Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MP 2023

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : tout corps isolé ou pseudo-isolé (soumis à une résultante des forces extérieures nulle) y a un mouvement rectiligne et uniforme (son vecteur vitesse est constant : \vec{v} = \vec{\mathrm{cste}}).

Le référentiel terrestre est animé d'un mouvement de rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique autour de l'axe des pôles, avec une pulsation :

où T_{\mathrm{jour}} \approx 86\,400\text{ s} \approx 24\text{ h}.

On peut considérer le référentiel terrestre comme galiléen sous les conditions suivantes :

• La durée caractéristique de l'expérience \Delta t est très faible devant la période de rotation propre de la Terre :

  \boxed{\Delta t \ll T_{\mathrm{jour}} \approx 24\text{ h}}
• Les dimensions spatiales du mouvement sont suffisamment restreintes et les vitesses mises en jeu suffisamment modérées pour que les effets des forces d'inertie (notamment la force de Coriolis \vec{F}_{\mathrm{ic}} = -2m\vec{\omega}_{\mathrm{jour}} \wedge \vec{v}) soient tout à fait négligeables devant les autres interactions subies par le système.

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton et le théorème de Gauss (la Terre étant modélisée comme une distribution de masse à symétrie sphérique de masse M_T), la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le point matériel M de masse m s'écrit, avec le vecteur unitaire radial \vec{e}_r dirigé de O_T vers M :

Pour un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}r\,\vec{e}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta + r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{e}_\varphi en coordonnées sphériques de centre O_T, le travail élémentaire de cette force vaut :

Ce travail élémentaire ne dépend que de la variable r et de sa variation différentielle \mathrm{d}r, et est indépendant de \theta, \varphi ainsi que du chemin suivi. La force \vec{F}_G dérive donc d'une énergie potentielle E_p qui ne dépend que de la distance r, définie par \mathrm{d}E_p(r) = -\delta W, soit :

Par intégration par rapport à r :

où C est une constante réelle d'intégration. En appliquant la condition de référence choisie à l'infini, E_p(\infty) = 0, on obtient C = 0, d'où :

Un mouvement est qualifié de lié si le point matériel M reste confiné à tout instant dans une région bornée de l'espace. Autrement dit, la distance r(t) le séparant du centre attracteur O_T est majorée par une valeur finie :

Le point M ne peut donc pas s'éloigner à l'infini sous l'effet de l'attraction gravitationnelle (sa trajectoire est une ellipse ou un cercle).

Dans le référentiel géocentrique galiléen, le point M n'est soumis qu'à la force gravitationnelle qui est conservative, donc son énergie mécanique se conserve :

Puisque l'énergie cinétique est toujours positive ou nulle (E_c \ge 0), le mouvement n'est possible que là où E_m \ge E_p(r).

Pour que le point M puisse s'échapper à l'infini (r \to +\infty), il faudrait que :

Le mouvement est donc lié si et seulement si cette condition d'évasion n'est pas remplie, soit :

La valeur maximale (borne supérieure correspondant à la trajectoire parabolique à la frontière entre état lié et état de diffusion) de l'énergie mécanique dans ce cas est :

Le projectile de masse m est étudié dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. En l'absence de frottements atmosphériques, il n'est soumis qu'à la force gravitationnelle terrestre qui dérive de l'énergie potentielle E_p(r) (d'après la question Q2). L'énergie mécanique E_m se conserve donc au cours du mouvement :

Au moment du tir depuis la surface terrestre (r = R_T), avec la vitesse v_{\text{lib}} :

D'après la question Q3, pour que le projectile se soustraie à l'attraction terrestre, son mouvement doit être non lié (trajectoire de diffusion, r \to \infty), ce qui impose E_m \ge 0. La vitesse minimale de libération correspond au cas limite E_m = 0 (vitesse nulle à l'infini) :

D'où l'expression littérale :

Application numérique avec les données de l'énoncé :

Soit :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à un point matériel (\vec{F} = m\vec{a}), la dimension d'une force est :

La vitesse a pour dimension [v] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}, donc :

D'après la loi phénoménologique donnée dans l'énoncé, \vec{F}_f = -\gamma\,v\vec{v}, le coefficient \gamma a pour dimension :

Si l'on pose \gamma = \dfrac{m}{\ell_f} où m est la masse du boulet ([m] = \mathrm{M}), on en déduit immédiatement la dimension de \ell_f :

Le paramètre \ell_f est donc homogène à une longueur, ce qui valide l'écriture :

On étudie le boulet assimilé à un point matériel de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de l'axe vertical ascendant (Oz).

1. Atteinte d'une hauteur maximale :

• Lors de la phase ascendante (\vec{v} = v\vec{u}_z avec v > 0), le boulet est soumis à deux forces :

  • son poids \vec{P} = -m g_0 \vec{u}_z, orienté vers le bas ;
  • la force de frottement fluide \vec{F}_f = -\dfrac{m}{\ell_f} v^2 \vec{u}_z, également orientée vers le bas car opposée au vecteur vitesse.

• D'après la seconde loi de Newton, l'accélération selon la verticale s'écrit :

  \ddot{z} = -g_0 - \frac{v^2}{\ell_f} \leqslant -g_0 < 0

  La vitesse verticale \dot{z} est donc strictement décroissante et minorée par une pente négative : elle s'annule nécessairement au bout d'un temps fini t_s \leqslant \dfrac{v_0}{g_0}.

• L'annulation de la vitesse (\dot{z}(t_s) = 0) correspond à l'atteinte d'un extremum d'altitude, qui est un maximum puisque \ddot{z}(t_s) < 0 : le boulet atteint son altitude maximale h_{\max} = z(t_s).

2. Descente du boulet :

• À l'altitude maximale, la vitesse s'annule instantanément (v = 0), ce qui annule la force de frottement de l'air (\vec{F}_f = \vec{0}).
• Le boulet n'est plus soumis qu'à son seul poids \vec{P} = -m g_0 \vec{u}_z \neq \vec{0}. Son accélération au sommet vaut donc \ddot{z}(t_s) = -g_0 < 0.
• Le sommet n'est donc pas une position d'équilibre : le boulet acquiert immédiatement une vitesse verticale orientée vers le bas (\dot{z} < 0) et entame sa chute vers le sol terrestre.

On étudie le boulet de masse m, assimilé à un point matériel, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le bilan des actions mécaniques s'écrit :

• le poids : \vec{P} = -m g_0 \vec{u}_z ;
• la force de frottement de l'air : \vec{F}_f = -\dfrac{m}{\ell_f} v \vec{v}.

La deuxième loi de Newton s'énonce :

1. Phase ascendante :
Le mouvement a lieu vers le haut : \vec{v} = +v \vec{u}_z avec v \ge 0. Par dérivation par rapport au temps :

La force de frottement s'oppose au mouvement ascendant :

En projetant la deuxième loi de Newton sur \vec{u}_z et en simplifiant par la masse m, on obtient :

2. Phase descendante :
Le mouvement a lieu vers le bas : \vec{v} = -v \vec{u}_z avec v \ge 0. Par dérivation par rapport au temps :

La force de frottement est alors dirigée vers le haut :

La projection de la deuxième loi de Newton sur \vec{u}_z conduit à :

Soit, en divisant par -m :

Phase descendante :

D'après la question Q7, l'équation différentielle vérifiée par le module de la vitesse s'écrit :

• Au début de la descente (au sommet de la trajectoire), la vitesse est nulle (v=0), d'où \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g_0 > 0 : la vitesse augmente.
• Au fur et à mesure que v croît, le terme résistant \dfrac{v^2}{\ell_f} augmente et l'accélération \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} diminue.

• Lorsque v atteint la valeur définie par \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0, la force de pesanteur et la force de frottement fluide se compensent exactement. La vitesse tend donc de façon continue et asymptotique vers une vitesse limite v_{\text{lim}} telle que :

  g_0 - \frac{v_{\text{lim}}^2}{\ell_f} = 0

Ce comportement asymptotique est clairement visible sur la figure 4 pour t \gtrsim 40\text{ s}, où la courbe v(t) présente une asymptote horizontale.

Phase ascendante :

D'après la question Q7, l'équation différentielle s'écrit :

• Pour tout v \ge 0, on a \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \le -g_0 < 0 : l'accélération ne s'annule jamais car l'équation \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0 conduirait à v^2 = -g_0 \ell_f < 0, ce qui est impossible.
• La dérivée étant majorée par -g_0, la vitesse v(t) décroît strictement et s'annule nécessairement en un temps fini t_{\text{sommet}} \le \dfrac{v_0}{g_0}, marquant la fin de l'ascension.

Lors de la phase descendante, la vitesse tend asymptotiquement vers la vitesse limite v_{\text{lim}} pour laquelle l'accélération s'annule :

En utilisant l'équation différentielle établie à la question Q7 pour la phase descendante :

on obtient immédiatement :

La vitesse étant une grandeur positive, il vient :

En rappelant que d'après la question Q5 la constante de frottement quadratique s'écrit \gamma = \frac{m}{\ell_f}, on peut également exprimer cette vitesse limite sous la forme :

1. Mise en évidence des régimes transitoire et permanent :

• Régime transitoire : Au sommet de la trajectoire, la vitesse s'annule (v = 0). Dès le début de la descente, le poids entraîne le projectile vers le bas, faisant croître le module de la vitesse. La force de frottement quadratique, dirigée vers le haut, augmente alors en amplitude, ce qui diminue progressivement l'accélération \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g_0 \left(1 - \frac{v^2}{v_{\text{lim}}^2}\right).
• Régime permanent : Lorsque la force de frottement compense exactement le poids, la résultante des forces devient nulle. L'accélération s'annule et le module de la vitesse se stabilise à sa valeur asymptotique v_{\text{lim}}.

2. Expression du temps caractéristique \tau : Au tout début de la phase descendante, tant que v \ll v_{\text{lim}}, le frottement est négligeable devant le poids et l'accélération initiale vaut \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right|_{t_0} \approx g_0. La tangente à l'origine atteindrait la vitesse v_{\text{lim}} au bout d'un temps caractéristique \tau défini par :

En utilisant l'expression de v_{\text{lim}} = \sqrt{g_0 \ell_f} établie à la question Q9, on obtient :

Remarque : En posant les variables adimensionnées \widetilde{v} = \frac{v}{v_{\text{lim}}} et \widetilde{t} = \frac{t}{\tau}, l'équation différentielle de chute s'écrit de façon canonique \frac{\mathrm{d}\widetilde{v}}{\mathrm{d}\widetilde{t}} = 1 - \widetilde{v}^2.

3. Nature et caractéristiques du mouvement en régime permanent : En régime permanent, le vecteur accélération est nul :

Le mouvement est donc un mouvement rectiligne uniforme. Ses caractéristiques sont :

• Trajectoire : rectiligne selon l'axe vertical (Oz) ;
• Sens : descendant (orienté vers le sol, soit selon -\vec{u}_z) ;
• Vecteur vitesse : constant, \vec{v} = -v_{\text{lim}}\,\vec{u}_z = -\sqrt{g_0 \ell_f}\,\vec{u}_z ;
• Loi horaire d'altitude : z(t) = z_0 - v_{\text{lim}}(t - t_0) (décroissance linéaire de l'altitude au cours du temps).

D'après les questions Q9 et Q10, la vitesse limite et le temps caractéristique s'écrivent :

En introduisant les grandeurs réduites \tilde{v} = \frac{v}{v_{\text{lim}}} et \tilde{t} = \frac{t}{\tau}, on a :

1. Phase ascendante : D'après la question Q7, l'équation différentielle s'écrit :

En séparant les variables :

En intégrant entre \tilde{t}=0 (où v_+(0) = v_0, soit \tilde{v}_+(0) = \tilde{v}_0 = \frac{v_0}{v_{\text{lim}}}) et l'instant \tilde{t}, sachant que \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} :

En appliquant la fonction tangente :

La vitesse s'annule à l'instant du sommet :

2. Phase descendante : D'après la question Q7, l'équation différentielle s'écrit pour v_- < v_{\text{lim}} :

En séparant les variables :

Sachant que \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\operatorname{artanh} x) = \frac{1}{1-x^2} pour |x| < 1, on intègre depuis l'instant du sommet t_s où la vitesse est nulle (\tilde{v}_-(t_s) = 0 et \operatorname{artanh}(0)=0) :

En appliquant la fonction tangente hyperbolique :

Remarque : si l'on prend l'origine des dates au début de la phase descendante (t'=0 au sommet), l'expression devient simplement :

Rappelons les expressions obtenues à la question Q12 :

avec t_s = \tau \arctan\left(\frac{v_0}{v_{\lim}}\right), v_{\lim} = \sqrt{g_0 \ell_f} et \tau = \frac{v_{\lim}}{g_0} = \sqrt{\frac{\ell_f}{g_0}}.

1. Recoupement avec la question Q8 (comportement asymptotique)

• Phase ascendante : La fonction \tan s'annule lorsque son argument s'annule, c'est-à-dire en un instant fini :

  t = t_s = \tau \arctan\left(\frac{v_0}{v_{\lim}}\right)

  Le mouvement ascendant s'interrompt donc au sommet en un temps fini t_s : il ne peut pas s'établir de régime asymptotique lors de la montée, ce qui confirme la conclusion de Q8.

• Phase descendante : D'après le formulaire fourni, la fonction tangente hyperbolique vérifie \lim_{u \to +\infty} \tanh(u) = 1. Par conséquent :

  \lim_{t \to +\infty} v_-(t) = v_{\lim} \times 1 = v_{\lim}

  La vitesse tend bien vers une valeur limite finie et constante v_{\lim}, confirmant l'existence d'un comportement asymptotique.

2. Recoupement avec la question Q9 (expression de la vitesse limite) La valeur de la vitesse limite issue de la solution analytique coïncide exactement avec celle trouvée en annulant l'accélération (\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0) dans l'équation différentielle de descente :

3. Recoupement avec la question Q10 (régimes et temps caractéristique)

• Début du régime transitoire : Pour t - t_s \ll \tau, un développement limité au premier ordre donne \tanh(u) \underset{u\to 0}{\approx} u, d'où :

  v_-(t) \approx v_{\lim} \left(\frac{t - t_s}{\tau}\right) = \frac{v_{\lim}}{\tau} (t - t_s) = g_0 (t - t_s)

  On retrouve l'accélération initiale de chute libre sans frottement \left.\frac{\mathrm{d}v_-}{\mathrm{d}t}\right|_{t_s} = g_0.

• Temps caractéristique : L'évolution de \tanh(u) montre que pour u = \frac{t - t_s}{\tau} = 1, la vitesse atteint \tanh(1) \approx 0{,}76\, v_{\lim} (environ 76\,\%) et pour u = 3, \tanh(3) \approx 0{,}995\, v_{\lim} (plus de 99\,\%). La constante de temps du régime transitoire est donc bien :

  \tau = \frac{v_{\lim}}{g_0} = \sqrt{\frac{\ell_f}{g_0}}
• Régime permanent : Pour t - t_s \gg \tau, la vitesse devient rigoureusement constante (v \approx v_{\lim}) : le mouvement est alors rectiligne uniforme, de vitesse v_{\lim}, comme établi en Q10.

1. Évaluation graphique de v_{\text{lim}}

Sur la figure 4 (ou sur la figure 6 à l'atterrissage en z=0), la vitesse en régime permanent descendant tend vers une asymptote horizontale :

2. Évaluation graphique de \tau

Le sommet de la trajectoire correspond à v=0, atteint à l'instant t_s \approx 21{,}5\text{ s}. Deux méthodes graphiques permettent d'estimer \tau sur la phase descendante (t \ge t_s) :

• Méthode de la tangente : la pente à l'origine de la descente vaut \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right|_{t_s} = g_0 = \frac{v_{\text{lim}}}{\tau}. La tangente en t_s coupe donc l'asymptote v = v_{\text{lim}} à l'instant t = t_s + \tau. Graphiquement, cette intersection se situe vers t \approx 38\text{ s}, ce qui donne :

  \tau \approx 38 - 21{,}5 = 16{,}5\text{ s}

• Méthode des 76\,\% : d'après la solution établie en Q12, pour t - t_s = \tau, on a :

  v(t_s + \tau) = v_{\text{lim}} \tanh(1) \approx 0{,}76\, v_{\text{lim}} \approx 0{,}76 \times 165 \approx 125\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  Sur la figure 4, la vitesse v = 125\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est atteinte à t \approx 38\text{ s}, d'où également \tau \approx 16{,}5\text{ s}.

On retient :

3. Évaluation graphique de \ell_f

Sur la figure 6, lors de la phase ascendante, l'équation différentielle s'écrit :

À l'altitude initiale z=0, la vitesse v_0 = 650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est très grande devant v_{\text{lim}}, si bien que le terme de pesanteur est négligeable devant le frottement (g_0 / v_0 \approx 0{,}015\text{ s}^{-1} \ll v_0 / \ell_f). La pente de la tangente à l'origine vaut donc :

L'équation de cette tangente est \dot{z}_{\text{tang}}(z) = v_0\left(1 - \frac{z}{\ell_f}\right) : elle coupe l'axe \dot{z} = 0 précisément en z = \ell_f.

En traçant la tangente à la courbe en (z=0,\, \dot{z}=650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) sur la figure 6, celle-ci passe par le point (1000\text{ m},\, 410\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), ce qui correspond à une pente d'environ -0{,}24\text{ m}^{-1} et conduit à une abscisse à l'origine :

4. Vérification de la cohérence numérique

D'après les questions Q9 et Q10, la théorie impose les relations :

Les valeurs déduites indépendamment des trois lectures graphiques sont en parfait accord avec les relations théoriques établies.

1. Hypothèse de l'uniformité du champ de pesanteur :

• D'après la figure 5, l'altitude maximale atteinte par le boulet est h_{\max} \approx 3{,}9\text{ km}.

• Le rayon terrestre vaut R_T = 6{,}37 \cdot 10^3\text{ km}. La variation relative de l'accélération de la pesanteur entre le sol et l'apogée s'estime par :

  \left| \frac{\Delta g}{g_0} \right| \approx \frac{2 h_{\max}}{R_T} \approx \frac{2 \times 3{,}9}{6{,}37 \cdot 10^3} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-3} \approx 0{,}1\,\%

  Cette variation est totalement négligeable devant les autres approximations. L'hypothèse d'uniformité de \vec{g} = -g_0 \vec{u}_z est donc parfaitement légitime.

2. Forme quadratique de la force de frottement :

• Aux faibles vitesses (v < 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) : Au voisinage immédiat de l'apogée (t \approx t_s \approx 22\text{ s}), la vitesse passe sous le seuil de validité de la loi quadratique mentionné par l'énoncé. Toutefois, dans cette zone, la force de frottement devient infime devant le poids :

  \frac{\|\vec{F}_f\|}{P} = \frac{v^2}{g_0 \ell_f} \le \frac{100}{10 \times 2{,}7 \cdot 10^3} \approx 3{,}7 \cdot 10^{-3} \ll 1

  Le mouvement y est régi quasi exclusivement par la pesanteur ; l'erreur commise sur le modèle de frottement à basse vitesse a donc une influence imperceptible sur la trajectoire globale.

• Variation de la masse volumique de l'air avec l'altitude : Le coefficient \gamma (et donc \ell_f) dépend directement de la masse volumique de l'air \rho_{\text{air}}. Or, l'atmosphère présente une hauteur d'échelle H \approx 8\text{ km} ; à h_{\max} \approx 3{,}9\text{ km}, \rho_{\text{air}}(h_{\max}) \approx \rho_0\,\mathrm{e}^{-h_{\max}/H} \approx 0{,}6\,\rho_0. L'air étant significativement plus raréfié au sommet, considérer \gamma ou \ell_f constant introduit un écart de l'ordre de 30\text{ à }40\,\%.
• Effets de compressibilité aux grandes vitesses : La vitesse initiale v_0 = 650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} correspond à un régime nettement supersonique (\text{Mach} \approx 1{,}9, la vitesse du son dans l'air valant environ 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Dans ce régime, le coefficient de traînée C_x varie fortement avec le nombre de Mach en raison des ondes de choc, ce qui remet en cause la stricte constance de \gamma.

Le champ de pesanteur local \vec{g}_0 incorpore déjà l'accélération d'entraînement centrifuge (-\vec{\omega}_{\text{jour}} \wedge (\vec{\omega}_{\text{jour}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{OM}})). La force supplémentaire à prendre en compte en raison du mouvement du boulet dans le référentiel terrestre non galiléen est donc la force d'inertie de Coriolis \vec{F}_{\mathrm{ic}} :

Influence sur la trajectoire : Dans le repère local direct (\vec{u}_{\mathrm{E}}, \vec{u}_{\mathrm{N}}, \vec{u}_z) (Est, Nord, Zénith) à la latitude \lambda, le vecteur rotation s'écrit \vec{\omega}_{\text{jour}} = \omega_{\text{jour}}(\cos\lambda\,\vec{u}_{\mathrm{N}} + \sin\lambda\,\vec{u}_z).

• Lors de la phase ascendante (\vec{v} = v \vec{u}_z) :

  \vec{\omega}_{\text{jour}} \wedge \vec{v} = \omega_{\text{jour}} v \cos\lambda \, (\vec{u}_{\mathrm{N}} \wedge \vec{u}_z) = \omega_{\text{jour}} v \cos\lambda \, \vec{u}_{\mathrm{E}}

  d'où une force d'inertie de Coriolis dirigée vers l'Ouest :

  \vec{F}_{\mathrm{ic}} = - 2 m \omega_{\text{jour}} v \cos\lambda \, \vec{u}_{\mathrm{E}}

  Le boulet est donc dévié vers l'Ouest à la montée.

• Lors de la phase descendante (\vec{v} = -v \vec{u}_z), \vec{F}_{\mathrm{ic}} s'inverse et tend à dévier le boulet vers l'Est.

La force de Coriolis brise ainsi le caractère purement rectiligne et vertical de la trajectoire.

Ordre de grandeur de la valeur maximale : La vitesse de rotation diurne de la Terre vaut :

La valeur maximale de la force de Coriolis est atteinte au départ, là où la vitesse est maximale (v = v_0 = 650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et pour une composante horizontale maximale de la rotation (\cos\lambda \le 1) :

Conclusion : À comparer au poids du boulet :

On constate que :

La force d'inertie de Coriolis reste inférieure à 1\,\% du poids (et est encore plus négligeable devant la force de frottement initiale, de l'ordre de 10^3\text{ N}). L'hypothèse d'un référentiel terrestre galiléen pour étudier l'altitude et la vitesse verticale est donc parfaitement justifiée.

On étudie le point matériel M, de masse m, dans le référentiel de la capsule \mathcal{R}_C. Ce référentiel est animé d'un mouvement de translation circulaire par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R}_g, supposé galiléen.

Par conséquent, la vitesse angulaire de rotation propre du référentiel \mathcal{R}_C par rapport à \mathcal{R}_g est nulle :

Dans le référentiel \mathcal{R}_C (non galiléen), les forces s'exerçant sur M sont :

1. La force réelle d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

   \vec{F}_G = -\frac{G M_T m}{r^2} \vec{e}_r

   où r = R_T + h est le rayon de l'orbite (les dimensions de la capsule étant négligeables devant h).

2. La force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{\mathrm{ie}} liée à l'accélération de translation de la capsule : Puisque \mathcal{R}_C est en translation, tout point de la capsule a la même accélération d'entraînement que le centre de masse C de la capsule :

   \vec{a}_e(M) = \vec{a}(C)

   La capsule étant soumise uniquement à l'attraction terrestre, le principe fondamental de la dynamique appliqué à la capsule dans \mathcal{R}_g donne \vec{a}(C) = -\frac{G M_T}{r^2} \vec{e}_r. Il vient ainsi :

   \vec{F}_{\mathrm{ie}} = -m \vec{a}_e(M) = -m \vec{a}(C) = +\frac{G M_T m}{r^2} \vec{e}_r

Les autres forces sont nulles :

• La force d'inertie de Coriolis est nulle : \vec{F}_{\mathrm{ic}} = -2m \vec{\Omega} \wedge \vec{v}_r = \vec{0}, car \vec{\Omega} = \vec{0} (mouvement de translation) et M est de surcroît immobile dans la capsule (\vec{v}_r = \vec{0}).
• Aucune force de contact ne s'exerce sur M si celui-ci flotte librement dans l'habitacle sans toucher les parois.

1. Définition de l'impesanteur :

L'impesanteur (ou apesanteur) est l'état d'un corps ou d'un référentiel dans lequel le poids apparent est nul :

Dans cette situation, les effets de l'attraction gravitationnelle sont exactement compensés par les forces d'inertie d'entraînement liées au mouvement du référentiel (situation de chute libre). Un objet n'a alors besoin d'aucun support matériel ni force d'appui pour rester immobile par rapport à son habitacle.

2. Justification pour le point M :

D'après le bilan des forces réalisé à la question Q17 dans le référentiel de la capsule :

• La force de gravitation terrestre sur M vaut :

  \vec{F}_G = -\frac{G M_T m}{r^2} \vec{e}_r

• La force d'inertie d'entraînement, due à l'accélération orbitale de la capsule \vec{a}(C) = -\frac{G M_T}{r^2} \vec{e}_r, vaut :

  \vec{F}_{\mathrm{ie}} = -m \vec{a}(C) = +\frac{G M_T m}{r^2} \vec{e}_r

Les dimensions de l'habitacle étant petites devant le rayon orbital r (h \gg \text{dimensions}), le champ de gravitation est homogène à l'échelle de la capsule. On a donc :

On se place dans le référentiel \mathcal{R} lié à la station orbitale, en rotation uniforme de vecteur rotation \vec{\Omega} = \Omega \vec{e}_z autour de l'axe passant par son centre S. On étudie un occupant de masse m, assimilé à un point matériel M, immobile dans ce référentiel (\vec{v}_{\mathrm{rel}} = \vec{0}).

1. Compensation orbitale : D'après les questions précédentes (Q17 et Q18), la station étant en chute libre orbitale, l'attraction gravitationnelle de la Terre est exactement compensée par la force d'inertie liée à la translation de son centre de masse (\vec{F}_G + \vec{F}_{ie,\mathrm{orb}} = \vec{0}).

2. Force d'inertie d'entraînement liée à la rotation : Du fait de la rotation propre de la station, le point matériel M, repéré par \overrightarrow{SM} = r\vec{e}_r + z\vec{e}_z, subit la force d'inertie d'entraînement centrifuge :

   \begin{aligned} \vec{F}_{ie} &= -m\,\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{SM}) \\ &= -m\,\Omega\vec{e}_z \wedge (\Omega r\,\vec{e}_\theta) \\ &= m\,\Omega^2 r\,\vec{e}_r \end{aligned}

   La vitesse relative de l'occupant étant nulle, la force de Coriolis s'annule : \vec{F}_{ic} = \vec{0}.

3. Pesanteur artificielle : Le poids effectif ressenti par le passager (poids apparent) est donc :

   \vec{P}_{\mathrm{app}} = \vec{F}_{ie} = m\,\vec{g}_a

   d'où l'expression de la pesanteur artificielle :

   \boxed{\vec{g}_a = \Omega^2 r\,\vec{e}_r}

Cette pesanteur artificielle pousse l'occupant radialement vers l'extérieur (+\vec{e}_r). En s'appuyant contre la paroi externe du tore, celle-ci exerce en retour une force de réaction normale centripète \vec{R} = -m\vec{g}_a. Cette réaction normale joue exactement le même rôle mécanique et physiologique que le sol sur Terre, permettant aux occupants de ressentir une sensation de poids.

D'après le résultat de la question Q19, le champ de pesanteur artificielle dans le référentiel tournant lié à la station s'écrit :

Il est donc :

• radial (selon \vec{e}_r) ;
• orienté vers l'extérieur de la station (dans le sens de +\vec{e}_r, c'est-à-dire en s'éloignant de l'axe de rotation S\vec{e}_z).

Un corps soumis à cette pesanteur ressent une force d'attraction vers l'extérieur du tore. Pour qu'un passager se maintienne en équilibre debout, le support (le « sol ») doit exercer sur lui une force de réaction normale dirigée vers l'axe de rotation (-\vec{e}_r).

Par conséquent :

• le sol est constitué par la paroi extérieure du tore (à la distance r maximale de l'axe) ;
• le plafond est la paroi intérieure (orientée vers le centre S) ;
• les jambes (les pieds) du passager reposent sur la paroi externe (vers +\vec{e}_r) ;
• la tête est orientée vers l'axe de rotation S\vec{e}_z (vers -\vec{e}_r).

D'après les questions précédentes, l'intensité de la pesanteur artificielle ressentie par un occupant situé à une distance r \approx R_S de l'axe de rotation vaut :

Pour que cette pesanteur artificielle soit comparable à la pesanteur terrestre (g_a \approx g_0 \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}), la vitesse angulaire de rotation de la station doit vérifier :

Avec g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et le rayon moyen du tore R_S = 100\text{ m} :

1. Force supplémentaire :

Dans le référentiel lié au tore en rotation uniforme \vec{\Omega} = \Omega\vec{e}_z, un passager en mouvement à la vitesse relative \vec{v} = v_\theta\vec{e}_\theta subit, en plus de la force d'inertie d'entraînement centrifuge, la force d'inertie de Coriolis :

Sachant que \vec{e}_z \wedge \vec{e}_\theta = -\vec{e}_r, on a :

Ce qui donne :

2. Sens de déplacement préférentiel :

La résultante des forces d'inertie selon la direction radiale s'écrit :

• Si le déplacement se fait dans le sens de \vec{e}_\theta (v_\theta > 0), la force de Coriolis renforce la pesanteur artificielle : l'objet paraît plus lourd.
• Si le déplacement se fait dans le sens opposé à la rotation, soit selon -\vec{e}_\theta (v_\theta < 0), la force de Coriolis est dirigée vers l'axe de rotation (-\vec{e}_r) et s'oppose à la force centrifuge.

On a donc intérêt à déplacer les objets massifs dans le sens de -\vec{e}_\theta.

3. Vitesse d'impesanteur :

Un objet se trouve en impesanteur lorsqu'il n'exerce plus aucune force d'appui sur le plancher du tore, c'est-à-dire que la réaction normale du sol s'annule : \vec{R} = \vec{0}.

Dans le référentiel du tore, la trajectoire circulaire de rayon r \approx R_S à vitesse v_\theta impose une accélération relative centripète :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel du tore :

D'où l'expression de la réaction du sol :

La condition d'impesanteur \vec{R} = \vec{0} équivaut à :

Il existe donc une vitesse de déplacement v_i = \Omega R_S orientée selon -\vec{e}_\theta pour laquelle les objets sont en impesanteur.

Avec \Omega \approx 0{,}32\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et R_S = 100\text{ m} (ou directement v_i = \sqrt{g_0 R_S}) :

Dans le référentiel de la station en rotation uniforme \vec{\Omega} = \Omega \vec{e}_z, la balle de masse m_b, animée d'une vitesse relative \vec{v}_r, est soumise à deux forces d'inertie (le champ de gravitation et l'accélération d'entraînement orbitale se compensant mutuellement) :

• la force d'inertie d'entraînement, modélisant la pesanteur artificielle :

  \vec{F}_{\mathrm{ie}} = m_b \Omega^2 r\,\vec{e}_r = m_b \vec{g}_a

  dirigée vers le « sol » extérieur (+\vec{e}_r) ;

• la force d'inertie de Coriolis :

  \vec{F}_{\mathrm{ic}} = -2 m_b \vec{\Omega} \wedge \vec{v}_r

Lancer la balle « en l'air » (vers le plafond) correspond à une vitesse relative dirigée vers l'axe de rotation :

La force de Coriolis subie par la balle lors de sa montée vaut alors :

Elle s'exerce selon +\vec{e}_\theta, c'est-à-dire dans le sens de rotation de la station.

Définissons un repère local centré sur le jongleur, où l'axe vertical ascendant est repéré par y (\vec{e}_y = -\vec{e}_r, vers le plafond) et l'axe horizontal par x (\vec{e}_x = \vec{e}_\theta, dans le sens de rotation). Pour un mouvement dans ce plan, l'accélération de Coriolis selon \vec{e}_x s'écrit :

En intégrant entre l'instant du lancer t=0 (x(0)=0, y(0)=0) et un instant t, avec une vitesse horizontale initiale nulle (\dot{x}(0)=0) :

Puisque la balle reste à une altitude y(t) > 0 pendant toute la durée de la trajectoire, sa vitesse horizontale \dot{x}(t) est strictement positive durant toute la durée du vol, tant à la montée qu'à la descente.

La déviation latérale totale \Delta x à la retombée au sol (t = t_f) est donc non nulle et orientée vers l'avant (+\vec{e}_\theta) :

Évaluons l'ordre de grandeur de cette déviation pour un lancer classique à une hauteur h \approx 1\text{ m} sous une pesanteur g_a \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

• Durée du vol : t_f = 2\sqrt{\frac{2h}{g_a}} \approx 2\sqrt{\frac{2}{10}} \approx 0{,}9\text{ s} ;
• Altitude moyenne d'une parabole : \langle y \rangle = \frac{2}{3} h \approx 0{,}67\text{ m} ;

• Avec \Omega \approx 0{,}32\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} :

  \Delta x \approx 2 \times 0{,}32 \times 0{,}67 \times 0{,}9 \approx 0{,}4\text{ m} = 40\text{ cm}

Conclusion et adaptations nécessaires :

1. Le passager ne peut pas adopter la même technique que sur Terre, car la force de Coriolis induit ici une déviation très importante (environ 40\text{ cm}, contre une fraction de millimètre sur Terre).

2. Pour rattraper la balle au point de départ, il doit adapter son geste :

   • soit en lançant la balle avec une inclinaison initiale vers l'arrière (selon -\vec{e}_\theta, opposée au sens de rotation de la station) pour compenser la dérive due à la force de Coriolis ;
   • soit en lançant verticalement et en avançant la main d'environ 40\text{ cm} vers l'avant (sens +\vec{e}_\theta) pour réceptionner la balle.

Plusieurs raisons expliquent l'absence de pesanteur artificielle à bord de la Station spatiale internationale (ISS) :

• Objectif scientifique (raison principale) : L'ISS est avant tout un laboratoire de recherche en microgravité. Son intérêt scientifique repose précisément sur l'absence quasi-totale de pesanteur apparente, qui permet d'étudier des phénomènes physiques, chimiques et biologiques impossibles à observer sur Terre (croissance cristalline de haute pureté, absence de convection thermique et de sédimentation dans les fluides, impact de l'impesanteur sur la physiologie humaine, etc.). L'introduction d'une pesanteur artificielle annulerait cet intérêt.
• Complexité technique et coût : La mise en rotation d'une structure de cette envergure nécessiterait un rayon très important (de l'ordre de 100\text{ m}, comme vu à la question Q21) pour limiter le gradient vertical de pesanteur entre la tête et les pieds ainsi que les effets perturbateurs de la force de Coriolis sur l'oreille interne (cinétose). De plus, une telle rotation poserait des difficultés d'ingénierie majeures : gestion des couples gyroscopiques, pointage permanent des panneaux solaires vers le Soleil et des antennes vers la Terre, et amarrage délicat des vaisseaux de ravitaillement.

1. Propriétés macroscopiques des métaux

• Transport : très bonnes conductivités électrique et thermique ;
• Mécaniques : grande déformabilité plastique, ductilité (aptitude à être étiré en fils) et malléabilité (aptitude à être laminé en feuilles) ;
• Thermodynamiques : températures de fusion et d'ébullition généralement élevées (solides à température ambiante, à l'exception du mercure \mathrm{Hg}) ;
• Optiques : éclat métallique caractéristique et opacité dans le domaine visible dus à une très forte réflectivité.

2. Position dans le tableau périodique
Les métaux représentent la grande majorité des éléments chimiques. Ils se situent à gauche et au centre de la classification périodique :

• la totalité du bloc \mathrm{s} (à l'exception de l'hydrogène et de l'hélium), comprenant les alcalins et les alcalino-terreux ;
• la totalité du bloc \mathrm{d} (métaux de transition) et du bloc \mathrm{f} (lanthanides et actinides) ;
• la partie inférieure gauche du bloc \mathrm{p} (métaux de post-transition : \mathrm{Al}, \mathrm{Ga}, \mathrm{Sn}, \mathrm{Pb}, etc.), délimitée des non-métaux par la diagonale des semi-métaux (métalloïdes comme \mathrm{B}, \mathrm{Si}, \mathrm{Ge}, \mathrm{As}, \mathrm{Sb}, \mathrm{Te}).

3. Lien avec les caractéristiques de la liaison métallique
À l'échelle microscopique, un métal est décrit comme un réseau régulier de cations (les cœurs atomiques) baignant dans un « gaz » ou « mer » d'électrons de valence complètement délocalisés à l'ensemble du cristal.

• Ordre de grandeur énergétique : l'énergie de cohésion de la liaison métallique est typiquement comprise entre 100 et 500\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}. Cette énergie élevée confère au cristal métallique une grande cohésion, ce qui justifie les températures de changement d'état élevées (températures de fusion souvent supérieures à plusieurs centaines de degrés Celsius) ainsi qu'une bonne tenue mécanique globale.
• Non-directionnalité de la liaison : contrairement à la liaison covalente qui impose des angles précis, l'interaction électrostatique entre la mer d'électrons et les cœurs cationiques est isotrope. Lorsqu'une contrainte mécanique est appliquée, les plans atomiques peuvent glisser les uns sur les autres sans rupture catastrophique : la mer d'électrons s'adapte instantanément à la nouvelle position des cations, ce qui explique la remarquable malléabilité et la ductilité des métaux.
• Délocalisation électronique : la liberté de déplacement des électrons libres sous un champ électrique ou un gradient thermique est à l'origine directe des conductivités électrique et thermique élevées.

1. Représentation de la maille CFC

Dans le réseau cubique à faces centrées (CFC), les atomes de nickel occupent :

• les 8 sommets du cube ;
• les centres des 6 faces du cube.

2. Nombre d'atomes par maille

Chaque atome contribue à la maille selon sa multiplicité :

• un atome situé sur un sommet est partagé par 8 mailles cubiques adjacentes, sa contribution est donc de \frac{1}{8} ;
• un atome situé au centre d'une face est partagé par 2 mailles adjacentes, sa contribution est donc de \frac{1}{2}.

Le nombre d'atomes appartenant en propre à une maille, noté N, vaut :

3. Coordinence

La coordinence désigne le nombre de plus proches voisins au contact d'un atome donné dans le réseau cristallin.

Considérons un atome situé au centre d'une face :

• ses plus proches voisins sont situés à la demi-diagonale d'une face, soit à la distance d = \frac{a\sqrt{2}}{2} ;
• dans le plan de sa propre face, il est entouré de 4 sommets ;
• dans sa propre maille, il est à égale distance des 4 centres des faces qui lui sont perpendiculaires ;
• dans la maille adjacente partageant cette même face, il est également à égale distance des 4 centres de faces correspondants.

Le nombre total de plus proches voisins est donc :

Dans le modèle des sphères dures, les atomes modélisés par des sphères indéformables de rayon R_{\mathrm{Ni}} sont au contact le long de la direction joignant les premiers voisins. Pour une maille cubique à faces centrées, cette condition de tangence s'établit le long des diagonales de chaque face carrée.

Considérons une face du cube d'arête a :

• d'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'une face mesure :

  d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}

• le long de cette diagonale, l'atome situé au centre de la face est en contact direct avec les atomes situés aux sommets opposés. La longueur de la diagonale correspond donc à la somme d'un rayon atomique (sommet), d'un diamètre atomique (centre de la face) et d'un rayon atomique (sommet opposé) :

  d = R_{\mathrm{Ni}} + 2R_{\mathrm{Ni}} + R_{\mathrm{Ni}} = 4R_{\mathrm{Ni}}

En égalant les deux expressions de la longueur d, on obtient la condition de tangence :

d'où la relation liant a et R_{\mathrm{Ni}} :

Les deux rayons proviennent de la division d'une même onde incidente issue d'une source unique monochromatique de longueur d'onde \lambda.

• Égalité des pulsations : La réflexion sur les plans réticulaires correspond à un processus de diffusion élastique (diffusion Rayleigh ou Thomson) par les électrons des atomes du réseau, sans échange d'énergie entre le rayonnement et le milieu diffuseur. L'énergie des photons E = \hbar\omega et la fréquence de l'onde sont donc strictement conservées lors de la diffusion. Comme la source est monochromatique de pulsation commune \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, les deux ondes émergentes ont la même pulsation :

  \boxed{\omega_1 = \omega_2 = \omega}
• Cohérence des deux ondes : Deux ondes sont dites cohérentes lorsqu'elles possèdent la même pulsation et que leur déphasage relatif \Delta\varphi(M, t) au point d'observation M est indépendant du temps. Étant issues d'une même onde mère, les éventuelles fluctuations de phase de la source affectent simultanément les deux rayons : elles s'éliminent par différence, pourvu que la différence de marche reste très inférieure à la longueur de cohérence du rayonnement. Le déphasage n'est alors dû qu'au chemin optique géométrique et reste stationnaire.

Considérons deux rayons parallèles incidents sous l'angle de rasance \theta par rapport aux plans cristallins séparés d'une distance a. Le milieu étant l'air ou le vide, l'indice optique vaut n = 1.

Soit A_1 le centre diffuseur sur le premier plan et A_2 le centre diffuseur correspondant sur le second plan, situé sur la normale aux plans passant par A_1 (A_1A_2 = a).

• Le plan d'onde incident passant par A_1 est perpendiculaire aux rayons incidents et coupe le rayon incident 2 au point H_1 ;
• Le plan d'onde émergent passant par A_1 est perpendiculaire aux rayons diffractés et coupe le rayon émergent 2 au point H_2.

Dans les triangles rectangles A_1 H_1 A_2 et A_1 H_2 A_2, l'angle \widehat{A_1 A_2 H_1} = \widehat{A_1 A_2 H_2} = \theta. On en déduit :

La différence de marche \delta = (L_2 - L_1) entre le rayon 2 et le rayon 1 s'écrit donc :

Le retard spatial \delta du rayon 2 se traduit par un déphasage \Delta\varphi(M) = \varphi_2(M) - \varphi_1(M) donné par :

Le principe de superposition donne le signal résultant au point M :

En utilisant la relation trigonométrique \cos p + \cos q = 2 \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right), il vient :

avec \Delta\varphi(M) = \varphi_2(M) - \varphi_1(M).

D'après l'indication de l'énoncé, l'intensité lumineuse s'exprime par le double de la moyenne temporelle du carré du signal instantané :

La moyenne temporelle d'un cosinus au carré sur une période étant égale à \frac{1}{2}, on obtient :

En posant I_0 = s_0^2 (intensité associée à un rayon seul) et en utilisant l'expression du déphasage établie à la question Q29, \Delta\varphi(M) = \frac{4\pi a \sin\theta}{\lambda}, on aboutit à :

D'après l'expression établie à la question Q30, l'intensité s'écrit :

L'intensité est maximale lorsque le cosinus vaut \pm 1, c'est-à-dire pour un déphasage multiple entier de 2\pi (interférences totalement constructives) :

L'angle de rasance \theta étant strictement compris entre 0 et 90^\circ, les entiers p sont strictement positifs (p \in \mathbb{N}^*, appelés ordres d'interférence ou de diffraction). Les directions de diffraction d'intensité maximale sont donc données par :

Pour une longueur d'onde \lambda de rayons X connue, la mesure expérimentale de la position angulaire \theta_p d'un pic de diffraction d'ordre p permet d'accéder directement au paramètre de maille a :

Si plusieurs pics correspondant à des ordres successifs p = 1, 2, \dots sont mesurés, le tracé de \sin\theta_p en fonction de p fournit une droite de pente \frac{\lambda}{2a}, dont la régression linéaire donne la valeur de a avec une précision accrue.

Puisque les rayons émergents interfèrent à l'infini dans une direction repérée par l'angle \theta, l'observation sur un écran placé à distance finie nécessite un montage d'optique de Fraunhofer (interférences à l'infini) :

1. Collimation du faisceau incident : Pour éclairer l'échantillon par une onde plane (rayons parallèles), on place une source ponctuelle monochromatique S au foyer principal objet d'une première lentille mince convergente L_1 de distance focale f'_1 :

   S \equiv F_1

   (Dans le cas d'une source laser, cette lentille n'est pas indispensable car le faisceau est naturellement quasi-parallèle).

2. Échantillon diffractant : L'échantillon (ou réseau diffractant) est placé dans le faisceau parallèle issu de L_1.

3. Observation à l'infini (projection) : On place après l'échantillon une seconde lentille mince convergente L_2 de distance focale image f'_2. L'écran d'observation (E) est placé rigoureusement dans le plan focal image de cette lentille :

   (E) \equiv \mathcal{P}'_{f,2} \quad (\text{soit } O_2E = f'_2)

   D'après les lois de l'optique géométrique, un faisceau de rayons parallèles émergeant de l'échantillon avec l'angle de diffraction \theta converge en un point unique M du plan focal image de L_2, situé à la distance x \approx f'_2 \theta du foyer principal image F'_2.

L'appareil utilisé couramment en travaux pratiques d'optique pour mesurer des angles (notamment des angles de déviation ou de diffraction) s'appelle un goniomètre (souvent appelé spectrogoniomètre lorsqu'il est associé à un prisme ou un réseau).