Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2020

Le champ électrostatique \vec{E}(\vec{r}) est régi par les équations de Maxwell en régime stationnaire :

• L'équation locale de Maxwell-Gauss, reliant la divergence du champ aux sources de charge volumique \rho_q :

  \boxed{\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho_q}{\varepsilon_0}}

• L'équation traduisant le caractère irrotationnel (conservatif) du champ électrostatique, issue de l'équation de Maxwell-Faraday indépendante du temps :

  \boxed{\vec{\nabla} \wedge \vec{E} = \vec{0}}

  Cette équation assure l'existence d'un potentiel électrostatique V(\vec{r}) tel que \vec{E} = -\vec{\nabla} V.

Une particule ponctuelle portant la charge électrique q, plongée dans un champ électrostatique \vec{E}, subit la force électrostatique (composante électrique de la force de Lorentz) :

La force gravitationnelle exercée par une masse ponctuelle m_1 sur une masse ponctuelle m_2 séparées d'une distance r s'écrit :

Par comparaison avec la force de Coulomb :

on déduit le dictionnaire d'analogie suivant :

En transposant les équations du champ électrostatique rappelées en Q1, on obtient les équations régissant le champ de gravitation \vec{K} :

La grandeur \rho(\vec{r}) est la masse volumique (ou densité volumique de matière) au point \vec{r}. Elle est définie à partir d'un élément de volume mésoscopique \mathrm{d}^3V entourant la position \vec{r} contenant une masse \mathrm{d}m par :

Sa dimension est celle d'une masse divisée par un volume :

Dans le Système international d'unités, elle s'exprime en \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.

La différence fondamentale la plus simple réside dans le signe des sources et la nature de l'interaction qui en découle :

• Signe des sources : la masse est une grandeur toujours positive (\rho \ge 0), alors que la charge électrique peut être positive ou négative (\rho_q \gtrless 0).
• Caractère de la force : l'interaction gravitationnelle entre deux masses est par conséquent exclusivement attractive, alors que l'interaction électrostatique est répulsive (charges de même signe) ou attractive (charges de signes contraires).

On peut également souligner deux autres différences majeures :

• L'universalité (rapport charge/masse) : en gravitation, la « charge » gravitationnelle s'identifie à la masse inertielle (m_g = m_i, principe d'équivalence), conférant à tous les corps la même accélération dans un champ gravitationnel donné. En électrostatique, le rapport q/m dépend de la particule considérée.
• L'intensité relative : à l'échelle microscopique (par exemple entre deux protons), l'interaction électrostatique surpasse l'interaction gravitationnelle d'environ 36 ordres de grandeur. À grande échelle, la matière étant globalement neutre électriquement, c'est au contraire la gravitation qui prédomine.

On repère l'espace en coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) dont l'origine O coïncide avec le centre de la boule chargée.

Considérations d'invariance et de symétrie :

• Invariances : La distribution de charge est invariante par toute rotation autour du centre O, c'est-à-dire par translation selon \theta et \varphi. Par conséquent, les composantes du champ électrostatique ne dépendent que de la coordonnée radiale r :

  \vec{E}(r, \theta, \varphi) = \vec{E}(r).

• Symétries : Tout plan contenant l'origine O et le point d'observation M (plan méridien défini par \vec{e}_r et un vecteur orthogonal) est un plan de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrostatique étant un vecteur polaire, il appartient à l'intersection de tous ces plans de symétrie, qui est la droite radiale (OM). Ainsi, le champ est purement radial :

  \vec{E}(r) = E_r(r)\,\vec{e}_r.

Théorème de Gauss : On choisit comme surface de Gauss \mathcal{S}_G une sphère de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur par la normale \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{e}_r. Le flux du champ électrostatique à travers cette surface s'écrit :

D'après le théorème de Gauss, ce flux est relié à la charge intérieure Q_{\text{int}}(r) par \Phi = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}.

• À l'intérieur de la boule (r \le R) : La charge comprise dans la sphère de rayon r vaut :

  Q_{\text{int}}(r) = \rho_{q,0} \times \frac{4}{3}\pi r^3.

  On en déduit :

  4\pi r^2 E_r(r) = \frac{\rho_{q,0}}{\varepsilon_0}\frac{4}{3}\pi r^3 \implies E_r(r) = \frac{\rho_{q,0}}{3\varepsilon_0} r.
  \boxed{\vec{E}_{\text{int}}(\vec{r}) = \frac{\rho_{q,0}}{3\varepsilon_0}\,\vec{r}}

• À l'extérieur de la boule (r \ge R) : La surface de Gauss englobe toute la charge de la boule, notée Q_{\text{tot}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_{q,0} :

  Q_{\text{int}}(r) = Q_{\text{tot}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_{q,0}.

  On obtient :

  4\pi r^2 E_r(r) = \frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0} \implies E_r(r) = \frac{\rho_{q,0} R^3}{3\varepsilon_0 r^2} = \frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  \boxed{\vec{E}_{\text{ext}}(\vec{r}) = \frac{\rho_{q,0} R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\,\vec{r} = \frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{r}}

Les propriétés de symétrie et d'invariance de la boule homogène de masse sont rigoureusement identiques à celles de la boule chargée étudiées à la question Q4. D'après l'analogie mise en place à la question Q2, les équations du champ gravitationnel se déduisent de celles de l'électrostatique par les substitutions :

En transposant directement les expressions obtenues à la question Q4 :

• À l'intérieur de la boule (r \leqslant R) :

  \begin{aligned} \vec{K}(\vec{r}) &= \frac{\rho_0}{3} (-4\pi G) \, \vec{r} \end{aligned}

  soit :

  \boxed{\vec{K}(\vec{r}) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_0 \, \vec{r}}

• À l'extérieur de la boule (r \geqslant R) :

  \begin{aligned} \vec{K}(\vec{r}) &= \frac{\rho_0 R^3}{3 r^3}(-4\pi G) \, \vec{r} = -\frac{4\pi \rho_0 R^3}{3} \frac{G \vec{r}}{r^3} \end{aligned}

La masse totale M de la boule homogène de rayon R s'écrit :

On en déduit immédiatement le champ à l'extérieur de la boule :

ce qui correspond bien à l'équation (4) de l'énoncé.

L'observateur n'étant pas chargé électriquement, il n'est soumis à aucune force électrostatique et reste au repos dans le référentiel galiléen. Pour mesurer le champ \vec{E} localement, il peut :

• Mesure statique : suspendre une particule test de charge connue q > 0 à un dynamomètre (ou un fil étalonné). À l'équilibre mécanique, la force électrostatique compense la tension du dynamomètre : \vec{F}_{\text{élec}} = q\vec{E} = -\vec{T}. La direction et le sens de l'élongation donnent ceux de \vec{E}, et la norme de la force permet de déterminer l'amplitude E = \|\vec{T}\|/q.
• Mesure dynamique : lâcher sans vitesse initiale une particule de masse m et de charge q connues. L'accélération initiale mesurée est \vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}. La trajectoire rectiligne initiale indique la direction et le sens du champ, et la mesure de l'accélération donne la norme E = \frac{m}{q} a.

L'existence de charges positives, négatives ou nulles permet ainsi de caractériser sans ambiguïté le champ électrostatique local.

Soit \mathcal{R} le référentiel galiléen d'étude dans lequel règne le champ de gravitation uniforme et stationnaire \vec{K}.

L'observateur en chute libre définit un référentiel \mathcal{R}' en translation accélérée par rapport à \mathcal{R}, d'accélération d'entraînement :

Puisqu'il s'agit d'une translation pure, le vecteur rotation est nul (\vec{\Omega} = \vec{0}), de sorte que la force d'inertie de Coriolis est nulle (\vec{F}_{ic} = \vec{0}).

Dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}', la deuxième loi de Newton appliquée à une particule de masse m s'écrit en ajoutant la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} :

La deuxième loi de Newton est donc modifiée par l'apparition d'une force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} = -m\vec{K} qui compense exactement la force de gravitation subie par la particule :

Dans le référentiel en chute libre, le champ gravitationnel local disparaît donc entièrement de la dynamique des corps.

D'après la question Q7, dans le référentiel \mathcal{R}' de l'observateur en chute libre au sein d'un champ gravitationnel uniforme \vec{K}, la force d'inertie d'entraînement subie par une particule quelconque de masse m compense exactement la force gravitationnelle :

En l'absence d'autres interactions (\vec{F}_{\text{autres}} = \vec{0}), toute particule libre de masse quelconque est animée d'un mouvement rectiligne uniforme dans \mathcal{R}' (ou reste immobile si elle est lâchée sans vitesse initiale). L'observateur constate ainsi un état d'impesanteur totale.

Les lois de la mécanique dans ce référentiel local sont rigoureusement identiques à celles observées dans un référentiel galiléen loin de toute source gravitationnelle. Par conséquent :

La Station spatiale internationale (ISS) orbite autour de la Terre à une altitude d'environ h \approx 400\text{ km}. À cette altitude, le champ gravitationnel terrestre n'est nullement négligeable : il conserve environ 90\,\% de sa valeur au sol (g \approx 8{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}).

L'ISS n'est soumise (en première approximation) qu'à l'attraction gravitationnelle de la Terre : elle est donc en état de chute libre permanente.

Dans le référentiel lié à la station, qui possède une accélération d'entraînement \vec{a}_e = \vec{K}, un astronaute de masse m est soumis à :

• la force gravitationnelle terrestre : \vec{F}_{\text{grav}} = m \vec{K} ;
• la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{\text{ie}} = -m \vec{a}_e = -m \vec{K}.

Ces deux forces se compensent exactement en tout point de son corps :

Le poids apparent de l'astronaute est donc nul, ce qui place ce dernier en situation d'impesanteur.

Dans un référentiel galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule soumise uniquement au champ de gravitation \vec{K} s'écrit :

En introduisant le ratio \alpha_{\mathrm{eq}} = \frac{m_i}{m_g}, l'accélération de la particule s'exprime sous la forme :

En électrostatique, la force exercée par un champ \vec{E} sur une particule de charge électrique q est \vec{F}_{\text{élec}} = q \vec{E}. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors :

Par analogie, la charge électrique q joue le rôle de la masse grave m_g. On peut donc identifier comme équivalent du ratio \alpha_{\mathrm{eq}} = \frac{m_i}{m_g} :

Commentaire :

• En gravitation, l'expérience montre que \alpha_{\mathrm{eq}} est strictement universel (indépendant du corps et égal à 1), ce qui assure que l'accélération \vec{a} ne dépend aucunement de la nature ou de la masse du corps en chute libre (universalité de la chute libre).
• À l'inverse, le rapport spécifique q/m_i n'est absolument pas universel : il dépend de la particule considérée (il peut être positif, négatif ou nul, et varie de plusieurs ordres de grandeur, par exemple entre un électron et un proton). Il n'existe donc pas de principe d'équivalence en électrostatique, et un changement de référentiel accéléré ne saurait compenser un champ électrique pour toutes les particules simultanément.

Au-delà de l'approximation locale (où le champ gravitationnel est assimilé à un champ uniforme), plusieurs caractéristiques fondamentales distinguent une force de gravitation d'une force d'inertie :

1. Inhomogénéité et effets de marée : Le champ de gravitation \vec{K} créé par une distribution de matière réelle n'est jamais rigoureusement uniforme à l'échelle macroscopique. Il possède un gradient spatial (décrit par le tenseur des marées en physique newtonienne ou le tenseur de courbure de Riemann en relativité générale) et vérifie l'équation de Poisson :

   \vec{\nabla} \cdot \vec{K} = -4\pi G \rho(\vec{r})

   Deux particules tests en chute libre distantes l'une de l'autre subissent des accélérations gravitationnelles légèrement différentes et voient leur distance relative évoluer : ce sont les forces de marée. À l'inverse, la force d'inertie d'entraînement associée à un référentiel en translation accélérée \vec{a}_0(t) est strictement uniforme dans tout l'espace (\vec{f}_{\text{ie}} = -m\vec{a}_0(t)) et ne produit aucun effet de marée.

2. Caractère éliminable globalement ou seulement localement : Une force d'inertie peut être éliminée globalement dans tout l'espace par un changement de référentiel (passage à un référentiel galiléen). En revanche, le champ gravitationnel créé par un astre ne peut être annulé que localement (dans un référentiel en chute libre ponctuel), car aucun changement de coordonnées global ne peut annuler simultanément un champ à courbure/divergence non nulle.
3. Sources matérielles et troisième loi de Newton : La force de gravitation est issue d'une source matérielle bien identifiée (une distribution de masse \rho) et respecte le principe des actions réciproques. Les forces d'inertie proviennent uniquement du choix du référentiel : elles n'ont pas de support matériel réagissant et ne vérifient donc pas la troisième loi de Newton.

Sur la Lune, l'atmosphère est inexistante à cette échelle, ce qui permet de s'affranchir totalement des forces de frottement fluide qui masquent habituellement l'universalité de la chute libre sur Terre (où une plume est ralentie par l'air).

Chaque objet n'est soumis qu'à son propre poids gravitationnel. D'après la relation établie à la question 10, dans le référentiel sélénocentrique supposé galiléen :

où \vec{K}_L est le champ de gravitation à la surface de la Lune, dirigé vers le bas selon la verticale descendante Oz d'intensité g_L = \|\vec{K}_L\|.

Pour un lâcher sans vitesse initiale depuis une hauteur z_0, l'accélération scalaire constante a = \frac{g_L}{\alpha_{\mathrm{eq}}} conduit par double intégration à la hauteur de chute :

Le temps de chute s'écrit donc :

Pour l'objet 1 (dont \alpha_{\mathrm{eq},1} = 1) et l'objet 2 (dont \alpha_{\mathrm{eq},2} = 1 + \delta\alpha_{\mathrm{eq}}), les temps de chute respectifs s'écrivent :

Si le principe d'équivalence est violé (\delta\alpha_{\mathrm{eq}} \neq 0), les deux corps touchent le sol à des instants différents : t_2 \neq t_1.

Constater que le marteau et la plume touchent le sol au même instant, à une incertitude de mesure \delta t près, permet de tester la nullité de \delta\alpha_{\mathrm{eq}} et d'obtenir une borne supérieure sur la violation du principe d'équivalence entre deux corps de masse et de composition chimique très différentes.

D'après la question Q5, la Lune étant modélisée par une distribution de matière à symétrie sphérique de masse M_L et de rayon R_L, le champ gravitationnel à sa surface a pour norme :

D'après la question Q12, le temps de chute libre sans vitesse initiale depuis la hauteur z_0 pour une particule de paramètre \alpha_{\mathrm{eq}} s'écrit :

Pour le premier objet (\alpha_{\mathrm{eq},1} = 1), le temps de chute vaut t_1 = \sqrt{\frac{2 z_0}{g_L}}. Pour le second objet (\alpha_{\mathrm{eq},2} = 1 + \delta\alpha_{\mathrm{eq}} avec |\delta\alpha_{\mathrm{eq}}| \ll 1), un développement limité au premier ordre donne :

L'écart temporel entre l'arrivée des deux objets au sol s'écrit donc :

L'expérience ne permet pas de déceler un écart temporel inférieur à l'incertitude expérimentale \delta t. La précision avec laquelle le principe d'équivalence est vérifié correspond à la borne maximale \Delta t \le \delta t, soit :

En remplaçant g_L par son expression en fonction de G, M_L et R_L, on obtient finalement :

D'après la question Q13, l'écart relatif sur le paramètre d'équivalence s'exprime sous la forme :

Calculons dans un premier temps l'accélération de la pesanteur lunaire g_L :

On en déduit :

Avec \delta t = 0{,}02\text{ s} :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif comme requis :