Feuille d'entraînement : Cinématique et dynamique du point

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique MP 2025, Q1

   1. Référentiel géocentrique : Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de masse (ou centre géométrique) de la Terre et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes (directions invariables par rapport au référentiel de Copernic). Il est en translation circulaire (quasi uniforme) par rapport au référentiel héliocentrique.
   2. Référentiel galiléen : Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout système matériel mécaniquement isolé (ou pseudo-isolé) y est soit au repos, soit en mouvement rectiligne et uniforme. Le principe fondamental de la dynamique s'y applique sous sa forme usuelle, sans faire intervenir de forces d'inertie.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique MP 2025, Q21

   Une particule de charge q animée d'une vitesse \vec{v} dans le plasma est soumise à la force de Lorentz :

   \vec{F}_L = \vec{F}_e + \vec{F}_m = q\vec{E} + q(\vec{v}\wedge\vec{B})

   L'ordre de grandeur de la composante électrique de cette force est :

   \|\vec{F}_e\| = |q| E

   et celui de la composante magnétique est majoré par :

   \|\vec{F}_m\| \le |q| v B

   D'après l'énoncé, le rapport des amplitudes du champ magnétique et du champ électrique dans le plasma est du même ordre de grandeur que dans le vide, soit :

   B \sim \frac{E}{c}

   Le rapport des normes s'écrit alors :

   \frac{\|\vec{F}_m\|}{\|\vec{F}_e\|} \sim \frac{v B}{E} \sim \frac{v}{c}

   Pour que la composante magnétique soit négligeable devant la composante électrique (\|\vec{F}_m\| \ll \|\vec{F}_e\|), la vitesse des particules chargées doit vérifier la condition :

   \boxed{v \ll c}

   Le mouvement des électrons et des cations doit donc être non relativiste.

   Résultat

   $$v\ll c$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique MP 2025, Q41

   Dans le repère polaire (O, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta) lié au référentiel d'étude, la base locale vérifie les relations de dérivation temporelle :

   \frac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}\,\vec{e}_\theta \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}\vec{e}_\theta}{\mathrm{d}t} = -\dot{\theta}\,\vec{e}_r.

   • Le vecteur position s'écrit directement :

     \boxed{\vec{r} = \overrightarrow{OM} = r\,\vec{e}_r}

   • Le vecteur vitesse s'obtient par dérivation temporelle du vecteur position :

     \vec{v} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t} = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\frac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}t}

     soit :

     \boxed{\vec{v} = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta}

   • Le vecteur accélération s'obtient en dérivant à nouveau par rapport au temps :

     \begin{aligned} \vec{a} &= \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \ddot{r}\,\vec{e}_r + \dot{r}\frac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}t} + (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\vec{e}_\theta + r\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}\vec{e}_\theta}{\mathrm{d}t} \\ &= \ddot{r}\,\vec{e}_r + \dot{r}\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta + (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\vec{e}_\theta - r\dot{\theta}^2\,\vec{e}_r \end{aligned}

     soit en regroupant selon les axes de la base polaire :

     \boxed{\vec{a} = \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\right)\vec{e}_r + \left(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}\right)\vec{e}_\theta}

   Résultat

   $$\vec{r}=\overrightarrow{OM}=r{\vec{e}}_r$$

   $$\vec{v}=\dot{r}{\vec{e}}_r+r\dot{\theta }{\vec{e}}_{\theta }$$

   $$\vec{a}=\left(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2\right){\vec{e}}_r+\left(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }\right){\vec{e}}_{\theta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q11

   On étudie le mouvement d'un électron (masse m_e, charge q = -e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'électron est soumis à la seule force de Lorentz :

   \vec{F}_L = -e\,\vec{v}\wedge\vec{B}

   le poids étant totalement négligeable devant cette force magnétique.

   La puissance développée par la force magnétique est nulle à tout instant :

   \mathcal{P} = \vec{F}_L \cdot \vec{v} = -e\,(\vec{v}\wedge\vec{B})\cdot\vec{v} = 0

   D'après le théorème de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique de l'électron est constante, et sa vitesse a donc une norme constante égale à sa vitesse initiale : v = v_0. Il en est de même pour la norme de sa quantité de mouvement :

   p = m_e v_0 = \text{cte}

   Puisque la trajectoire est circulaire de rayon R_B parcourue à la vitesse constante v_0, le vecteur accélération dans la base de Frenet (\vec{u}_T, \vec{u}_N) est purement centripète :

   \vec{a} = \frac{v_0^2}{R_B}\,\vec{u}_N

   Par ailleurs, la vitesse étant orthogonale au champ magnétique (\vec{v} \perp \vec{B} car la vitesse initiale est selon \vec{e}_z et le champ selon \vec{e}_y), la force de Lorentz est contenue dans le plan de trajectoire et sa norme s'écrit :

   \|\vec{F}_L\| = |-e|\,\|\vec{v}\wedge\vec{B}\| = e\,v_0 B_0

   La relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'électron et projetée sur l'axe normal \vec{u}_N donne :

   m_e \frac{v_0^2}{R_B} = e\,v_0 B_0 \iff m_e v_0 = e B_0 R_B

   En identifiant p = m_e v_0, on obtient la relation demandée :

   \boxed{B_0 = \frac{p}{e R_B}}

   Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R_B à la vitesse v_0, la pulsation de rotation \omega_B (aussi appelée pulsation cyclotron) s'exprime par \omega_B = \frac{v_0}{R_B}. En utilisant v_0 = \frac{e B_0 R_B}{m_e}, on en déduit :

   \boxed{\omega_B = \frac{e B_0}{m_e}}

   Résultat

   $$B_0=\frac{p}{e{R}_B}$$

   $${\omega }_B=\frac{e{B}_0}{m_e}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2025, Q25

   Considérons la collision élastique (réflexion spéculaire) d'un photon sur la voile parfaitement réfléchissante. Choisissons un repère orthonormé (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y) où \vec{e}_x est le vecteur unitaire normal au plan de la voile, dirigé dans le sens du faisceau réfléchi (vers l'arrière de la voile par rapport au flux incident).

   D'après la figure 10, le vecteur quantité de mouvement d'un photon incident s'écrit :

   \vec{p}_{\text{inc}} = p \cos\beta\,\vec{e}_x + p \sin\beta\,\vec{e}_y

   où p = \frac{h}{\lambda} d'après la question Q23.

   La réflexion étant parfaitement spéculaire, la composante tangentielle de la quantité de mouvement est conservée tandis que la composante normale est inversée :

   \vec{p}_{\text{réfl}} = -p \cos\beta\,\vec{e}_x + p \sin\beta\,\vec{e}_y

   La variation de quantité de mouvement subie par un photon lors du choc est donc :

   \Delta \vec{p}_{\text{photon}} = \vec{p}_{\text{réfl}} - \vec{p}_{\text{inc}} = -2 p \cos\beta\,\vec{e}_x

   Par principe des actions réciproques (ou par conservation de la quantité de mouvement totale du système isolé \{\text{voile} + \text{photons}\}), la quantité de mouvement transmise à la voile par un photon vaut :

   \delta \vec{p}_{\text{voile, 1}} = -\Delta \vec{p}_{\text{photon}} = 2 p \cos\beta\,\vec{e}_x

   Pendant la durée \delta t, le nombre de photons se réfléchissant sur la voile est \delta N. La variation totale de quantité de mouvement de la voile s'écrit donc :

   \delta \vec{p}_{\text{voile}} = \delta N \times \delta \vec{p}_{\text{voile, 1}} = 2 p \cos\beta\,\delta N\,\vec{e}_x

   En utilisant les expressions obtenues aux questions Q23 et Q24 (p = \frac{h}{\lambda} et \delta N = \frac{I_s \lambda S \cos\beta\,\delta t}{h c}), on obtient :

   \begin{aligned} \delta \vec{p}_{\text{voile}} &= 2 \left(\frac{h}{\lambda}\right) \cos\beta \times \left(\frac{I_s \lambda S \cos\beta\,\delta t}{h c}\right) \vec{e}_x \\ &= \frac{2 I_s \cos^2\beta}{c} S\,\delta t\,\vec{e}_x \end{aligned}

   La force moyenne exercée par les photons sur la voile est :

   \vec{F} = \frac{\delta \vec{p}_{\text{voile}}}{\delta t} = \frac{2 I_s \cos^2\beta}{c} S\,\vec{e}_x

   Cette force est proportionnelle à l'aire S de la surface et dirigée selon la normale \vec{e}_x. Elle s'identifie donc à une force de pression \vec{F} = p_r S \vec{e}_x, associée à la pression de radiation :

   \boxed{p_r = \frac{2 I_s \cos^2 \beta}{c}}

   Résultat

   $$p_r=\frac{2I_s{\cos }^2\beta }{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MP 2025, Q4

   On suspend verticalement un ressort de raideur k et de longueur à vide \ell_0 à un support fixe. On accroche l'objet de masse m à son extrémité inférieure libre et on attend que l'ensemble atteigne sa position d'équilibre. On mesure alors la longueur finale \ell_{\text{éq}} du ressort, ce qui donne l'allongement \Delta \ell = \ell_{\text{éq}} - \ell_0.

   On étudie le système constitué de la masse m dans le référentiel terrestre considéré galiléen. À l'équilibre, la masse est soumise à deux forces :

   • son poids effectif : \vec{P} = -m g \, \vec{u}_z ;
   • la tension de rappel du ressort : \vec{T} = k (\ell_{\text{éq}} - \ell_0) \, \vec{u}_z = k \, \Delta \ell \, \vec{u}_z.

   D'après le principe fondamental de la statique (ou la première loi de Newton) :

   \vec{P} + \vec{T} = \vec{0}

   En projetant sur l'axe vertical ascendant \vec{u}_z, il vient :

   -m g + k \, \Delta \ell = 0

   On en déduit l'expression de la masse :

   \boxed{m = \frac{k \, \Delta \ell}{g}}

   Résultat

   $$m=\frac{k\Delta \ell }{g}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q2

   • Référentiel galiléen : Un référentiel est dit galiléen (ou inertiel) si le principe d'inertie (première loi de Newton) y est vérifié : tout système isolé ou pseudo-isolé y est soit au repos, soit en mouvement de translation rectiligne et uniforme.
   • Référentiel de Copernic \mathscr{R}_0 : C'est le référentiel dont l'origine est le centre de masse du système solaire (souvent confondu en première approximation avec le centre du Soleil) et dont les trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.
   • Référentiel géocentrique \mathscr{R}_g : C'est le référentiel dont l'origine est le centre de la Terre T et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic (pointés vers les mêmes étoiles lointaines). Il est donc en mouvement de translation (non rectiligne uniforme) par rapport à \mathscr{R}_0.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique MP 2025, Q6

   D'après la question 5b, le micromouvement s'écrit :

   \xi_i(t) = \frac{q_i}{2} R_i(t) \cos(\Omega t)

   Insérons cette expression dans le terme de couplage de l'équation séculaire (3) issue de la question 4 :

   \langle \xi_i(t)\cos(\Omega t) \rangle = \left\langle \frac{q_i}{2} R_i(t)\cos^2(\Omega t) \right\rangle

   Puisque R_i(t) varie sur une échelle de temps très grande devant la période d'oscillation 2\pi/\Omega, elle peut être considérée comme constante lors de l'intégration sur une période :

   \begin{aligned} \langle \xi_i(t)\cos(\Omega t) \rangle &\approx \frac{q_i}{2} R_i(t) \langle \cos^2(\Omega t) \rangle \\ &= \frac{q_i}{2} R_i(t) \times \frac{1}{2} = \frac{q_i}{4} R_i(t) \end{aligned}

   car \langle \cos^2(\Omega t) \rangle = \frac{\Omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\Omega} \frac{1+\cos(2\Omega t)}{2}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}.

   De plus, la dérivée seconde de la variable lente vérifie \langle \ddot{R}_i \rangle \approx \ddot{R}_i(t). L'équation séculaire devient alors :

   \ddot{R}_i + q_i\frac{\Omega^2}{2}\left(\frac{q_i}{4} R_i\right) = 0 \iff \ddot{R}_i + \frac{q_i^2 \Omega^2}{8} R_i = 0

   En multipliant par la masse m, on obtient l'équation du mouvement :

   m\ddot{R}_i = -\frac{\mathrm{d}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}R_i} \quad \text{avec} \quad U_{\mathrm{eff}}(R_i) = \frac{1}{2}m\omega_i^2 R_i^2

   La pulsation propre associée à ce potentiel harmonique effectif est donc :

   \boxed{\omega_i = \frac{|q_i|\,\Omega}{2\sqrt{2}}}

   En utilisant la relation q_i = n_i\left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2 définie à la question 3, on peut également exprimer \omega_i sous la forme :

   \omega_i = \frac{|n_i|}{2\sqrt{2}}\frac{\omega^2}{\Omega}

   Comme on se place dans le régime \Omega \gg \omega, on a |q_i| \ll 1, d'où :

   \boxed{\omega_i \ll \Omega}

   Le mouvement séculaire s'effectue donc à une pulsation propre bien inférieure à la pulsation d'excitation du piège.

   Résultat

   $${\omega }_i=\frac{|q_i|\Omega }{2\sqrt{2}}$$

   $${\omega }_i\ll \Omega$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique-SI MP 2025, Q4

   L'avant-bras passe de la position angulaire initiale \theta_1(0) = -\theta_0 à la position finale \theta_1(T) = \theta_0 au cours de l'intervalle de temps [0, T]. La variation totale d'angle vaut donc :

   \Delta \theta_1 = \theta_1(T) - \theta_1(0) = \theta_0 - (-\theta_0) = 2\theta_0

   Par définition de la vitesse angulaire \dot{\theta}_1 = \frac{\mathrm{d}\theta_1}{\mathrm{d}t}, cette variation s'obtient également par intégration temporelle :

   \Delta \theta_1 = \int_0^T \dot{\theta}_1(t)\,\mathrm{d}t

   D'après la figure 6, le profil de vitesse \dot{\theta}_1(t) est triangulaire, de base T et de hauteur \omega_{\max}. L'intégrale correspond directement à l'aire de ce triangle :

   \int_0^T \dot{\theta}_1(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \, T \, \omega_{\max}

   On en déduit l'égalité :

   2\theta_0 = \frac{1}{2} \, \omega_{\max} T

   soit la relation :

   \boxed{\theta_0 = \frac{1}{4}\,\omega_{\max}T \quad \Longleftrightarrow \quad \omega_{\max} = \frac{4\theta_0}{T}}

   Application numérique : Avec \theta_0 = 30^{\circ} et T = 0{,}5\text{ s} :

   \omega_{\max} = \frac{4 \times 30^{\circ}}{0{,}5\text{ s}}

   \boxed{\omega_{\max} = 240^{\circ}/\text{s}}

   Résultat

   $${\theta }_0=\frac{1}{4}{\omega }_{\max }T⟺{\omega }_{\max }=\frac{4{\theta }_0}{T}$$

   $${\omega }_{\max }=240^{\circ }/\text{s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2024, Q26

    Dans le référentiel non galiléen lié au train en virage circulaire uniforme de rayon R_c = 4{,}0\text{ km} à la vitesse v = 287\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{287}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 79{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, la masse m_{\mathrm{p}} du pendule est soumise à :

    • son poids : \vec{P} = m_{\mathrm{p}} \vec{g} (vertical descendant) ;
    • la force d'inertie d'entraînement (centrifuge) : \vec{F}_{\mathrm{ie}} = m_{\mathrm{p}} \dfrac{v^2}{R_c} \vec{u}_{\mathrm{ext}} (horizontale, dirigée vers l'extérieur du virage) ;
    • la tension du fil \vec{T}.

    À l'équilibre, le fil s'aligne selon la direction du champ de pesanteur effectif \vec{g}_{\mathrm{eff}} = \vec{g} + \dfrac{v^2}{R_c}\vec{u}_{\mathrm{ext}}. L'angle \theta_0 entre \vec{g}_{\mathrm{eff}} et la verticale terrestre vérifie :

    \tan\theta_0 = \frac{v^2}{g R_c}

    Numériquement :

    \tan\theta_0 = \frac{79{,}7^2}{9{,}81 \times 4{,}0 \times 10^3} \approx 0{,}162 \implies \theta_0 \approx 9{,}2^\circ

    1. Rail surélevé : Pour compenser la force centrifuge \vec{F}_{\mathrm{ie}} qui déporte les passagers vers l'extérieur du virage, le train doit être incliné vers l'intérieur. La composante du poids parallèle au plancher, P_\parallel = m_{\mathrm{p}} g \sin\alpha, est alors dirigée vers l'intérieur du virage et s'oppose à la force centrifuge. C'est donc le rail extérieur au virage qui est surélevé.

    2. Estimation du dévers : Le segment noir matérialise la direction perpendiculaire au plancher du train (verticale lorsque le train est à plat). Sur la photographie de droite, le fil du pendule fait un angle résiduel \theta_{\mathrm{rel}} avec ce segment noir, mesuré à environ :

    \theta_{\mathrm{rel}} \approx 3^\circ \text{ à } 4^\circ \quad (\text{soit } \tan\theta_{\mathrm{rel}} \approx 0{,}06)

    L'angle de dévers de la voie est donc :

    \alpha = \theta_0 - \theta_{\mathrm{rel}} \approx 9{,}2^\circ - 3{,}5^\circ \approx 5{,}7^\circ \approx 0{,}10\text{ rad}

    La différence de hauteur entre les deux rails (le dévers) s'en déduit par h = E_{\mathrm{r}} \sin\alpha :

    h = 1400 \times \sin(5{,}7^\circ) \approx 140\text{ mm}

    \boxed{\text{Le rail extérieur est surélevé d'un dévers } h \approx 14\text{ cm} \text{ (soit environ } 140\text{ mm}).}

    Résultat

    $$\text{Le rail exteˊrieur est sureˊleveˊ d’un deˊvers }h\approx 14\text{ cm}\text{ (soit environ }140\text{ mm}).$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question