Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2024

On étudie la bille ou l'aimant assimilé à un point matériel de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'axe (Oz) est choisi vertical orienté vers le bas, avec l'origine z=0 au sommet du tube.

En négligeant tout frottement, le système est uniquement soumis à son poids \vec{P} = m g_0 \vec{e}_z. D'après la deuxième loi de Newton :

Comme la bille est lâchée sans vitesse initiale à t=0, l'intégration temporelle donne :

La traversée du tube de hauteur h s'achève à l'instant \Delta t_h tel que z(\Delta t_h) = h, soit \frac{1}{2} g_0 \Delta t_h^2 = h. On en déduit :

La vitesse moyenne de chute s'exprime par le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours :

Application numérique : Avec h = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m} et g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

En se limitant à un chiffre significatif conformément aux consignes générales de l'énoncé :

On étudie la bille de masse m dans le référentiel du laboratoire (référentiel terrestre supposé galiléen). On choisit un axe vertical orienté vers le bas, de sorte que la vitesse de chute s'écrive \vec{v} = v\,\vec{e}_z avec v \ge 0.

La bille est soumise à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m g_0\,\vec{e}_z ;
• la force de traînée aérodynamique opposée au mouvement : \vec{F} = -\frac{1}{2} C_x \rho S_\perp v^2\,\vec{e}_z, où S_\perp = \pi r^2.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projection sur l'axe vertical descendant :

L'énoncé propose la forme :

Par identification terme à terme, on obtient :

et

Ce qui prouve que la vitesse de chute est bien régie par l'équation proposée.

Interprétation physique :

• v_\infty représente la vitesse limite de chute : lorsque t \to +\infty, le régime permanent est atteint, l'accélération s'annule (\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0), d'où v = v_\infty = \sqrt{\frac{2m g_0}{C_x \rho \pi r^2}}.
• \tau est la durée caractéristique (temps de relaxation) du régime transitoire nécessaire pour atteindre une vitesse de l'ordre de la vitesse limite, reliée à l'accélération initiale par \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = \frac{v_\infty}{\tau} = g_0.

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement de l'air autour de la bille sphérique est défini par :

où :

• \rho = 1{,}2 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est la masse volumique de l'air au sol ;
• v_m = 1 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1} d'après la question Q1 ;
• r = 1\text{ cm} = 10^{-2} \text{ m} est le rayon de la bille (D = 2r = 2\cdot 10^{-2}\text{ m}) ;
• \eta = 1{,}8\cdot 10^{-5} \text{ Pa}\cdot\text{s} est la viscosité dynamique de l'air.

L'application numérique donne :

En ne retenant qu'un seul chiffre significatif comme préconisé par l'énoncé :

Pour un écoulement caractérisé par \mathcal{R} \sim 10^3, on se trouve dans la zone de palier (régime de Newton) de la courbe C_x(\mathcal{R}). La lecture sur la figure 1 donne :

D'après les résultats de la question Q2, le temps caractéristique s'exprime par :

Avec les données numériques :

• m = 33\text{ g} = 33\cdot 10^{-3}\text{ kg} ;
• r = 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m} ;
• \rho = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• C_x \approx 0{,}5 et \pi \approx 3{,}1.

On calcule le dénominateur au carré :

D'où :

En se limitant à un seul chiffre significatif, l'ordre de grandeur de \tau est :

D'après les questions Q1 et Q4, la vitesse atteinte en chute libre sur la hauteur h = 20\text{ cm} est de l'ordre de v \sim 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui est très inférieur à la vitesse limite aérodynamique :

Le rapport de la force de traînée au poids s'écrit :

La traînée aérodynamique est donc totalement négligeable devant le poids tout au long de la traversée du tube. La durée de chute sous l'effet du seul fluide resterait très proche du temps de chute libre :

Or, une durée de chute mesurée de l'ordre de 4\text{ s} correspond à une vitesse moyenne :

soit une chute 20 fois plus lente qu'en chute libre.

Conclusion : Le freinage considérable observé lors de la chute de l'aimant dans le tube de cuivre n'est pas d'origine aérodynamique, mais purement électromagnétique : il est dû aux courants de Foucault induits dans la paroi conductrice du tube (freinage inductif étudié en partie I.B).

D'après l'énoncé, les courants induits sont orthoradiaux et tournent autour de l'axe (Oz).

Sous l'hypothèse d'une faible épaisseur (e \ll r_i), le rayon de l'anneau peut être assimilé à r_i. Pour ces lignes de courant circulaires :

• la longueur d'une ligne de courant est le périmètre moyen de l'anneau :

  L = 2\pi r_i

• la section droite traversée par le courant, orthogonale à la direction orthoradiale \vec{e}_\theta, est un rectangle de largeur radiale e et de hauteur axiale \mathrm{d}z :

  \delta S = e\,\mathrm{d}z

D'après la loi d'Ohm locale et la formule de la résistance d'un conducteur cylindrique (ou formule de Pouillet), la résistance élémentaire de cet anneau pour un courant orthoradial s'écrit :

La conductance électrique \mathrm{d}G = \frac{1}{\mathrm{d}R} de l'anneau vaut ainsi :

1. Allure de la courbe \Phi(t)

Le terme \dfrac{r_i^3}{\left(r_i^2 + (z + vt)^2\right)^{3/2}} est sans dimension. La fonction \Phi(t) présente les caractéristiques suivantes :

• Elle est strictement positive et atteint son maximum en t_0 = -\dfrac{z}{v}, instant où le centre de l'aimant franchit la hauteur de l'anneau (\mathcal{A}) (z_C = -vt = z) :

  \Phi(t_0) = \Phi_0
• Elle est paire par rapport à la variable (t - t_0).
• Elle tend vers 0 lorsque t \to \pm \infty selon une loi en |t|^{-3}.

2. Analyse dimensionnelle pour déterminer a, b et c

Exprimons les dimensions des grandeurs intervenant dans \Phi_0 = \mu_0^a M_0^b r_i^c en fonction des dimensions fondamentales L, M, T, I :

• Le rayon r_i est une longueur :

  [r_i] = L

• Le moment magnétique dipolaire M_0 a pour unité l'\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2 (courant \times surface) :

  [M_0] = I \cdot L^2

• D'après le formulaire, le champ créé sur l'axe par un dipôle s'écrit B \sim \dfrac{\mu_0 M_0}{r^3}. La force de Laplace sur un élément de courant s'écrit \mathrm{d}\vec{F} = I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}, d'où [B] = \dfrac{[F]}{I \cdot L} = \dfrac{M \cdot L \cdot T^{-2}}{I \cdot L} = M \cdot T^{-2} \cdot I^{-1}. On en déduit :

  [\mu_0] = \frac{[B] \cdot L^3}{[M_0]} = \frac{(M \cdot T^{-2} \cdot I^{-1})\cdot L^3}{I \cdot L^2} = M \cdot L \cdot T^{-2} \cdot I^{-2}

• Le flux magnétique \Phi est le flux d'un champ magnétique à travers une surface :

  [\Phi] = [B] \cdot L^2 = M \cdot L^2 \cdot T^{-2} \cdot I^{-1}

Comme le terme dépendant du temps dans \Phi(t) est adimensionné, la constante \Phi_0 a la dimension d'un flux : [\Phi_0] = [\Phi]. L'équation aux dimensions s'écrit :

Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :

On trouve ainsi :

ce qui correspond à \Phi_0 \propto \dfrac{\mu_0 M_0}{r_i}.

L'anneau (\mathcal{A}) étant fixe dans le référentiel d'étude lié au tube, sa cote z est constante au cours du temps. En introduisant la variable adimensionnée x = \frac{z + vt}{r_i}, la dérivée temporelle de x s'écrit :

D'après le résultat de la question Q7, le flux s'exprime sous la forme :

Par la loi de Faraday, la force électromotrice induite e_{\mathrm{ind}} dans l'anneau s'écrit :

D'après la question Q6, la conductance de l'anneau de hauteur \mathrm{d}z vaut :

À un instant t donné, la tranche d'épaisseur \mathrm{d}z correspond à une variation \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}z}{r_i}, soit \mathrm{d}z = r_i\,\mathrm{d}x, d'où :

La puissance dissipée par effet Joule dans l'anneau est donnée par la relation \mathrm{d}\mathcal{P}_\mathrm{J} = e_{\mathrm{ind}}^2\,\mathrm{d}G. En remplaçant e_{\mathrm{ind}} et \mathrm{d}G par leurs expressions :

La puissance dissipée dans chaque anneau est proportionnelle à la fonction :

Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

• Elle s'annule en x = 0 (dans le plan de l'aimant, où le champ est purement radial et son flux extrémal) et passe par un maximum en x = \pm 1/2, où f(1/2) \simeq 8{,}2 \cdot 10^{-2} ;
• Elle décroît extrêmement vite pour |x| > 1 : au comportement asymptotique f(x) \underset{|x|\to\infty}{\sim} \frac{1}{x^8}, la valeur n'est plus que f(2) \simeq 1{,}3 \cdot 10^{-3} dès |x| = 2, soit moins de 2\,\% de sa valeur maximale.

La puissance par effet Joule est donc quasi-intégralement dissipée dans une tranche du tube d'épaisseur de l'ordre de quelques rayons intérieurs r_i :

Or, la hauteur totale du tube est h = 20\text{ cm}, ce qui correspond à une plage adimensionnée de variation \Delta x = h/r_i \approx 13 \gg 1.

Ainsi, à l'exception de très brefs instants à l'entrée et à la sortie du tube (effets de bord), la zone de dissipation effective est entièrement confinée dans le tube métallique. On peut donc, avec une excellente approximation, étendre les bornes d'intégration à l'espace entier :

Lors de la chute à vitesse constante \vec{v}, l'intégralité de la puissance mécanique fournie pour vaincre le freinage inductif est convertie en puissance électrique dissipée par effet Joule au sein du tube :

La force de freinage inductif \vec{F} s'oppose au déplacement de l'aimant. Elle est donc colinéaire et de sens opposé à la vitesse \vec{v} :

La puissance cédée s'écrit alors :

En identifiant avec l'expression donnée par l'énoncé, \mathcal{P}_\mathrm{J} = K M_0^2 v^2, on obtient directement le coefficient de frottement :

D'où l'expression vectorielle de la force de freinage exercée sur l'aimant :

Comme \vec{v} = -v\,\vec{e}_z avec v > 0, cette force est dirigée verticalement vers le haut :

Pendant la chute à vitesse constante v (régime stationnaire où le poids compense la force de freinage), la puissance du poids compense la puissance dissipée par effet Joule :

D'après l'expression de \mathrm{d}\mathcal{P}_\mathrm{J} obtenue à la question Q8, la constante K est directement proportionnelle à la conductivité électrique \gamma du métal (les dimensions du tube étant identiques) :

La vitesse de chute stationnaire est donc inversement proportionnelle à \gamma, et le temps de chute \Delta t_h = \frac{h}{v} lui est proportionnel :

Tube en aluminium : L'aluminium est un matériau non ferromagnétique. La durée de chute vaut :

Application numérique :

Tube en acier :

• Si l'acier était amagnétique (comme certains aciers inoxydables austénitiques), le seul effet inductif donnerait :

  \Delta t_{h,a} = \Delta t_{h,\mathrm{Cu}} \, \frac{\gamma_a}{\gamma_\mathrm{Cu}} = 4{,}0 \times \frac{7{,}7 \cdot 10^6}{5{,}7 \cdot 10^7} \approx 4{,}0 \times 0{,}135 \approx 0{,}5\text{ s}
• Cependant, l'acier ordinaire est un matériau ferromagnétique (\mu_r \gg 1) : l'aimant est fortement attiré radialement vers la paroi du tube. Dès qu'il s'écarte très légèrement de l'axe, cette attraction magnétique crée un placage contre la paroi et un frottement solide intense qui bloque l'aimant ou modifie radicalement sa chute.

L'aimant se déplace à vitesse constante \vec{v} = -v\vec{e}_z avec :

En régime permanent, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, l'aimant est soumis à son poids \vec{P} = -m g_0 \vec{e}_z et à la force de freinage inductif \vec{F} = K M_0^2 v \vec{e}_z (établie à la question Q10). L'accélération étant nulle, le principe fondamental de la dynamique donne :

On en déduit l'expression littérale du moment dipolaire M_0 :

Avec les valeurs numériques fournies :

• m = 33\text{ g} = 33\cdot 10^{-3}\text{ kg} ;
• g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \Delta t_h = 4{,}0\text{ s} ;
• h = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m} ;
• K = 2{,}3\text{ SI}.

Il vient :

Comme \sqrt{2{,}87} \approx 1{,}69, on obtient :

Un matériau ferromagnétique dur possède un cycle d'hystérésis large (fort champ coercitif H_c et forte aimantation rémanente \mathcal{M}_r), propice à la confection d'aimants permanents. Le tracé de l'aimantation \mathcal{M} en fonction de l'excitation magnétique H présente la forme suivante :

Les trois grandeurs caractéristiques sont :

• l'aimantation à saturation \mathcal{M}_s, limite asymptotique de l'aimantation pour une excitation appliquée très intense (H \to \pm\infty) ;
• l'aimantation rémanente \mathcal{M}_r, aimantation subsistant dans le matériau en champ extérieur nul (H = 0) après aimantation à saturation ;
• l'excitation coercitive H_c, intensité du champ magnétique opposé à appliquer pour annuler l'aimantation (\mathcal{M} = 0).

L'aimant sphérique étudié est utilisé en l'absence de tout circuit extérieur alimenté créant une excitation magnétique imposée (H_{\mathrm{ext}} = 0). L'aimant conserve donc son aimantation rémanente \mathcal{M} \simeq \mathcal{M}_r.

En supposant une aimantation uniforme dans le volume V = \frac{4}{3}\pi r^3 de la bille, le moment dipolaire total s'écrit :

D'après la figure 4 de l'énoncé :

• Bobine de gauche : le courant I arrive par le bas et monte sur la face avant des spires. D'après la règle de la main droite, les quatre doigts enroulés dans le sens du courant indiquent un pouce pointant vers le haut : le champ magnétique \vec{B} à l'intérieur de la bobine est dirigé vers le haut. Par continuité des lignes de champ magnétiques (lignes fermées), celles-ci entrent par la face inférieure de la bobine : dans le rail situé à l'aplomb de la bobine de gauche, le champ magnétique est donc orienté vers le haut.
• Bobine de droite : le bobinage est parcouru en sens inverse (le courant descend sur la face avant). La règle de la main droite donne un champ magnétique intérieur dirigé vers le bas. Les lignes de champ sortent par la face inférieure de la bobine : dans le rail situé à l'aplomb de la bobine de droite, le champ magnétique est donc orienté vers le bas.

Les lignes de champ forment ainsi une boucle fermée se refermant dans le rail et dans l'armature ferromagnétique supérieure du patin de freinage.

Munissons l'espace d'un repère orthonormé direct (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) tel que :

• \vec{e}_x est horizontal, orienté dans le sens d'avancement du train ;
• \vec{e}_z est vertical ascendant ;
• \vec{e}_y = \vec{e}_z \times \vec{e}_x est perpendiculaire au plan de la figure et dirigé vers l'observateur.

D'après la question précédente, le champ magnétique dans le rail vaut :

1. Détermination du sens de \vec{j} via le champ électromoteur :

Dans le référentiel du train, le rail défile vers la gauche à la vitesse relative :

Le champ électromoteur d'induction s'écrit :

Par la loi d'Ohm locale dans le rail (\vec{j} = \gamma \vec{E}_m) :

• À l'aplomb de la bobine de gauche :

  \vec{j}_{\text{gauche}} = \gamma\,(-v\,\vec{e}_x) \times (B\,\vec{e}_z) = +\gamma v B\,\vec{e}_y

  Le courant induit est orthogonal au plan de la figure et sortant (orienté vers l'observateur, noté \odot).

• À l'aplomb de la bobine de droite :

  \vec{j}_{\text{droite}} = \gamma\,(-v\,\vec{e}_x) \times (-B\,\vec{e}_z) = -\gamma v B\,\vec{e}_y

  Le courant induit est orthogonal au plan de la figure et entrant (orienté vers le fond, noté \otimes).

2. Vérification par la loi de Lenz (force de Laplace) :

La force volumique de Laplace subie par le rail s'écrit :

• Sous la bobine gauche : \vec{f}_{\mathrm{L}} = (j_y \vec{e}_y) \times (B \vec{e}_z) = j_y B\,\vec{e}_x. Pour j_y > 0, \vec{f}_{\mathrm{L}} est selon +\vec{e}_x.
• Sous la bobine droite : \vec{f}_{\mathrm{L}} = (-j_y \vec{e}_y) \times (-B \vec{e}_z) = j_y B\,\vec{e}_x > 0.

Dans les deux cas, la force sur le rail est dirigée vers l'avant (+\vec{e}_x). D'après la troisième loi de Newton, la force subie par le train est :

Il s'agit bien d'une force de freinage, conformément à la loi de modération de Lenz.

La Terre possédant une distribution de masse à symétrie sphérique, le théorème de Gauss gravitationnel permet de l'assimiler, pour tout point extérieur (r \geqslant R_T), à une masse ponctuelle M_T concentrée en son centre O. La force de gravitation exercée sur le satellite de masse M, situé à la distance r = R_T + h du centre terrestre, s'écrit :

Au sol (r = R_T), l'identification du champ de gravitation au champ de pesanteur g_0 donne :

L'énergie potentielle de gravitation E_p vérifie \vec{F}_g = -\vec{\nabla} E_p, soit :

Avec la convention adoptée en l'infini (E_p \to 0 lorsque h \to +\infty, c'est-à-dire r \to +\infty), la constante d'intégration est nulle. En substituant \mathcal{G} M_T et r = R_T + h, on obtient :

On étudie le satellite, assimilé à un point matériel de masse M, en orbite circulaire de rayon r = R_T + h dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen.

Il est soumis uniquement à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

Dans le repère de Frenet lié au satellite, pour une orbite circulaire de rayon r, l'accélération est purement centripète :

Le principe fondamental de la dynamique projeté selon la normale centripète donne :

En utilisant la relation \mathcal{G} M_T = g_0 R_T^2 établie à la question Q16 et en remplaçant r par R_T + h, on obtient :

L'énergie cinétique du satellite s'en déduit :

Avec l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question Q16, E_p = -\dfrac{M g_0 R_T^2}{R_T + h}, l'énergie mécanique totale E = E_c + E_p vaut :

D'après la question Q17, la vitesse sur une orbite circulaire d'altitude h s'écrit :

La fonction h \mapsto v(h) étant strictement décroissante avec l'altitude, et comme h_1 = 1\,000\text{ km} > h_0 = 200\text{ km}, on en déduit que :

La vitesse du satellite est donc plus grande après la descente qu'avant.

Estimations numériques : Pour l'altitude initiale h_1 = 1\,000\text{ km}, avec R_T + h_1 = 7\,400\text{ km} = 7{,}4\cdot 10^6\text{ m} :

Sachant que 7{,}4^2 \approx 54{,}8 et 7{,}5^2 = 56{,}25, on obtient :

Pour l'altitude finale h_0 = 200\text{ km}, avec R_T + h_0 = 6\,600\text{ km} = 6{,}6\cdot 10^6\text{ m} :

En utilisant la donnée du formulaire \sqrt{63} \approx 7{,}9 (ou \sqrt{60} \approx 7{,}7), on a \sqrt{62{,}1} \approx 7{,}8 :

On en déduit l'écart de vitesse demandé :

D'après l'expression de l'énergie mécanique établie à la question Q17 :

L'énergie mécanique est une fonction strictement croissante de l'altitude h. Pour faire descendre le satellite de h_1 = 1\,000\text{ km} à h_0 = 200\text{ km} < h_1, il faut nécessairement lui retirer de l'énergie mécanique :

D'après le théorème de la puissance mécanique appliqué au satellite dans le référentiel géocentrique galiléen, la variation d'énergie mécanique est due au travail de la force exercée par les fusées :

La force étant précisée comme pratiquement tangente à chaque instant à la trajectoire quasi-circulaire, le vecteur accélération \vec{a}_\mathrm{fr} est colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse \vec{v} :

La force de freinage exercée par les fusées est opposée à la vitesse à chaque instant :

Sa puissance instantanée s'écrit :

D'après la question Q17, l'énergie mécanique totale d'un satellite en orbite circulaire s'exprime en fonction de sa vitesse par :

En appliquant le théorème de l'énergie mécanique à tout instant pendant la descente quasi-circulaire :

Comme v \neq 0, on obtient simplement :

L'accélération a_\mathrm{fr} étant constante, l'intégration entre l'altitude h_1 (vitesse v_1) et l'altitude h_0 (vitesse v_0) fournit directement :

On en déduit l'expression de la durée de la descente :

Application numérique : D'après la question Q18, v_0 - v_1 = -\Delta v \approx 0{,}4\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 4\cdot 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Avec a_\mathrm{fr} = 4\cdot 10^{-5}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

La durée d'un mois moyen étant donnée par T_\mathrm{mois} = 2{,}6\cdot 10^6\text{ s}, la durée de la descente exprimée en mois vaut :

On étudie le mouvement d'une molécule d'air assimilée à un point matériel de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni de la base cartésienne (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) où l'axe (Oz) est vertical ascendant.

La molécule est soumise à deux forces :

• son poids : \vec{P} = -m g_0 \vec{e}_z ;
• la force de frottement fluide due aux collisions : \vec{f} = -\dfrac{m}{\tau}\vec{v}.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Soit, en simplifiant par m > 0 :

L'intégration de cette équation différentielle linéaire du premier ordre donne :

avec une constante de temps \tau qui caractérise la durée du régime transitoire. Pour t \gg \tau, le terme exponentiel s'annule (régime transitoire négligé, \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}) et la molécule atteint une vitesse limite constante :

Considérons une surface élémentaire orientée \mathrm{d}\vec{S}. Pendant la durée \mathrm{d}t, les molécules traversant cette surface sont contenues dans le cylindre de base \mathrm{d}\vec{S} et de génératrice \vec{v}_\infty \mathrm{d}t, de volume \mathrm{d}^2V = \vec{v}_\infty \mathrm{d}t \cdot \mathrm{d}\vec{S}. Le nombre de molécules traversant la surface est donc :

Par définition du vecteur densité volumique de courant de particules \vec{j}_g, le flux de particules à travers \mathrm{d}\vec{S} par unité de temps s'écrit :

D'après le résultat de la question Q21, la vitesse limite de sédimentation est \vec{v}_\infty = -g_0 \tau \vec{e}_z. On en déduit :

La première loi de Fick exprime la densité volumique de courant de diffusion de particules \vec{j}_d en fonction du gradient de la densité particulaire n^* :

Dans le cadre unidimensionnel le long de l'axe vertical (Oz), cette loi se réduit à :

Les grandeurs intervenant dans cette expression ont pour dimensions fondamentales :

• la densité particulaire n^*, représentant un nombre de molécules (adimensionné) par unité de volume :

  \boxed{[n^*] = \mathrm{L}^{-3}}

• le gradient spatial \vec{\mathrm{grad}}, opérateur homogène à l'inverse d'une longueur :

  \boxed{[\vec{\mathrm{grad}}] = \mathrm{L}^{-1}}

• le vecteur densité de courant de particules \vec{j}_d, comptant un nombre de molécules traversant une surface unitaire par unité de temps :

  \boxed{[\vec{j}_d] = \mathrm{L}^{-2}\cdot\mathrm{T}^{-1}}

• le coefficient de diffusion D, déduit par analyse dimensionnelle de la loi de Fick [\vec{j}_d] = [D]\cdot[n^*]\cdot\mathrm{L}^{-1} :

  \boxed{[D] = \frac{[\vec{j}_d]}{[n^*]\,\mathrm{L}^{-1}} = \frac{\mathrm{L}^{-2}\cdot\mathrm{T}^{-1}}{\mathrm{L}^{-3}\cdot\mathrm{L}^{-1}} = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}}

D'après la question Q23, le coefficient de diffusion a pour dimension [D] = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}. D'après la modélisation de la question Q21, \tau est le temps de relaxation de la vitesse d'une molécule, donc sa dimension est [\tau] = \mathrm{T}.

La relation D = u^2 \tau conduit à :

d'où :

La grandeur u a donc la dimension d'une vitesse.

Influence de la température :

• À l'échelle microscopique, le phénomène de diffusion résulte de l'agitation thermique des molécules. La vitesse caractéristique u s'interprète comme un ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne des molécules (u \sim \sqrt{k_\mathrm{B}T/m}). Par conséquent, u croît avec la température (typiquement selon \sqrt{T}).
• L'élévation de température favorise l'agitation thermique et accélère le mélange des molécules, ce qui augmente le flux de diffusion pour un gradient donné. Ainsi, le coefficient de diffusion D croît également avec la température.

À l'équilibre, le courant total de particules s'annule en tout point :

En utilisant les expressions établies aux questions Q22 et Q23 :

la projection selon l'axe vertical ascendant \vec{e}_z donne :

D'après la relation D = u^2 \tau introduite à la question Q24, le paramètre \tau se simplifie :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale est :

En imposant la condition à la limite au niveau du sol (z = 0), n^*(0) = n_0^*, il vient C = n_0^*. On retrouve bien la loi exponentielle sous la forme :

avec une hauteur caractéristique (ou hauteur d'échelle) :

D'après la question Q25, la densité particulaire suit la loi :

En prenant le logarithme décimal :

Dans le repère de la figure 5 (échelle linéaire pour z en ordonnée et échelle logarithmique pour n^* en abscisse), le modèle prévoit donc une droite décroissante de pente négative égale à -\frac{1}{H\ln(10)} (ou une droite de pente -\Delta z / \Delta \log_{10}(n^*) = -H\ln(10) en considérant z en ordonnée).

• Pour le diazote \mathrm{N_2}, le dioxygène \mathrm{O_2} et le dioxyde de carbone \mathrm{CO_2} : Les profils sont effectivement quasiment rectilignes sur toute la gamme d'altitude représentée (0 \le z \le 80\text{ km}), ce qui est en parfait accord avec le modèle exponentiel.

  Pour estimer H, relevons deux points sur le profil du diazote \mathrm{N_2} :

  • au sol (z = 0\text{ km}) : \log_{10}(n^*) \approx 24{,}8 (soit n^* \approx 6\cdot 10^{24}\text{ m}^{-3}) ;
  • à z = 80\text{ km} : \log_{10}(n^*) \approx 20{,}0 (soit n^* \approx 10^{20}\text{ m}^{-3}).

  La variation correspond à \Delta \log_{10}(n^*) \approx -4{,}8 décades pour \Delta z = 80\text{ km}. On en déduit :

  \begin{aligned} H &= \frac{\Delta z}{\ln(10) \, |\Delta \log_{10}(n^*)|} \\ H &\approx \frac{80\text{ km}}{2{,}3 \times 4{,}8} \approx \frac{80}{11} \approx 7\text{ km} \end{aligned}
  \boxed{H \approx 7\text{ à }8\text{ km}}
• Pour la vapeur d'eau \mathrm{H_2O} : Le profil n'est pas rectiligne : la densité particulaire décroît extrêmement vite dans les premières dizaines de kilomètres (troposphère), perdant environ 4 décades en moins de 15\text{ km}. Le modèle de gaz parfait inerte en équilibre diffusif n'est pas vérifié.

Interprétations physiques des écarts :

1. Comportement de \mathrm{H_2O} : l'eau est une espèce condensable. Avec la diminution de la température dans la troposphère, la pression de vapeur saturante chute drastiquement, provoquant la condensation de l'eau (formation de nuages et précipitations). Ce changement d'état liquide/vapeur explique la disparition rapide de la vapeur d'eau avec l'altitude.
2. Identité des pentes pour \mathrm{N_2}, \mathrm{O_2} et \mathrm{CO_2} : le modèle microscopique à l'équilibre prédit H = \frac{k_\mathrm{B} T}{m g_0}, soit une pente dépendante de la masse moléculaire m (le gaz plus lourd \mathrm{CO_2} devrait chuter plus rapidement que \mathrm{N_2}). Or, les droites sont parallèles. Cela s'explique par le brassage convectif et turbulent permanent dans l'homosphère (en dessous de 100\text{ km}), qui homogénéise la composition chimique de l'air : l'atmosphère s'y comporte comme un fluide unique de masse molaire moyenne \overline{M} \approx 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

La force de frottement exercée par l'atmosphère sur le satellite s'écrit :

La puissance fournie par cette force est négative :

La puissance dissipée par frottement est donc :

D'après la question Q17, pour une orbite quasi-circulaire d'altitude h, l'énergie mécanique et la vitesse s'écrivent :

D'après le théorème de la puissance mécanique :

En dérivant E(h) par rapport au temps :

On obtient ainsi l'équation d'évolution exacte de l'altitude :

soit :

Puisque h \le h_0 = 200\text{ km} \ll R_T = 6\,400\text{ km}, on peut effectuer l'approximation R_T + h \simeq R_T :

L'équation différentielle approchée régissant la descente devient :

En séparant les variables :

En intégrant entre l'instant initial t=0 où h(0) = h_0 et l'instant t où l'altitude est h(t) :

En divisant par -H, on obtient la forme requise :

avec la constante de temps :

D'après la loi établie à la question Q27, l'altitude h(t) du satellite au cours de sa désorbitation atmosphérique vérifie :

Le satellite atteint le sol lorsque h(t_{\text{chute}}) = 0, ce qui conduit à :

Avec h_0 = 200\text{ km} et H = 11\text{ km}, le rapport vaut :

Comme \exp\left(\frac{h_0}{H}\right) \gg 1, le terme -1 est tout à fait négligeable, d'où :

En utilisant la valeur fournie dans le formulaire \exp(18{,}18\dots) = 7{,}9 \cdot 10^7 et \tau = 7\cdot 10^{-2}\text{ s} :

La durée d'un mois moyen étant donnée par T_{\text{mois}} = 2{,}6 \cdot 10^6\text{ s}, la durée de chute s'exprime par :

En se limitant à un chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :

D'après la loi établie à la question Q27, la durée de chute jusqu'au sol (h = 0) s'écrit :

Pour l'orbite de l'ISS à h_\mathrm{ISS} \simeq 400\text{ km}, on remarque que :

La durée de chute prédite par ce modèle serait donc :

En utilisant la valeur \Delta t(h_0) \approx 2\text{ mois} obtenue à la question Q28 et la donnée \exp(18{,}18\dots) \approx 7{,}9 \cdot 10^7 :

Ce résultat est totalement irréaliste : dans ce modèle, la durée de chute devient astronomique (plusieurs dizaines de millions d'années). En réalité, l'atmosphère résiduelle à 400\text{ km} (thermosphère) freine l'ISS de manière significative, imposant des manœuvres de rehaussement d'orbite régulières (reboost), sans lesquelles la station retomberait en un à deux ans.

Le champ magnétique créé par un dipôle magnétique \vec{\mu}_T situé au centre de la Terre s'écrit en coordonnées sphériques d'axe (Oz) :

Dans le plan équatorial, la colatitude vaut \theta = \frac{\pi}{2}, de sorte que le terme radial s'annule (\cos\theta = 0) et \sin\theta = 1. Le champ magnétique est donc purement orthoradial, parallèle à l'axe des pôles (Oz).

À l'extérieur du globe terrestre, les lignes de champ magnétique émergent au voisinage du pôle Sud géographique et convergent vers le pôle Nord géographique (le pôle Nord géographique se comportant magnétiquement comme un pôle Sud). À l'équateur, le champ magnétique pointe donc du Sud vers le Nord, c'est-à-dire dans le sens du vecteur unitaire \vec{e}_z :

La norme du champ dipolaire décroît en 1/r^3, où r est la distance au centre de la Terre. À l'équateur à la surface du sol (r = R_T), le champ a pour norme B_e. À l'altitude h, la distance au centre vaut r = R_T + h, ce qui conduit directement à :

Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, le satellite de masse M décrit une trajectoire circulaire de rayon r = R_T + h. Il est soumis à la seule attraction gravitationnelle terrestre :

L'accélération pour un mouvement circulaire uniforme s'écrit \vec{a} = -\frac{v_0^2}{R_T + h} \vec{e}_r. Le principe fondamental de la dynamique donne :

On en déduit l'expression de la norme de la vitesse orbitale :

Déterminons à présent le sens de \vec{v} dans la base \mathcal{B}_c = (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z).

• Le mouvement a lieu dans le plan équatorial (Oxy), le long d'une trajectoire circulaire autour de la Terre. L'axe (Ox) étant radial (dirigé vers l'extérieur de la Terre), le vecteur vitesse \vec{v} est orthoradial, donc colinéaire à \vec{e}_y : \vec{v} = v_y \vec{e}_y.
• Le champ magnétique terrestre au niveau du câble vaut \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z avec B_0 > 0 (d'après la question Q30).

• Les porteurs de charge du câble mobile subissent le champ électromoteur de Lorentz :

  \vec{E}_m = \vec{v} \wedge \vec{B}_0 = (v_y \vec{e}_y) \wedge (B_0 \vec{e}_z) = v_y B_0 \vec{e}_x

  Pour qu'un courant « descendant » (I > 0) circule le long du câble vers le centre de la Terre, c'est-à-dire dans le sens des x décroissants (-\vec{e}_x), le champ électromoteur doit être orienté selon -\vec{e}_x. Il faut donc v_y B_0 < 0, soit v_y = -v_0 < 0.

Le vecteur vitesse s'écrit donc en projection sur \mathcal{B}_c :

Le câble cylindrique en aluminium est caractérisé par sa longueur \ell = 5\text{ km} = 5\cdot 10^3\text{ m} et sa section droite s = 10^{-6}\text{ m}^2.

1. Résistance électrique R_0 : D'après la loi d'Ohm locale pour un conducteur homogène de section constante :

   R_0 = \frac{\ell}{\gamma_{\mathrm{Al}} \, s}

   Application numérique :

   R_0 = \frac{5\cdot 10^3}{3{,}7\cdot 10^7 \times 10^{-6}} = \frac{5\,000}{37} \approx 135\ \Omega
   \boxed{R_0 \approx 1{,}4\cdot 10^2\ \Omega}

2. Masse du câble m_0 : Le volume du câble est V = s\,\ell, d'où sa masse :

   m_0 = \rho_{\mathrm{Al}} \, s \, \ell

   Application numérique :

   m_0 = 2{,}7\cdot 10^3 \times 10^{-6} \times 5\cdot 10^3 = 13{,}5\text{ kg}
   \boxed{m_0 \approx 14\text{ kg}}

Commentaires sur ces valeurs :

• Masse : La masse du câble (m_0 \approx 14\text{ kg}) ne représente que 1{,}4\,\% de la masse totale du satellite (M = 10^3\text{ kg}). Ce dispositif est nettement plus léger que le système à ergols nécessaire à une désorbitation par fusées, qui requiert environ 20\,\% de la masse du satellite (soit 200\text{ kg}, comme indiqué dans le texte introductif de la partie II.D). Le gain de charge utile au décollage est donc considérable.
• Résistance électrique : La résistance R_0 \approx 140\ \Omega reste modeste compte tenu de la longueur exceptionnelle du fil (5\text{ km}). Cette valeur est suffisamment faible pour autoriser le passage d'un courant induit notable sous une force électromotrice de quelques centaines de volts, tout en limitant la puissance dissipée par effet Joule.

Considérons le circuit fermé rectangulaire de la figure 7, constitué par le câble mobile de longueur \ell se déplaçant à la vitesse \vec{v} et refermé par le plasma ionosphérique.

Orientons le contour de ce circuit dans le sens du courant I > 0 indiqué sur la figure 7 (dans le câble, de l'extrémité haute vers l'extrémité basse). Selon la règle du tire-bouchon, le vecteur surface associé \vec{S} est orthogonal au plan du circuit.

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, le câble balaie une aire élémentaire :

Le champ magnétique terrestre \vec{B}_0, supposé uniforme et orthogonal au plan du mouvement (Oxy) d'après la question Q30 (\vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z), traverse cette surface. La variation élémentaire de flux magnétique à travers le circuit s'écrit donc, selon le sens de progression choisi :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite orientée dans le sens du courant moteur I > 0 s'exprime par :

Remarque : On retrouve directement cette expression par la circulation du champ électromoteur de Lorentz \vec{E}_m = \vec{v} \times \vec{B}_0 le long du câble mobile :

Application numérique : Avec B_0 = 20\,\mu\mathrm{T} = 2{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ T}, \ell = 5\text{ km} = 5{,}0 \cdot 10^3\text{ m} et v_0 = 7{,}4\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 7{,}4 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

En se limitant à un chiffre significatif :

En négligeant la résistance électrique du plasma ionosphérique devant celle du câble, la loi d'Ohm pour le circuit parcouru par le courant induit I s'écrit :

Avec e \approx 740\text{ V} et R_0 \approx 135\ \Omega (ou par calcul direct) :

Le câble, rectiligne de longueur \ell, est orienté selon -\vec{e}_x pour le sens du courant I > 0. Il est plongé dans le champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z. La résultante des forces de Laplace subies par le câble s'écrit :

Comme le satellite se déplace à la vitesse \vec{v} = -v_0 \vec{e}_y, cette force s'oppose bien au mouvement : c'est une force de freinage dont la norme vaut :

Numériquement, avec I \approx 5{,}5\text{ A}, \ell = 5\cdot 10^3\text{ m} et B_0 = 20\cdot 10^{-6}\text{ T} :

Commentaire :

• À l'échelle macroscopique usuelle, une force de l'ordre de 0{,}5\text{ N} paraît très modeste. Cependant, appliquée en continu dans l'espace à un satellite de masse M = 10^3\text{ kg}, elle engendre une décélération a = f/M \approx 5\cdot 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.
• Cette accélération est plus de dix fois supérieure à celle fournie par les fusées étudiées en partie II.A (a_{\mathrm{fr}} = 4\cdot 10^{-5}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, correspondant à une poussée de seulement M a_{\mathrm{fr}} = 0{,}04\text{ N}).
• De plus, la masse du câble n'est que de m_0 \approx 14\text{ kg} (Q32), ce qui représente à peine 1{,}4\,\% de la masse du satellite, contre les 20\,\% de propergol nécessaires pour une désorbitation par propulsion classique : ce procédé par câble électrodynamique est donc extrêmement avantageux en termes de charge utile et d'efficacité.