : le satellite tourne sur lui-même, autour de l'axe (O_s y^′) à la pulsation ω_r. Comme précédemment, la position du satellite est repérée à tout instant par l'angle θ_s. À gauche θ_s(t) = − π/2, à droite θ_s(t^′ > t) = 0.
Le satellite peut également être mis en rotation sur lui-même, autour de l'axe ( O_s y^′ ), à une pulsation ω_r (voir Fig. 2.2). On munit le référentiel R_g du repère ( O, X, Y, Z ), en rotation à ω_r autour de ( Oy ). Le repère ( O_s, X^′, Y^′, Z^′ ), en rotation à ω_r autour de ( O_s y^′ ) est, comme précédemment, en translation circulaire par rapport au repère ( O, X, Y, Z ).
On utilisera ici, sans le démontrer, le fait que les équations ( II. 3 ) et ( II. 5 ) sont toujours valables dans le nouveau repère ( O, X, Y, Z ), à condition de remplacer les coordonnées x_i par les coordonnées X_i.
Q.36. À quelle fréquence, f_(PE), δΓ_X oscille-t-il dans le cas où le principe d'équivalence serait violé?
Q.37. Quand le satellite est en rotation, quelles sont les fréquences d'oscillation de δΓ_X si les cylindres ne sont pas bien alignés ? On ne cherchera pas à calculer les amplitudes de ces oscillations.
Q.38. Quel est l'intérêt de ce mode de fonctionnement du satellite ? Comment faut-il choisir ω_r par rapport à Ω_s ?
Partie III : Les mesures électriques dans la mission MICROSCOPE
Pour asservir la trajectoire du satellite sur celle des masses de test, la mission MICROSCOPE utilise un dispositif électrostatique. En plaçant des électrodes métalliques autour des cylindres de test, eux-mêmes métalliques, et en contrôlant aussi bien le potentiel appliqué sur les électrodes de contrôle que sur les cylindres de test, l'on peut choisir l'amplitude de la force électrostatique subie par une masse de test.
Dans cette partie, nous étudions le système qui permet d'appliquer ces forces électrostatiques mais également de mesurer la position des cylindres par rapport au satellite. La mesure de cette position est en effet indispensable à l'opération de la boucle d'asservissement de trajectoires.
Figure 3.1 - Vue éclatée des électrodes disposées autour des cylindres de test et permettant de mesurer et de contrôler la position relative des cylindres de test et du satellite.
Trois jeux d'électrodes sont disposés autour de chaque cylindre de test, tel que représenté Fig. 3.1, et permettent de mesurer et contrôler la position relative de chaque cylindre de test avec le satellite, dans les trois direction notées X, Y, Z. Chacune de ces électrodes forment, avec le cylindre de test, un condensateur. Dans un modèle simplifié, la géométrie de ces condensateurs peut se ramener à l'un des deux cas représentés Fig. 3.2. Dans les deux cas, un déplacement de la masse de test induit une modification des capacités C_1 et C_2 formées avec les électrodes 1 et 2 , respectivement.
Dans la méthode dite à variation de gap, la variation de la capacité C_i correspond à une variation de l'espacement entre la masse de test et l'électrode plane i;
Dans la méthode dite à variation d'aire, la variation de la capacité C_i correspond à une variation de l'aire du cylindre de test couverte par l'électrode cylindrique i.
Gains de mesure et d'action
Dans toute cette partie, on supposera les électrodes en influence totale et on négligera les effets de bord. L'espace entre les électrodes est le vide.
Q.39. Justifier que le contrôle de la position selon l'axe X, Fig. 3.1, correspond à la méthode par variation d'aire.
Q.40. À quelle condition sur la géométrie du dispositif peut-on ramener le contrôle de la position selon les axes Y et Z à la méthode par variation de gap?
Figure 3.2 - Variation de gap : (gauche) Deux condensateurs plans sont formés par la masse de test et les deux électrodes planes situées de part et d'autre. Variation d'aire : (droite) Deux condensateurs cylindriques sont formés par le cylindre de test (intérieur) et les deux électrodes cylindriques entourant le cylindre de test à chacune de ses extrémités. Dans les deux cas, la cote x repère le centre de la masse de test sur l'axe de mesure. Les distances entre les surfaces latérales de la masse de test et des électrodes de contrôle sont notées e_1 et e_2. Le zéro de l'axe est pris au milieu des deux électrodes de contrôle.
Variation de gap
On note S l'aire de la surface latérale de la masse de test représentée Fig. 3.2. On repère la position de la masse de test le long de l'axe de mesure par la cote x. La distance entre l'électrode i et la surface latérale correspondante de la masse de test est notée e_i. Si la masse de test est au point milieu x = 0, alors e_1 = e_2 = e.
Q.41. Calculer en fonction de x, e et S les capacités C_i, i ∈ {1, 2}.
Q.42. En déduire que, pour de petits écarts au point milieu,
ΔC = C_1 − C_2 = − 2C_0 x/e,
où C_0 est une constante égale à (C_1 + C_2)/2.
Variation d'aire
On note R_t le rayon extérieur du cylindre de test, R_e le rayon intérieur des électrodes de contrôle i = 1, 2. La distance sur laquelle l'électrode i recouvre le cylindre de test est notée e_i. Si la masse de test est au point milieu x = 0, alors e_1 = e_2 = e.
Q.43. Montrer que la capacité formée par l'électrode cylindrique i et le cylindre de test s'écrit C_i = (2πε_0 e_i)/(ln(R_e)/(R_t)).
Q.44. En déduire que, pour de petits écarts au point milieu,
ΔC = C_1 − C_2 = 2C_0^′ x/e,
où C_0^′ est une constante, égale à (C_1 + C_2)/2.
Contrôle de position
Pour contrôler la position de la masse de test le long de l'axe de mesure, un générateur impose le potentiel électrique V_p à la masse de test et le potentiel V_i à l'électrode de contrôle i, avec V_1 = − V_2 = V_e. On note F_i la force appliquée sur la masse de test k via l'électrode i. Comme dans la partie II, la force totale subie par le cylindre de test de masse m_I^((k)) est notée f_(el, k) = m_I^((k))Γ_(el, k). Le contrôle de Γ_(el, k) se fait par la seule modification des potentiels électriques V_e et V_p.
Pour calculer Γ_(el, k), on suppose que la masse de test k subit un déplacement infinitésimal de vecteur du, induisant une variation dC_i de la capacité C_i.
Q.45. Quelle est l'énergie E_(p, i) stockée dans le condensateur de capacité C_i ? Comment varie-t-elle lors de la transformation infinitésimale considérée?
Q.46. Quelle est l'énergie infinitésimale fournie par le générateur pour maintenir les potentiels V_i et V_p constants au cours de la transformation?
Q.47. En faisant un bilan d'énergie, en déduire que F_i = 1/2U_i^2∇C_i, avec U_i = V_i − V_p.
Q.48. En déduire que, dans la méthode par variation d'aire,
Γ_(el, k) = − G_a V_e u_x
où l'on donnera l'expression du gain G_a.
Q.49. De même, montrer que, dans la méthode par variation de gap,
où l'on donnera l'expression du gain G_g et de la pulsation ω_p. Justifier que le second terme puisse être considéré comme un terme de raideur électrostatique. Pourquoi ce terme peut-il être gênant dans la mesure de Γ_(el, k) ?
Q.50. Application numérique : En supposant que les électrodes Y et Z entourent le cylindre intérieur sur toute sa longueur h^((1)), estimer la valeur du gain par unité de tension G_g/V_p.
Mesure de la différence ΔC
D'après les questions précédentes, la force f_(el, k) appliquée sur la masse de test k est créée en imposant le potentiel V_p sur la masse de test et le potentiel ± V_e sur les électrodes de contrôle. Pour mesurer la position de la masse de test, on souhaite mesurer la différence des capacités ΔC. Cela nécessite de pouvoir imposer le potentiel de contrôle V_p tout en mesurant ΔC via un potentiel de mesure V_d appliqué, lui aussi, sur la masse test. Pour cela, on impose sur la masse de test le potentiel
V_m(t) = V_p + V_d(t), où V_d(t) = V_d^((0))cos(ω_d t)
Le potentiel électrique de mesure, V_d, est donc oscillant à la pulsation ω_d = 2π × 100kHz alors que le potentiel de contrôle, V_p, est constant. On étudie maintenant le circuit électrique permettant d'accéder à la mesure de la différence ΔC, et donc à la position de la masse de test sur l'axe de mesure. On note C_0 = (C_1 + C_2)/2.
Le circuit utilisé est représenté sur la figure 3.3.a. Les deux capacités C_1 et C_2 formées par la masse de test et les électrodes de contrôle sont reliées à un transformateur appelé transformateur différentiel. Le bobinage du transformateur est représenté Fig. 3.3.b. Les deux bobinages du côté du primaire contiennent n_p spires, le bobinage secondaire en contient n_s. On suppose le transformateur idéal.
On fera particulièrement attention à l'orientation des bobinages sur la figure 3.3.b.
Q.51. Montrer que le transformateur impose une relation, que l'on précisera, entre les tensions V_1, V_2 et V_s. Montrer qu'il impose également une relation, que l'on précisera, entre les courants i_1, i_2 et I_s.
Q.52. On introduit le potentiel V_x = (ΔC)/(C_0)V_d. En pratique, on mesure d'autres fréquences d'oscillations que ω_d/(2π) dans le spectre de V_x. Quelles peuvent-être les sources de ces autres fréquences?
Figure 3.3 - a. Circuit électrique permettant de mesurer ΔC = C_1 − C_2. b. Schéma du bobinage du transformateur utilisé dans le circuit. Les deux circuits primaires contiennent n_p spires, le circuit secondaire n_s spires.
On cherche par la suite à évaluer la contribution à la mesure finale d'une composante de pulsation ω, quelconque, du signal V_x. On suppose donc que V_x est oscillant à une pulsation ω.
Q.53. Montrer que, dans le cas où n_p = n_s, V_x_– = 2V_s_– − 1/(jωC_0)I_s_–.
On suppose que l'amplificateur linéaire, au secondaire du transformateur, opère en régime linéaire.
Q.54. Donner l'expression de V_f_– en fonction de V_x_–, C_0 et C_f.
Q.55. Le signal V_f est ensuite transmis au circuit de la figure 3.4. Montrer que V_a_– se met sous la forme
où l'on exprimera ω_0 en fonction de R, C et du coefficient η. Comment choisir R, C et η pour effectuer la mesure de position? Quel est le rôle de ce premier montage à amplificateur linéaire?
Le signal V_a(t) est multiplié par le potentiel V_d(t) imposé sur la masse de test puis transmis au second amplificateur linéaire du circuit Fig. 3.4.
Q.56. Donner l'expression du gain complexe du filtre constitué de cet amplificateur et des composants R_1, R_2 et C^′. Justifier l'emploi du multiplicateur. Comment choisir R_1, R_2 et C^′ ? En déduire que la mesure de V_e permet la mesure de ΔC indépendamment de la mesure de V_p.
Figure 3.4 - Traitement du signal V_f(t)
Partie IV : Les premiers résultats de la mission MICROSCOPE
Les premiers résultats de la mission MICROSCOPE ont été publiés en décembre 2017. Nous analysons dans cette partie les résultats et en déduisons la précision avec laquelle le principe d'équivalence a été testé par la mission.
Définitions : Densités spectrales de puissance
On considère un signal n(t) enregistré au cours d'une expérience. En répétant plusieurs fois la même expérience, on obtient la moyenne ⟨n⟩ de n(t) sur l'ensemble des réalisations. On définit de même la fonction d'auto-corrélation R_n(τ) comme
R_n(τ) = ⟨[n(t) − ⟨n⟩][n(t + τ) − ⟨n⟩]⟩.
Dans toute la suite on supposera que R_n(τ) ne dépend que de τ (et donc ne dépend pas de t ).
La densité spectrale de puissance S_n(f) du signal n(t) à une fréquence f est définie de façon à ce que S_n(f)df soit la quantité de signal contenue dans la bande de fréquences de largeur d f, centrée en f. On peut montrer que S_n(f) s'écrit comme la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation :
Enfin, pour deux signaux n(t) et m(t) dont les composantes spectrales, ou notations complexes, sont reliées par le gain G_–, m_–(f) = G_–(f)n_–(f), on peut montrer que S_m(f) = |G_–(f)|^2 S_n(f).
Analyse des données de MICROSCOPE
Comme étudié dans les parties précédentes, le signal témoin d'une possible violation du principe d'équivalence est attendu comme une oscillation à une fréquence bien particulière, f_(PE), de la différence des accélérations δΓ appliquées aux masses de test. En pratique, la densité spectrale de puissance de δΓ(t) est enregistrée sur une large bande de fréquence. Elle est représentée sur la figure 4.1.
D'après les résultats de la partie III, la position x_i des cylindres de test est mesurée par mesure d'une tension V_e. Cette mesure de tension est entachée de bruit, de densité spectrale de puissance quasiindépendante de la fréquence. Il en découle que la mesure de la position x est elle-même affectée d'une densité spectrale de bruit notée S_(mes)(f), indépendante de f : √(S_(mes)(f)) ∼ 10^(− 11) m ⋅ Hz^(− 1/2).
Le bruit sur la position x se traduit, à son tour, par un bruit sur l'accélération (d^2 x)/(dt^2) et donc sur δΓ. On note S_(pos)(f) = S_((d^2 x)/(dt^2))(f) la densité spectrale de bruit associée.
Q.57. Montrer que la dimension de √(S_(mes)(f)) = √(S_x(f)) est celle du m ⋅ Hz^(− 1/2) ? Qu'en est-il de √(S_(pos)(f)) ?
Q.58. Montrer que √(S_(pos)(f)) = (2πf)^2√(S_(mes)(f)).
La mesure de la position x nécessite d'imposer un potentiel électrique à chaque cylindre de test de masse m_c. Ce potentiel est apporté par un fil d'or qui relie le cylindre au satellite.
Q.59. Mécaniquement, le fil d'or s'apparente à un ressort de raideur κ_f. Montrer que le bruit en position S_(mes)(f) induit un bruit en accélération √(S_(fil)(f)) = ((κ_f)/(m_c))√(S_(mes)(f)).
Figure 4.1 - Densité spectrale de puissance √(S_(δΓ)) de la différence des accélérations δΓ appliquées aux deux masses de test. La fréquence f_(PE) à laquelle l'oscillation signalant une violation du principe d'équivalence est attendue est indiquée sur le graphe. Les deux lignes correspondent à des ajustements par une loi de la forme y = af^α.
Fluctuations thermiques
Les fluctuations thermiques dans le fil d'or sont responsables d'un bruit supplémentaire sur δΓ. Pour les estimer, nous considérons le modèle simple suivant : le cylindre de test de masse m_c est soumis à la force de rappel du ressort, à une force de frottements visqueux − m_c β(dx)/(dt), et à une force fluctuante F due aux fluctuations thermiques. On note x l'écart à la position d'équilibre du cylindre. La densité spectrale de puissance de F est supposée indépendante de f : S_F(f) = G_0.
Q.60. Écrire l'équation du mouvement et en déduire l'expression de S_x(f) en fonction de G_0.
Le théorème d'équipartition de l'énergie stipule qu'à l'équilibre thermique à la température T la moyenne de l'énergie potentielle du cylindre est 1/2k_B T.
Q.61. Sachant que ⟨x⟩ = 0, calculer R_x(τ = 0). Montrer alors que G_0 = 2βk_B Tm_c.
Q.62. En déduire que, avec Z_–(f) l'impédance complexe définie comme F_– = Z_–(dx_–)/(dt),
S_F(f) = 2Re(Z_–)k_B T.
La relaxation dans le fil d'or n'est en fait pas bien décrite par une force de frottements visqueux. Un modèle plus adapté remplace la force − m_c β(dx)/(dt) par une partie imaginaire à la raideur κ_f : κ_f ↦ κ_f × (1 + jψ), où ψ est une constante. On suppose en revanche que la relation (IV. 3 ) est toujours valide.
Q.63. Calculer l'impédance Z_– dans ce cas et en déduire que le bruit supplémentaire sur δΓ, noté S_(relax)(f), induit par la relaxation dans le fil d'or, vérifie √(S_(relax)(f)) = 1/(m_c)√(k_B T(κ_f ψ)/(πf)).
*
Q.64. Application numérique : Sachant que κ_f ∼ 10^(− 5) N ⋅ m^(− 1), montrer que la contribution à √(S_(δΓ)) de √(S_(fil)) à la fréquence f_(PE) est négligeable.
Q.65. En vous aidant de la figure 4.1 et des ajustements qui y sont faits, déterminer laquelle des sources de bruit estimées aux questions précédentes est dominante sous et au-dessus de f = 4 × 10^(− 2) Hz.
Q.66. La mesure de √(S_(δΓ)) a-t-elle été réalisée en mode inertiel ou en mode rotation du satellite? À quoi correspond la modulation observée à f = 2f_(PE) ?
Figure 4.2 - Accélération différentielle δΓ à la fréquence f_(PE) moyennée sur N orbites, en fonction de N. Sont indiqués le résultat de l'ajustement par y = a/√N et le niveau estimé des erreurs systématiques de mesure en pointillé.
On représente sur la figure 4.2 la valeur de δΓ mesurée à la fréquence f_(PE), moyennée sur un nombre croissant N d'orbites du satellite autour de la Terre.
Q.67. Pour quel type d'incertitudes s'attend-on à ce que l'amplitude du bruit décroisse en 1/√N ?
Q.68. En vous aidant de la figure 4.2, justifier que le signal enregistré n'est pas dû à une erreur systématique de mesure.
Évaluation des performances
Au sein du satellite MICROSCOPE, deux paires de cylindres ont été embarquées. Une paire de cylindre identiques, en platine, et une paire de cylindres différents, l'un en titane et l'autre en platine.
Q.69. Que vaut le paramètre d'Eötvos ℰ(Pt, Pt) pour la paire de cylindres en platine?
Q.70. La mission MICROSCOPE annonce les mesures suivantes :
où (stat.) indique une erreur statistique et (syst.) une erreur systématique.
Le principe d'équivalence est-il invalidé ou validé par les résultats de la mission MICROSCOPE? Avec quelle précision?
Références
Partie I
T. Damour et D. Vokrouhlický, Phys. Rev. D 53, 4177 (1996);
K. Nordtvedt, Jr., Phys. Rev. 170, 1186 (1968).
Parties II - IV
P. Touboul et al., Phys. Rev, Lett. 119, 231107 (2017). Les figures 4.1 et 4.2 en sont issues;
La figure 3.1 est adaptée de F. Han et al., Sensors 2016, 16, 1262;
Thèse de doctorat de Q. Baghi (2016), Université PSL, Observatoire de Paris (dir. G. Métris). Les figures 2.1 et 2.2 en sont issues;
E. Hardy et al., Advances in Space Research 52 (2013) 1634-1646.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique U PSI ENS 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique U PSI ENS 2019 ?
+
Il porte sur la mécanique newtonienne et la gravitation dans les deux premières parties, puis sur l'électrostatique, l'électronique et le traitement du bruit dans les parties suivantes.
Quelles parties du sujet sont indépendantes ?
+
L'énoncé précise que le sujet comporte quatre parties très largement indépendantes, les deux premières relevant de la mécanique newtonienne et la troisième de l'électrostatique et l'électronique ; la quatrième partie réutilise cependant des résultats donnés dans les parties précédentes.
Ce sujet est-il centré sur un seul domaine de la physique ?
+
Non, il combine mécanique céleste, électrostatique, électrocinétique en régime sinusoïdal forcé et traitement du signal autour d'une même expérience spatiale.
Faut-il des connaissances sur le bruit et le traitement du signal pour ce sujet ?
+
Oui, la dernière partie introduit et utilise la densité spectrale de puissance pour analyser les résultats expérimentaux de la mission.
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