Quantification et confinement : 86 questions de concours corrigées

Donner les valeurs numériques de E_I et a₁ (en eV et en Angstrom respectivement).

Dans le cadre du modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, déterminer l'expression de la période de révolution de l'électron dans son niveau fondamental, qu'on notera Tₑ, en fonction de q², de la…

Lorsque l'état final est n_f = 1, montrer qu'il existe une λₘₐₓ telle que λ λₘₐₓ et donner une estimation de λₘₐₓ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission ? Lorsque l'état…

La particule étudiée étant confinée à l'intervalle x [0, a], exprimer la fonction d'onde spatiale ψ₁(x) et l'énergie e₁ de l'état fondamental en fonction de h, m et a. Justifier que cette relation…

La particule étudiée étant confinée à l'intervalle x [0, a], exprimer la fonction d'onde spatiale ψ₁(x) et l'énergie e₁ de l'état fondamental en fonction de h, m et a. Justifier que cette relation…

En déduire que le rayon de la trajectoire s'écrit R = n² a₀, où a₀ est le rayon de Bohr que l'on exprimera en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer numériquement a₀.

Montrer que l'énergie mécanique de l'électron s'écrit Eₘ = -E₀/n² et donner l'expression de E₀ en fonction de e, mₑ, ε₀ et de h. Calculer la valeur numérique de E₀ exprimée en joule et en eV.

Déterminer la limite de U pour T → 0 et commenter le résultat obtenu.

Pour donner consistance à la notion d'état stationnaire, supposons que l'électron actif est confiné au voisinage du noyau (situé en x = 0) par le puits de potentiel infini défini par : V(x) = 0 & si…

On suppose encore Φ(x, y, z) = F₁(x) F₂(y) F₃(z). Déterminer les fonctions F_i (i = 1, 2, 3) en fonction de a_i et de trois nombres entiers n_i N*, à une constante multiplicative arbitraire près.

Justifier que les valeurs prises par la grandeur k = √(2mE/ħ²) sont de la forme kₙ = n k₁, où n est un entier strictement positif. Exprimer complètement, à un facteur de phase près, les fonctions…

Établir l'expression de E₀ en fonction de e, mₑ, ε₀ et ħ.

a) Rappeler l'écriture de la fonction d'onde d'un état stationnaire d'énergie E. On notera φ(x) la partie spatiale de la fonction d'onde. b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par φ(x)…

Rappeler, sans démonstration, la forme des fonctions d'onde des états stationnaires pour un puits de potentiel infini de taille L. Comparer au cas ci-dessus.

Montrer que q(ε) est proportionnel à √(ε). Pour la suite, on pourra poser q(ε) = Q√(ε) sans préciser la constante Q.

Que vaut l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène, c'est-à-dire l'énergie minimale à fournir pour que l'électron échappe à l'attraction coulombienne du proton ?

Représenter graphiquement la relation E = f(k) en faisant figurer avec une échelle adaptée les trois états stationnaires de plus faible énergie.

a) Exprimer l'énergie E₁ associée à l'état fondamental et E₂ associée au premier niveau excité. L'application numérique avec a = 0,633 nm donne E₁ = 0,931 eV et E₂ = 3,74 eV. b) À l'issue d'un…

Dans le cas de l'atome d'hydrogène, Δ E est de l'ordre de quelques électrons-volts. En déduire qu'on peut négliger l'énergie de recul de l'atome et conclure quant à la relation entre Δ E = E_i - E_f…

Lorsque l'état final est n_f = 1, montrer qu'il existe une λₘₐₓ telle que λ λₘₐₓ et donner une estimation de λₘₐₓ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission ? Lorsque l'état…

Quelle propriété du spectre d'émission de la molécule hydroxyle HO est ici mise à profit ?

Montrer que chaque état quantique possède un demi-grand axe aₙ s'écrivant aₙ = n² a₁, où l'on exprimera a₁ en fonction de constantes fondamentales.

Quelle inégalité ℓ et n doivent-ils vérifier ?

On considère le cas de deux atomes piégés dans deux pinces optiques voisines et éclairés par le même laser. On note P₁₂(t) la probabilité que les deux atomes soient dans l'état excité à l'instant t…

Exprimer a en fonction de M, R et m_p seulement.

Que deviennent ces expressions de la fonction d'onde et de l'énergie de l'état fondamental dans un modèle confiné à trois dimensions, x [0, a], y [0, a] et z [0, a] ?

Pour une étoile de ce type, déterminer le rayon R_eq qui assure un minimum de l'énergie totale.

Calculer numériquement R_wd dans le cas d'une masse égale à celle du Soleil et conclure.

Exprimer a en fonction de M, R et m_p seulement.

Que deviennent ces expressions de la fonction d'onde et de l'énergie de l'état fondamental dans un modèle confiné à trois dimensions, x [0, a], y [0, a] et z [0, a] ?

Pour une étoile de ce type, déterminer le rayon R_eq qui assure un minimum de l'énergie totale.

Calculer numériquement R_wd dans le cas d'une masse égale à celle du Soleil et conclure.

Effectuer l'application numérique. Commenter.

Donner, en fonction de E₀, h, c, n et de p, l'expression des longueurs d'onde λ_n,p des photons susceptibles d'être absorbés.

On admet que les transitions associées à des longueurs d'onde dans le visible sont obtenues pour n = 2. Donner les valeurs de p et λ_2,p correspondant effectivement à une longueur d'onde dans le…

La figure 3 représente graphiquement les énergies des états stationnaires en fonction de V₀. Au vu de cette figure, conjecturer l'expression de Eₙ⁽b⁾ en fonction de n pour tout n N.

Montrer que l'énergie E_f de l'état fondamental de la particule s'écrit : E_f = U₀ + h²/8m [ 1/a₁² + 1/a₂² + 1/a₃² ]

En déduire l'expression du module d'élasticité E, défini par la relation (1), en fonction de h, a et mₑ. Comparer au résultat de la partie II.A.

Montrer que dans le cas N = 1, on retrouve les équations de la question 46 en identifiant α = α et β = β. Justifier physiquement ce choix. En déduire la valeur de Ω₁.

Montrer que l'évolution que l'on observe ne correspond pas à ce que l'on attend de notre modèle pour un atome interagissant avec un champ contenant un nombre de photons initial N_i donné.

Expliciter l'écart Δ E d'énergie entre ces deux niveaux puis λ₀ en fonction de h, c (célérité de la lumière dans le vide), e, mₑ et ε₀.

On appelle constante de structure fine la grandeur α = e²/(4πε₀ħ c) = e²/(2ε₀ h c). Préciser sa dimension puis estimer son ordre de grandeur.

Calculer la valeur numérique de E₁, pour L = 1 . Comparer cette valeur à l'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation thermique à T = 300 K. Pourquoi parle-t-on de quasi-continuum d'énergie au sein…

À T = 0 K, les électrons peuplent les états obtenus par énergie croissante, avec au plus deux électrons dans le même état d'énergie d'après le principe d'exclusion de Wolfgang Pauli. En déduire le…

Que représentent, dans ce modèle, les cuvettes de potentiel et la période 2a ?

On sait que pour le silicium, la largeur de bande interdite est de l'ordre de 1 eV. Commenter.

Les raies de LYMAN du spectre de la figure 2 sont dues au retour de l'électron dans son niveau fondamental. Vérifier numériquement la vraisemblance de cette affirmation.

La raie la plus marquée du spectre est la raie LYMAN β notée Ly β sur le spectre de la figure 2. On constate que la raie LYMAN δ est plus proche de la raie LYMAN γ que cette dernière est proche de…

Quelles sont les énergies libérées lors des passages des couches M, puis L, au niveau fondamental ? Les photons correspondants sont-ils visibles ?

Si de la lumière blanche pénètre dans le cristal, quelle est la longueur d'onde de la lumière absorbée et la couleur de la lumière transmise dans le cas du cristal modifié ? Les données numériques…

On admet que l'énergie totale du système après émission est identique à celle de l'atome au repos avant l'émission. En déduire la relation E = mc² (√(1+2η) - 1) et exprimer η en fonction de Δ E, m…

Quel est le rôle du circuit à circulation d'eau qui entoure le tube central ? Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l'unité de la graduation donnée en abscisse ? Quelle est, à votre avis…

Les raies d'émission du deutérium sont-elles, par rapport à celle de l'hydrogène ordinaire, décalées vers le bleu ou vers le rouge ? De quelle résolution spectrale (en nanomètre) faut-il disposer…

Les raies d'émission du deutérium sont-elles, par rapport à celle de l'hydrogène ordinaire, décalées vers le bleu ou vers le rouge ? De quelle résolution spectrale (en nanomètre) faut-il disposer…

On note Eₙ l'énergie du n-ième état permis par la mécanique quantique, que l'on classe par ordre croissant de n. Montrer que dans la limite des n grands, la conservation de l'énergie s'écrit dE/dn =…

Résoudre cette équation différentielle et en déduire que les énergies se mettent sous la forme Eₙ = -E_I/(2(n + n*)²), où n* est une constante d'intégration appelée défaut quantique et où l'on…

La condition de quantification de l'énergie ne suffit pas à spécifier complètement les orbites permises. Pour cela on rajoute une condition de quantification du moment cinétique, qui ne peut prendre…

Pourquoi le deuxième terme proportionnel à f domine-t-il le premier dans le cas d'une orbite très excitée ?

Pour que le mouvement vertical puisse être considéré comme stationnaire, il faut que le neutron ait le temps de rebondir plusieurs fois avant de ressortir. Cette condition est-elle vérifiée si le…

En déduire que l'énergie cinétique totale due au confinement de l'étoile se met sous la forme E_c = γ M⁵/³ / R² dans laquelle on exprimera γ en fonction de h, m_p et mₑ.

En déduire que l'énergie cinétique totale due au confinement de l'étoile se met sous la forme E_c = γ M⁵/³/R² dans laquelle on exprimera γ en fonction de h, m_p et mₑ.

En déduire que la « taille » de la l'atome d'hydrogène a pour expression a₀ ∼ ħ²/(m e²).

Pour quelles valeurs de m peut-on montrer sans calculs que Eₘ appartient à l'ensemble Eₙ⁽b⁾ ; n N ? Vérifier la cohérence avec la réponse à la question précédente.

Montrer que les Eₙ⁽b⁾ sont les énergies des états stationnaires d'une particule dans un potentiel harmonique de pulsation 2ω, décalées d'une constante à déterminer.

Montrer sans calculs que pour tout m N, l'énergie (2m + 3/2)ħω fait partie de l'ensemble des énergies Eₙ⁽d⁾ ; n N.

Exprimer la variation Δ E₁ de l'énergie de l'état fondamental qui accompagne cette transformation.

Justifier en utilisant les résultats précédents que Ω_N = √(N)Ω₁.

On considère maintenant que l'atome est initialement dans l'état excité, et que le mode du champ contient N_i photons. Entre quels deux états le système va-t-il évoluer ? Calculer la probabilité…

En effet, l'atome interagit ici avec un mode du champ contenant un état cohérent, qui est un état pour lequel le nombre de photons n'est pas défini. Le nombre N_i de photons dans la cavité est une…

Comment peut-on interpréter la résurgence des oscillations (encadré dans la figure 5) ? Montrer que cette résurgence est la preuve de la quantification du champ, c'est à dire que le nombre de…

La correction relativiste à l'énergie Δ E d'une transition entre niveaux d'énergie s'écrit sous la forme (Δ E_relat - Δ E)/(Δ E) ∼ αp. Déduire de ce qui précède l'entier p puis conclure…

Avec ce choix d'origine de l'énergie potentielle, l'énergie E de la particule peut-elle être négative ?

Nous nous intéresserons par la suite aux états stationnaires d'énergie E > V₀. Justifier, en précisant les expressions des grandeurs positives k et K, la forme des solutions φ(x), où n est un entier…

Compléter avec soin la figure A du document réponse et expliquer en quoi ce modèle permet de rendre compte de l'existence de bandes d'énergie, soit permises, soit interdites.

Que deviennent ces résultats lorsque α = 1 ? Justifier votre réponse.

Justifier cette dernière assertion.

La figure 5 donne deux spectres obtenus pour un échantillon contenant du plomb. L'abscisse est l'énergie du rayonnement émis exprimée en keV. Quelles raies ces spectres permettent-ils d'identifier ?…

Montrer que pour une orbite très aplatie on a α ∝ nk, où k est un entier positif dont on déterminera la valeur.

On approche à présent les deux atomes. Comparer qualitativement l'énergie nécessaire pour faire passer un atome depuis l'état fondamental au niveau excité, puis celle nécessaire à faire transiter le…

La figure ci-dessous représente le débit de neutrons reçus par le détecteur en fonction de la distance δ séparant le miroir et l'absorbeur. La courbe pleine correspond au résultat du calcul…

En estimant la vitesse des électrons dans le modèle de Fowler justifier l'argument de Chandrasekhar.

En estimant la vitesse des électrons dans le modèle de Fowler justifier l'argument de Chandrasekhar.

On suppose δ a ≪ a. Montrer qu'au premier ordre non nul en δ a / a la variation d'énergie se met sous la forme Δ E₁ = 1/2 K δ a², on exprimera K en fonction de h, m et a. On rappelle que (1 - ε)⁻² =…

En étudiant la dynamique de l'effondrement (t < 20 ), donner une estimation de N_i et de Δ N_i. On pourra estimer la valeur de Ω₁ dans l'expérience à partir de la courbe de la figure 2 de la partie…

En analysant l'effet sur le système d'une translation de a, indiquer, sans calcul, l'expression correcte de F_α(ka).

En prenant pour valeur le paramètre de maille du silicium 2a = 0,54 nm, calculer dans ce modèle et pour α = 0,2 la largeur en énergie de la première bande d'énergie interdite.