Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2023

Soit un déplacement élémentaire de l'extrémité mobile M. Comme \overrightarrow{OM} = \ell \vec{u} avec \vec{u} vecteur unitaire, on a :

Le vecteur unitaire vérifiant \vec{u}\cdot\vec{u} = 1, sa différentielle est orthogonale à \vec{u} : \vec{u}\cdot\mathrm{d}\vec{u} = 0.

Le travail élémentaire de la force de tension \vec{T} = - T \vec{u} = - k(\ell - \ell_0)\vec{u} s'écrit alors :

Ce travail élémentaire ne dépend que de la variable d'état \ell et s'écrit sous la forme \delta W = -\mathrm{d}E_p, où \mathrm{d}E_p est la différentielle totale exacte d'une fonction d'état :

La force de tension \vec{T} dérive donc d'une énergie potentielle : elle est conservative.

En intégrant par rapport à \ell et en choisissant conventionnellement une énergie potentielle nulle au repos (\ell = \ell_0) :

D'après la loi de Hooke, T = k(\ell - \ell_0) et la souplesse vaut \sigma = 1/k, ce qui donne \ell - \ell_0 = \sigma T. En remplaçant dans l'expression de E_p, on obtient :

D'après la figure 2, le point P précède le point M sur l'axe (Ox), de sorte que la longueur instantanée du ressort s'écrit :

Le ressort, de masse négligeable, exerce à ses deux extrémités des forces de rappel opposées :

• sur le point M : \vec{F}_{\text{ressort} \to M} = -k(\ell - \ell_0)\vec{\mathrm{e}}_x = -k(x_1 - x_2 - \ell_0)\vec{\mathrm{e}}_x ;
• sur le point P : \vec{F}_{\text{ressort} \to P} = -\vec{F}_{\text{ressort} \to M} = k(x_1 - x_2 - \ell_0)\vec{\mathrm{e}}_x.

Chaque masse subit également son poids et la réaction normale de l'axe horizontal, qui se compensent verticalement, ainsi que la force de frottement fluide donnée par l'énoncé :

Appliquons la deuxième loi de Newton dans le référentiel galiléen \mathcal{R} :

• pour la masse m_1 en M :

  m_1 \ddot{x}_1 \vec{\mathrm{e}}_x = \vec{F}_{\text{ressort} \to M} + \vec{f}_{\to M} = \left[-k(x_1 - x_2 - \ell_0) - \lambda_1 \dot{x}_1\right]\vec{\mathrm{e}}_x

• pour la masse m_2 en P :

  m_2 \ddot{x}_2 \vec{\mathrm{e}}_x = \vec{F}_{\text{ressort} \to P} + \vec{f}_{\to P} = \left[k(x_1 - x_2 - \ell_0) - \lambda_2 \dot{x}_2\right]\vec{\mathrm{e}}_x

On obtient le système d'équations différentielles couplées :

D'après la question 2, le système d'équations différentielles régissant le mouvement s'écrit :

En injectant la forme de solution x_i(t) = x_{0i} + a_i \mathrm{e}^{\mu t}, pour laquelle \dot{x}_i(t) = \mu a_i \mathrm{e}^{\mu t} et \ddot{x}_i(t) = \mu^2 a_i \mathrm{e}^{\mu t}, les équations deviennent :

Ces relations devant être vérifiées à chaque instant t, l'identification des termes constants (indépendants du temps) conduit, pour chacune des deux équations, à :

Comme k \neq 0, on obtient la relation :

Commentaire :

• Les constantes x_{01} et x_{02} correspondent aux positions d'équilibre statique des deux masses (solution particulière constante).
• La relation x_{01} - x_{02} = \ell_0 indique qu'à l'équilibre, le ressort est au repos (non déformé) : sa longueur est égale à sa longueur à vide \ell_0 et la tension est nulle.
• Seule la distance relative x_{01} - x_{02} est fixée : les positions individuelles x_{01} et x_{02} ne sont pas déterminées car le système n'est soumis à aucune force de rappel extérieure vers une origine donnée, traduisant l'invariance par translation le long de l'axe (Ox).

D'après les questions 2 et 3, le mouvement des deux masses vérifie :

avec la condition d'équilibre x_{01} - x_{02} = \ell_0.

En injectant la forme proposée x_i(t) = x_{0i} + a_i \mathrm{e}^{\mu t} (d'où \dot{x}_i(t) = \mu a_i \mathrm{e}^{\mu t} et \ddot{x}_i(t) = \mu^2 a_i \mathrm{e}^{\mu t}), les termes constants se compensent exactement grâce à k(x_{01} - x_{02}) = k\ell_0. Après division par le terme non nul \mathrm{e}^{\mu t}, le système devient :

Ce système linéaire s'écrit sous forme matricielle :

Pour que ce système admette une solution non triviale (c'est-à-dire non identiquement nulle, a_1 \neq 0 ou a_2 \neq 0), son déterminant doit être nul :

En développant ce produit, les termes constants k^2 s'annulent, ce qui conduit à :

Comme m_1 m_2 \neq 0, il s'agit bien d'une équation algébrique du quatrième degré en \mu.

D'après l'équation caractéristique obtenue à la question Q4, en posant m_1 = m_2 = m et \lambda_1 = \lambda_2 = 0, l'équation vérifiée par \mu devient :

Cette équation algébrique admet quatre racines :

• \mu = 0, racine double ;
• \mu = \pm \mathrm{j}\omega_p avec \omega_p = \sqrt{\dfrac{2k}{m}}, deux racines imaginaires pures conjuguées.

Les deux racines conjuguées \pm \mathrm{j}\omega_p décrivent le même phénomène oscillatoire réel de pulsation \omega_p. Il n'existe donc que deux solutions physiquement distinctes (les deux modes propres du système).

D'après le système de la question Q4, la relation entre les amplitudes s'écrit :

1. Première solution physique : mode de translation d'ensemble

• Valeur de \mu :

  \boxed{\mu = 0}

• Rapport des amplitudes :

  \boxed{\frac{a_2}{a_1} = 1}
• Nature du mouvement : Puisque a_1 = a_2, les deux masses subissent le même déplacement (x_1(t) - x_2(t) = \text{cte} = \ell_0) : le ressort ne subit aucune déformation. Du fait de la multiplicité 2 de la racine \mu = 0, la solution générale correspond à un mouvement de translation globale uniforme du système (mouvement rectiligne uniforme du centre de masse dans le référentiel galiléen, conformément à la conservation de la quantité de mouvement totale en l'absence de frottement).

2. Seconde solution physique : mode oscillant de déformation

• Valeurs de \mu :

  \boxed{\mu = \pm \mathrm{j}\sqrt{\frac{2k}{m}}}

• Rapport des amplitudes :

  \frac{a_2}{a_1} = 1 + \frac{m}{k}\left(-\frac{2k}{m}\right) \implies \boxed{\frac{a_2}{a_1} = -1}
• Nature du mouvement : Comme a_2 = -a_1, les deux masses oscillent en opposition de phase à la pulsation propre \omega_p = \sqrt{\frac{2k}{m}} de part et d'autre de leur position d'équilibre, de façon symétrique par rapport au centre de masse qui reste fixe. Le ressort se comprime et s'étire périodiquement.

Considérons les deux ressorts alignés le long de l'axe (Ox), avec x_P < x_A < x_M :

• Pour le premier ressort (situé entre P et A), la longueur est \ell_1 = x_A - x_P. La force de tension exercée en A par ce ressort est orientée vers P :

  \vec{F}_{1\to A} = -k_1 (x_A - x_P - \ell_{01})\,\vec{\mathrm{e}}_x = -T_1\,\vec{\mathrm{e}}_x

  et la force exercée en P est \vec{F}_{1\to P} = -\vec{F}_{1\to A} = k_1 (x_A - x_P - \ell_{01})\,\vec{\mathrm{e}}_x = T_1\,\vec{\mathrm{e}}_x, où :

  T_1 = k_1(x_A - x_P - \ell_{01}) = \frac{x_A - x_P - \ell_{01}}{\sigma_1}

• Pour le second ressort (situé entre A et M), la longueur est \ell_2 = x_M - x_A. La force de tension exercée en M est orientée vers A :

  \vec{F}_{2\to M} = -k_2 (x_M - x_A - \ell_{02})\,\vec{\mathrm{e}}_x = -T_2\,\vec{\mathrm{e}}_x

  et la force exercée en A est \vec{F}_{2\to A} = -\vec{F}_{2\to M} = k_2 (x_M - x_A - \ell_{02})\,\vec{\mathrm{e}}_x = T_2\,\vec{\mathrm{e}}_x, où :

  T_2 = k_2(x_M - x_A - \ell_{02}) = \frac{x_M - x_A - \ell_{02}}{\sigma_2}

Le point d'attache A a une masse négligeable (m_A \to 0). D'après la relation fondamentale de la dynamique appliquée à ce point dans le référentiel galiléen :

Les deux tensions sont donc égales à chaque instant :

Les longueurs de chaque tronçon s'écrivent :

En additionnant membre à membre ces deux relations, la coordonnée intermédiaire x_A s'élimine :

Pour un ressort unique équivalent reliant P à M, soumis à la tension T à son extrémité M (\vec{F}_{\text{éq}\to M} = -T\,\vec{\mathrm{e}}_x) et à l'opposé en P, la loi de Hooke impose :

Par identification, on en déduit les caractéristiques du ressort équivalent :

Considérons deux ressorts de raideurs k_1 et k_2, disposés en parallèle entre un support fixe et une barre rigide mobile indéformable, astreinte à se déplacer selon l'axe horizontal (Ox) :

Les deux ressorts étant reliés à la même pièce mobile indéformable, ils subissent le même allongement \Delta \ell = \ell - \ell_0 (en supposant des longueurs au repos identiques).

La force totale \vec{F} = F \vec{\mathrm{e}}_x exercée pour maintenir cet allongement est la somme des tensions développées par chacun des ressorts :

Par identification avec la loi de Hooke pour un unique ressort équivalent soumis au même allongement, F = k_{\text{éq}} \Delta \ell, on obtient la raideur équivalente :

Pour un conducteur métallique cylindrique, homogène, de longueur L et de section droite constante s, les lois fondamentales de la conduction électrique donnent :

• la conductance électrique :

  G = \gamma \, \frac{s}{L}

  où \gamma désigne la conductivité électrique du matériau ;

• la résistance électrique :

  R = \frac{1}{G} = \rho \, \frac{L}{s}

  où \rho = 1/\gamma désigne la résistivité électrique.

Par analogie directe avec l'expression (1) de la raideur k = E \frac{s}{L} et de la souplesse \sigma = \frac{1}{k} = \frac{1}{E}\frac{L}{s} :

• la raideur k est analogue à la conductance électrique G ;
• le module d'élasticité E est analogue à la conductivité électrique \gamma ;
• la souplesse élastique \sigma = 1/k est analogue à la résistance électrique R, et l'inverse du module d'élasticité 1/E à la résistivité \rho.

Pour déterminer la dimension de E, on isole E dans la relation (1) :

D'après la loi de Hooke, la tension est T = k(\ell - \ell_0), d'où [k] = [T]/[L]. La tension étant une force, sa dimension est [T] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}, soit :

On en déduit la dimension du module d'élasticité :

La tige métallique étant homogène, de masse totale M et de longueur au repos L, sa masse linéique au repos est constante :

L'élément de tige \Sigma, de longueur \mathrm{d}r au repos, a donc pour masse :

D'après la relation (1) établie dans la partie précédente, un barreau élastique homogène de module d'élasticité E, de section constante s et de longueur au repos \ell possède une raideur k = E\frac{s}{\ell} et donc une souplesse \sigma = \frac{1}{k} = \frac{\ell}{Es}.

Considéré au repos, le tronçon infinitésimal \Sigma possède la section s et une longueur élémentaire \ell = \mathrm{d}r. Il est donc assimilable à un ressort élémentaire de raideur :

La souplesse élémentaire \mathrm{d}\sigma associée à ce tronçon vaut l'inverse de cette raideur infinitésimale :

Au repos, le système matériel \Sigma est délimité par les sections droites d'abscisses r et r + \mathrm{d}r, soit une longueur au repos \mathrm{d}\ell_0 = \mathrm{d}r.

En mouvement, sous l'effet de la rotation, ces deux sections se déplacent le long de l'axe (Or) :

• la section à l'abscisse r se trouve en r + \xi(r) ;

• la section à l'abscisse r + \mathrm{d}r se trouve en :

  r + \mathrm{d}r + \xi(r + \mathrm{d}r) = r + \mathrm{d}r + \xi(r) + \frac{\partial\xi}{\partial r}\mathrm{d}r

La longueur en mouvement de l'élément \Sigma est donc :

L'allongement de l'élément \Sigma s'écrit alors :

D'après la question Q9, ce tronçon se comporte comme un ressort de raideur :

La tension interne scalaire au sein du tronçon est donc donnée par la loi de Hooke :

Lorsque le tronçon est étiré (\partial\xi/\partial r > 0), la force élastique exercée par \Sigma sur la partie intérieure [0, r] (située à sa gauche) tend à rappeler cette partie vers les r croissants, c'est-à-dire dans le sens du vecteur unitaire horizontal \vec{e}_r :

On obtient ainsi :

On étudie le tronçon infinitésimal \Sigma, compris au repos entre les abscisses r et r + \mathrm{d}r, dans le référentiel (\mathcal{R}') lié à la tige tournante à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega_0 \vec{\mathrm{e}}_z. Ce référentiel est non galiléen.

En régime permanent, l'élément \Sigma est à l'équilibre relatif dans (\mathcal{R}'). Il est soumis aux actions suivantes selon l'axe horizontal radial \vec{\mathrm{e}}_r :

• la force de tension exercée en r par la partie intérieure [0, r] : par le principe des actions réciproques et d'après le résultat de la question Q10, cette force vaut -T(r) \vec{\mathrm{e}}_r ;
• la force de tension exercée en r+\mathrm{d}r par la partie extérieure [r+\mathrm{d}r, L] : elle vaut +T(r + \mathrm{d}r) \vec{\mathrm{e}}_r ;
• la force d'inertie de Coriolis, qui est nulle car \Sigma est immobile dans (\mathcal{R}') (\vec{v}_r = \vec{0}) ;

• la force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) :

  \mathrm{d}\vec{F}_{ie} = \mathrm{d}M \, \omega_0^2 \, [r + \xi(r)] \, \vec{\mathrm{e}}_r \approx \mathrm{d}M \, \omega_0^2 \, r \, \vec{\mathrm{e}}_r

  puisque l'on se place dans le cadre des petites déformations élastiques (\xi(r) \ll r).

D'après la question Q9, la masse de ce tronçon est \mathrm{d}M = \frac{M}{L}\mathrm{d}r.

La condition d'équilibre relatif de \Sigma s'écrit :

soit, en projetant sur \vec{\mathrm{e}}_r au premier ordre en \mathrm{d}r :

En injectant la relation issue de la question Q10, T(r) = E s \frac{\partial \xi}{\partial r}, on obtient :

ce qui conduit bien à la forme demandée :

Conditions aux limites :

• En r = 0, la tige est fixée à l'axe de rotation (Oz), le déplacement y est donc nul :

  \xi(0) = 0

• En r = L, l'extrémité de la tige est libre de toute contrainte extérieure. La tension s'y annule, soit T(L) = 0, ce qui impose d'après la relation T(r) = E s \frac{\partial \xi}{\partial r} (question Q10) :

  \left.\frac{\partial \xi}{\partial r}\right|_{r=L} = 0

Détermination de \xi(r) : D'après la question Q11, l'équation différentielle vérifiée par \xi s'écrit :

Une première intégration par rapport à r donne :

La condition en r = L conduit à :

D'où l'expression de la déformation relative locale :

En intégrant une seconde fois :

La condition \xi(0) = 0 implique immédiatement C_2 = 0. En remplaçant \chi = \frac{M\omega_0^2}{E s L} (question Q11), on obtient :

Expression de T(0) et commentaire : La tension en tout point r s'exprime par :

En r = 0, la tension exercée sur le point d'ancrage vaut donc :

Le centre d'inertie G de la tige non déformée se situe à r_G = L/2. La résultante des forces d'inertie d'entraînement centrifuges s'exerçant sur la tige au repos dans le référentiel tournant est :

L'expression de T(0) traduit donc exactement l'équilibre global de la tige dans le référentiel tournant : la force de rappel exercée par l'axe en r = 0 compense l'ensemble des forces centrifuges d'entraînement appliquées à la tige (au premier ordre en \xi/L \ll 1).

D'après la question Q8, le module d'élasticité E est homogène à une pression, soit :

Examinons la dimension des différents paramètres intervenant dans l'expression de E :

• la masse de l'électron : [m_e] = \mathrm{M} ;

• la constante de Planck, dont l'unité est le \mathrm{J\cdot s} = (\mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}})\cdot\mathrm{s} :

  [h] = \mathrm{M\,L^2\,T^{-1}}
• la dimension de la maille cristalline : [a] = \mathrm{L} ;
• la constante C est adimensionnée : [C] = 1.

La relation E = C\,m_e^\alpha h^\beta a^\gamma impose l'égalité des dimensions :

Par identification des exposants de \mathrm{T}, \mathrm{M} et \mathrm{L} :

On en déduit donc l'expression approchée du module de Young :

soit E = C\,\dfrac{h^2}{m_e a^5}.

La grandeur a représente la dimension caractéristique d'une maille élémentaire d'un cristal métallique (paramètre de maille), qui est de l'ordre de grandeur de la distance interatomique dans les solides :

D'après le résultat de la question précédente, le module d'élasticité s'exprime selon :

Avec les données numériques fournies :

• h = 6{,}6\cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \implies h^2 \approx 4{,}4\cdot 10^{-67}\text{ J}^2\cdot\text{s}^2,
• m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\text{ kg}.

En prenant la valeur typique d'un paramètre de maille cristalline métallique, a \approx 3\cdot 10^{-10}\text{ m} :

Si l'on retient la valeur plus grossière a \sim 10^{-10}\text{ m}, on trouve E \sim 5\cdot 10^{13}\text{ Pa}. Compte tenu de la puissance 5 sur a, on retient :

D'après l'interprétation probabiliste de Max Born, la fonction d'onde \Psi(\vec{r}, t) n'est pas directement une grandeur physique mesurable, mais son module au carré représente la densité volumique de probabilité de présence de la particule au point \vec{r} à l'instant t :

représente la probabilité de trouver la particule dans le volume élémentaire \mathrm{d}^3\vec{r} = \mathrm{d}\tau autour de la position \vec{r} à l'instant t.

Si la particule est confinée dans l'espace, la probabilité totale de la trouver vaut 1, ce qui impose la condition de normalisation :

Une probabilité étant sans dimension ([\mathrm{d}P] = 1) et le volume élémentaire ayant pour dimension [\mathrm{d}^3\vec{r}] = \mathrm{L}^3, la densité volumique de probabilité vérifie :

On en déduit la dimension de la fonction d'onde en trois dimensions :

Dans le Système international, \Psi s'exprime en \mathrm{m}^{-3/2}.

Le potentiel U(\vec{r}) étant indépendant du temps, injectons la forme factorisée \Psi(\vec{r}, t) = \Phi(\vec{r}) W(t) dans l'équation de Schrödinger (2) :

En divisant chaque membre par \Phi(\vec{r}) W(t) en tout point où la fonction d'onde ne s'annule pas, on obtient :

Le membre de gauche ne dépend que des coordonnées d'espace \vec{r}, tandis que le membre de droite ne dépend que du temps t. Par conséquent, ces deux membres sont égaux à une même constante indépendante de \vec{r} et de t, homogène à une énergie, que l'on note \mathcal{E} :

En intégrant cette équation différentielle linéaire du premier ordre (en absorbant une constante multiplicative arbitraire dans la fonction spatiale \Phi), on obtient :

Cette solution particulière obtenue par séparation des variables correspond à un état stationnaire (ou mode propre d'énergie \mathcal{E}).

À l'intérieur du puits (0 < x < a_1, 0 < y < a_2, 0 < z < a_3), le potentiel est constant égal à U_0. L'équation aux valeurs propres de l'énergie (équation de Schrödinger stationnaire établie en Q16) s'écrit :

En introduisant la forme à variables séparées \Phi(x, y, z) = F_1(x) F_2(y) F_3(z), le laplacien s'écrit :

En divisant par \Phi(x,y,z) \neq 0, il vient :

Chaque terme du membre de gauche dépend d'une variable spatiale indépendante, tandis que le membre de droite est constant. Par séparation de variables, chacun des termes est nécessairement une constante, que l'on note -k_i^2 (avec k_i > 0 pour obtenir des états liés oscillants non nuls vérifiant les conditions aux limites) :

avec (x_1, x_2, x_3) = (x, y, z). La solution générale s'écrit :

Le potentiel étant infini à l'extérieur du domaine, la probabilité de présence y est strictement nulle, ce qui impose \Psi = 0 à l'extérieur. Par continuité de la fonction d'onde aux frontières du puits :

• En x_i = 0 : F_i(0) = 0 \implies A_i = 0.
• En x_i = a_i : F_i(a_i) = 0 \implies B_i \sin(k_i a_i) = 0.

Pour avoir une solution non identiquement nulle (B_i \neq 0), le nombre d'onde k_i doit satisfaire la condition de quantification :

À une constante multiplicative près, les fonctions spatiales s'écrivent donc :

où n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{N}^*.

D'après l'équation de Schrödinger indépendante du temps établie pour un état stationnaire d'énergie \mathcal{E} à l'intérieur du puits (où U(\vec{r}) = U_0) :

En insérant la forme séparable \Phi(x,y,z) = F_1(x)F_2(y)F_3(z) et en divisant par \Phi, il vient :

D'après la question Q17, chaque composante spatiale s'écrit F_i(x_i) \propto \sin\left(\frac{n_i \pi x_i}{a_i}\right) avec n_i \in \mathbb{N}^*, de sorte que :

En reportant ces dérivées secondes et en utilisant la relation \hbar = \frac{h}{2\pi}, soit \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} = \frac{h^2}{8m}, on obtient le spectre d'énergie :

L'état fondamental correspond au niveau d'énergie minimale accessible au système. Puisque les entiers strictement positifs vérifient n_i \ge 1, le minimum absolu est obtenu pour le triplet quantique (n_1, n_2, n_3) = (1, 1, 1), ce qui conduit bien à :

Dans l'état initial isotrope, le puits est un cube de côté a (a_1 = a_2 = a_3 = a). D'après la relation (3) établie à la question précédente :

Lors de la compression, la dimension selon l'axe (Ox) devient a_1 = a - \delta a. Les deux autres dimensions restent égales (a_2 = a_3). La conservation du volume impose :

On en déduit l'expression de a_2^2 :

L'énergie de l'état fondamental dans l'état déformé s'écrit alors :

La variation d'énergie de l'état fondamental \Delta \mathcal{E}_1 = \mathcal{E}_{f,\text{final}} - \mathcal{E}_{f,\text{initial}} est donc :

En mettant en facteur le terme énergétique caractéristique \dfrac{h^2}{8ma^2}, on obtient :

D'après la question Q19, la variation d'énergie s'écrit :

En posant \epsilon = \frac{\delta a}{a} \ll 1, le terme entre crochets s'exprime sous la forme :

En utilisant le développement limité fourni par l'énoncé au voisinage de \epsilon = 0 :

En sommant ces deux contributions :

Le terme d'ordre 1 en \epsilon s'annule exactement, et le premier ordre non nul est donc l'ordre 2 :

Par identification avec l'expression demandée \Delta \mathcal{E}_1 = \frac{1}{2} K \delta a^2, il vient :

d'où l'expression de la constante de raideur microscopique K :

La tige, de section constante s et de longueur initiale L, possède un volume macroscopique :

À l'échelle microscopique, le milieu est modélisé par un pavage de zones cubiques identiques de côté a, chacune occupant un volume élémentaire :

En admettant que ces cubes pavent l'intégralité du volume de la tige, le nombre total N de cubes élémentaires s'obtient par le rapport des volumes :

d'où :

La tige, de longueur initiale L, est découpée le long de l'axe (Ox) en une file de N_x cubes élémentaires de dimension axiale a, de sorte que :

Puisque la déformation est supposée uniforme sur toute la longueur de la tige, chaque cellule subit le même raccourcissement axial \delta a. Le raccourcissement macroscopique global \delta L est la somme des raccourcissements individuels de ces N_x mailles :

On en déduit immédiatement la relation liant la déformation microscopique \delta a à la déformation macroscopique \delta L :

L'énoncé précise que le travail de compression se traduit par l'augmentation d'énergie des électrons du milieu, à raison d'un électron par cube élémentaire. L'augmentation d'énergie totale de la tige s'obtient donc en sommant l'énergie de déformation microscopique \Delta \mathcal{E}_1 sur les N cubes :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q20, Q21 et Q22 :

il vient :

Lors d'un raccourcissement élémentaire quasi-statique \mathrm{d}(\delta L), le travail élémentaire reçu par la tige sous l'action des forces de compression appliquées à ses extrémités s'écrit \delta W = F \, \mathrm{d}(\delta L).

Ce travail est intégralement converti en énergie interne (ici l'énergie quantique de confinement des électrons), d'où :

On en déduit l'expression de la force de compression F :

D'après la question Q23, la force macroscopique exercée sur la tige comprimée s'écrit :

La tige se comporte donc comme un système élastique de raideur macroscopique :

Or, d'après la relation (1) de l'énoncé, cette raideur est reliée au module d'élasticité E par :

Par identification directe entre ces deux expressions, il vient :

En injectant l'expression de la raideur quantique microscopique K obtenue à la question Q20 en prenant la masse de l'électron m = m_e :

on obtient pour le module d'élasticité de Young :

Comparaison avec la partie II.A. À la question Q13, l'analyse dimensionnelle heuristique postulait la forme :

Le modèle quantique microscopique reproduit exactement les dépendances fonctionnelles trouvées par analyse dimensionnelle et permet en outre de déterminer la constante sans dimension C :

Cette valeur numérique est bien de l'ordre de grandeur de l'unité, en parfait accord avec l'hypothèse formulée dans la sous-partie II.A.

On étudie la plaque de masse m, assimilée à un point matériel, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'axe (Oz) est vertical et orienté vers le bas, l'origine O coïncidant avec le point d'attache fixe du ressort. La longueur du ressort est donc \ell = z.

La plaque est soumise à deux forces conservatives :

• son poids : \vec{P} = m g \, \vec{\mathrm{e}}_z ;
• la force de rappel élastique : \vec{T} = -k(z - \ell_0)\,\vec{\mathrm{e}}_z = -\dfrac{1}{\sigma}(z - \ell_0)\,\vec{\mathrm{e}}_z.

À l'équilibre statique en z = z_0, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

d'où l'expression de la position d'équilibre :

Le travail élémentaire total de ces deux forces lors d'un déplacement \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}z\,\vec{\mathrm{e}}_z = \mathrm{d}z'\,\vec{\mathrm{e}}_z vaut :

En exprimant z - \ell_0 en fonction de z' = z - z_0 :

on obtient :

L'énergie potentielle totale E_p dérive de ce travail selon \mathrm{d}E_p = -\delta W = \dfrac{z'}{\sigma}\,\mathrm{d}z'. En choisissant l'origine des énergies potentielles à la position d'équilibre (E_p(z'=0) = 0), on intègre directement :

D'après la loi de Boltzmann, à l'équilibre thermique avec un thermostat à la température \theta, la densité de probabilité pour une variable continue d'énergie potentielle E_p(z') est proportionnelle au facteur de Boltzmann :

En utilisant l'expression établie à la question Q25, E_p(z') = \dfrac{z'^2}{2\sigma}, il vient :

Par identification avec la forme donnée P(z') = \dfrac{1}{\zeta(\theta)}\exp\left(-\gamma(\theta)z'^2\right), on en déduit :

La fonction P(z') étant une densité de probabilité, elle vérifie la condition de normalisation :

L'intégrande étant une fonction paire de z', l'intégrale s'écrit :

En utilisant la formule donnée avec a = \gamma(\theta) :

on obtient :

En remplaçant \gamma(\theta) par son expression :

La densité de probabilité de Boltzmann :

est une fonction paire de l'écart à l'équilibre z'.

La fonction z' \mapsto z' P(z') étant impaire et le domaine d'intégration étant symétrique par rapport à l'origine, l'intégrale définissant la valeur moyenne est nulle :

Par définition de la valeur moyenne pour la variable aléatoire continue z' régie par la densité de probabilité P(z'), on a :

L'intégrande étant une fonction paire de z', l'intégrale sur \mathbb{R} s'écrit :

En utilisant la seconde intégrale fournie par l'énoncé avec a = \gamma(\theta) :

Il vient ainsi :

En rappelant que d'après la question 26, \zeta(\theta) = \sqrt{\frac{\pi}{\gamma}}, on obtient :

Puisque \gamma(\theta) = \dfrac{1}{2\sigma k_{\mathrm{B}}\theta} (question 26) :

Commentaire au regard du théorème d'équipartition de l'énergie :
Le système est à l'équilibre thermique à la température \theta. L'énergie potentielle totale associée à l'écart à l'équilibre z' est purement quadratique :

D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie, chaque degré de liberté apparaissant sous forme quadratique dans l'expression de l'énergie d'un système classique à l'équilibre thermique à température \theta contribue en moyenne pour \frac{1}{2}k_{\mathrm{B}}\theta à l'énergie totale :

On retrouve ainsi directement l'expression de la variance des fluctuations de position :

La mesure expérimentale des fluctuations spatiales \langle z'^2 \rangle constitue donc une méthode directe de détermination de la constante de Boltzmann k_{\mathrm{B}}.

1. Autres manifestations du mouvement brownien :

• Suspensions colloïdales historiques : L'observation initiale par le botaniste Robert Brown (1827) du mouvement erratique de grains de pollen (ou de leurs vacuoles) en suspension dans l'eau sous microscope, ainsi que l'agitation désordonnée de particules de fumée ou de suie dans l'air.
• Microsphères et émulsions colloïdales : Les microbilles calibrées (en silice, en latex ou grains de gomme-gutte) dispersées dans un solvant liquide, qui continuent d'être utilisées pour sonder les fluctuations thermiques à l'échelle mésoscopique.
• Bruit thermique électrique (bruit de Johnson-Nyquist) : L'agitation thermique désordonnée des électrons de conduction au sein d'une résistance ohmique crée des fluctuations aléatoires de tension à ses bornes, constituant l'analogue électrique direct du mouvement brownien.

2. Vérifications expérimentales majeures de la loi de Boltzmann :

• L'expérience de sédimentation de Jean Perrin (1908) : Perrin a mesuré au microscope la répartition verticale de billes de gomme-gutte en suspension dans l'eau à l'équilibre thermique sous l'effet de la pesanteur. La densité volumique de billes suit la loi de distribution de Boltzmann :

  n(z) = n_0 \exp\left(-\frac{m^* g z}{k_{\mathrm{B}} \theta}\right)

  où m^* est la masse effective apparente tenant compte de la poussée d'Archimède. En comptant les particules couche par couche à différentes altitudes z, Perrin a vérifié la loi exponentielle de Boltzmann et déterminé pour la première fois avec précision la constante de Boltzmann k_{\mathrm{B}} ainsi que le nombre d'Avogadro \mathcal{N}_{\mathrm{A}}, ce qui lui a valu le prix Nobel de physique en 1926.

• Diffusion et relation d'Einstein (1905) : La mesure de l'accroissement quadratique moyen du déplacement au cours du temps \langle \Delta x^2(t) \rangle = 2 D t, couplée à la formule d'Einstein–Stokes D = \frac{k_{\mathrm{B}} \theta}{6\pi \eta r}, a également permis à Perrin de mesurer k_{\mathrm{B}}.
• Mesure du bruit de résistance par Johnson et Nyquist (1928) : La mesure de la valeur quadratique moyenne des fluctuations de tension aux bornes d'une résistance R non alimentée dans une bande passante \Delta f, \langle V^2 \rangle = 4 k_{\mathrm{B}} \theta R \Delta f, a fourni une vérification électrique directe et indépendante du facteur k_{\mathrm{B}}\theta.