Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PC 2026

Dans le vide en présence de charges et de courants, les formes locales des quatre équations de Maxwell s'écrivent :

1. Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

   \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}

2. Équation de Maxwell-Thomson (ou équation de conservation du flux magnétique) :

   \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

3. Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

   \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

4. Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

   \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide, \mu_0 la perméabilité magnétique du vide, et \vec{\jmath}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} le courant de déplacement introduit par Maxwell.

1. Définition d'une ligne de champ magnétique

Une ligne de champ magnétique est une courbe orientée qui est, en chacun de ses points, tangente au vecteur champ magnétique \vec{B}, son sens d'orientation étant celui de \vec{B}.

Elle vérifie en tout point l'équation différentielle vectorielle :

2. Allure des lignes de champ

Dans chacun des trois cas, le sens de parcours des lignes de champ est déterminé par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell).

1. Invariances

• Le fil étant supposé infini suivant l'axe (Oz), la distribution de courant est invariante par translation selon z.
• La distribution présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) : elle est invariante par rotation d'angle \theta.

Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

2. Symétries

• Tout plan contenant le fil, en particulier le plan (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z), est un plan de symétrie pour la distribution de courant (P_{\mathrm{sym}}).

• Le champ magnétique étant un vecteur axial (ou pseudovecteur), il est orthogonal en tout point M à tout plan de symétrie passant par M :

  \vec{B}(M) \perp (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z) \implies B_r(r) = 0 \quad \text{et} \quad B_z(r) = 0.

Le champ magnétique est donc purement orthoradial :

3. Théorème d'Ampère

• On choisit pour contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle d'axe (Oz), de rayon r, passant par M et orienté selon \vec{e}_\theta.

• L'élément de longueur le long de ce contour s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta. La circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} vaut :

  \begin{aligned} \Gamma = \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_{0}^{2\pi} B_\theta(r)\,\vec{e}_\theta \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta) \\ &= r B_\theta(r) \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \\ &= 2\pi r B_\theta(r). \end{aligned}

• La surface appuyée sur \mathcal{C} est traversée une seule fois par le fil. Le sens de parcours choisi pour \mathcal{C} induit, d'après la règle du tire-bouchon de Maxwell (ou de la main droite), une normale orientée selon +\vec{e}_z, dans le sens du courant I. Le courant enlacé algébrique est donc :

  I_{\text{enl}} = I.

• D'après le théorème d'Ampère :

  \Gamma = \mu_0 I_{\text{enl}} \iff 2\pi r B_\theta(r) = \mu_0 I \iff B_\theta(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.

On en déduit l'expression du champ magnétique créé par le fil infini en tout point de l'espace :

Le moment magnétique est porté par l'axe (Oz) : \vec{M} = -M\vec{e}_z.

Dans la base sphérique locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi), le vecteur unitaire \vec{e}_z se décompose sous la forme :

Le moment dipolaire s'écrit donc :

Le produit scalaire intervenant dans l'expression du champ dipolaire vaut :

En injectant ces grandeurs dans l'expression du champ dipolaire :

En tout point P situé à la surface de la Terre (r = R_T), le champ magnétique s'écrit :

Ses coordonnées dans la base sphérique (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi) sont donc :

Au pôle Nord géographique, le point considéré est situé sur l'axe (Oz) avec \theta = 0. Le champ y est purement radial :

Son amplitude B_0 vérifie ainsi :

On en déduit l'expression du moment magnétique terrestre :

Application numérique :

• R_T = 6\,400\text{ km} = 6{,}4\cdot 10^6\text{ m}
• B_0 = 6{,}0\cdot 10^{-5}\text{ T}
• \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}

On retrouve bien la valeur annoncée dans le tableau 1.

1. Détermination de \alpha et \beta par analyse dimensionnelle :

Le moment magnétique s'exprime en \mathrm{A\cdot m^2}, soit en termes de dimensions :

La densité volumique de courant j s'exprime en \mathrm{A\cdot m^{-2}} et le rayon R_N en mètres :

La relation admise M = j^\alpha R_N^\beta conduit à l'égalité dimensionnelle :

Par identification avec [M] = \mathrm{I}^1\cdot\mathrm{L}^2 :

• pour l'intensité \mathrm{I} : \alpha = 1,
• pour la longueur \mathrm{L} : \beta - 2\alpha = 2 \implies \beta = 2 + 2\times 1 = 4.

2. Déduction de la valeur de j :

La relation s'écrit donc M = j R_N^4, d'où :

Avec M = 7{,}9\cdot 10^{22}\text{ A}\cdot\text{m}^2 et R_N = 500\text{ km} = 5{,}0\cdot 10^5\text{ m} :

Avec un seul chiffre significatif :

3. Comparaison avec un fil conducteur et commentaire :

Dans le fil conducteur de section s = 1\text{ mm}^2 = 1{,}0\cdot 10^{-6}\text{ m}^2 traversé par i = 10\text{ mA} = 1{,}0\cdot 10^{-2}\text{ A}, la densité de courant vaut :

On constate que :

Commentaire : La densité de courant au sein du noyau terrestre est extrêmement faible, environ quatre ordres de grandeur inférieure à celle qui parcourt un circuit électrique usuel de faible puissance. Cependant, en raison du volume colossal du noyau terrestre (V \sim R_N^3 \sim 10^{17}\text{ m}^3), le courant électrique total circulant dans le noyau est gigantesque (I \sim j R_N^2 \sim 10^{11}\text{ A}), ce qui engendre un moment dipolaire magnétique macroscopique considérable.

1. Allure des lignes de champ dipolaire dans le plan (yOz)

Le moment magnétique terrestre est orienté selon -\vec{e}_z (du nord géographique vers le sud géographique). Par conséquent :

• au pôle Sud géographique (z < 0), le champ \vec{B} est dirigé vers les z décroissants : les lignes de champ sortent de la Terre ;
• à l'équateur (z = 0), le champ \vec{B} est dirigé vers le nord (+\vec{e}_z) ;
• au pôle Nord géographique (z > 0), le champ \vec{B} est dirigé vers les z décroissants : les lignes de champ rentrent dans la Terre.

2. Deux différences essentielles avec les lignes de champ de la figure 2

1. Brisure de symétrie axiale (asymétrie jour/nuit) : Les lignes d'un dipôle isolé présentent une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) et une symétrie par rapport au plan équatorial. Sur la figure 2, l'impact du vent solaire comprime fortement les lignes de champ du côté éclairé (faisant face au Soleil, à gauche) et les étire en une longue magnétoqueue du côté nuit (à droite).
2. Confinement spatial (présence de la magnétopause) : Les lignes de champ d'un dipôle idéal s'étendent théoriquement à l'infini dans tout l'espace. Sur la figure 2, le champ magnétique terrestre est strictement confiné à l'intérieur d'une cavité délimitée par une frontière appelée magnétopause.

Le plan équatorial (xOy) est orthogonal à l'axe polaire (Oz). La colatitude \theta, angle entre l'axe (Oz) et le vecteur position \vec{OP}, vaut donc :

D'après le résultat de la question Q4, le champ magnétique créé par le dipôle \vec{M} = -M\vec{e}_z en un point quelconque s'exprime en coordonnées sphériques par :

Au point A, pour r = d = 6R_T et \theta = \frac{\pi}{2} (\cos\frac{\pi}{2} = 0, \sin\frac{\pi}{2} = 1), les coordonnées du champ dans la base sphérique (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi) sont :

Commentaire :

• Intensité : Le champ au point A vaut B(A) = \dfrac{\mu_0 M}{4\pi d^3} = \dfrac{B_0}{2 \times 6^3} = \dfrac{B_0}{432} \approx 1{,}4\cdot 10^{-7}\text{ T}. Il est environ 400 fois plus faible qu'à la surface terrestre (B_0 = 6{,}0\cdot 10^{-5}\text{ T} aux pôles). Cette très forte décroissance illustre la dépendance spatiale en 1/r^3 propre à un champ dipolaire.

• Direction et sens : Dans le plan équatorial, le vecteur unitaire polaire vérifie \vec{e}_\theta = -\vec{e}_z. Par conséquent :

  \vec{B}(A) = B_\theta(A)\vec{e}_\theta = \left(-\frac{\mu_0 M}{4\pi d^3}\right)(-\vec{e}_z) = +\frac{\mu_0 M}{4\pi d^3}\vec{e}_z = B(A)\vec{e}_z

  Le champ magnétique local est donc colinéaire à l'axe (Oz) et orienté vers le nord, ce qui concorde parfaitement avec la modélisation locale de la magnétopause adoptée sur la figure 5.

1. Allure des trajectoires et rôle de « bouclier »

Dans le référentiel d'étude lié au point A, supposé galiléen, une particule de charge q et de masse m est soumise à la seule force de Lorentz (le poids étant totalement négligeable devant la force magnétique) :

La puissance de cette force est identiquement nulle (\mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = 0), donc l'énergie cinétique de la particule se conserve : la norme de la vitesse est constante (v = \|\vec{v}\| = v_i).

Le champ magnétique étant uniforme et orthogonal au plan du mouvement (\vec{B} = B\vec{e}_z avec \vec{e}_z dirigé vers l'observateur), la force est contenue dans le plan (xOy) : le mouvement est plan et uniforme.

Pour des particules arrivant de la gauche vers la droite selon l'axe horizontal (\vec{v} \approx v\vec{e}_x) :

• Pour le proton (q_p = +e > 0) : \vec{F}_{L,p} = +e\,\vec{v}\wedge\vec{B} est dirigée vers le bas de la feuille (\vec{e}_x\wedge\vec{e}_z = -\vec{e}_y). La trajectoire s'incurve vers le bas (sens horaire).
• Pour l'électron (q_e = -e < 0) : \vec{F}_{L,e} = -e\,\vec{v}\wedge\vec{B} est dirigée vers le haut de la feuille (+\vec{e}_y). La trajectoire s'incurve vers le haut (sens anti-horaire).

Dans les deux cas, la particule décrit un arc de cercle (un demi-tour complet si le milieu est semi-infini) et ressort de la magnétosphère vers le milieu interplanétaire : la magnétosphère agit comme un miroir magnétique, empêchant la pénétration directe du vent solaire vers la Terre.

2. Rayon des trajectoires circulaires

Plaçons-nous dans la base cylindro-polaire locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z) dont l'origine est le centre de courbure de la trajectoire circulaire de rayon R. Le vecteur accélération s'écrit :

La force de Lorentz s'écrit, en choisissant le sens de \vec{e}_\theta tel que la force soit centripète :

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur \vec{e}_r donne :

D'où l'expression du rayon de courbure (rayon de Larmor) :

3. Applications numériques

Les grandeurs numériques fournies sont :

• v = 700\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 7{,}0\cdot 10^5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• B = 1{,}4\cdot 10^{-7}\text{ T} ;
• e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C} ;
• m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\text{ kg} et m_p = 2000\,m_e \approx 1{,}8\cdot 10^{-27}\text{ kg}.

Pour l'électron :

Avec un chiffre significatif :

Pour le proton, comme m_p = 2000\,m_e et q_p = e :

Avec un chiffre significatif :

On étudie l'électron (masse m_e, charge -e) dans le référentiel lié au proton fixe en O, supposé galiléen. L'électron est soumis uniquement à la force électrostatique de Coulomb :

1. Planéité de la trajectoire :

Le moment de cette force par rapport à l'origine fixe O s'écrit :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué au point O dans un référentiel galiléen :

À l'instant initial t=0, la position M(0) et le vecteur vitesse \vec{v}(0) appartiennent au plan (xOy), de sorte que :

À chaque instant t, le produit scalaire donne :

Le vecteur position \vec{OM}(t) est donc orthogonal en tout temps au vecteur constant \vec{e}_z et passe par l'origine O :

2. Caractère uniforme du mouvement circulaire :

Dans le plan (xOy), le repérage en coordonnées polaires (r,\theta) donne :

L'orbite étant circulaire de rayon constant noté r, on a \dot{r} = 0, d'où :

Le moment cinétique s'exprime donc :

Comme \vec{L}_O est constant au cours du temps et que m_e et r sont constants, il vient :

La norme de la vitesse de l'électron vaut v = \|\vec{v}\| = r|\dot{\theta}| = \text{constante}.

On étudie l'électron, assimilé à un point matériel de masse m_e et de charge q = -e, dans le référentiel lié au proton fixe supposé galiléen.

L'électron est soumis à la seule force électrostatique de Coulomb exercée par le proton de charge +e situé à l'origine :

D'après la question Q9, le mouvement sur l'orbite de rayon r_n est circulaire et uniforme de vitesse scalaire v_n = r_n\dot{\theta}. L'accélération de l'électron est purement normale (centripète) :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'électron :

En projetant selon \vec{e}_r, on obtient :

La vitesse v_n étant positive, on en déduit :

1. Énergie cinétique E_c

D'après le résultat de la question Q10, la vitesse de l'électron sur l'orbite de rayon r_n est donnée par v_n^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r_n}. L'énergie cinétique s'écrit donc :

2. Énergie potentielle E_p

L'électron de charge q_e = -e évolue dans le potentiel électrostatique créé par le proton fixe de charge q_p = +e situé en O, donné par V(r) = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 r} (avec la convention V(\infty) = 0).

L'énergie potentielle d'interaction coulombienne de l'électron vaut donc :

3. Énergie mécanique E_n

L'énergie mécanique totale de l'électron sur son orbite est la somme de ses énergies cinétique et potentielle :

D'après l'énoncé, le moment cinétique orbital de l'électron est quantifié selon :

En élevant au carré et en utilisant l'expression de v_n^2 = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r_n} établie à la question Q10, il vient :

On en déduit :

La grandeur a_0 est le rayon de Bohr (valant numériquement environ 0{,}53\text{ \AA}).

En injectant l'expression de r_n dans celle de l'énergie mécanique E_n = -\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n} (question Q11), on obtient :

avec :

(valant numériquement environ 13{,}6\text{ eV}).

Conséquences physiques de ces expressions :

1. Quantification de l'énergie et stabilité de l'atome : l'énergie de l'électron ne peut prendre que des valeurs discrètes. En particulier, pour n=1, l'électron atteint l'état fondamental d'énergie minimale E_1 = -E_0 et de rayon minimal r_1 = a_0. Contrairement aux prédictions de l'électrodynamique classique, l'électron ne rayonne pas en continu et ne s'écrase pas sur le noyau, assurant ainsi la stabilité de la matière.
2. Spectre de raies d'émission et d'absorption : lors d'une transition entre deux niveaux p et n, l'atome n'échange de l'énergie avec le rayonnement que par émission ou absorption d'un photon d'énergie \Delta E = |E_p - E_n| = h\nu, ce qui explique la présence d'un spectre de raies discret caractéristique de l'élément chimique.

Lorsqu'un atome d'hydrogène effectue une transition radiative d'un niveau d'énergie excité E_p vers un niveau d'énergie inférieur E_n (p > n), il émet un photon de longueur d'onde dans le vide \lambda_{p\rightarrow n}.

D'après le postulat de Bohr et la relation de Planck-Einstein, l'énergie emportée par ce photon est égale à la variation d'énergie de l'atome :

D'après la question Q12, les niveaux d'énergie s'écrivent E_n = -\dfrac{E_0}{n^2} et E_p = -\dfrac{E_0}{p^2}, d'où :

En combinant ces deux relations, on obtient :

Par identification avec la formule de Rydberg donnée dans l'énoncé, on en déduit l'expression de la constante de Rydberg R_\infty :

1. Origine de la raie verte d'Ångström

D'après le préambule de la partie II, la raie jaune-verte caractéristique détectée par Ångström a pour longueur d'onde :

Pour l'atome d'hydrogène, les raies d'émission dans le domaine visible correspondent à la série de Balmer (n=2). D'après la formule de Rydberg établie à la question précédente :

Le membre de droite étant strictement croissant avec p, la longueur d'onde d'émission \lambda_{p\rightarrow 2} décroît strictement avec l'entier p :

Pour toute transition supérieure p \ge 5, on a nécessairement :

Par conséquent, il n'existe aucune raie de la série de Balmer comprise entre 486{,}2\text{ nm} et 656{,}3\text{ nm}. La raie verte observée à 557{,}7\text{ nm} étant située dans cet intervalle, elle ne peut pas être due à la présence d'hydrogène atomique.

2. Défauts du modèle de Bohr

On peut citer, parmi d'autres, les deux défauts suivants :

• Incompatibilité avec le principe d'indétermination de Heisenberg : le modèle impose une trajectoire circulaire déterministe avec une position et une vitesse parfaitement définies à chaque instant, ce qui contredit la relation fondamentale \Delta x \, \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}.
• Inapplicabilité aux atomes polyélectroniques : le modèle ne permet pas de décrire les atomes ou ions possédant plus d'un électron (dès l'hélium neutre) en raison de l'absence de prise en compte correcte des interactions électron-électron.

3. Interprétation et dimension de la fonction d'onde \psi(x,t)

• Interprétation physique (postulat de Born) : la fonction \psi(x,t) est l'amplitude de probabilité de présence associée à la particule. La quantité |\psi(x,t)|^2 représente la densité de probabilité de présence : la probabilité dP de trouver la particule à l'instant t dans l'intervalle spatial [x, x + dx] vaut :

  dP(x,t) = |\psi(x,t)|^2 \, dx.

• Dimension : une probabilité étant un nombre sans dimension ([dP] = 1), on en déduit :

  [|\psi|^2] \cdot [x] = 1 \implies [|\psi|^2] = \mathrm{L}^{-1},

  d'où :

  \boxed{[\psi] = \mathrm{L}^{-1/2}}

  Dans le Système International, \psi(x,t) s'exprime donc en \mathrm{m}^{-1/2}.

L'équation de Navier-Stokes (1) s'écrit :

Évaluons l'ordre de grandeur des forces volumiques d'inertie convective et des forces de diffusion visqueuse :

• Terme convectif d'inertie :

  \|\rho (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}\| \sim \rho \frac{U^2}{L}

• Terme de viscosité :

  \|\eta \vec{\Delta}\vec{v}\| \sim \eta \frac{U}{L^2}

Le nombre de Reynolds R_e est défini par le rapport sans dimension de l'ordre de grandeur des termes inertiels sur celui des termes visqueux :

On obtient ainsi :

Signification physique :

• Le nombre de Reynolds quantifie l'importance relative des effets inertiels devant les forces de dissipation visqueuse au sein de l'écoulement.

• Il détermine le régime de l'écoulement :

  • si R_e \ll 1, les forces de viscosité dominent très largement (régime laminaire rampant ou écoulement de Stokes) ;
  • si R_e \gg 1, les effets inertiels l'emportent sur la viscosité en dehors des couches limites (l'écoulement peut être modélisé comme parfait, devenant potentiellement turbulent au-delà d'une valeur critique).

Par définition, un fluide parfait (ou un écoulement parfait) correspond à une situation où les forces de frottement visqueux au sein du fluide sont négligeables devant les autres actions mécaniques (forces de pression et de pesanteur), ce qui se modélise par une viscosité dynamique nulle :

Le terme de diffusion visqueuse \eta \vec{\Delta}\vec{v} disparaît donc dans l'équation de Navier-Stokes. L'équation du mouvement devient alors l'équation d'Euler :

Elle peut s'écrire de manière équivalente sous forme massique :

À l'équilibre et en l'absence de perturbation, le fluide est au repos : le champ des vitesses est identiquement nul en tout point, soit \vec{v} = \vec{0}.

Le terme d'accélération convective (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v} et le terme d'accélération locale \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} s'annulent donc. L'équation d'Euler établie à la question Q16 se réduit alors à la relation fondamentale de la statique des fluides :

Le champ de pesanteur étant donné par \vec{g} = -g\vec{e}_z, le gradient de pression s'écrit selon l'axe vertical (Oz) :

La masse volumique \rho et l'accélération de la pesanteur g étant constantes, une intégration par rapport à l'altitude z donne :

où C est une constante d'intégration. À la surface libre non perturbée située en z = 0, la pression du fluide est égale à la pression atmosphérique P_0 :

On en déduit l'expression du champ de pression d'équilibre :

1. Établissement de l'équation (2)

L'équation d'Euler établie à la question Q16 s'écrit :

En négligeant le terme convectif (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v} devant l'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}, et en injectant la décomposition du champ de pression P(x,z,t) = P_e(z) + p(x,z,t), il vient :

D'après la question Q17, l'état d'équilibre hydrostatique vérifie \vec{0} = \rho\vec{g} - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P_e. Il reste donc :

2. Justification des formes sinusoïdales et passage en notation complexe

L'équation d'Euler linéarisée (2) ainsi que la condition d'incompressibilité sont des équations aux dérivées partielles linéaires dont les coefficients ne dépendent ni de t, ni de x (invariance par translation temporelle et spatiale selon Ox). En vertu du théorème de Fourier et du principe de superposition, toute perturbation de faible amplitude se décompose en modes propres harmoniques de pulsation \omega et de nombre d'onde k. Il est donc légitime de rechercher les solutions sous forme d'ondes planes progressives harmoniques en notation complexe.

En injectant les formes proposées dans l'équation (2), avec \frac{\partial}{\partial t} \equiv j\omega et \overrightarrow{\mathrm{grad}} \equiv -jk\vec{e}_x + \frac{\partial}{\partial z}\vec{e}_z :

En projetant sur les axes \vec{e}_x et \vec{e}_z, on obtient :

soit encore :

3. Condition d'incompressibilité

Un écoulement incompressible se traduit par l'annulation de la divergence de son champ de vitesses :

4. Équation différentielle vérifiée par f(z)

Prenons la divergence de l'équation du mouvement (2) :

La masse volumique \rho étant constante et les dérivées spatio-temporelles commutant, on a :

L'incompressibilité impose \mathrm{div}\,\vec{v} = 0, d'où l'équation de Laplace pour la surpression :

En notation complexe, le laplacien s'écrit (la coordonnée y n'intervenant pas) :

Comme l'exponentielle ne s'annule pas, on en déduit directement :

1. Expression réelle de la surpression :

D'après la question Q18, la fonction f(z) vérifie l'équation différentielle :

La solution générale s'écrit sous la forme :

Le fjord étant très profond (H \gg \lambda), l'eau s'étend vers de grandes profondeurs, c'est-à-dire vers z \to -\infty. Or, lorsque z \to -\infty, le terme e^{-kz} \to +\infty. Comme la perturbation de pression p doit rester bornée dans tout le fluide, on a nécessairement :

En choisissant l'origine des phases telle que la constante C_1 = A soit réelle, la surpression complexe s'écrit \underline{p}(x,z,t) = A e^{kz} e^{j(\omega t - kx)}. En prenant la partie réelle, on obtient :

2. Détermination de la constante A :

Le vecteur d'onde est relié à la longueur d'onde par k = \frac{2\pi}{\lambda}. L'amplitude des vagues étant très petite devant la longueur d'onde (a \ll \lambda), on a :

À la surface libre perturbée d'altitude z = h(x,t), la pression de l'eau est égale à la pression atmosphérique P_0 (en négligeant les effets de tension superficielle) :

En utilisant l'expression du champ de pression total P(x,z,t) = P_e(z) + p(x,z,t) et le résultat de la question Q17 (P_e(z) = P_0 - \rho g z) :

Puisque |h(x,t)| \le a et ka \ll 1, on effectue un développement au premier ordre :

Avec h(x,t) = a \cos(\omega t - kx), l'égalité devient :

D'où l'expression de la constante A :

3. Expression de la vitesse verticale et de \psi(z) :

D'après la question Q18, la projection de l'équation d'Euler linéarisée selon l'axe (Oz) en notation complexe s'écrit :

On en déduit :

Ce qui est bien de la forme attendue avec :

1. Signification physique de la relation :

La relation \vec{v}(x,z,t) \cdot \vec{e}_z = v_z(x,z,t) = \frac{\partial h}{\partial t} à la surface libre constitue la condition aux limites cinématique. Elle traduit le fait que la surface libre est une surface matérielle : les particules fluides situées à l'interface eau-air y restent au cours du temps (absence de mélange ou de projection). Dans l'approximation des ondes de faible amplitude (a \ll \lambda), cette relation est linéarisée en z = 0, et exprime que la vitesse verticale du fluide à la surface coïncide avec la vitesse d'élévation de celle-ci.

2. Déduction de la pulsation \omega :

D'après le résultat de la question Q19, la composante selon \vec{e}_z du champ de vitesse s'écrit en notation complexe :

avec \psi(z) = a \rho g k e^{kz}. Au premier ordre en a, l'évaluation à l'interface z = h(x,t) \approx 0 donne :

Par ailleurs, la dérivée temporelle de l'élévation complexe \underline{h}(x,t) = a e^{j(\omega t - kx)} vaut :

En identifiant \underline{v}_z(x,0,t) = \frac{\partial \underline{h}}{\partial t}, on obtient :

Comme la pulsation \omega est par convention positive :

On identifie donc :

3. Homogénéité de la relation :

En termes de dimensions :

D'où :

La dimension obtenue est bien celle d'une pulsation ([\omega] = \mathrm{T}^{-1}), ce qui confirme que la relation est homogène.

4. Nom de la relation :

Une relation liant la pulsation temporelle \omega au vecteur d'onde spatial k est appelée une relation de dispersion.

1. Définitions des vitesses de phase et de groupe

• La vitesse de phase v_\varphi est la vitesse de propagation des surfaces d'égale phase (crêtes ou creux de l'onde pour une onde monochromatique) :

  v_\varphi = \frac{\omega}{k}

• La vitesse de groupe v_g est la vitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, correspondant à la vitesse de transport de l'énergie :

  v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}

2. Expressions en fonction de g et k

D'après la relation de dispersion établie à la question Q20 :

On en déduit l'expression de la vitesse de phase :

Puis l'expression de la vitesse de groupe par dérivation :

3. Relation reliant les deux vitesses

En comparant directement les deux expressions obtenues :

D'après le cycle catalytique du document 1, les espèces consommées sont :

• le 4-iodophényl acétate (ou acétate de 4-iodophényle) : \text{I}-\text{C}_6\text{H}_4-\text{OAc} ;
• le 3,5-diacétoxystyrène : \text{H}_2\text{C}=\text{CH}-\text{C}_6\text{H}_3(\text{OAc})_2 ;
• la triéthylamine, qui sert de base consommable : \text{Et}_3\text{N}.

Les espèces formées sont :

• le triacétate de resvératrol : \text{AcO}-\text{C}_6\text{H}_4-\text{CH}=\text{CH}-\text{C}_6\text{H}_3(\text{OAc})_2 (de configuration (E)) ;
• l'iodure de triéthylammonium : \text{Et}_3\text{NH}^+ + \text{I}^-.

L'équation de la réaction globale de formation de l'acétate de resvératrol s'écrit :

Soit sous forme condensée :

• État initial : Le catalyseur de départ est explicitement un complexe de palladium au degré d'oxydation zéro, soit :

  \text{n.o.}_i(\text{Pd}) = 0.

• État final de l'étape 1 : Lors de cette réaction, le dérivé iodé \text{Ar}-\text{I} réagit sur le centre métallique pour former un complexe organopalladié \text{Ar}-\text{Pd}-\text{I}.

  Dans le formalisme ionique usuel :

  • le ligand iodure \text{I}^- est un ligand de type \text{X}, de charge formelle -1 ;
  • le groupe aromatique lié par un carbone sp^2 (plus électronégatif que le palladium) constitue un ligand aryle \text{Ar}^-, également de type \text{X} et de charge formelle -1.

  Le complexe formé étant globalement neutre, la conservation de la charge donne :

  \text{n.o.}_f(\text{Pd}) + q(\text{Ar}^-) + q(\text{I}^-) = 0 \implies \text{n.o.}_f(\text{Pd}) = +2 = +\text{II}.

La variation du nombre d'oxydation du palladium au cours de l'étape 1 vaut donc :

Le palladium passe ainsi du degré d'oxydation 0 au degré d'oxydation +\text{II}.

L'étape 4 est une \beta-élimination d'hydrure : le palladium arrache un atome d'hydrogène en position \beta pour former la double liaison carbone-carbone du produit de couplage (l'acétate de resvératrol).

Le transfert de cet hydrure sur le métal laisse le palladium lié à un atome d'hydrogène et à l'atome d'iode issu de l'étape d'addition oxydante initiale. L'intermédiaire \mathbf{A} est donc un complexe hydruro-iodure de palladium(II) :

Ce résultat est confirmé par l'étape 5 : la triéthylamine \mathrm{Et_3N} agit comme une base pour déprotoner ce complexe (ou favoriser l'élimination réductrice de \mathrm{HI}), ce qui forme le sel d'ammonium \mathrm{Et_3NH^+ + I^-} et régénère le palladium au degré d'oxydation zéro \mathrm{Pd}(0).

Les actes élémentaires associés aux cinq étapes du cycle catalytique sont :

• Étape 1 : Addition oxydante
  Le dérivé iodé \mathrm{Ar-I} s'additionne sur le centre métallique : le degré d'oxydation du palladium passe de 0 à +\mathrm{II} avec rupture de la liaison \mathrm{C-I} et formation des liaisons \mathrm{Pd-C} et \mathrm{Pd-I}.
• Étape 2 : Coordination de l'alcène (ou complexation de l'alcène)
  L'alcène se coordonne au centre métallique par son système \pi pour former un complexe \pi-alcène sans variation du degré d'oxydation du palladium.
• Étape 3 : Insertion migratrice (ou carbopalladation)
  Le ligand aryle migre sur l'un des atomes de carbone de l'alcène coordonné avec formation d'une liaison \mathrm{C-C} et d'une liaison \sigma \mathrm{Pd-C} (complexe alkylpalladium).
• Étape 4 : \beta-élimination d'hydrure (ou \beta-élimination)
  Un atome d'hydrogène situé en position \beta par rapport au palladium est transféré sur le métal, ce qui libère l'alcène conjugué (acétate de resvératrol) et conduit à l'hydrure de palladium \mathbf{A}.
• Étape 5 : Élimination réductrice (assistée par la base)
  En présence de triéthylamine \mathrm{Et_3N} qui neutralise l'hydracide formé, les ligands hydrure et iodure sont éliminés, régénérant le catalyseur \mathrm{Pd}(0) avec passage du degré d'oxydation de +\mathrm{II} à 0.

1. Conditions expérimentales proposées : Pour cliver les fonctions esters d'acétate et libérer les fonctions phénol, on réalise une hydrolyse basique en présence d'un excès d'hydroxyde de sodium \mathrm{NaOH} (ou de potassium \mathrm{KOH}) en milieu hydro-alcoolique (\mathrm{H_2O / EtOH}), au reflux. Une étape ultérieure d'acidification (par exemple par addition d'acide chlorhydrique \mathrm{HCl}) est nécessaire pour reprotoner les ions phénolates intermédiaires (\mathrm{p}K_a \approx 10) en fonctions phénol libres.

2. Nom de la réaction :

3. Mécanisme de la réaction (représenté sur un groupement acétate d'aryle \mathrm{CH_3-COO-Ar}) :

Le mécanisme d'addition-élimination (\mathrm{B_{Ac}2}) se décompose en trois étapes élémentaires :

• Étape 1 : Addition nucléophile de l'ion hydroxyde \mathrm{HO}^- sur le carbone électrophile du carbonyle :

• Étape 2 : Élimination du groupe partant phénolate \mathrm{ArO}^- avec régénération de la liaison double \mathrm{C=O} :

• Étape 3 : Échange acido-basique irréversible entre l'acide acétique produit (\mathrm{p}K_a \approx 4{,}8) et les bases présentes dans le milieu (\mathrm{ArO}^- avec \mathrm{p}K_a \approx 10 ou \mathrm{HO}^- en excès) :

  \begin{aligned} \mathrm{CH_3-COOH} + \mathrm{ArO^-} &\longrightarrow \mathrm{CH_3-COO^-} + \mathrm{ArOH} \\ \text{ou en milieu basique concentré :}\quad \mathrm{CH_3-COOH} + \mathrm{HO^-} &\longrightarrow \mathrm{CH_3-COO^-} + \mathrm{H_2O} \end{aligned}

  Cette étape exothermique et thermodynamiquement très favorable rend l'hydrolyse globale quantitative et irréversible.

Acidification finale : En milieu basique (\mathrm{pH} > 12), les fonctions phénol formées sont déprotonées sous forme d'ions phénolates \mathrm{ArO}^-. L'addition finale d'un acide fort permet de récupérer le resvératrol sous sa forme neutre précipitée :

Lors d'une dilution, la masse (ou la quantité de matière) de soluté se conserve entre la solution mère de vin rouge et la solution fille (\mathrm{S}) préparée :

Une dilution au dixième correspond à un facteur de dilution :

Le volume V_{\text{vin}} de vin rouge à prélever pour obtenir un volume V_{\mathrm{S}} = 10{,}0\text{ mL} de solution fille est donc :

Application numérique :

Le choix de la longueur d'onde \lambda = 760\text{ nm} repose sur deux critères complémentaires :

1. Maximisation de la sensibilité (absorption du produit formé) :
   D'après le document 3, la réduction du réactif de Folin-Ciocalteu par les polyphénols conduit à la formation d'un mélange « d'oxydes bleus de tungstène (\mathrm{W_8O_{23}}) et de molybdène (\mathrm{Mo_8O_{23}}) ». Une espèce de couleur bleue absorbe préférentiellement dans le domaine de sa couleur complémentaire, c'est-à-dire dans le rouge et le proche infrarouge (\lambda > 700\text{ nm}). Ces oxydes présentent un maximum d'absorption à \lambda = 760\text{ nm}, ce qui confère à la méthode une sensibilité maximale (coefficient d'absorption molaire \varepsilon élevé dans la loi de Beer-Lambert).
2. Absence d'interférence spectrale de la matrice (spécificité de la mesure) :
   D'après les spectres d'absorption UV-visible des vins rouges présentés dans le document 3, le vin absorbe fortement dans l'UV (vers 280\text{ nm} en raison des noyaux aromatiques) ainsi que dans le visible vert/jaune (maximum autour de 520\text{ nm} dû aux anthocyanes conférant sa robe rouge au vin). En revanche, son absorbance décroît rapidement au-delà de 600\text{ nm} pour devenir quasi nulle à partir de 700\text{ nm}.

Cette longueur d'onde assure donc à la fois une excellente sensibilité et une sélectivité optimale, sans interférence liée à la coloration propre du vin.

D'après le protocole (document 2), les solutions étalons et la solution (\text{S}) subissent rigoureusement le même traitement : prélèvement de 1{,}0\text{ mL}, ajout de 0{,}5\text{ mL} de réactif de Folin-Ciocalteu, puis ajustement à 10{,}0\text{ mL} avec la solution de carbonate de sodium. La courbe d'étalonnage donne ainsi directement l'absorbance en fonction de la concentration de la solution introduite.

Pour l'échantillon de vin analysé, l'absorbance mesurée est :

D'après le tableau de données du document 4, cette valeur est encadrée par :

• la solution 5 : C_5 = 0{,}120\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} pour A_5 = 0{,}42 ;
• la solution 6 : C_6 = 0{,}180\text{ g}\cdot\text{L}^{-1} pour A_6 = 0{,}57.

Par interpolation linéaire entre ces deux points expérimentaux :

Remarque : La pente moyenne de la droite d'étalonnage modélisée est k \approx \frac{1{,}03}{0{,}300} \approx 3{,}43\text{ L}\cdot\text{g}^{-1}, ce qui conduirait à C_{\mathrm{S}} = \frac{A}{k} \approx 0{,}152\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}, en très bon accord avec la lecture graphique (C_{\mathrm{S}} \approx 0{,}15\text{ à }0{,}16\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}).

La solution (\text{S}) ayant été préparée par dilution au dixième du vin rouge (facteur de dilution F = 10, question Q27), la concentration en polyphénols totaux dans le vin brut est :

D'après le document 5, un vin rouge est qualifié d'astringent lorsque sa concentration en polyphénols totaux dépasse le seuil critique :

D'après le résultat obtenu à la question Q29, la concentration en polyphénols totaux du vin analysé est :

On constate que :

1. Structure du composé B

L'acide 2-chloroéthanoïque réagit successivement avec l'hydrogénocarbonate de sodium puis avec le cyanure de potassium pour donner l'ion cyanoéthanoate (ou sous forme protonée/neutre, l'acide 2-cyanoéthanoïque) :

2. Mécanisme réactionnel

Le processus se déroule en deux étapes :

• Première étape : réaction acido-basique préliminaire

  L'ion hydrogénocarbonate \mathrm{HCO_3^-} déprotone quantitativement la fonction acide carboxylique de l'acide 2-chloroéthanoïque :

  En effet, \mathrm{p}K_a(\mathrm{RCOOH}) \approx 5 < \mathrm{p}K_a(\mathrm{H_2CO_3/HCO_3^-}) = 6{,}4 (d'après le tableau 3).

• Seconde étape : substitution nucléophile bimoléculaire (\mathbf{S_N2})

  L'ion cyanure \mathrm{CN^-} agit comme un bon nucléophile et attaque le carbone primaire électrophile \mathrm{C_\alpha}, avec départ concomitant de l'ion chlorure \mathrm{Cl^-} (bon groupe partant) :