Fluides visqueux : 404 questions de concours corrigées

Rappeler l'expression de la force de traînée qui s'exerce sur une sphère en translation à vitesse U dans un liquide au repos (ici de l'eau) pour un nombre de Reynolds correspondant à celui de la…

Nous notons η_c la viscosité dynamique de la suspension de particules solides qui constitue le nuage. Indiquer à quelle condition, portant sur ρ_c, η_c, h et u, il devient possible de négliger les…

Nous supposons qu'une particule tombe verticalement à la vitesse v (comptée positivement vers le bas) et que nous pouvons négliger la présence des autres particules (φ ≪ 1). Donner l'expression…

On suppose que la seule autre force volumique f_vol est celle d'origine électrostatique. Préciser son expression en fonction de la densité volumique de charges ρₑ, correspondant à la présence d'ions…

Rappeler la définition du nombre de Reynolds Re en utilisant une longueur caractéristique L et une vitesse caractéristique v.

Donner la définition du nombre de Reynolds, Rₑ, associé à un écoulement de vitesse typique v, de dimension typique L, de masse volumique ρ et de viscosité η. Préciser le rapport de deux termes de…

Donner l'équation de Navier-Stokes simplifiée, correspondant au régime de l'écoulement considéré et vérifiée par le champ de vitesse du fluide v en un point M situé à l'extérieur de la boule.

Rappeler l'expression du nombre de Reynolds R d'un écoulement, puis calculer celui-ci pour l'eau à l'intérieur du canon à eau. Que peut-on en conclure ?

Proposer, par exemple par analyse dimensionnelle, une expression F_v = |F_v| de cette force due au vent.

En déduire l'expression de dp_st/dz puis une forme simplifiée de l'équation de Navier–Stokes.

Rappeler la définition du nombre de Reynolds Re ainsi que sa signification physique, puis le calculer numériquement pour l'écoulement étudié.

Exprimer la condition aux limites imposée sur la vitesse de l'eau en l'assimilant à un fluide newtonien.

Définir le nombre de Reynolds pour l'écoulement dans ce type de canaux. À partir d'une évaluation numérique du nombre de Reynolds, en déduire la nature de l'écoulement.

Rappeler l'expression et la signification physique du nombre de Reynolds Rₑ d'un écoulement.

Rappeler l'expression du nombre de Reynolds, noté Rₑ, de l'écoulement de l'air autour du cycliste et rappeler ce qu'il caractérise. Donner un ordre de grandeur de Rₑ pour un cycliste roulant à 40…

Par une analyse dimensionnelle, retrouver cette unité.

On considère un écoulement visqueux unidirectionel selon (Ox) faisant état d'un gradient de vitesse suivant (Oz). Rappeler, pour un fluide newtonien, de viscosité dynamique η, l'expression de la…

Déterminer la dimension de la viscosité η en utilisant les unités de base du système international.

Préciser le sens physique associé aux trois termes au second membre de l'équation de Navier-Stokes.

Justifier le fait que v(r = R) = 0.

Rappeler le sens physique de chacun des termes de l'équation de Navier-Stokes réduite de l'énoncé.

Calculer le nombre de Reynolds Re pour un écoulement d'eau dans un canal d'une hauteur de 10 à une vitesse typique de 1 mm⁻¹. Comment se simplifie dans ces conditions l'équation de Navier-Stokes ?

Définir le nombre de Reynolds et en donner une interprétation. On introduira une vitesse typique v et une longueur typique L. Estimer son ordre de grandeur et en déduire le régime d'écoulement pour…

En supposant que l'expression statique de la poussée d'Archimède reste applicable dans ces conditions, établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse V de la sphère.

Citer un autre nombre sans dimension utilisé en dynamique des fluides, en rappelant son nom, sa définition, ainsi que les effets qu'il compare.

Indiquez deux nombres sans dimension dont dépend f. Donner le nom d'une représentation graphique de f en fonction de deux nombres sans dimension. Par un bilan d'énergie mécanique, exprimer la…

Interpréter chacun des termes présents dans l'équation de Navier-Stokes, rappelée en annexe à la fin de l'énoncé. On précisera les différentes forces volumiques f_vol à considérer dans le…

Rappeler la définition du nombre de Reynolds. L'évaluer numériquement et en déduire une simplification dans l'équation de Navier-Stokes.

Préciser la condition à la limite en z = 0. Justifier que la condition en z = h(r, t) est ((∂ v_r)/(∂ z))_z=h = 0.

À l'aide de l'équation (1), retrouver l'expression du nombre de Reynolds noté Rₑ. On pourra utiliser une vitesse caractéristique U et une longueur caractéristique L. Quelle est la signification de…

Identifier une condition aux limites adaptée et en déduire le champ de vitesse dans le pore.

En déduire le débit volumique D₁ pour un pore puis faire l'application numérique.

Établir l'expression, dans le cadre de cette approximation, de la vitesse limite de sédimentation v_s d'une particule solide dans le nuage, soumise à l'accélération de la pesanteur g. On exprimera…

On suppose que l'on peut négliger les variations du champ de vitesse dans toutes les directions sauf selon la distance aux parois, et que l'écoulement est parallèle aux parois, de sorte que…

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par le champ de vitesse du fluide u(z).

Déterminer dans ces conditions l'expression du champ de vitesse u_ng(z) en fonction de G, h, et η. Déterminer le débit volumique Q_ng en fonction de G, h, w et η.

Montrer que le champ de vitesse vérifie l'équation : dv/dr = -(P₁ - P₂)/(2η L)r. En déduire l'expression littérale du champ de vitesse v(M) dans le fluide.

Montrer que le débit volumique du fluide D_v vérifie : D_v = (π R⁴)/(8η L)(P₁ - P₂). En déduire l'expression littérale de la vitesse moyenne vₘ de l'écoulement en fonction de P₁, P₂, η, L et R.

Vérifier que pour t 0, l'équation de Navier-Stokes générale (12) se réduit à une équation beaucoup plus simple dont on indiquera le nom.

Rappeler la définition et l'interprétation du nombre de REYNOLDS. Par un calcul d'ordre de grandeur, préciser et justifier le choix de la force de frottement.

Exprimer le débit volumique D_v à travers une section du capillaire en fonction des données de l'énoncé.

Exprimer complètement v(r,z) en fonction de R, η et dP/dz.

Exprimer les temps caractéristiques τ_diff et τ_conv de diffusion et de convection de quantité de mouvement. Montrer que le nombre de Reynolds peut être interprété comme un rapport de ces deux…

Exprimer puis calculer la puissance électrique consommée par le ventilateur en considérant que le rendement électromécanique du ventilateur vaut 60 %. Commenter ce résultat.

Comment tient-on compte des pertes de charges précédentes Δ H_pc dans la relation précédente, l'eau étant considérée comme un fluide newtonien ?

Compte tenu des résultats précédents, la relation de Stokes (équation (1)) semble-t-elle avoir été utilisée dans le bon cadre d'approximation ?

Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction du temps ω₀ (on introduira les grandeurs caractéristiques nécessaires). Exprimer le temps caractéristique τ qui y apparaît.

Pourquoi peut-on affirmer qu'en fait on a simplement v = v(r) ? Montrer que le champ de vitesse v satisfait l'équation différentielle suivante : η/rd/dr(rdv/dr) - (∂ P)/(∂ z) = 0. (3) Montrer que le…

Établir l'expression du champ de vitesse au point M de coordonnées (r, θ, z) dans le vaisseau sanguin. Puis calculer v, la vitesse moyenne du fluide dans le vaisseau sanguin.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la contrainte σ_KV et la déformation ε_KV du matériau visco-élastique. On fera apparaître un temps de relaxation τ = η/E.

Donner l'expression du nombre de Reynolds en fonction de la masse volumique ρ, de la viscosité η, de la dimension caractéristique L et de la vitesse v de l'écoulement. Montrer par une analyse en…

Pour le débit des lances étudiées, l'écoulement dans les tuyaux est-il laminaire ou turbulent ?

Effectuer le bilan des forces horizontales appliquées au système Σ. Exprimer ces forces en fonction des données.

Déterminer la loi v(r) en tenant compte des conditions aux limites.

Par un calcul intégral, en déduire l'expression du débit volumique D_v. Le mettre sous la forme P₁ - P₂ = R_H D_v en exprimant R_H en fonction de R, η et ℓ.

Exprimer le débit volumique D_v à travers une section droite comprise entre les deux plans et de largeur ℓ selon u_y.

Supposons que l'écoulement est à bas nombre de Reynolds. En raisonnant sur des grandeurs caractéristiques, montrer que le terme d'accélération convective ·gradv est alors négligeable devant le terme…

Considérons en outre que la seule force extérieure appliquée au fluide est la pesanteur, que l'écoulement est stationnaire et que le fluide est incompressible. On définit la coordonnée z' selon le…

Montrer que la vitesse de l'eau peut s'exprimer sous la forme : v(r) = K (a² - r²) avec K une constante que l'on exprimera en fonction des données de l'énoncé.

À partir d'un bilan de quantité de mouvement sur un domaine cylindrique de fluide [0, r] × [0, ℓ] (r [0, R]), établir l'expression de la vitesse v du fluide en fonction du rayon r. On donnera toutes…

Établir l'expression du débit de volume Q_v en fonction de R, Δ P = P₁ - P₂, η et ℓ.

Justifier que v(r,x) est indépendant de x. Établir une équation différentielle en v(r). En déduire que le profil des vitesses dans la conduite est de la forme v(r) = A [1 - (r/R)q] où q est un…

Préciser, sur la base d'une argumentation, l'expression du nombre de REYNOLDS Re qu'il convient d'associer à l'écoulement de l'eau autour du flotteur en mouvement. En donner une estimation (nous…

Application numérique : Calculer τ. Quelle est l'épaisseur du film au bout de T = 30 secondes ?

Exprimer vₓ(r, x = 0, t) et vₓ(r, x = ℓ, t).

Justifier que l'équation précédente permet de trouver un profil parabolique pour le champ de vitesse selon la coordonnée x : v_r(r, x, t) = a(r, t) x² + b(r, t) x + c(r, t) où a, b et c sont trois…

Au vu de la valeur du nombre de Reynolds obtenue à la question précédente, comment peut-on qualifier le régime d'écoulement ?

Expliciter la densité linéique de pores nₜ (en m⁻¹) permettant d'obtenir le débit linéique spécifié D_lin. Faire l'application numérique pour nₜ.

Si le fluide n'est plus considéré comme parfait, quelles pertes de charge ce dispositif peut-il entraîner ?

On suppose que le fluide adhère aux parois du canal. Que peut-on en déduire sur la vitesse de l'écoulement proche du mur ? On suppose également que loin des parois, la vitesse de l'écoulement est…

Pour des nombres de Reynolds supérieur à 1000, comment la force de traînée subie par une boule solide est-elle reliée à la vitesse de l'écoulement ? Pour évaluer la force de traînée, F = F_z e_z…

Montrer que ce champ de vitesse vérifie bien la condition de non-glissement à la surface de la boule. Montrer qu'il vérifie également la condition aux limites loin de la boule.

Déduire des deux résultats précédents la force de traînée exercée par le fluide sur la boule.

Montrer que la quantité D_VΔ P_pertes est homogène à une puissance.

Calculer la puissance électrique P_elec nécessaire au moteur de la pompe.

À quelle condition sur le nombre de Reynolds l'hypothèse d'un écoulement laminaire est-elle vérifiée ?

Donner l'expression des forces de pression s'exerçant en amont et en aval du système.

On considère que les vaisseaux capillaires sont assimilables à des cylindres de longueur L = 1,0 cm et de rayon R = 5,0 . On supposera par ailleurs que la perte de charge le long d'un capillaire est…

En considérant une rugosité relative ε/d = 5 × 10⁻⁴, estimer le coefficient ξ à l'aide du diagramme de Moody.

Donner une expression de f(r, t) faisant apparaître k(t) et n(r, t).

Écrire numériquement l'inégalité que doit alors vérifier la fréquence f = ω/(2π), dans le cas de l'air (ν_air ∼ 10⁻⁵ m²⁻¹) puis celui de l'eau (ν_eau ∼ 10⁻⁶ m²⁻¹). Commenter ces résultats.

Préciser la signification éventuelle et l'unité de mesure usuelle (ou la dimension) du terme f_autres. Dans toute la suite, on considérera que ce terme est nul.

En déduire l'expression de la vitesse moyenne à travers une section du capillaire.

Exprimer le temps moyen Δ t_moy mis par une gouttelette d'eau pour rejoindre la nappe phréatique en fonction des données de l'énoncé, puis calculer sa valeur numérique.

À l'aide de la modélisation précédente, proposer une explication à cette différence de minéralisation entre l'eau de pluie et l'eau de source.

Calculer numériquement l'écart de pression Δ P de part et d'autre du capillaire en précisant en quel point la pression est la plus élevée.

Déterminer un ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche limite.

La pression de l'eau arrivant dans le générateur de vapeur doit être égale à 70 bar. Les valeurs calculées précédemment ont été en fait sous-estimées. Quel phénomène négligé ici permet de…

Rappeler la nature du phénomène auquel η est liée.

De quoi s'agit-il pour chacune de ces pertes ?

Quelle est la dimension du coefficient λ utilisé dans l'équation de Darcy-Weisbach ?

Sachant que la viscosité η s'exprime en Pa déterminer la dimension de Rₑ.

Rappeler la signification physique du nombre de Reynolds, Rₑ et déterminer son ordre de grandeur pour l'écoulement d'air au niveau d'un fil de soie. On justifiera la taille caractéristique qu'il…

Expliquer à partir de votre schéma pourquoi l'anémomètre va se mettre en mouvement, et représenter le sens de rotation sur le schéma.

Faire l'application numérique avec ρ₀ = ρ_air, T₀ = 300 K, T_f = 500 K. La convection naturelle induit-elle une perturbation notable sur l'anémomètre à fil chaud ?

Calculer numériquement τ_p. On trouve un temps de vidange expérimental τ_exp = 1,5s. Qu'en pensez-vous ?

Calculer numériquement τ_v et comparer à la valeur expérimentale de la question Q21. Comment pourrait-on encore affiner la modélisation ?

En régime stationnaire, on admet que le débit ne dépend plus de θ : Q(θ) = Q. En déduire un lien entre l'épaisseur h et l'angle θ sous la forme F(h) = 0, avec : F(h) = (ρ g)/3η h³cos θ - Ω ah + Q.

Exprimer le nombre de Reynolds de l'écoulement en fonction de grandeurs définies ci-dessus. À quelle condition l'écoulement peut-il être considéré comme laminaire ? On supposera cette hypothèse…

Justifier ainsi que le terme ηΔ(v) de l'équation de Navier-Stokes soit qualifié de terme diffusif.

Exprimer la pulsation limite ω_lim au-delà de laquelle cette condition n'est plus vérifiée.

Quelle est la dimension du facteur f ?

D'après le tableau 2, le facteur f de la relation de Darcy dépend-il de la longueur du tuyau pour un débit de 500 L⁻¹ ?

Quelle est la signification physique de la grandeur R_H ? Écrire et nommer une loi physique où intervient une grandeur analogue.

Comment nomme-t-on ce type de diminution de la pression dans la conduite ? Quelles peuvent-être les autres causes de chute de la pression dans la conduite ? Comment les nomme-t-on alors ?

Calculer dP/dz. Données : vₘ = 2 m⁻¹, R = 0,5 m.

Exprimer K en fonction de L et de la perte de charge Δ P = P(0)-P(L) imposée entre l'entrée (x=0) et la sortie (x=L) du canal.

En considérant que L_g/h = 0,5, calculer le rapport R_h/R_h,ng où R_h,ng désigne la résistance hydraulique en l'absence de glissement (L_g=0). Conclure.

Rappeler les conditions d'application de la formule de Stokes.

Pour cette question uniquement, on considère la chute d'une bille de silice de rayon r₀ = 1 et de masse volumique ρ₀ = 2,6 g⁻³ chutant dans de l'eau. Déterminer la vitesse stationnaire de chute…

Notons V_ la vitesse de sédimentation d'un cylindre vertical (c'est-à-dire dont l'axe u est parallèle à Fₑₓₜ) et V_ celle d'un cylindre horizontal (c'est-à-dire dont l'axe u est perpendiculaire à…

Recopier sommairement le schéma de la figure 1 en y faisant figurer la résultante aérodynamique R ainsi que ses composantes suivant les axes (Ox) et (Oy), notées Rₓ et R_y.

Justifier que cette force de portance est nulle pour un angle d'incidence nul.

Pour l'aile considérée, estimer la valeur numérique de l'incidence permettant de voler à v_min.

Estimer la valeur numérique de v_min pour l'aile considérée.

En utilisant la figure 6, évaluer numériquement la finesse maximale de l'aile considérée.

Vérifier que le coefficient de portance C_z est adimensionné.

Le coefficient de portance C_z est-il plus important pour une incidence de 2° ou 6° ? Justifier.

Le pilote peut faire varier la surface des ailes en actionnant des surfaces mobiles, les volets. En phase de décollage, indiquer et justifier la configuration que le pilote va choisir : volets…

Pourquoi est-il intéressant de voler à haute altitude ?

Quand on va du point pour lequel la traînée est minimale vers le point pour lequel la portance est maximale, comment évolue l'angle d'incidence ?

Représenter sur un schéma le profil de vitesse dans une section des tubes rectilignes.

Dans ce problème, donner l'analogue de la pesanteur pour l'effet Janssen dans une colonne de grains.

Déterminer numériquement les valeurs de h, v et v_s avec et sans le rétrécissement. On présentera ses résultats en les rassemblant dans un tableau. Expliquer simplement en une phrase la raison pour…

Montrer par une analyse en ordre de grandeur et une application numérique que le terme centrifuge est prépondérant par rapport au terme de Coriolis.

Justifier alors que la vitesse ne possède pas de composante orthoradiale : v_θ = 0 et que la norme de la vitesse ne dépend pas de θ.

En déduire l'équation différentielle suivante vérifiée par v_r : (∂² v_r)/(∂ z²) = - (µ ω² r)/η

Exprimer le champ de vitesse v_r.

En déduire le débit volumique Q(r, t) sortant d'un cylindre de rayon r et de hauteur h(r, t) : Q(r, t) = (2π µ ω² r²)/3η h(r, t)³

Déterminer le rayon de la goutte r(t).

En complément des ailettes, des systèmes de ventilation peuvent être utilisés. Quel type d'écoulement d'air faut-il privilégier pour maximiser les échanges thermiques ? Justifier.

Estimer un ordre de grandeur (sous forme d'une puissance de 10) du nombre de Reynolds pour l'écoulement radial de l'air entre les armatures, en prenant ℓ₀ pour échelle spatiale caractéristique. Quel…

Donner la définition de la vitesse moyenne u(r, t) à partir de v_r(r, x, t). En faisant l'hypothèse de non glissement de l'air sur les parois, montrer que : v_r(r, x, t) = (6 u(r, t))/ℓ₀ x (1 - x/ℓ₀).

On suppose que la pression à l'extérieur des armatures du condensateur est uniforme et égale à P₀. Montrer que : P(r, t) = P₀ - (3ηₐ ℓ(t))/ℓ₀³ (R² - r²).

Les armatures du condensateur ont été percées, comme cela peut être observé sur la photographie de la figure 10. Pour quelle raison ?

Déterminer l'expression de l'impédance hydrodynamique en utilisant le modèle de la force de Reynolds. Identifier Z' et Z''.

Dans quel domaine le modèle de la force de Reynolds est-il validé sur le système glycérol/Pyrex ? Dans le domaine où il est mis en défaut, proposer une interprétation physique de l'écart constaté.

Après avoir rappelé l'expression du nombre de Reynolds Re, évaluer le nombre de Reynolds caractérisant l'écoulement de l'eau à travers un pore. On choisira une valeur raisonnable pour la vitesse…

Ecrire alors le théorème de la résultante cinétique pour le système (K). On listera à cette fin les forces qui s'exercent sur le système sans chercher à les expliciter.

Interpréter les termes intervenant dans son expression et justifier le choix du signe positif ou négatif.

Déterminer le nombre de Reynolds associé à cet écoulement dans la conduite. Faire l'application numérique et qualifier l'écoulement. Si on souhaitait tenir compte des pertes de charge (ce que nous…

La dépendance du coefficient de traînée Cₓ vis-à-vis du nombre de Reynolds particulaire Re_p, pour un objet sphérique, est représentée sur la figure (2). Justifier, en précisant la méthode choisie…

Calculer la valeur de v_s, pour d = 300 . En déduire celle du nombre de Reynolds particulaire puis celle de Cₓ (issue de la relation (5)), qui lui correspondent. Commenter ces résultats vis-à-vis de…

À l'aide du graphe représenté sur la figure (2), déterminer la nouvelle valeur de Cₓ (correspondant à la valeur de Re_p précédemment déterminée). La vitesse de sédimentation correspondante est-elle…

Projeter l'équation de Navier-Stokes selon e_z et la simplifier pour qu'elle ne dépende plus que de P, φ, ρₑ ou de leurs dérivées en fonction de z.

En déduire le sens de l'écoulement : va-t-il du plus concentré au moins concentré, ou le contraire ?

Sur une membrane, on considère que les canaux sont étroitement serrés les uns aux autres (Fig. 4 droite). Exprimer alors le courant surfacique délivré par une telle membrane en fonction de I_DO et…

En se plaçant dans le plan P=(O, eₓ, e_z), représenter qualitativement quelques lignes de courant du fluide autour de la boule pour les deux situations, Rₑ très grand (préciser) et Rₑ assez faible…

Déterminer l'expression du coefficient de traînée C_z en fonction du nombre de Reynolds Rₑ.

Montrer que rotv = -α (v₀ a sin θ)/r² e_φ expression dans laquelle on précisera la valeur de la constante positive α Q.

Déterminer, en fonction de u_i et σ, la vitesse moyenne u_r après collision avec la paroi. En déduire la vitesse de glissement u_g des molécules de cette couche pendant la durée τ.

Exprimer, en fonction de u_g, ℓ et .(∂ u)/(∂ z)|_z=0, la vitesse u_i = u(ℓ) comme un développement de Taylor au premier ordre de u(z) au voisinage de la paroi. En utilisant la condition aux limites…

Rappeler le lien entre n, ℓ et le diamètre d des molécules du gaz. En déduire que dans le cadre de ce modèle, la viscosité est indépendante de la pression du gaz. Commenter ce résultat. Donner la…

Des mesures de la viscosité de l'air, à différentes températures (élevées), ont donné la figure 5 ci-dessous. La dépendance en température du modèle précédent vous paraît-elle conforme à…

Proposer un ordre de grandeur pour v₀, en kilomètre par heure. Expliciter ensuite div () et (v·grad)v avec v = v₀ + v et ρ = ρ₀ + ρ en vous limitant aux termes du premier ordre en ρ et v.

Vérifier que cette puissance utile P_u vaut 4,4 kW.

Calculer la hauteur manométrique totale HMT, exprimée en mCE (mètre de Colonne d’Eau).

Proposer un choix de diamètre pour le remplacement de la pompe.

Préciser, avec justification, si la pompe fonctionnera à son régime optimal.

Montrer que la vitesse ne dépend que de la variable r. Que vaut la vitesse du fluide en contact avec la paroi ?

La force par unité de surface s'exerçant sur l'élément de fluide considéré a pour expression : /druₓ. Donner l'expression des forces de viscosité exercées sur cet élément de fluide.

En tenant compte des pertes de charge, déterminer littéralement la puissance électrique P'ₑ que doit fournir le panneau solaire à la pompe en fonction de Pₑ, D_v, Δ P_c et de r. Faire l'application…

On pose G(t) = Σ_i=1N |r_i(t)|² où N est le nombre total d'atomes et r_i(t) est le vecteur position de l'atome i à l'instant t. On pose G₀ = G(t = 0). Exprimer G(t) en fonction de t, G₀, ω₀ et ω₁.

On considère une bulle de taille caractéristique R ≃ 1 mm remontant à une vitesse de l'ordre de quelques dizaines de centimètres à un mètre par seconde, estimer le nombre de Reynolds correspondant…

En admettant que les frottements restent un terme correctif modeste pendant la chute, déduire de vₘ une estimation du nombre de Reynolds R qui caractérise l'écoulement de l'air autour de la bille…

Le coefficient de traînée Cₓ pour une sphère lisse dépend du nombre de Reynolds comme le montre la figure 1. Estimer les ordres de grandeur de Cₓ puis de τ.

Les frottements aérodynamiques permettent-ils de rendre compte d'un temps de chute est Δ t_h de l'ordre de 4 secondes pour un tube de 20 cm de haut ? Conclure.

En exploitant la figure 12, décrire précisément les caractéristiques du magma (taille des bulles, vitesse de remontée du magma, abondance de gaz) pour les deux types d'éruptions (stromboliens et…

Calculer Re, le nombre de Reynolds associé à l'écoulement de l'eau dans les canalisations. En déduire la nature du régime d'écoulement.

En expliquant la démarche, déduire à l'aide du diagramme de Moody (figure 7), le coefficient de pertes de charge régulières λ. On rappelle que la rugosité relative est définie par ε = k/D.

Calculer les pertes de charge régulières dans le tuyau d'aspiration Δ P_reg,a et dans le tuyau de refoulement Δ P_reg,r.

Déterminer les expressions puis les valeurs des pertes de charge singulières dans le tuyau d'aspiration Δ P_sing,a et dans le tuyau de refoulement Δ P_sing,r.

Déterminer l'expression de la différence de pression Δ Pₐ entre les points O et B.

Déterminer l'expression de la différence de pression Δ P_r entre les points C et E.

Par analyse dimensionnelle, établir les valeurs numériques de a et de b.

En admettant que la puissance P_pompe fournie par la pompe est égale à la puissance des forces de pressions, exprimer P_pompe en fonction de la rehausse de pression totale qu'elle procure Pₑ + Δ P_c…

Calculer numériquement la vitesse débitante (vitesse moyenne) vₘ dans le canal, en m⁻¹. Rappeler la définition du nombre de Reynolds Re, puis estimer sa valeur pour l'écoulement étudié. Qualifier la…

Calculer numériquement le nombre de Reynolds de l'air qui s'écoule autour de la gouttelette au cours de sa chute, puis conclure sur la validité de cette hypothèse.

Exprimer le temps minimal Δ t_min mis par une gouttelette d'eau pour rejoindre la nappe phréatique depuis le niveau du sol en fonction des données de l'énoncé, puis calculer sa valeur numérique.

On préconise pour cette installation une puissance de 15 W. Comment expliquer la différence avec le résultat de la question précédente ?

En définissant les grandeurs hydrodynamiques analogues aux grandeurs électriques, exprimer la résistance hydraulique R_h associée à l'écoulement de Poiseuille précédent.

Établir la relation entre la vitesse moyenne v_s sur une section de la canalisation et la vitesse maximale v_s,max , dans la conduite cylindrique.

Estimer la longueur moyenne d'un vaisseau capillaire typique.

Estimer le débit massique moyen Dₘ du sang dans un capillaire typique, puis le nombre de Reynolds Rₑ associé. Conclure.

En déduire l'existence d'un gradient de pression dP/dz constant dont on précisera l'expression en fonction, notamment, du terme de viscosité η (∂ v)/(∂ r).

En déduire la résistance linéique d'écoulement R_u, définie par la relation |dP/dz| = R_u Dₘ.

Exprimer la puissance des forces de pression exercées sur le fluide traversant le capillaire en fonction de Δ P, Dₘ et ρ puis en fonction de R_u, ρ, Dₘ et ℓ.

En supposant un mouvement uniforme de la planche à voile à la vitesse v_p, exprimer la norme de cette vitesse en fonction de v_v et de la quantité σ = (ρₑ C_p S_p)/(ρₐ C_v S). Est-il possible pour…

En supposant un mouvement uniforme de la planche à voile à la vitesse v_p, exprimer la norme de cette vitesse en fonction de v_v et de la quantité σ = (ρₑ C_p S_p)/(ρₐ C_v S). Est-il possible pour…

On suppose que la vitesse de la planche à voile est constante en module et direction, en présence de la force propulsive F_pro. Que peut-on dire sur l'intensité de la force F_res qui s'oppose au…

On se place dans les mêmes conditions que la question précédente (vitesse constante, force propulsive donnée). Expliquer pourquoi un tel déplacement uniforme n'est possible que si βₑ ≠ 0.

Pour une direction de navigation fixe β₀, comment choisir la valeur de σ₁ pour obtenir la vitesse maximale ?

En première approximation, on peut modéliser le dos du cycliste par un demi-cylindre (figure 15). En s'appuyant sur les résultats des questions 33 et 40, justifier que la couche limite peut décoller…

Montrer que δ*(x') = ∫₀δ⁽x'⁾ (1 - v/vₑ) dy'."

On note Dₘ(x') le débit massique à travers la section droite en x' de la couche limite et de largeur Lₜ. Déterminer l'expression de Dₘ(x') en fonction de la masse volumique ρ, de la norme de la…

En utilisant les données relatives à la résolution de l'équation de Von Karman, estimer la position relative x'/L du point de décollement de la couche limite.

Expliquer en quoi ce casque permet de réduire la dissipation d'énergie.

Les différents accumulateurs sont placés côté à côte selon un agencement 6 × 6 × 4 (figures 8 et 9). Exprimer puis calculer d_écoulement, la distance caractéristique de l'écoulement entre les…

Estimer le nombre de Reynolds pour l'écoulement entre les accumulateurs. Conclure sur le régime de l'écoulement.

Les manomètres mesurent une chute de pression Δ P = 10 mbar de part et d'autre des accumulateurs. Expliquer l'origine de cette variation de pression.

Existe-t-il des situations pour lesquelles la grandeur C n'est pas conservée ? Justifier votre réponse en utilisant le schéma de puisage ci-dessus.

Discuter les hypothèses du modèle utilisé, en particulier l'uniformité de l'accélération de la pesanteur, ainsi que la forme quadratique de la force de frottement.

Représenter clairement l'allure de la pression P en fonction des abscisses x des points E, A, C, B et S. Représenter de manière qualitative sur le même graphique l'allure de P en tenant compte cette…

Que représente la grandeur ℓ dans cette expression pour le problème traité ? Donner l'ordre de grandeur du nombre de Reynolds associé à l'écoulement du fluide dans la conduite forcée après…

Détailler les différentes hypothèses regroupées sous l'hypothèse H_v.

Donner, sous forme d'une intégrale, l'expression de l'énergie cinétique E_c(t) du liquide à un instant t quelconque.

Donner, sous forme d'une intégrale, l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle E_p(t) du liquide à un instant t quelconque. On prendra la référence de l'énergie potentielle à l'altitude…

Associer, à l'équation aux dérivées partielles (10), les conditions initiale et limite devant être vérifiées par le champ de vitesse v(r, t).

Sans en donner l'expression exacte, de quels paramètres physiques dépend l'expression de la force s'exerçant sur un fil de soie aligné dans un écoulement d'air ? Dans le régime considéré l'intensité…

On suppose que v(a) = 0 et .dv/dr|_r=R₀ = 0. Montrer que le profil de vitesse dans le film d'eau s'écrit sous la forme v(r) = -α(R₀/a)²ln (r/a) + 1/2[1-(r/a)²], où l'on exprimera α en fonction de β…

Montrer que le débit volumique s'écrit Q = (2π a h₀³β)/3ηξ(x) avec x = h₀/a et ξ(x) = 3/16x³[1 + 3(1+x)⁴ - 4(1+x)⁴ln (1+x) - 4(1+x)²]. (4) On pourra s'aider de la primitive fournie dans le…

Les relevés météorologiques du jour où la photo de la figure 2 à été prise indiquent un vent moyen de 40 km⁻¹. Proposer une estimation du nombre de Reynolds dans un tube de courant, en dehors de la…

Commenter la courbe de la figure 7. Dans quel type de vaisseaux le sang peut-il être considéré comme newtonien ?

Le fluide étant visqueux, quelles sont les conditions aux limites sur les deux cylindres pour v ?

En déduire les expressions de A et B en fonction de R₁, R₂, ω₁ et ω₂.

Calculer le moment dΓ par rapport à l'axe de rotation (Oz) de cette force dF.

Quel moment doit-on appliquer sur le cylindre intérieur afin d'avoir ω₁ = 0 ?

Justifier le choix d'une force aérodynamique proportionnelle à U² dans cette situation.

On représente sur la figure 2 un anémomètre composé de 4 coupelles coniques décalées de 90° les unes par rapport aux autres et soumises à un vent de vitesse U. Reproduire ce schéma sur votre copie…

Proposer une interprétation qualitative au fait que le couple aérodynamique Γ diminue avec la fréquence de rotation de l'anémomètre, comme constaté dans le document 3.

On suppose que la force de flottaison et les forces de viscosité sont du même ordre de grandeur. En déduire que : u ≈ (ρ₀ (T_f - T₀) g d²)/(T_f η_air)

Évaluer l'ordre de grandeur de vₘ en utilisant le temps τ_exp donné à la question Q21. Rappeler la définition du nombre de Reynolds Re en fonction de ρ, vₘ, η et de d, puis estimer sa valeur pour…

Déterminer la loi d'évolution h_v(t). En déduire la durée totale de vidange du réservoir τ_v.

Vérifier que v(r,θ) satisfait à la condition aux limites imposée en r = a. Reproduire le schéma de la figure 8 en y traçant le champ des vitesses en θ = 0, π/2, π et 3π/2.

Justifier que le débit volumique par unité de longueur de cylindre s'écrit : Q(θ) = ∫ₐa⁺h v(r,θ) dr puis calculer cette intégrale en fonction de h, θ, g, η, ρ, a et de Ω.

Ces vaisseaux sanguins sont cylindriques de diamètre D = 2R. On notera ρ la masse volumique du sang, ρ = 1200 kg.m⁻³ et η = 3.10⁻³ Pa.s sa viscosité. Définir et calculer le nombre de Reynolds dans…

De manière générale, pour un écoulement dans une conduite, on définit le facteur de friction de Darcy-Weisbach, ξ = 2D/(ρ v²L)Δ P. Montrer que pour un écoulement laminaire, ce facteur de friction a…

Donner l'expression de Re pour l'écoulement dans le cytoplasme cellulaire en fonction de la dimension caractéristique de l'extension de l'écoulement L, de la viscosité cinématique ν_c et de la…

Dans le cadre d'une expérience de fluage, on soumet le fluide newtonien à un échelon de contrainte (σ(t) = σ₀ pour tout temps t > 0). Déterminer l'expression de ε(t), en supposant la déformation du…

Déterminer l'expression de G pour un solide de Hooke d'une part, puis pour un fluide newtonien d'autre part. En déduire G', G'', G₀ et le déphasage φ pour un solide de Hooke puis pour un fluide…

Établir l'expression de la déformation ε_KV et de la contrainte σ_KV en fonction des paramètres du ressort et de l'amortisseur.

Dans le cas d'une déformation et d'une contrainte harmoniques, établir l'équation algébrique, associée à l'équation différentielle de la question 44, à l'aide des notations complexes introduites au…

Justifier l'expression de cette force par le calcul d'un nombre adimensionné.

Montrer que le terme (v · grad)v est nul pour ce problème.

En déduire alors que la pression dans le fluide est constante et que le champ de vitesse satisfait à l'équation différentielle (∂ v)/(∂ t) = ν_c (∂² v)/(∂ z²) où ν_c = η/ρ est la viscosité…

On cherche une solution pour le champ de vitesse sous la forme v = f(z)eiω teₓ. Donner la forme générale de f(z), en introduisant la quantité δ = √(2ν_c/ω).

En étudiant le comportement aux limites du fluide, donner l'expression du champ de vitesse réel dans le fluide et commenter.

Déterminer le champ de vecteurs vorticité Ω = rotv. Que peut-on dire de Ω en dehors de la couche limite d'épaisseur de l'ordre de grandeur de δ au-dessus de la plaque ? On admettra pour la suite la…

Justifier, en vous appuyant sur la figure 7, que l'expérience modélisant l'action de l'onde sonore basse fréquence sur la lame de savon correspond à une situation pour laquelle δ ≫ d.

Donner une estimation de la vitesse permettant de s'assurer que l'écoulement est à bas Rₑ (pour lequel Rₑ ≪ 1). Cette condition est supposée vérifiée dans le cadre de l'expérience décrite ici.

Justifier alors que l'équation de Navier-Stokes s'écrit sous la forme ρ (∂ v)/(∂ t) ≈ -grad P + ηΔ(v).

Montrer que le nombre de Strouhal peut être interprété comme le rapport de deux temps caractéristiques τ₁ et τ₂ dont le sens physique sera explicité.

Justifier que, dans le cas des pales de l'éolienne et pour la valeur de λ₀ considérée, en peut écrire en première approximation que C_L(α) ≈ kα et C_D ≪ C_L. Estimer k.

Montrer que la pression P(z) dans l'oléoduc vérifie la relation dP/dz = -8η/R² vₘ.

Dans le cadre de ce modèle, calculer en bar la diminution de pression qui existerait entre le point de départ et le point d'arrivée dans l'oléoduc si on ne compensait pas cette diminution par des…

Calculer la puissance indiquée minimale de la pompe. Commenter.

Justifier que la forme supposée du champ des vitesses (écoulement parallèle) conduit à la même simplification et ce, indépendamment de la valeur du nombre de Reynolds.

Montrer finalement que l'équation de Navier-Stokes se réduit ici à : -(∂ P)/(∂ x) + η(∂² vₓ)/(∂ z²) = 0.

En déduire que Δ P = R_h D_v. Donner l'expression de R_h en fonction de η, L_g et des dimensions du canal. Justifier par une analogie électrique le nom de « résistance hydraulique » qu'on lui donne.

La masse volumique d'une bactérie est proche de celle de l'eau, de l'ordre de ρ₀ = 1,01 g⁻³. On considère que l'on peut négliger les effets de la pesanteur lors d'une expérience si la bactérie a…

Justifier que dans la base propre du cylindre associée au repère (GXYZ), la matrice [λ] n'a que deux coefficients différents, λ_ selon l'axe (GZ) du cylindre et λ_ selon les deux axes orthogonaux…

Déterminer la dimension des coefficients de [λ]. Par analyse dimensionnelle, établir la dépendance de ces coefficients par rapport à ℓ et η à un coefficient sans dimension près. On admettra que dans…

En supposant que le fluide reste immobile lors de la rotation de l'hélice (de façon imagée, l'hélice « se visse » dans le fluide sans le mettre en mouvement), la vitesse de translation de la…

La vitesse atteinte par la bactérie résulte de l'équilibre entre la force de propulsion F_v, (due à la rotation à la vitesse angulaire Ω) et la force de traînée F_v, (due à la translation à la…

Donner l'expression de la force de traînée F_T qui paraît alors la mieux adaptée à décrire l'action mécanique du fluide sur le flotteur en mouvement (toujours transversalement à son axe) à la…

Estimer numériquement le rapport K_TR. Conclure sur la participation de l'effet de traînée à l'amortissement des oscillations du flotteur.

La situation illustrée par la figure (7) correspondrait à une expérience réalisée à la pression atmosphérique. Indiquer comment, en pratique, il serait possible d'augmenter |s_i|.

On considère l'avion en vol de croisière à pente et assiette nulles (trajectoire confondue avec l'axe de l'avion). Écrire, dans ces conditions, l'équation, dite de sustentation, liant la masse de…

Estimer numériquement la vitesse de croisière et la poussée nécessaire à son maintien.

À l'aide de la figure 4, expliquer l'existence d'une force de portance pour les angles d'incidence non nuls.

À partir de la figure 2, en considérant que la trajectoire est horizontale et que l'assiette est non nulle, expliquer l'existence d'une vitesse minimale v_min, dite vitesse minimale de sustentation…

Exprimer la vitesse v_min.

Pourquoi cette situation risque-t-elle de se présenter en phase d'atterrissage ?

À partir d'un schéma représentant les forces s'exerçant sur l'avion, exprimer la finesse de l'aile en fonction du rapport C_y/Cₓ.

Comment se traduit graphiquement la finesse maximale sur la polaire de type Eiffel ?

En déduire la distance horizontale maximale que peut parcourir l'avion en vol plané en cas de panne de moteur à 1000 mètres au dessus du sol.

En réalité, la finesse de l'avion complet (ailes, fuselage, moteurs, empennage, dérive...) est deux fois moins importante que celle de ses ailes. Proposer une explication.

Reproduire l'allure de la polaire d'une aile sur votre copie et indiquer les points correspondant respectivement à une traînée minimale, une portance maximale et une finesse maximale.

Montrer que l'écoulement dans les tubes rectilignes du réseau de tuyauterie est laminaire.

Quelles sont les deux conditions pour pouvoir faire cette hypothèse ? Pourquoi est-il nécessaire que la vitesse soit très faible ?

Représenter sur un schéma les forces horizontales (c'est-à-dire dans le plan de la glace) agissant sur une tranche contenant les blocs de glace situés entre les abscisses x et x+dx (et donc de…

Estimer un ordre de grandeur typique du nombre de Reynolds pour un bloc de glace.

En adaptant l'approche proposée pour la colonne granulaire, donner l'expression de chacune des forces s'exerçant sur l'ensemble des blocs de glace inclus dans l'élément de longueur dx et de largeur ℓ.

En déduire l'équation différentielle que vérifie la pression Pₓ(x). On introduira à nouveau une grandeur caractéristique λ et une pression caractéristique P_∞.

• Commenter la modélisation proposée concernant la force de frottement de l'air. • Pour chaque phase, évaluer le sens de l'erreur commise par rapport à la réalité. • Conclure sur l'erreur globale.

Analyser finement les valeurs de ces courbes et expliquer pourquoi la vitesse de croisière de cet avion est Mach 0,5.

• Estimer, à partir des données des Figures 2 et 3 ou de la Figure 15, la force résistante de l'air dans ces conditions de vol. • Comparer avec la valeur précédente et discuter de la pertinence du…

Exprimer v_s en fonction de v_s, m, f, K et des rapports L / D et d / D. On vérifiera la cohérence du résultat lorsque l'on néglige toutes les pertes. Exprimer h en fonction de hₘ, f, K et des…

Comparer par ordre de grandeur chacun des termes diffusifs présents dans (Δ v) · e_r. Montrer que l'un d'entre eux est dominant.

Justifier que l'écoulement est quasi-stationnaire.

En déduire la loi d'évolution de la hauteur h(t) de la goutte au cours du temps. On introduira un temps caractéristique τ.

En introduisant des échelles caractéristiques, comparer ρₐ (∂ v)/(∂ t) et ηₐ Δ v, puis montrer que l'un de ces deux termes peut être négligé dans l'équation de Navier-Stokes.

Projeter l'équation de Navier-Stokes selon uₓ et u_r. Montrer que le champ de pression ne dépend pas de x. En raisonnant à nouveau en échelles caractéristiques et en négligeant les termes…

Déterminer l'expression de F_v, résultante des forces de pression sur l'armature de centre O.

Déterminer la longueur de glissement de l'eau sur la surface de Pyrex silanisée. Pourquoi cette longueur de glissement joue-t-elle un rôle important en nanorhéologie, alors qu'on peut généralement…

Pour estimer quantitativement le nombre de Reynolds, on avance un argument d'ordres de grandeur. La longueur caractéristique d'un canal est L = 100 nm et la vitesse du fluide dans chaque canal peut…

On propose de quantifier I_DO par la formule suivante I_DO = 4a ∫₀∞ dz ρₑ(x, z) v(z), où l'on rappelle que le champ de vitesse dans le canal s'écrit v = v(z)eₓ. Quelle est la dimension de I_DO ?…

Simplifier l'équation (13) lorsque la densité surfacique de charge est très faible, c'est-à-dire lorsque ℓ_GC ≫ λ_D. Que devient le courant osmotique si la membrane n'est pas chargée ?

À partir de cette dernière expression approchée, en déduire un ordre de grandeur du courant osmotique I_DO induit dans un seul canal pour une membrane constituée de canaux de longueur L = 100 nm et…

En déduire que la pression autour de la boule s'écrit sous la forme P(M) = P_∞ - β (cos θ)/r² dans laquelle on précisera l'expression de β en fonction de η, a et v₀.

Déterminer la résultante des forces de pression, notée F_p, sur la boule.

Déterminer le champ de vitesse dans le fluide, u_g(z), en fonction de G, h, b et η. Exprimer le débit volumique Q_g en fonction de Q_ng et du taux de confinement ξ = b/h du fluide. Commenter.

Déterminer, en fonction des données, la variation de quantité de mouvement dP_A de la tranche A pendant la durée Δ t = τ, à travers la surface S.

Déterminer réciproquement la variation de quantité de mouvement dP_B de la tranche B pendant la même durée à travers la surface S. En déduire la force exercée par la tranche B (resp. A) sur la…

En écrivant un développement limité à l'ordre 1 pour u(z ± ℓ), déterminer la viscosité dynamique η du fluide en fonction de la masse m des molécules qui le compose, de leur densité particulaire n…

Déterminer les valeurs extrêmes de ξ puis de Δ P ; commenter.

On note Π le poids du ballon, qu'on supposera en équilibre thermique et mécanique avec l'air environnant. Expliciter le rapport x = F_v/Π en fonction de R, v, g et de la densité d = M_He/M_air de…

Calculer la pression P'_F à laquelle on peut s’attendre au point F si on néglige les pertes de charge singulières au coude E et si on considère les pertes de charge régulières proportionnelles à la…

Exprimer la puissance utile P_u de la pompe à l’aide d’un bilan de puissance entre un point de la surface libre de l’eau de la piscine et le point de refoulement G.

Expliquer brièvement pourquoi, sous des hypothèses que l'on indiquera, on peut écrire P(r, t) &= n(r, t)⁵/³ g_P(s(r, t)) s(r, t) &= g_s((T(r, t))/(n(r, t)²/³))

S'agit-il d'une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l'introduction du sujet ? Justifier brièvement.

En déduire que S(t) est constante.

Que peut-on en déduire concernant la viscosité de dilatation ζ d'un gaz unitaire ?

Indiquer brièvement en quoi ce résultat est une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l'introduction du sujet.

Proposer une explication intuitive du lien entre ce résultat et la périodicité de l'évolution du gaz.

En admettant que κ > 0, montrer que T(r, t) est indépendant de r.

En se ramenant au problème étudié dans la partie 2, en déduire l'expression de λ(t) en fonction de t, ω₀ et ω₁.

Vérifier que la forme du résultat obtenu est la même qu'à la question 17, sans chercher à comparer les différents coefficients constants. Pouvait-on s'y attendre ?

Dans le cas d'un écoulement compressible, lorsque les effets visqueux sont pris en compte, le second membre de la première équation du système (1) comprend deux termes supplémentaires, linéaires par…

En supposant que la bulle est lâchée sans vitesse initiale au fond du spa, exprimer sa vitesse sous la forme v_b(t) = v₁ f(t/τ_b) où f est une fonction trigonométrique hyperbolique et dans laquelle…

En déduire le lien entre la viscosité et le caractère explosif ou effusif de l'éruption, puis à quel type de volcanisme se rattachent les volcans de la Chaine des Puys.

Proposer une expérience permettant de mettre en évidence le phénomène de pertes de charge régulières.

En déduire la puissance mécanique Pₘ de la pompe nécessaire à ce captage d'eau de mer. Commenter la valeur obtenue.

À l'aide du document 4, estimer la puissance du circulateur à utiliser pour compenser les pertes de charges linéiques.

Représenter le circuit électrique analogue équivalent au circuit microfluidique représenté sur la figure 16. On notera R la résistance de chacun des canaux d'entrainement, γ R celle du canal…

Nous souhaitons que les écoulements s'effectuent dans le sens E → N → S et E' → N → S (cf figure 16). Déduire que cette condition impose que α_min < α < αₘₐₓ en précisant l'expression de α_min et…

En supposant que l'écoulement entrant dans le canal de sortie est fortement focalisé, exprimer w_c et w_s en fonction de v_s, de v_s,max et des débits de volume Qₑ et Q_f, respectivement dans le…

Expliquer qualitativement comment doit évoluer la pression appliquée au fluide d'entraînement pour améliorer la focalisation dans un circuit donné. Comment choisir γ pour améliorer la focalisation ?

Que peut-on en déduire concernant la puissance totale moyenne du cœur humain ? On attend ici une réponse numérique.

Montrer que dans le cas d'un déplacement uniforme, on a la relation v_p² + v_v² + 2 v_p v_v cos β₀ = σ₁ v_p² dans laquelle on précisera l'expression de σ₁ en fonction des données ainsi que des…

Montrer que les phénomènes de diffusion de quantité de mouvement dans la couche limite sont décrits par une équation aux dérivées partielles de la forme F(v'ₓ) = D G(v'ₓ) où F et G sont deux…

En exprimant le fait que, dans la couche limite, le temps caractéristique de diffusion de quantité de mouvement sur la distance δ est du même ordre de grandeur que le temps caractéristique de…

Compte tenu du résultat précédent, commenter les hypothèses (1), (2) et (3) du modèle.

En utilisant l'équation de Navier-Stokes, montrer que le gradient de pression en x' et la concavité du profil de vitesse vérifient à la paroi (∂ p)/(∂ x')(y' = 0) = η (∂² v)/(∂ y'²)(y' = 0).