Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MP 2025

Le champ électrostatique \vec{E} dérive du potentiel électrostatique V selon la relation locale :

Dans le cas unidirectionnel le long de l'axe Ox où \vec{E} = E \vec{e}_x, cette relation devient :

Un électron portant une charge électrique q = -e, la force électrostatique subie s'écrit :

Cette force dérive d'une énergie potentielle électrostatique E_p définie par \vec{F} = -\vec{\mathrm{grad}}\,E_p, ce qui conduit à :

En choisissant l'origine des potentiels telle que la constante soit nulle, l'énergie potentielle électrostatique de l'électron est :

Considérons un électron (charge q = -e, masse m_e), initialement au repos (v_i = 0), se déplaçant d'un point initial au potentiel V_i vers un point final au potentiel V_f.

La force électrostatique conservative étant la seule force travaillant sur la trajectoire, l'énergie mécanique de l'électron est conservée :

D'après la question précédente, E_p = -e V, d'où :

La différence de potentiel accélératrice nécessaire s'exprime ainsi :

Par définition de l'électron-volt, 1\text{ eV} = e \times 1\text{ V}, ce qui donne directement :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

En mécanique classique, l'énergie cinétique d'une particule de masse m_e animée d'une vitesse v s'exprime selon :

ce qui conduirait à une vitesse :

D'après les données de l'énoncé, l'énergie de masse de l'électron vaut :

Pour E_c = 100\text{ MeV}, le calcul classique donne :

soit une vitesse calculée avec un seul chiffre significatif :

Ce résultat est physiquement impossible, car la vitesse d'une particule matérielle ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière dans le vide c. L'approximation non relativiste n'est valide que si E_c \ll m_e c^2 (soit v \ll c), or ici E_c \approx 200\,m_e c^2 \gg m_e c^2. La vitesse ne peut donc plus être calculée à l'aide de la mécanique classique.

À partir de l'expression relativiste de l'énergie cinétique :

on isole le facteur de Lorentz \gamma :

D'après les données de l'énoncé, pour les électrons en sortie du Linac :

• E_c = 100\text{ MeV} = 1,0\cdot 10^5\text{ keV} ;
• m_e c^2 = 5,1\cdot 10^2\text{ keV} \approx 0,51\text{ MeV}.

On calcule le rapport :

d'où :

En respectant la consigne d'arrondi à un seul chiffre significatif :

Les électrons se déplacent à une vitesse assimilable à celle de la lumière dans le vide (v \approx c). La période de rotation d'un électron sur l'anneau de rayon R est :

Pendant une période T, la totalité des N électrons du faisceau, portant chacun la charge -e, traverse une section donnée de l'anneau. La charge en valeur absolue ayant circulé est Q = N e.

L'intensité du courant s'exprime ainsi par :

On en déduit l'expression du nombre d'électrons N constituant le faisceau :

Application numérique avec les données :

• R = 57\text{ m} ;
• i = 0,43\text{ A} ;
• e = 1,6\cdot 10^{-19}\text{ C} ;
• c = 3,0\cdot 10^{8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

En arrondissant à un seul chiffre significatif conformément aux consignes :

Sous une pression résiduelle extrêmement faible (P = 6\cdot 10^{-13}\text{ bar} \ll 1\text{ bar}), les interactions intermoléculaires à distance sont tout à fait négligeables : le dihydrogène résiduel est décrit par le modèle du gaz parfait.

L'équation d'état du gaz parfait s'écrit pour un volume V contenant N_{\text{gaz}} molécules :

La densité volumique de molécules n = \frac{N_{\text{gaz}}}{V} s'en déduit directement :

Avec P = 6\cdot 10^{-13}\text{ bar} = 6\cdot 10^{-8}\text{ Pa}, T = 298\text{ K}, R = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et N_A = 6,0\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

En arrondissant à un chiffre significatif selon la consigne :

L'expression régissant la variation élémentaire du nombre d'électrons s'écrit :

Effectuons une analyse dimensionnelle des différentes grandeurs :

• N et \mathrm{d}N sont des nombres de particules, donc sans dimension : [N] = [\mathrm{d}N] = 1 ;
• n est une densité particulaire volumique (nombre de particules par unité de volume) : [n] = \mathrm{L}^{-3} ;
• \mathrm{d}x est une longueur de parcours : [\mathrm{d}x] = \mathrm{L}.

On en déduit la dimension de \sigma :

Le coefficient \sigma est donc homogène à une surface (ou aire d'une section transversale), ce qui justifie pleinement l'appellation de « section » efficace.

Dans l'anneau de stockage, la vitesse des électrons ultra-relativistes est assimilable à la vitesse de la lumière dans le vide (v \approx c). Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t, chaque électron parcourt une distance :

En injectant cette relation dans la loi donnée par l'énoncé, la variation du nombre d'électrons pendant \mathrm{d}t s'écrit :

Soit l'équation différentielle du premier ordre :

Sachant qu'à t = 0 le faisceau comporte N(0) électrons, l'intégration donne immédiatement :

Par définition, au bout de la durée de vie \tau, le nombre d'électrons a diminué de 37\,\%, il en reste donc 63\,\% :

On en déduit :

D'où l'expression de la durée de vie \tau :

D'après la question Q8, la durée de vie du faisceau s'exprime par :

Convertissons la section efficace dans le système international :

En reprenant la densité particulaire du gaz résiduel calculée à la question Q6 (n \approx 1{,}5 \cdot 10^{13}\text{ m}^{-3}) et la célérité de la lumière c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Avec un seul chiffre significatif :

Bien que des électrons soient progressivement perdus lors des collisions avec le gaz résiduel, l'intensité du faisceau peut être maintenue constante en réalisant des réinjections régulières (ou continues, fonctionnement dit en mode top-up) d'électrons accélérés par la chaîne préliminaire (Linac puis Booster) directement dans l'anneau de stockage.

Au laboratoire, la mesure d'un champ magnétique s'effectue principalement à l'aide d'un teslamètre équipé d'une sonde à effet Hall :

• Principe de l'effet Hall : un courant électrique d'intensité I traverse un barreau conducteur ou semi-conducteur. En présence d'un champ magnétique \vec{B} perpendiculaire au courant, les porteurs de charge subissent la composante magnétique de la force de Lorentz :

  \vec{F}_m = q\,\vec{v} \wedge \vec{B}

  Cette déviation transversale crée une accumulation de charges sur les faces latérales, générant un champ électrostatique transverse dit « de Hall » \vec{E}_H. À l'équilibre, la tension de Hall U_H ainsi créée est directement proportionnelle à la composante normale du champ magnétique :

  \boxed{U_H = K_H \, I \, B_{\perp}}

  où K_H est une constante dépendant de la géométrie et du matériau de la sonde. La mesure de la tension électrique U_H donne ainsi directement accès à la valeur de B_{\perp}.

D'autres méthodes peuvent également être employées :

• La bobine exploratrice (ou sonde fluxmétrique) : pour un champ variable (ou en faisant tourner/déplaçant rapidement une petite bobine dans un champ stationnaire), la variation de flux magnétique induit une force électromotrice selon la loi de Faraday e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}. L'intégration du signal à l'aide d'un fluxmètre ou d'un oscilloscope permet de remonter à l'amplitude du champ.
• La résonance magnétique nucléaire (RMN) : méthode métrologique de très haute précision reliant la pulsation de précession des spins nucléaires au champ magnétique par la relation de Larmor \omega_0 = \gamma_N B.

On étudie le mouvement d'un électron (masse m_e, charge q = -e) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'électron est soumis à la seule force de Lorentz :

le poids étant totalement négligeable devant cette force magnétique.

La puissance développée par la force magnétique est nulle à tout instant :

D'après le théorème de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique de l'électron est constante, et sa vitesse a donc une norme constante égale à sa vitesse initiale : v = v_0. Il en est de même pour la norme de sa quantité de mouvement :

Puisque la trajectoire est circulaire de rayon R_B parcourue à la vitesse constante v_0, le vecteur accélération dans la base de Frenet (\vec{u}_T, \vec{u}_N) est purement centripète :

Par ailleurs, la vitesse étant orthogonale au champ magnétique (\vec{v} \perp \vec{B} car la vitesse initiale est selon \vec{e}_z et le champ selon \vec{e}_y), la force de Lorentz est contenue dans le plan de trajectoire et sa norme s'écrit :

La relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'électron et projetée sur l'axe normal \vec{u}_N donne :

En identifiant p = m_e v_0, on obtient la relation demandée :

Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R_B à la vitesse v_0, la pulsation de rotation \omega_B (aussi appelée pulsation cyclotron) s'exprime par \omega_B = \frac{v_0}{R_B}. En utilisant v_0 = \frac{e B_0 R_B}{m_e}, on en déduit :

D'après la relation (1) de la question Q11, le champ magnétique nécessaire pour courber la trajectoire selon un rayon R_B s'écrit :

En utilisant l'approximation ultrarelativiste p \approx \dfrac{E_c}{c}, il vient :

Puisque E_c = 2{,}7\text{ GeV} = 2{,}7 \cdot 10^9\text{ eV} = 2{,}7 \cdot 10^9 \times e\text{ J}, le facteur e se simplifie :

Application numérique avec c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et R_B = 5{,}4\text{ m} :

Avec un seul chiffre significatif demandé :

1. Champ contenu dans le plan xOy

Les axes des quatre bobines sont situés dans le plan xOy. Les spires de chaque bobine sont coupées orthogonalement par ce plan. La réflexion par rapport au plan xOy inverse le sens de circulation du courant dans chaque spire : le plan xOy est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant \vec{\jmath}.

Le champ magnétique \vec{B} étant un champ de pseudo-vecteurs, en tout point M d'un plan d'antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan :

2. Direction et sens du champ au voisinage de l'origine

• Sur l'axe Ox (y=0) : Le plan xOz est un plan de symétrie pour la distribution de courant (les bobines supérieures et inférieures ont des courants symétriques). En tout point de ce plan, le champ magnétique est orthogonal au plan de symétrie. Le champ \vec{B} est donc purement selon \vec{e}_y (vertical) :

  \vec{B}(x, 0, 0) = B_y(x) \, \vec{e}_y

  D'après le sens des courants indiqué sur la figure 2b (règle de la main droite) :

  • pour x > 0, les bobines créent un pôle Nord en bas à droite et un pôle Sud en haut à droite : le champ est dirigé vers le haut, dans le sens de +\vec{e}_y ;
  • pour x < 0, le pôle Nord est en haut à gauche et le pôle Sud en bas à gauche : le champ est dirigé vers le bas, dans le sens de -\vec{e}_y.

• Sur l'axe Oy (x=0) : Le plan yOz est également un plan de symétrie pour la distribution de courant. En tout point de ce plan, le champ magnétique est orthogonal au plan, c'est-à-dire purement selon \vec{e}_x (horizontal) :

  \vec{B}(0, y, 0) = B_x(y) \, \vec{e}_x

  D'après le sens des courants :

  • pour y > 0, les lignes de champ vont du pôle Nord (en haut à gauche) vers le pôle Sud (en haut à droite) : le champ est dirigé vers la droite, dans le sens de +\vec{e}_x ;
  • pour y < 0, les lignes vont du pôle Nord (en bas à droite) vers le pôle Sud (en bas à gauche) : le champ est dirigé vers la gauche, dans le sens de -\vec{e}_x.

3. Valeur du champ à l'origine

L'origine O(0,0,0) appartient simultanément à l'axe Ox et à l'axe Oy. Le champ en O doit ainsi être à la fois colinéaire à \vec{e}_y et à \vec{e}_x. Les vecteurs \vec{e}_x et \vec{e}_y étant orthogonaux, le champ magnétique est nécessairement nul en O :

Physiquement, les champs créés au centre par les quatre bobines identiques, disposées de façon symétrique, se compensent exactement deux à deux.

Au voisinage de l'axe, dans l'espace vide où circule le faisceau d'électrons, la densité volumique de courant est nulle (\vec{\jmath} = \vec{0}). En régime stationnaire, le champ magnétique vérifie les deux équations locales suivantes :

• l'équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

  \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

• le théorème d'Ampère sous forme locale (Maxwell-Ampère stationnaire hors sources) :

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} = \vec{0}

Testons le champ magnétique proposé \vec{B} = (K y + K')\,\vec{e}_x + (K x + K')\,\vec{e}_y :

• Divergence :

  \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{B} &= \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(K y + K') + \frac{\partial}{\partial y}(K x + K') + 0 = 0 \end{aligned}

• Rotationnel : le champ étant bidimensionnel et indépendant de z, ses composantes selon \vec{e}_x et \vec{e}_y sont nulles. Sa composante selon \vec{e}_z vaut :

  \begin{aligned} (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_z &= \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(K x + K') - \frac{\partial}{\partial y}(K y + K') \\ &= K - K = 0 \end{aligned}

  soit \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}.

Le champ proposé vérifie donc bien les deux équations fondamentales de la magnétostatique dans le vide.

Valeur de K' :
À l'origine du repère, l'expression du champ donne :

Or, d'après les symétries établies à la question Q13, le champ magnétique est nul à l'origine : \vec{B}(O) = \vec{0}. On en déduit :

Le champ quadrupolaire s'écrit donc au voisinage de l'axe :

D'après la question Q14, le champ magnétique dans le quadrupôle s'écrit :

1. Champ et force au point A\left(0, \frac{\Delta y}{2}, 0\right) :

Comme \vec{e}_z \wedge \vec{e}_x = \vec{e}_y, on obtient :

La force \vec{F}_m(A) est dirigée selon -\vec{e}_y, c'est-à-dire vers l'origine O.

2. Champ et force au point B\left(0, -\frac{\Delta y}{2}, 0\right) :

La force \vec{F}_m(B) est dirigée selon +\vec{e}_y, c'est-à-dire également vers l'origine O.

3. Conclusion sur la refocalisation :

Pour tout électron d'ordonnée y non nulle sur l'axe Oy, la force subie s'écrit :

Cette force est une force de rappel linéaire vers l'axe (Oz) (y = 0). Elle ramène les électrons écartés vers l'origine dans la direction Oy : le faisceau est donc refocalisé selon la direction verticale Oy.

D'après la question Q14, le champ magnétique créé au voisinage de l'origine s'écrit :

avec K > 0. Pour un électron situé sur l'axe Ox en (x, 0, 0), le champ magnétique vaut :

Cet électron est animé d'une vitesse \vec{v} = v_0 \vec{e}_z (v_0 > 0) et porte la charge q = -e. La force magnétique subie s'exprime par la loi de Lorentz :

Sachant que \vec{e}_z \times \vec{e}_y = -\vec{e}_x, on obtient :

Puisque e > 0, v_0 > 0 et K > 0 :

• si x > 0, la force est orientée selon +\vec{e}_x, ce qui pousse l'électron vers les x croissants ;
• si x < 0, la force est orientée selon -\vec{e}_x, ce qui pousse l'électron vers les x décroissants.

Dans les deux cas, la force écarte l'électron de l'axe central x = 0 : elle n'est pas de rappel mais répulsive. Le faisceau subit donc bien un effet défocalisant selon la direction Ox.

Dispositif à deux quadrupôles successifs :

Pour pallier cet astigmatisme, on place à la suite un second quadrupôle tourné de 90° autour de l'axe de propagation Oz (ou alimenté par des courants inversés, ce qui revient à changer le signe du gradient : K \to -K).

• Le premier quadrupôle est focalisant verticalement (Oy) et défocalisant horizontalement (Ox).
• Le second quadrupôle est au contraire défocalisant verticalement (Oy) et focalisant horizontalement (Ox).

En séparant ces deux lentilles magnétiques d'une distance appropriée, on forme un doublet dit « FODO ». Par analogie avec la formule de Gullstrand en optique géométrique pour un doublet mince de vergences opposées +V_0 et -V_0 séparées par une distance D :

la convergence globale est positive dans les deux directions du plan transverse (Ox et Oy). Cette méthode, appelée focalisation forte (ou à gradient alterné), assure le confinement complet du faisceau d'électrons.

• Rayonnement anisotrope : un rayonnement est qualifié d'anisotrope si ses propriétés physiques (en particulier la puissance rayonnée par unité d'angle solide ou le vecteur de Poynting) dépendent de la direction d'observation dans l'espace, par opposition à une émission isotrope qui est identique dans toutes les directions.
• Rayonnement polarisé : une onde électromagnétique est dite polarisée lorsque l'orientation de son champ électrique \vec{E} dans le plan d'onde transverse n'est pas aléatoire au cours du temps, mais suit une trajectoire géométrique déterministe (rectiligne, circulaire ou elliptique).

Soit un point d'observation M(r, \theta, \varphi). Notons \Pi_M le plan méridien passant par M et contenant l'axe Oz. Dans la base sphérique locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi), ce plan est engendré par les vecteurs \vec{e}_r et \vec{e}_\theta, tandis que le vecteur \vec{e}_\varphi lui est orthogonal :

1. Propriétés de symétrie

• La charge +e est fixe en O \in Oz.
• L'électron de charge -e se déplace exclusivement le long de l'axe Oz, avec une vitesse \vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t} = -l\omega\sin(\omega t)\,\vec{e}_z.

Toutes les charges et tous les courants sont portés par l'axe Oz, qui est contenu dans le plan \Pi_M. La réflexion par rapport au plan \Pi_M laisse invariantes les positions des charges et ne modifie pas les vecteurs vitesses : \Pi_M est donc un plan de symétrie de la distribution de charges \rho et de la distribution de courants \vec{\jmath}.

D'après les propriétés de transformation des champs :

• Le champ électrique \vec{E}, vecteur polaire, est contenu dans tout plan de symétrie de ses sources :

  \vec{E}(M) \in \Pi_M \implies \vec{E}(M) \cdot \vec{e}_\varphi = 0 \iff \boxed{E_\varphi = 0}

• Le champ magnétique \vec{B}, vecteur axial (pseudovecteur), est orthogonal à tout plan de symétrie de ses sources :

  \vec{B}(M) \perp \Pi_M \implies \vec{B}(M) \parallel \vec{e}_\varphi \iff \boxed{B_r = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta = 0}

2. Invariance par rotation La distribution de charges et de courants est strictement confinée sur l'axe Oz. Elle est donc invariante par toute rotation d'angle quelconque autour de l'axe Oz, c'est-à-dire par changement de l'angle azimutal \varphi \to \varphi + \delta\varphi.

Par invariance des sources, les composantes des champs projetées sur la base locale sphérique ne dépendent pas de l'angle \varphi :

1. Expression de l'accélération de l'électron

Le vecteur position de l'électron au point P est donné par :

En dérivant deux fois par rapport au temps t dans le référentiel d'étude, on obtient successivement la vitesse puis l'accélération de l'électron :

2. Définition du moment dipolaire électrique

Par définition, le moment dipolaire électrique associé à une distribution discrète de charges \{q_i\} situées aux points M_i est :

Pour le dipôle constitué de la charge fixe +e en O et de l'électron de charge -e en P, il vient :

En posant \vec{p}(t) = \vec{p}_0\cos(\omega t), le vecteur amplitude du moment dipolaire s'écrit :

3. Amplitude p_0 en fonction de e, \omega et a

L'amplitude du moment dipolaire est la norme de \vec{p}_0 :

L'amplitude du module de l'accélération de l'électron vaut :

On en déduit l'expression de l'amplitude p_0 :

1. Définition de la zone de rayonnement

Pour une distribution de charges localisée oscillant à la pulsation \omega, les échelles caractéristiques de longueur sont :

• la dimension de la source, ici l ;
• la longueur d'onde du rayonnement émis dans le vide, \lambda = \dfrac{2\pi c}{\omega} ;
• la distance d'observation r = OM.

Dans le cadre de l'approximation dipolaire (l \ll \lambda), la zone de rayonnement (ou zone d'onde) est la région de l'espace située à grande distance de la source devant la longueur d'onde :

Dans ce domaine, les composantes de rayonnement en 1/r prédominent largement devant les termes d'induction (en 1/r^2) et les termes quasi-statiques (en 1/r^3), ce qui permet à l'onde d'emporter de l'énergie à l'infini.

2. Justification du terme r/c

Les équations de Maxwell avec termes sources mènent à des équations de propagation (d'Alembert) à la célérité c. L'information électromagnétique émise en O ne se propage pas de façon instantanée, mais à la vitesse de la lumière dans le vide c.

Le signal observé au point M situé à la distance r à l'instant t a donc été émis par le dipôle à l'instant antérieur, dit instant retardé :

Le dipôle source vibrant sinusoïdalement à la pulsation \omega selon \cos(\omega t), le champ propagé dépend naturellement de l'argument retardé \omega t_{\text{ret}} = \omega\left(t - \dfrac{r}{c}\right), caractéristique d'une onde sphérique divergente se propageant de la source vers l'infini.

1. Structure locale d'onde plane

La direction d'observation et de propagation de l'onde depuis l'origine est définie par le vecteur unitaire radial \vec{u} = \vec{e}_r. Les champs électrique et magnétique s'écrivent dans la base sphérique :

On constate immédiatement que :

• \vec{E} \cdot \vec{e}_r = 0 et \vec{B} \cdot \vec{e}_r = 0 : l'onde est transverse (les champs sont orthogonaux à la direction de propagation) ;
• (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi) formant un trièdre orthonormé direct, on a \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\varphi, d'où :

Sur des distances caractéristiques très petites devant la distance à la source (\Delta r \ll r), l'amplitude en 1/r est quasi-uniforme et les surfaces d'onde sphériques sont localement assimilables à des plans d'onde : l'onde possède localement une structure d'onde plane progressive.

2. Polarisation de l'onde

En tout point M(r,\theta,\varphi) fixé, la direction du champ électrique \vec{E} reste constamment colinéaire au vecteur unitaire \vec{e}_\theta au cours du temps.

3. Vérification de l'homogénéité des champs

En utilisant la relation \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}, le préfacteur du champ électrique s'écrit :

Or, d'après l'électrostatique, le champ créé par un dipôle électrique à une distance r est de la forme \frac{p_0}{4\pi\varepsilon_0 r^3}, ce qui a bien la dimension d'un champ électrique [E]. Le terme sans dimension \frac{\omega r}{c} = \frac{2\pi r}{\lambda} assure que :

Le champ \vec{E} est donc bien homogène à un champ électrique (en \mathrm{V\cdot m^{-1}}).

De plus, le champ magnétique vérifie B = \frac{E}{c}. Or, d'après la force de Lorentz \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B}), on a [E] = [v][B] = [c][B], de sorte que :

Le champ \vec{B} est donc bien homogène à un champ magnétique (en teslas, \mathrm{T}).

Le vecteur de Poynting \vec{\Pi} représente la densité surfacique de flux d'énergie (ou puissance surfacique) transportée par le champ électromagnétique. Il est défini par :

En utilisant les expressions des champs \vec{E} = E_\theta\,\vec{e}_\theta et \vec{B} = B_\varphi\,\vec{e}_\varphi données dans l'énoncé, et sachant que \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_\varphi = \vec{e}_r, on obtient :

En utilisant la relation \mu_0 \varepsilon_0 c^2 = 1, ce vecteur s'écrit également :

En prenant la moyenne temporelle, sachant que \langle\cos^2(\omega(t-r/c))\rangle = \frac{1}{2}, la puissance surfacique moyenne rayonnée s'écrit :

La dépendance angulaire est régie par le terme \sin^2\theta, qui est maximal pour \sin\theta = 1, soit :

La puissance surfacique émise est donc maximale dans le plan équatorial xOy, perpendiculaire à l'axe d'oscillation du dipôle Oz.

En utilisant la relation p_0 \omega^2 = e a issue de la question Q19, la norme de la valeur moyenne du vecteur de Poynting dans cette direction vaut :

La norme de la puissance surfacique moyenne émise par l'électron relativiste s'écrit :

Comme 0 < v < c, la quantité 1 - \frac{v}{c}\cos\theta est strictement positive et atteint son minimum absolu lorsque \cos\theta = 1, soit pour \theta = 0.

La puissance surfacique moyenne émise est donc maximale dans la direction :

Comparaison qualitative des maxima :

• Pour le dipôle électrique oscillant non relativiste (question Q22) :

  \|\langle \vec{\Pi}_{\text{dip}} \rangle\|_{\max} = \frac{e^2 a^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3 r^2} \quad \text{pour } \theta = \frac{\pi}{2}

• Pour le rayonnement synchrotron relativiste :

  \|\langle \vec{\pi}_{\text{relat}} \rangle\|_{\max} = \frac{e^2 a^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3 r^2} \, \frac{1}{\left(1 - \frac{v}{c}\right)^4} \quad \text{pour } \theta = 0

Pour un électron ultrarelativiste (v \approx c), on a :

ce qui conduit à :

La puissance surfacique maximale du rayonnement synchrotron est donc considérablement plus grande que celle du rayonnement dipolaire classique :

Commentaire :

• Effet phare relativiste : alors que le rayonnement dipolaire non relativiste n'émet rien le long de son axe et rayonne de manière diffuse selon un tore d'ouverture maximale à \pi/2, les effets de relativité restreinte rabattent l'énergie vers l'avant dans un cône extrêmement étroit d'ouverture angulaire \Delta\theta \sim 1/\gamma pointé dans la direction du mouvement.
• Brillance exceptionnelle : l'amplification gigantesque de la densité de flux (en \gamma^8) explique l'extraordinaire brillance des sources lumineuses synchrotron, idéales pour sonder la matière à l'échelle atomique.

1. Expression et représentation de la vitesse \vec{v}_p'

Dans le référentiel \mathcal{R} lié à l'électron, une particule émise avec l'angle \theta = \pi/2 par rapport à l'axe Ox a pour vecteur vitesse :

La loi de composition galiléenne des vitesses donne la vitesse \vec{v}_p' de la particule dans \mathcal{R}' (le référentiel \mathcal{R} se déplaçant à la vitesse \vec{v} = v\,\vec{e}_x par rapport à \mathcal{R}') :

Soit :

2. Détermination de l'angle \theta'

D'après le triangle rectangle formé par les composantes de \vec{v}_p', l'angle \theta' formé par \vec{v}_p' avec l'axe Ox vérifie :

Comme \theta' \in [0, \pi/2], on en déduit :

3. Proportion des particules émises dans le cône de demi-angle \theta'

Dans le référentiel \mathcal{R}, l'émission est isotrope dans le plan (xOy). Les particules émises dans le demi-espace x > 0 correspondent à l'intervalle angulaire :

ce qui représente exactement la moitié (50\%) de l'ensemble des particules émises.

Les deux bornes \theta = -\pi/2 et \theta = +\pi/2 correspondent respectivement, dans le référentiel \mathcal{R}', à des vitesses faisant des angles -\theta' et +\theta' avec l'axe Ox.

La transformation étant monotone, toutes les particules émises vers l'avant (x > 0) dans \mathcal{R} sont confinées dans le cône de demi-angle \theta' autour de l'axe Ox dans \mathcal{R}'.

La proportion de particules émises dans ce cône est donc :

Le raisonnement précédent ne peut pas être exact pour deux raisons physiques fondamentales :

1. Invariance de la vitesse de la lumière : si les particules émises sont des photons, leur vitesse dans le référentiel propre \mathcal{R} vaut v_p = c. La composition galiléenne appliquée à la question précédente conduirait à une vitesse dans \mathcal{R}' de norme :

   \|\vec{v}_p'\| = \sqrt{v^2 + c^2} > c

   ce qui contredit le postulat d'Einstein imposant l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide dans tout référentiel galiléen (\|\vec{v}_p'\| = c).

2. Régime relativiste : l'électron circule dans le synchrotron à une vitesse v très proche de celle de la lumière (v \approx c et \gamma \gg 1). La cinématique galiléenne est hors de son domaine de validité ; il est impératif d'utiliser les transformations de Lorentz pour la composition des vitesses.

Dans le référentiel \mathcal{R} lié à l'électron, la moitié des particules (photons) est émise dans le demi-espace x > 0, c'est-à-dire pour des angles \theta \in [-\pi/2, \, \pi/2]. Les photons marquant la frontière de ce domaine sont émis à la vitesse c avec un angle \theta = \pm \pi/2, soit :

D'après les formules de transformation des vitesses de la relativité restreinte fournies :

L'angle \theta' formé par la vitesse \vec{v}_p' avec l'axe Ox dans le référentiel \mathcal{R}' vérifie :

Pour un électron ultrarelativiste, la vitesse est très proche de celle de la lumière (v \approx c), d'où :

Comme \gamma \gg 1, on a \theta' \ll 1, ce qui permet d'utiliser l'approximation des petits angles \tan\theta' \approx \theta' :

Application numérique : Pour \gamma = 5{,}0\cdot 10^4 :

Conclusion : La moitié de l'énergie rayonnée est concentrée dans un cône d'ouverture angulaire extrêmement étroite (\theta' \approx 20\ \mu\text{rad}) centré sur la direction instantanée de la vitesse de l'électron. Ce phénomène, appelé « effet de phare relativiste », confère au rayonnement synchrotron une directivité et une brillance exceptionnelles, très recherchées pour l'analyse structurale de la matière.

Le schéma du montage expérimental est représenté ci-dessous :

Les éléments essentiels du dispositif sont :

• La source collimatée : une source ponctuelle placée au foyer d'une lentille convergente L_c fournissant un faisceau de rayons parallèles en incidence normale sur l'interféromètre.
• L'interféromètre de Michelson en lame d'air : constitué de la séparatrice (Sp), d'une compensatrice (C) et des miroirs plans M_1 et M_2. L'orthogonalité des miroirs assure le parallélisme entre le miroir fixe M_1 et l'image M'_2 du miroir mobile M_2, délimitant une lame d'air d'épaisseur variable d.
• Le système de détection : une lentille convergente L de foyer image F' sur l'axe optique émergent, au niveau duquel est disposée la photodiode mesurant le signal s = K I(F').

L'interféromètre de Michelson est réglé en lame d'air d'épaisseur d, avec un indice de l'air n = 1, et éclairé en incidence normale (i = 0). Les deux faisceaux émergents interfèrent au foyer image F' de la lentille. La différence de marche géométrique entre les deux trajets s'écrit :

Le déphasage associé entre les deux ondes à la longueur d'onde \lambda_m est donc :

À deux ondes cohérentes de même amplitude, la formule de Fresnel donne l'intensité en F' :

où I_{\max} est l'intensité maximale observée lorsque l'interférence est totalement constructive.

Le contraste (ou facteur de visibilité) des franges est défini par :

Ce contraste est maximal (C = 1, avec I_{\min} = 0) lorsque les deux ondes qui interfèrent ont la même intensité (I_1 = I_2).

La propriété de l'interféromètre qui permet d'assurer cette égalité est l'utilisation d'une lame séparatrice semi-réfléchissante (ou équilibrée), c'est-à-dire présentant des facteurs de réflexion et de transmission énergétiques égaux :

associée à des miroirs identiques (R_1 = R_2).

D'après la question Q28, l'intensité en sortie s'écrit :

Avec la loi d'avancement du miroir d(t) = v_0 t, le signal s(t) = K I(t) délivré par la photodiode est purement sinusoïdal de pulsation temporelle \omega_t = \frac{4\pi v_0}{\lambda_m}. Sa période temporelle T vérifie donc :

Lecture graphique de la période T : Sur la figure 5, le signal commence à un maximum à t = 0\text{ s} (contact optique). En comptant le nombre d'oscillations, on observe que le 13^{\text{e}} pic coïncide très précisément avec la graduation t = 5{,}0\text{ s} (on compte également environ 21 périodes à t \approx 8{,}1\text{ s}). Pour un ensemble de N = 13 périodes sur une durée \Delta t = 5{,}0\text{ s} :

Calcul de la longueur d'onde :

En respectant la consigne générale d'arrondi à un seul chiffre significatif :

Estimation de l'incertitude-type : L'incertitude dominante provient de la lecture du temps \Delta t sur le graphique. On estime la demi-étendue de lecture à \Delta(\Delta t) \approx 0{,}1\text{ s}. En modélisant cette incertitude de lecture par une loi uniforme de demi-largeur 0{,}1\text{ s} :

En négligeant l'incertitude sur la valeur tabulée de v_0, la relation de propagation donne :

Dans l'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air d'épaisseur d(t) sous incidence normale, la différence de marche entre les deux bras est :

Les interférences se brouillent (le contraste s'annule) lorsque la différence de marche atteint la longueur de cohérence de la source, soit \delta(t_c) = L_c.

Sur l'interférogramme de la figure 6b, l'amplitude de modulation du signal s(t) décroît progressivement jusqu'à devenir quasi nulle pour un temps t_c \approx 50\text{ s} (une estimation à mi-hauteur conduirait à t \approx 30\text{ s}). Retenons t_c \approx 50\text{ s} :

Avec v_0 = 7,0\cdot 10^{-7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et t_c \approx 50\text{ s} :

Avec un seul chiffre significatif :

Par définition de la longueur de cohérence, le temps de cohérence de l'onde lumineuse est \tau_c = \frac{L_c}{c}. La relation de cohérence temporelle fournie s'écrit alors :

Comme \nu = \frac{c}{\lambda}, une différentiation donne au premier ordre :

On en déduit l'expression de la largeur spectrale :

D'après la question Q29, la longueur d'onde moyenne vaut \lambda_m \approx 5\cdot 10^{-7}\text{ m}. L'application numérique donne :

D'après la notation usuelle {}_{Z}^{A}\text{X} d'un nucléide :

• le numéro atomique Z = 82 représente le nombre de protons dans le noyau ;

• le nombre de masse A = 207 représente le nombre total de nucléons (protons et neutrons). Le nombre de neutrons N dans le noyau vaut donc :

  N = A - Z = 207 - 82 = 125\text{ neutrons}
• un atome étant électriquement neutre, son cortège électronique contient autant d'électrons que le noyau contient de protons, soit 82 électrons.

L'atome de plomb {}_{82}^{207}\text{Pb} est donc constitué de :

1. Définition du terme isotope

Des isotopes sont des atomes (ou nucléides) possédant le même numéro atomique Z (même nombre de protons dans leur noyau, donc appartenant au même élément chimique), mais un nombre de masse A différent (ce qui correspond à un nombre de neutrons N = A - Z différent).

2. Équations régissant les proportions x et y

Deux relations indépendantes permettent de déterminer les abondances isotopiques x et y :

1. Conservation de l'abondance totale : La somme des pourcentages des quatre isotopes stables doit être égale à 100\,\% :

   x + y + 22 + 52 = 100

   ce qui donne :

   x + y = 26 \tag{1}

2. Masse molaire atomique moyenne : La masse molaire atomique moyenne naturelle du plomb, fournie dans les données (M(\text{Pb}) = 207{,}2\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), est la moyenne des masses molaires de chaque isotope pondérée par leur abondance relative :

   M(\text{Pb}) = \frac{x}{100}\,M({}^{204}\text{Pb}) + \frac{y}{100}\,M({}^{206}\text{Pb}) + \frac{22}{100}\,M({}^{207}\text{Pb}) + \frac{52}{100}\,M({}^{208}\text{Pb})

   En approximant la masse molaire de chaque isotope par son nombre de masse (en \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}), il vient :

   \frac{204\,x + 206\,y + 207 \times 22 + 208 \times 52}{100} = M(\text{Pb}) \tag{2}

Le système d'équations permettant de déterminer x et y s'écrit donc :

Dans une maille conventionnelle cubique à faces centrées (CFC), les atomes de plomb occupent :

• les 8 sommets du cube, chacun étant partagé par 8 mailles adjacentes ;
• les centres des 6 faces du cube, chacun étant partagé par 2 mailles adjacentes.

Le nombre d'atomes appartenant en propre à la maille (multiplicité) vaut :

La masse volumique moyenne \rho du plomb s'exprime par le quotient de la masse des atomes de la maille par le volume V = a^3 de celle-ci :

Application numérique :

• Z = 4
• M(\text{Pb}) = 207{,}2\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 0{,}2072\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• N_A = 6{,}0\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}
• a = 5{,}0\cdot 10^2\text{ pm} = 5{,}0\cdot 10^{-10}\text{ m}

Conformément à la consigne demandant un seul chiffre significatif :

Considérons une masse m_{\text{tot}} = 100\text{ g} de solution d'acide sulfurique à w = 33\,\% en masse. Cette solution contient :

• une masse d'acide sulfurique : m_a = w\,m_{\text{tot}} = 33\text{ g} ;
• une masse d'eau : m_e = (1-w)\,m_{\text{tot}} = 67\text{ g}.

En première approximation, en considérant le volume de la solution comme la somme des volumes de ses constituants purs (additivité des volumes) :

Avec les masses volumiques exprimées en \text{g}\cdot\text{mL}^{-1} (\rho(\text{H}_2\text{SO}_4) = 1{,}8\text{ g}\cdot\text{mL}^{-1} et \rho(\text{H}_2\text{O}) = 1{,}0\text{ g}\cdot\text{mL}^{-1}) :

La quantité de matière d'acide sulfurique \text{H}_2\text{SO}_4 présente dans ce volume est :

La concentration molaire volumique C vaut alors :

En arrondissant au nombre de chiffres significatifs demandé (un seul chiffre significatif) :

L'acide sulfurique \mathrm{H_2SO_4} étant modélisé comme un diacide fort pour ses deux acidités, sa dissociation dans l'eau est totale selon l'équation :

La concentration en ions oxonium [\mathrm{H^+}] s'en déduit directement de la concentration molaire C = 4\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} établie en Q34 :

En assimilant l'activité de l'ion oxonium au rapport de sa concentration molaire à la concentration standard C^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, il vient :

Par définition du potentiel hydrogène :

Avec un chiffre significatif :

Commentaires :

• La valeur obtenue est négative (\mathrm{pH} < 0). Cela illustre le fait que l'échelle usuelle de pH comprise entre 0 et 14 n'est qu'une convention empirique restreinte aux solutions aqueuses diluées (typiquement pour des concentrations inférieures à 0{,}1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}).
• Dans un milieu aussi concentré (C = 4\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, force ionique très élevée), l'approximation a_i \approx [X_i]/C^\circ n'est plus du tout rigoureuse : le coefficient d'activité s'écarte notablement de 1 et l'activité de l'eau n'est plus égale à 1.
• De plus, la seconde acidité de l'acide sulfurique (\mathrm{p}K_{a2} \approx 2) n'est en toute rigueur pas totalement dissociée à de telles concentrations.

L'équilibre hétérogène de dissolution du sulfate de plomb s'écrit :

La constante d'équilibre associée est le produit de solubilité :

D'après l'hypothèse de la question Q35, l'acide sulfurique est considéré comme totalement dissocié pour ses deux acidités. La concentration en ions sulfate dans la solution à 33\,\% (de concentration C = 4\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} d'après Q34) est donc :

Le solide \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} apparaît dès que le quotient réactionnel atteint le produit de solubilité (Q_r = K_s), c'est-à-dire pour une concentration en ions plomb(II) :

Application numérique :

Au-delà de cette concentration d'apport, tout ajout supplémentaire de plomb(II) entraîne sa précipitation sous forme de sulfate de plomb solide : la concentration en ions libres \mathrm{Pb}^{2+} reste bloquée à [\mathrm{Pb}^{2+}]_{\mathrm{lim}}, et l'excédent s'accumule dans la phase solide.

Lors de la décharge de l'accumulateur :

Demi-réaction anodique (1) à l'électrode négative : Le plomb métallique au degré d'oxydation 0 est oxydé en sulfate de plomb au degré d'oxydation +\mathrm{II} :

Demi-réaction cathodique (2) à l'électrode positive : Le dioxyde de plomb au degré d'oxydation +\mathrm{IV} est réduit en sulfate de plomb au degré d'oxydation +\mathrm{II} en milieu acide :

Équation-bilan de la réaction de décharge : En sommant ces deux demi-réactions échangeant le même nombre d'électrons (n = 2), on obtient la réaction globale de décharge (dismutation inversée ou médiamutation) :

ou sous forme non dissociée : \mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{PbO}_{2(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4(\mathrm{aq})} = 2\,\mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}.

Équation-bilan de la réaction de recharge : Le processus de recharge s'effectue en sens inverse sous l'action d'une source d'énergie électrique extérieure (électrolyse) :

D'après les demi-équations écrites en Q37 :

• À l'électrode négative, le couple \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} / \mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})} met en jeu 2 électrons :

  \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\mathrm{e}^- = \mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{SO}_4^{2-}

  Son potentiel d'équilibre s'écrit selon la formule de Nernst :

  E_- = E_1^\circ + \frac{0{,}06}{2}\log\left(\frac{1}{[\mathrm{SO}_4^{2-}]/C^\circ}\right) = E_1^\circ - 0{,}03\log\left(\frac{[\mathrm{SO}_4^{2-}]}{C^\circ}\right)

• À l'électrode positive, le couple \mathrm{PbO}_{2(\mathrm{s})} / \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} met également en jeu 2 électrons :

  \mathrm{PbO}_{2(\mathrm{s})} + \mathrm{SO}_4^{2-} + 4\mathrm{H}^+ + 2\mathrm{e}^- = \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}

  Son potentiel d'équilibre s'écrit :

  E_+ = E_2^\circ + \frac{0{,}06}{2}\log\left(\frac{[\mathrm{H}^+]^4[\mathrm{SO}_4^{2-}]}{(C^\circ)^5}\right)

La force électromotrice e d'un élément correspond à la différence de potentiel à circuit ouvert :

Application numérique avec \frac{[\mathrm{H}^+]^2[\mathrm{SO}_4^{2-}]}{(C^\circ)^3} = 100 = 10^2 :

Avec un seul chiffre significatif demandé :

(ou e = 2{,}2\text{ V} avec deux chiffres significatifs).

Pour obtenir une tension globale U = 12\text{ V}, il faut additionner les tensions individuelles des éléments. On doit donc réaliser une association en série :

Comme N est nécessairement entier :

Dans une courbe intensité-potentiel I(E), la branche I > 0 est anodique (oxydation) et la branche I < 0 est cathodique (réduction).

1. Au voisinage du potentiel standard E_1^\circ(\mathrm{PbSO}_4/\mathrm{Pb}) = -0{,}35\text{ V} :

• Courbe (1) (I > 0, trait plein) : oxydation du plomb métallique en sulfate de plomb (électrode négative lors de la décharge) :

  \mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{SO}_4^{2-} \longrightarrow \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{e}^-

• Courbe (5) (I < 0, trait plein) : réduction du sulfate de plomb en plomb métallique (électrode négative lors de la charge) :

  \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{SO}_4^{2-}

• Courbe (4) (I < 0, pointillés) : réduction des protons de l'eau en dihydrogène gazeux (couple \mathrm{H}^+/\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}) :

  2\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}

2. Au voisinage du potentiel standard E_2^\circ(\mathrm{PbO}_2/\mathrm{PbSO}_4) = 1{,}69\text{ V} :

• Courbe (2) (I > 0, trait plein) : oxydation du sulfate de plomb en dioxyde de plomb (électrode positive lors de la charge) :

  \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O} \longrightarrow \mathrm{PbO}_{2(\mathrm{s})} + \mathrm{SO}_4^{2-} + 4\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^-

• Courbe (6) (I < 0, trait plein) : réduction du dioxyde de plomb en sulfate de plomb (électrode positive lors de la décharge) :

  \mathrm{PbO}_{2(\mathrm{s})} + \mathrm{SO}_4^{2-} + 4\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}

• Courbe (3) (I > 0, pointillés) : oxydation de l'eau en dioxygène gazeux (couple \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}/\mathrm{H}_2\mathrm{O}) :

  2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O} \longrightarrow \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} + 4\,\mathrm{H}^+ + 4\,\mathrm{e}^-

Lors de la décharge, la batterie fonctionne en générateur :

• À la borne négative (anode), il se produit l'oxydation du plomb selon la courbe (1), avec un courant anodique I_a = +I_0. On lit sur la courbe (1) :

  E_- \approx -0{,}30\text{ V} \quad (\pm\,0{,}05\text{ V}).

• À la borne positive (cathode), il se produit la réduction du dioxyde de plomb selon la courbe (6), avec un courant cathodique I_c = -I_0. On lit sur la courbe (6) :

  E_+ \approx 1{,}65\text{ V} \quad (\pm\,0{,}05\text{ V}).

La tension disponible aux bornes d'un élément d'accumulateur vaut donc :

D'après la question Q38, la batterie commerciale de 12\text{ V} est constituée de N = 6 éléments identiques associés en série. La tension réellement disponible aux bornes de la batterie est donc :

Avec deux chiffres significatifs :

(ou U_{\text{batterie}} \approx 11\text{ V} à 12\text{ V} selon la lecture de U_{\text{élément}} comprise entre 1{,}9\text{ V} et 2{,}0\text{ V}).