Freinages : chute d'un aimant dans un tube de cuivre, frein rhéostatique et désorbitation des satellites
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Le sujet étudie le freinage dans des situations du quotidien et du domaine spatial. Un premier problème compare traînée aérodynamique et freinage inductif lors de la chute d'un aimant dans un tube métallique, puis aborde qualitativement le frein rhéostatique d'un tramway. Un second problème, indépendant, traite de la descente des satellites en orbite basse, du profil de l'atmosphère par un modèle de diffusion, du freinage atmosphérique et d'un freinage par câble conducteur dans le champ magnétique terrestre.
1Partie I.A : chute libre et freinage aérodynamiqueTemps de chute sans frottement, force de traînée, vitesse limite et nombre de Reynolds.
2Partie I.B : freinage inductifCourants induits orthoradiaux dans le tube, puissance dissipée par effet Joule, force de freinage et aimantation de l'aimant.
3Partie I.C : freinage ferroviaire rhéostatiqueQuestions qualitatives sur les lignes de champ et les courants de Foucault dans un frein de tramway.
4Partie II.A : descente des satellites en orbite très bassepremière annéeMouvement circulaire dans le champ de gravitation, énergie mécanique et effet d'une force de frottement.
5Partie II.B : arrivée dans l'atmosphèreÉquilibre entre courant de diffusion et courant dû à la pesanteur, hauteur caractéristique de l'atmosphère.
6Partie II.C : descente par frottement atmosphériquePuissance des frottements, temps caractéristique et ordre de grandeur de la durée de chute.
7Partie II.D : nettoyage des orbites par câbleChamp magnétique terrestre dipolaire, force de Laplace et force électromotrice induite dans un câble fermé par le plasma ionosphérique.
Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet de longueur et de difficulté très raisonnables, avec de nombreux résultats donnés, mais note que des questions proches du cours de première année ont causé d'importantes difficultés et que la dernière partie a souvent été bâclée.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 14 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Question de départ mal gérée · Signes et résultats obtenus en force · Mouvement circulaire en champ de gravitation oublié
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Le sujet alterne questions de cours rapides et séquences calculatoires plus rares, et pouvait être traité en entier dans le temps imparti. La qualité des raisonnements est très variable : copies peu soignées, schémas absents, calculs qui s'égarent et raisonnements qui partent du résultat. Les copies bien présentées et bien justifiées ont été nettement valorisées.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Question de départ mal géréeQ1
La première question, très simple, a fait perdre du temps. Une approche énergétique ne donnait pas la durée de chute, et vitesse finale et vitesse moyenne ont souvent été confondues.
« De nombreux candidats échouent sur l’application numérique, voire renoncent à l’effectuer. »
2
Signes et résultats obtenus en forceQ2, Q10, Q21
Avec l'axe vertical vers le haut, la vitesse devait être écrite avec un signe moins. Beaucoup ont retrouvé le résultat donné malgré une erreur de signe, et les erreurs de signe sur la force de freinage sont nombreuses.
3
Mouvement circulaire en champ de gravitation oubliéQ16 à Q20, Q27
Le cours de première année sur les orbites circulaires a manqué à beaucoup : confusion entre énergie potentielle de pesanteur et de gravitation, accélération en base polaire mal écrite, relation entre énergie mécanique et énergie cinétique peu utilisée.
« Le cours de première année relatif aux mouvements à force centrale en trajectoire circulaire a été oublié par beaucoup. »
4
Lois de Fick et de Fourier confonduesQ23
Ces points de cours auraient dû rapporter des points faciles, mais les confusions entre les deux lois et les erreurs d'unités sur le coefficient de diffusion sont fréquentes.
5
Échelle semi-logarithmique non repéréeQ26
La question plus ouverte demandait surtout de commenter des courbes. Beaucoup n'ont pas vu l'échelle semi-logarithmique et la valeur de H extraite a été aléatoire.
« Il semble que beaucoup de candidats n’ont pas vu que l’échelle était semi-logarithmique. »
6
Fin de sujet bâcléeQ30, Q31, Q33
Le câble de nettoyage des orbites a été peu abordé. Le fait que le nord géographique soit un sud magnétique a rarement été vu, et la formule donnée en annexe a souvent été ignorée au profit du théorème d'Ampère.
Ce qui a été bien réussi
La question 2 (vitesse limite et temps caractéristique) a été plutôt bien traitée.
Le sens des lignes de champ en Q14 a été bien obtenu et bien justifié.
Les questions 21 à 23 sur la diffusion ont été traitées de façon plutôt satisfaisante.
Les questions 28 et 32 ont été souvent réussies.
Conseils du jury
Conclure clairement chaque raisonnement, en particulier pour les questions « montrer que ».
Appuyer les raisonnements physiques sur des schémas.
Donner les applications numériques avec une unité ; un chiffre significatif ne signifie pas un simple ordre de grandeur.
Utiliser les hypothèses de l'énoncé (par exemple e ≪ ri, h ≫ ri) pour simplifier les calculs.
Revoir les coordonnées sphériques, utiles pour le dipôle magnétique.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
34 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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34 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet étudie le freinage dans des situations du quotidien et du domaine spatial. Un premier problème compare traînée aérodynamique et freinage inductif lors de la chute d'un aimant dans un tube métallique, puis aborde qualitativement le frein rhéostatique d'un tramway. Un second problème, indépendant, traite de la descente des satellites en orbite basse, du profil de l'atmosphère par un modèle de diffusion, du freinage atmosphérique et d'un freinage par câble conducteur dans le champ magnétique terrestre.
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il est amené à prendre.
Freinages
On s'intéresse ici à une conséquence électromécanique de la loi de l'induction de Lenz-Faraday : le freinage inductif. Le déplacement d'une source de champ magnétique (aimant, bobinage) mobile en présence d'un conducteur électrique immobile (dans le premier problème), tout comme le déplacement d'un circuit électrique mobile dans une zone de champ magnétique statique (dans le second) ont pour conséquence le freinage du système mobile.
Dans le premier cas, le freinage inductif se manifeste par la dissipation de puissance par effet Joule du fait de la circulation de courants induits en volume (courants de Foucault) : c'est le principe des freins rhéostatiques installés sur certains véhicules lourds (autocars en zone de montagne, trains) lorsque le frottement de traînée aérodynamique et le freinage par friction ne suffisent pas.
Dans le second cas, le freinage est une conséquence directe des courants induits à travers la force de Laplace. Elle est présentée ici dans le cadre d'une proposition récente permettant de faire descendre les satellites artificiels de la Terre hors d'usage sur une orbite assez basse pour que le freinage par l'atmosphère prenne le relais et provoque leur retombée sur terre ou leur destruction.
Ce sujet est constitué de deux problèmes I et II totalement indépendants. Pour les réponses aux questions posées, on distinguera exprimer (donner une forme littérale) et calculer (donner une valeur numérique). Toutes les données numériques nécessaires, ainsi qu'un bref formulaire, figurent en fin d'énoncé. Pour toutes les applications numériques demandées, on peut se limiter à un seul chiffre significatif. Lorsque l'énoncé demande d'expliciter la dimension d'une grandeur physique on le fera en fonction des dimensions fondamentales, longueur L, masse M, durée T, courant électrique I et température Θ. À titre d'exemple, la dimension d'une vitesse V pourra être notée [V] = L ⋅ T^(− 1) et celle d'une force [F⃗] = M ⋅ L ⋅ T^(− 2).
I Freinage d'une chute libre
Cette partie comporte trois sous-parties I.A, I.B et I.C qui peuvent être abordées de manière totalement indépendante à condition d'admettre éventuellement les résultats affirmés par l'énoncé.
On s'inspire ici d'une vidéo de vulgarisation du MIT ^a. D'après le commentaire proposé, «Un aimant est abandonné le long d'un tube de cuivre et y subit une force résistive. La chute de l'aimant induit un courant dans le tube de cuivre et, du fait de la loi de Lenz, ce courant crée un champ magnétique qui s'oppose aux variations du champ dues à la chute de l'aimant. Ce dernier est ainsi repoussé et tombe plus lentement. »
On voit (photographie ci-contre à droite) l'expérimentateur attendre plusieurs secondes l'arrivée de l'aimant à la base du tube alors que la même chute sans les effets inductifs dure quelques centièmes de seconde. Une vue par le haut (ci-dessus) montre l'aimant, sphérique, dans le tube pendant sa chute.
I.A Chute libre et freinage aérodynamique
L'objet dont on étudie la chute est soit une bille d'acier (sans propriété magnétique significative) soit un aimant sphérique ; dans les deux cas on prendra pour son rayon r = 1 cm et pour sa masse m = 33 g; la chute se déroule à l'intérieur d'un tube de cuivre de hauteur h = 20 cm. On note g_0 l'accélération de la pesanteur.
Dans le cas, où on néglige tous les frottements, exprimer puis calculer la durée Δt_h de traversée du tube sans vitesse initiale ainsi que la vitesse moyenne de chute v_m.
La chute est en fait ralentie par le frottement de l'air dans le tube, qu'on modélisera comme une force de traînée aérodynamique de norme :
F = 1/2C_x ρS_⊥v^2
où v = ‖v⃗‖ est la vitesse de chute, C_x le coefficient de traînée (sans dimension, supposé constant pendant la chute), ρ la masse volumique de l'air et S_⊥ la section droite de la bille, donc ici l'aire d'un disque de rayon r.
Montrer que la vitesse de chute est régie par l'équation (dv)/(dt) = (v_∞^2 − v^2)/(v_∞τ); interpréter les constantes v_∞ et τ et exprimer v_∞/τ et v_∞τ.
En admettant que les frottements restent un terme correctif modeste pendant la chute, déduire de v_m une estimation du nombre de Reynolds R qui caractérise l'écoulement de l'air autour de la bille lors de la chute de celle-ci.
Figure 1 - Coefficient de traînée d'une sphère lisse dans l'air
− 4.
Les frottements aérodynamiques permettent-ils de rendre compte d'un temps de chute est Δt_h de l'ordre de 4 secondes pour un tube de 20 cm de haut? Conclure.
I.B Freinage inductif
Dans ce qui suit on négligera le freinage aérodynamique. Le tube de cuivre a pour rayon intérieur r_i = 15 mm et pour épaisseur e = 7 mm. On s'intéresse à une situation où l'aimant progresse vers le bas à la vitesse v supposée constante le long de l'axe ( Oz ) du tube (figure 2).
Figure 2 - Représentation perspective et en coupe de la chute de l'aimant (échelles non respectées)
Le mouvement de l'aimant crée un courant induit en volume dans le tube. Nous admettrons que l'aimant est équivalent à un dipôle magnétique ponctuel de moment dipolaire M⃗ = M_0 e⃗_z disposé en son centre C. Il descend à la vitesse v⃗ = − ve⃗_z avec v > 0. Nous admettrons aussi que les courants induits sont de géométrie orthoradiale : ils tournent dans le tube autour de l'axe ( Oz ) de la chute. ◻ − 6. On étudie d'abord une partie du tube délimitée par un anneau ( A ) de centre A, de hauteur dz, disposé à l'ordonnée z, compris entre les rayons r_i et r_i + e (cf. figure 2 ) au sein du cuivre, matériau vérifiant la loi d'Ohm avec la conductivité γ.
En considérant e≪r_i (même si cette approximation n'est pas pertinente au vu des valeurs numériques), déterminer la conductance électrique dG de cet anneau en fonction de γ, e, dz et r_i. ◻ − 7. On admet que le flux Φ(t) du champ magnétique créé par l'aimant à travers ce même anneau (A) s'écrit Φ(t) = Φ_0(r_i^3)/((r_i^2 + (z + vt)^2)^(3/2)) où Φ_0 est une constante dont on admettra qu'elle s'écrit sous la forme Φ_0 = μ_0^a M_0^b r_i^c où μ_0 est la perméabilité magnétique du vide. Tracer l'allure de la courbe Φ(t). Déterminer les exposants a, b et c par analyse dimensionnelle. ◻ − 8. On pose x = (z + vt)/r_i. Montrer que la puissance dissipée par effet Joule dans l'anneau ( A ) s'écrit :
Justifier que la puissance totale dissipée par effet Joule puisse être approchée par l'intégrale :
P_J ≃ ∫_(x = − ∞)^(+ ∞)dP_J
◻ − 10. Tous calculs faits, on obtient P_J = KM_0^2 v^2 où K = 2, 3SI. En admettant la conversion totale de l'énergie mécanique en énergie électrique lors du freinage inductif, donner l'expression littérale de la force de freinage F⃗ exercée sur l'aimant pendant sa chute, en fonction de K, M_0 et v⃗. ◻ − 11. Le temps de chute est Δt_h = 4, 0 s pour un tube de 20 cm de haut. Quel serait le résultat de la même expérience avec un tube de même longueur en aluminium ? en acier ? ◻ − 12. Calculer le moment dipolaire M_0 de l'aimant utilisé.
Le matériau utilisé pour la fabrication de l'aimant est un alliage ferromagnétique caractérisé par un cycle d'hystérésis large. On rappelle ici que celui-ci trace les valeurs de l'aimantation M en fonction de l'excitation magnétique H appliquée.
Faire apparaître sur votre copie l'allure d'un tel cycle en précisant les valeurs de l'aimantation rémanente M_r, de l'aimantation à saturation M_s et de l'excitation coercitive H_c.
Laquelle de ces trois grandeurs pourrait être déterminée à partir de la mesure de M_0 ?
I.C Freinage ferroviaire rhéostatique
La chute de l'aimant au sein du tube métallique constitue un bon modèle des systèmes de freinage magnétique utilisés sur certains trains et tramways (cf. photographie de la figure 3 , qui montre le système de bobines descendu à proximité du rail).
Figure 3 - Bobines d'un frein électromagnétique KNORR sur train de type VELARO
Le schéma simplifié de la figure 4 montre une paire de bobines du système, alimentées au moment du freinage par le courant I > 0. Ces bobines sont solidaires du train qui avance à la vitesse v⃗ relativement au rail (fixe). Le schéma propose aussi, seulement au voisinage des bobines, la direction (mais pas le sens) des lignes de champ magnétique créées par celles-ci dans le volume du rail.
Figure 4 - Système de freinage ferroviaire à courants de Foucault
Reproduire sur votre copie l'aspect général de la figure 4 en y précisant le sens du champ magnétique par l'orientation des lignes de champ ; justifier très brièvement.
Indiquez, sur le même schéma, la direction et le sens des densités volumiques j⃗ des courants induits dans le rail à l'aplomb des deux bobines; justifier soigneusement le sens choisi.
II Freinage et chute de satellites
Ce problème décrit certains aspects du freinage des satellites, d'une part du fait des frottements sur les hautes couches de l'atmosphère et, d'autre part, dans le cadre de propositions encore théoriques à ce stade d'un autre mode de freinage, de nature électromagnétique.
Ce problème comporte quatre parties II.A, II.B, II.C et II.D qui peuvent être abordées de manière totalement indépendante à condition d'admettre éventuellement les résultats affirmés par l'énoncé.
II.A Il faut d'abord faire descendre les satellites en orbite très basse. . .
Un satellite artificiel de masse M = 10^3 kg est en orbite circulaire de rayon R_T + h autour de la Terre, qu'on assimilera à une répartition à symétrie sphérique de rayon R_T et de masse M_T. On note G
la constante de la gravitation universelle. Le champ de gravitation au sol sera identifié au champ de pesanteur g_0. Dans cette partie, on considérera que le satellite évolue dans le vide. ◻ − 16. Exprimer, en fonction de M, g_0, R_T et h, l'énergie potentielle de gravitation E_p du satellite. On prendra l'origine des énergies potentielles si h → ∞. ◻ − 17. Exprimer, en fonction de M, g_0, R_T et h, la norme v de la vitesse et l'énergie mécanique totale E du satellite.
Le satellite est en orbite à l'altitude h_1 = 1000 km au-dessus de la surface du sol. On souhaite l'amener progressivement à l'altitude beaucoup plus basse h_0 = 200 km, altitude en dessous de laquelle l'influence de l'atmosphère deviendra suffisante pour espérer que les frottements de l'air le feront retomber au sol. Quel que soit le système utilisé pour abaisser l'altitude de h_1 à h_0, on considérera une évolution assez lente pour conserver en permanence le caractère quasi-circulaire de l'orbite, donc aussi les relations v(r) et E(r) établies à la question précédente. ◻ − 18. Comparer les vitesses v_1 = ‖v⃗_1‖ et v_0 = ‖v⃗_0‖ avant et après la descente.
Estimer leurs valeurs numériques ainsi que celle de Δv = v_1 − v_0.
Cette descente est souvent obtenue au moyen d'un système de fusées qui exerce sur le satellite une force constante Ma⃗_(fr), pratiquement tangente à chaque instant à la trajectoire circulaire. Représenter sur un même schéma le vecteur vitesse du satellite et a⃗_(fr) pendant la descente. ◻ − 2 2. Avec a_(fr) = 4 ⋅ 10^(− 5) m ⋅ s^(− 2), estimer, au moyen d'un bilan énergétique simplifié, la durée (en mois) nécessaire à la descente de h_1 jusqu'à h_0.
À partir de l'instant où le satellite atteint l'altitude h_0, il devient soumis aux frottements sur les plus hautes couches de l'atmosphère, ce qui entraînera sa chute. Ce frottement est directement proportionnel à la densité particulaire de l'atmosphère n^∗ (nombre de molécules par unité de volume) qui, elle-même, dépend de l'altitude z (comptée depuis z = 0 au sol). Nous allons donc maintenant étudier cette répartition des molécules dans la haute atmosphère (ou, ce qui revient au même, au niveau des orbites très basses).
II.B . . . où ils arrivent dans l'atmosphère. . .
Dans le but de modéliser la répartition des molécules dans l'air en fonction de l'altitude z, cette partie propose un modèle décrivant l'air atmosphérique en équilibre par compensation de deux courants de particules : le courant descendant dû au champ de pesanteur et le courant de diffusion qui lui est opposé. Dans cette partie, le champ de pesanteur est uniforme, vertical, d'intensité g_0; l'axe ( Oz ) est vertical ascendant et le niveau z = 0 est celui du sol. ◻ - 21. On étudie le mouvement d'une molécule de l'atmosphère terrestre, point matériel de masse m soumis d'une part à son poids et d'autre part à la résultante des collisions de cette molécule avec le reste de l'atmosphère, qu'on décrira comme une force de frottement proportionnelle à la vitesse, f⃗ = − mv⃗/τ. Montrer que, après un régime transitoire que l'on négligera, la chute se poursuit à la vitesse constante v⃗_∞, que l'on exprimera en fonction notamment de l'intensité g_0 de la pesanteur au sol.
On note n^∗ la densité particulaire de l'atmosphère (nombre de molécules par unité de volume). Exprimer la densité volumique de courant de particules j⃗_g (grandeur qui s'exprime en molécules par seconde et par mètre carré) associée à cette chute continue des molécules de l'atmosphère.
L'effet du courant descendant j⃗_g est d'accumuler des particules près du sol ; la densité particulaire n^∗(z) est donc une fonction monotone décroissante de z. L'agitation thermique des molécules se traduit donc par l'existence d'un courant de diffusion j⃗_d régi par la loi de Fick avec le coefficient de diffusion D qui compense exactement les effets de la gravitation.
Rappeler la loi de la diffusion des particules, ou loi de Fick; préciser les dimensions de toutes les grandeurs qui apparaissent dans son expression. ◻ − 24. Si on écrit D = u^2 τ où τ est défini à la question 21, quelle est la dimension de la grandeur u ? À votre avis, u et D dépendent-ils de la température et, si oui, dans quel sens? ◻ − 25. En déduire que n^∗(z) s'écrit en fonction de la densité n_0^∗ au sol sous la forme n^∗(z) = n_0 exp(− z/H) et exprimer la hauteur caractéristique H en fonction de u et g_0.
La figure 5 ci-dessous permet de relier l'altitude et la densité des principaux constituants de l'atmosphère terrestre dans la basse atmosphère.
Figure 5 - Profils verticaux des principaux constituants de l'atmosphère
Ces profils sont-ils conformes au modèle proposé ci-dessus? Si oui, proposer une estimation de H; sinon, quelle(s) interprétation(s) proposez-vous?
II.C . . . et commencent donc à descendre!
Toujours sur son orbite quasi-circulaire, à partir l'instant t = 0, le satellite est abandonné à partir de l'altitude h_0 = 200 km aux frottements de l'atmosphère, qu'on modélise par la force F⃗ dépendant de la masse volumique ρ(h) à l'altitude h :
F⃗ = − Kρ(h)‖v⃗‖v⃗ avec ρ(h) = ρ_0 exp(− h/H)
où H = 11 km et K est une certaine constante.
Expliciter la puissance dissipée par les forces de frottement. En déduire l'équation d'évolution de l'altitude h(t) en fonction du temps et montrer que sa solution approchée respecte l'équation suivante :
exp((h_0)/H) − exp((h(t))/H) = t/τ
sous réserve de considérer que h≪R_T; expliciter la constante de temps τ en fonction de ρ_0, M, K, g_0, R_T et H. ◻ − 2 2. Sachant que τ = 7 ⋅ 10^(− 2) s, estimer, en mois, la durée de la chute jusqu'au sol.
La station spatiale internationale (ISS) est en orbite circulaire à une altitude h_(ISS) ≃ 400 km. Que dire de sa durée de chute dans le même modèle?
II.D Une amélioration : le nettoyage des orbites par câble?
La technique décrite ci-dessus pour provoquer la chute d'un satellite consiste donc d'abord à amener en orbite les réacteurs à propulsion nécessaires à la première phase de descente; en pratique, la quantité de matière requise à cet effet est de l'ordre de 20% de la masse du satellite à freiner. Pour éviter cette
nouvelle mise en orbite, des solutions basées sur le freinage inductif, utilisant le champ magnétique terrestre, ont été proposées notamment par Forward, Hoyt et Uphoff (Journal of Spacecraft and Rockets, 2000).
Le champ magnétique terrestre est faible et on ne peut espérer que des forces de freinage modestes mais, cumulées sur plusieurs mois de chute, elles suffisent à une descente contrôlée d'un satellite jusqu'à ce que les frottements atmosphériques prennent le relais. On propose donc à cet effet d'équiper un satellite, lui-même en orbite dans le plan équatorial (Oxy) de la Terre, d'un long câble en aluminium de longueur ℓ représenté sur la figure 6 . Ce câble est rectiligne le long de l'axe ( Ox ) et il y circule un courant I > 0 descendant, induit par le mouvement de l'ensemble dans le champ magnétique terrestre. Ce courant revient par conduction au sein du plasma ionosphérique qui entoure le câble ; à cet effet l'extrémité basse du câble serait munie d'un émetteur d'ions ℰ, que nous n'étudierons pas ici.
Figure 6 - Géométrie du câble de freinage d'un satellite dans le plan équatorial
On note B⃗_0 le champ magnétique créé par le dipôle magnétique terrestre. À un instant t fixé, on peut se placer dans les coordonnées cartésiennes de la base ℬ_c = (e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z) précisée sur la figure 6 . ◻ - 30. Au voisinnage du câble et en le supposant uniforme, exprimer B⃗_0 en projection sur ℬ_c. On justifiera la direction et le sens choisis et on exprimera la norme B_0 de ce champ en fonction de B_e (champ magnétique terrestre à l'équateur), du rayon R_T de la Terre et de l'altitude h du satellite. Dans ce qui suit, on prendra B_0 = 20μ T. ◻ - 31. Exprimer, en fonction de g_0, R_T et h, la norme v_0 de la vitesse v⃗ du satellite sur son orbite circulaire à l'altitude h. En considérant que I > 0 (voir figure 6), exprimer v⃗ en projection sur ℬ_c. Dans ce qui suit, on prendra v_0 = 7, 4 km/s. ◻ - 32. Le câble de freinage est en aluminium de section s = 10^(− 6) m^2 et de longueur ℓ = 5 km. Calculer les valeurs de sa résistance électrique R_0 et de sa masse m_0; commenter ces valeurs.
Figure 7 - Circuit ionosphérique (ni la vitesse du câble, ni le champ magnétique dans lequel il se déplace ne sont représentés).
◻ - 33. Pour déterminer la force électro-motrice e induite par le déplacement du câble fixé au satellite en présence du seul champ magnétique terrestre, on imagine (figure 7) qu'il est la seule partie mobile d'un circuit fermé par la circulation dans le plasma ionosphérique. Appliquer la loi de l'induction de Faraday au circuit ainsi formé; en déduire l'expression puis la valeur numérique de e.
Déduire de ce qui précède les expressions et valeurs numériques de l'intensité I du courant induit et de la force de freinage f exercée sur le câble. Commenter cette dernière valeur.
Données numériques et formulaire
Accélération de la pesanteur au sol
g_0 = 10 m ⋅ s^(− 2)
Conductivité électrique du cuivre
γ_(Cu) = 5, 7 ⋅ 10^7 S ⋅ m^(− 1)
Conductivité électrique de l'aluminium
γ_(Al) = 3, 7 ⋅ 10^7 S ⋅ m^(− 1)
Conductivité électrique de l'acier
γ_a = 7, 7 ⋅ 10^6 S ⋅ m^(− 1)
Dipôle magnétique terrestre
μ_T = 7, 7 ⋅ 10^(22) A ⋅ m^2
Durée d'un mois (moyen)
30j = 2, 6 ⋅ 10^6 s
Durée d'une année
365j = 3, 2 ⋅ 10^7 s
Intensité du champ magnétique terrestre aux pôles
B_p = 60μ T
Intensité du champ magnétique terrestre à l'équateur
B_e = 30μ T
Masse volumique de l'air au sol
ρ_0 = 1, 2 kg ⋅ m^(− 3)
Masse volumique de l'aluminium
ρ_(Al) = 2, 7 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3)
Perméabilité magnétique du vide
μ_0 = 1, 3 ⋅ 10^(− 6)H ⋅ m^(− 1)
Rayon terrestre
R_T = 6400 km
Viscosité dynamique de l'air
η = 1, 8 ⋅ 10^(− 5) Pa ⋅ s
Facteurs de conversion
0^∘C = 273 K
1 bar = 10^5 Pa
Champ magnétique créé par un dipôle magnétique placé à l'origine des coordonnées, de moment dipolaire μ⃗ = μe⃗_z, en un point de coordonnées sphériques r, θ, φ :
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 2 PSI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 2 PSI 2024 ?
+
Sur l'induction et le freinage par courants de Foucault, la mécanique avec frottement fluide, le mouvement en champ de gravitation, la diffusion de particules et les milieux magnétiques.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Physique 2 PSI 2024 ?
+
Des applications numériques absentes ou fausses, des erreurs de signe, l'oubli du cours de première année sur les orbites circulaires, la confusion entre lois de Fick et de Fourier et une fin de sujet bâclée.
Le sujet Mines Physique 2 PSI 2024 était-il long ?
+
Selon le jury, il était de longueur raisonnable et pouvait être traité en totalité dans le temps imparti. La dernière partie a pourtant souvent été traitée trop vite, sans doute par manque de temps.
Les deux problèmes de Mines Physique 2 PSI 2024 sont-ils indépendants ?
+
Oui. L'énoncé précise que les problèmes I et II sont totalement indépendants et que leurs sous-parties peuvent être abordées séparément en admettant les résultats donnés.
Pas de description pour le moment
Commentaires• Mines Physique 2 PSI 2024
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