Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MP 2025 (page 2/3 : Parties III, IV et V)

• Rayonnement anisotrope : un rayonnement est qualifié d'anisotrope si ses propriétés physiques (en particulier la puissance rayonnée par unité d'angle solide ou le vecteur de Poynting) dépendent de la direction d'observation dans l'espace, par opposition à une émission isotrope qui est identique dans toutes les directions.
• Rayonnement polarisé : une onde électromagnétique est dite polarisée lorsque l'orientation de son champ électrique \vec{E} dans le plan d'onde transverse n'est pas aléatoire au cours du temps, mais suit une trajectoire géométrique déterministe (rectiligne, circulaire ou elliptique).

Soit un point d'observation M(r, \theta, \varphi). Notons \Pi_M le plan méridien passant par M et contenant l'axe Oz. Dans la base sphérique locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi), ce plan est engendré par les vecteurs \vec{e}_r et \vec{e}_\theta, tandis que le vecteur \vec{e}_\varphi lui est orthogonal :

1. Propriétés de symétrie

• La charge +e est fixe en O \in Oz.
• L'électron de charge -e se déplace exclusivement le long de l'axe Oz, avec une vitesse \vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t} = -l\omega\sin(\omega t)\,\vec{e}_z.

Toutes les charges et tous les courants sont portés par l'axe Oz, qui est contenu dans le plan \Pi_M. La réflexion par rapport au plan \Pi_M laisse invariantes les positions des charges et ne modifie pas les vecteurs vitesses : \Pi_M est donc un plan de symétrie de la distribution de charges \rho et de la distribution de courants \vec{\jmath}.

D'après les propriétés de transformation des champs :

• Le champ électrique \vec{E}, vecteur polaire, est contenu dans tout plan de symétrie de ses sources :

  \vec{E}(M) \in \Pi_M \implies \vec{E}(M) \cdot \vec{e}_\varphi = 0 \iff \boxed{E_\varphi = 0}

• Le champ magnétique \vec{B}, vecteur axial (pseudovecteur), est orthogonal à tout plan de symétrie de ses sources :

  \vec{B}(M) \perp \Pi_M \implies \vec{B}(M) \parallel \vec{e}_\varphi \iff \boxed{B_r = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta = 0}

2. Invariance par rotation La distribution de charges et de courants est strictement confinée sur l'axe Oz. Elle est donc invariante par toute rotation d'angle quelconque autour de l'axe Oz, c'est-à-dire par changement de l'angle azimutal \varphi \to \varphi + \delta\varphi.

Par invariance des sources, les composantes des champs projetées sur la base locale sphérique ne dépendent pas de l'angle \varphi :

1. Expression de l'accélération de l'électron

Le vecteur position de l'électron au point P est donné par :

En dérivant deux fois par rapport au temps t dans le référentiel d'étude, on obtient successivement la vitesse puis l'accélération de l'électron :

2. Définition du moment dipolaire électrique

Par définition, le moment dipolaire électrique associé à une distribution discrète de charges \{q_i\} situées aux points M_i est :

Pour le dipôle constitué de la charge fixe +e en O et de l'électron de charge -e en P, il vient :

En posant \vec{p}(t) = \vec{p}_0\cos(\omega t), le vecteur amplitude du moment dipolaire s'écrit :

3. Amplitude p_0 en fonction de e, \omega et a

L'amplitude du moment dipolaire est la norme de \vec{p}_0 :

L'amplitude du module de l'accélération de l'électron vaut :

On en déduit l'expression de l'amplitude p_0 :

1. Définition de la zone de rayonnement

Pour une distribution de charges localisée oscillant à la pulsation \omega, les échelles caractéristiques de longueur sont :

• la dimension de la source, ici l ;
• la longueur d'onde du rayonnement émis dans le vide, \lambda = \dfrac{2\pi c}{\omega} ;
• la distance d'observation r = OM.

Dans le cadre de l'approximation dipolaire (l \ll \lambda), la zone de rayonnement (ou zone d'onde) est la région de l'espace située à grande distance de la source devant la longueur d'onde :

Dans ce domaine, les composantes de rayonnement en 1/r prédominent largement devant les termes d'induction (en 1/r^2) et les termes quasi-statiques (en 1/r^3), ce qui permet à l'onde d'emporter de l'énergie à l'infini.

2. Justification du terme r/c

Les équations de Maxwell avec termes sources mènent à des équations de propagation (d'Alembert) à la célérité c. L'information électromagnétique émise en O ne se propage pas de façon instantanée, mais à la vitesse de la lumière dans le vide c.

Le signal observé au point M situé à la distance r à l'instant t a donc été émis par le dipôle à l'instant antérieur, dit instant retardé :

Le dipôle source vibrant sinusoïdalement à la pulsation \omega selon \cos(\omega t), le champ propagé dépend naturellement de l'argument retardé \omega t_{\text{ret}} = \omega\left(t - \dfrac{r}{c}\right), caractéristique d'une onde sphérique divergente se propageant de la source vers l'infini.

1. Structure locale d'onde plane

La direction d'observation et de propagation de l'onde depuis l'origine est définie par le vecteur unitaire radial \vec{u} = \vec{e}_r. Les champs électrique et magnétique s'écrivent dans la base sphérique :

On constate immédiatement que :

• \vec{E} \cdot \vec{e}_r = 0 et \vec{B} \cdot \vec{e}_r = 0 : l'onde est transverse (les champs sont orthogonaux à la direction de propagation) ;
• (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi) formant un trièdre orthonormé direct, on a \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\varphi, d'où :

Sur des distances caractéristiques très petites devant la distance à la source (\Delta r \ll r), l'amplitude en 1/r est quasi-uniforme et les surfaces d'onde sphériques sont localement assimilables à des plans d'onde : l'onde possède localement une structure d'onde plane progressive.

2. Polarisation de l'onde

En tout point M(r,\theta,\varphi) fixé, la direction du champ électrique \vec{E} reste constamment colinéaire au vecteur unitaire \vec{e}_\theta au cours du temps.

3. Vérification de l'homogénéité des champs

En utilisant la relation \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}, le préfacteur du champ électrique s'écrit :

Or, d'après l'électrostatique, le champ créé par un dipôle électrique à une distance r est de la forme \frac{p_0}{4\pi\varepsilon_0 r^3}, ce qui a bien la dimension d'un champ électrique [E]. Le terme sans dimension \frac{\omega r}{c} = \frac{2\pi r}{\lambda} assure que :

Le champ \vec{E} est donc bien homogène à un champ électrique (en \mathrm{V\cdot m^{-1}}).

De plus, le champ magnétique vérifie B = \frac{E}{c}. Or, d'après la force de Lorentz \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B}), on a [E] = [v][B] = [c][B], de sorte que :

Le champ \vec{B} est donc bien homogène à un champ magnétique (en teslas, \mathrm{T}).

Le vecteur de Poynting \vec{\Pi} représente la densité surfacique de flux d'énergie (ou puissance surfacique) transportée par le champ électromagnétique. Il est défini par :

En utilisant les expressions des champs \vec{E} = E_\theta\,\vec{e}_\theta et \vec{B} = B_\varphi\,\vec{e}_\varphi données dans l'énoncé, et sachant que \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_\varphi = \vec{e}_r, on obtient :

En utilisant la relation \mu_0 \varepsilon_0 c^2 = 1, ce vecteur s'écrit également :

En prenant la moyenne temporelle, sachant que \langle\cos^2(\omega(t-r/c))\rangle = \frac{1}{2}, la puissance surfacique moyenne rayonnée s'écrit :

La dépendance angulaire est régie par le terme \sin^2\theta, qui est maximal pour \sin\theta = 1, soit :

La puissance surfacique émise est donc maximale dans le plan équatorial xOy, perpendiculaire à l'axe d'oscillation du dipôle Oz.

En utilisant la relation p_0 \omega^2 = e a issue de la question Q19, la norme de la valeur moyenne du vecteur de Poynting dans cette direction vaut :

La norme de la puissance surfacique moyenne émise par l'électron relativiste s'écrit :

Comme 0 < v < c, la quantité 1 - \frac{v}{c}\cos\theta est strictement positive et atteint son minimum absolu lorsque \cos\theta = 1, soit pour \theta = 0.

La puissance surfacique moyenne émise est donc maximale dans la direction :

Comparaison qualitative des maxima :

• Pour le dipôle électrique oscillant non relativiste (question Q22) :

  \|\langle \vec{\Pi}_{\text{dip}} \rangle\|_{\max} = \frac{e^2 a^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3 r^2} \quad \text{pour } \theta = \frac{\pi}{2}

• Pour le rayonnement synchrotron relativiste :

  \|\langle \vec{\pi}_{\text{relat}} \rangle\|_{\max} = \frac{e^2 a^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3 r^2} \, \frac{1}{\left(1 - \frac{v}{c}\right)^4} \quad \text{pour } \theta = 0

Pour un électron ultrarelativiste (v \approx c), on a :

ce qui conduit à :

La puissance surfacique maximale du rayonnement synchrotron est donc considérablement plus grande que celle du rayonnement dipolaire classique :

Commentaire :

• Effet phare relativiste : alors que le rayonnement dipolaire non relativiste n'émet rien le long de son axe et rayonne de manière diffuse selon un tore d'ouverture maximale à \pi/2, les effets de relativité restreinte rabattent l'énergie vers l'avant dans un cône extrêmement étroit d'ouverture angulaire \Delta\theta \sim 1/\gamma pointé dans la direction du mouvement.
• Brillance exceptionnelle : l'amplification gigantesque de la densité de flux (en \gamma^8) explique l'extraordinaire brillance des sources lumineuses synchrotron, idéales pour sonder la matière à l'échelle atomique.

1. Expression et représentation de la vitesse \vec{v}_p'

Dans le référentiel \mathcal{R} lié à l'électron, une particule émise avec l'angle \theta = \pi/2 par rapport à l'axe Ox a pour vecteur vitesse :

La loi de composition galiléenne des vitesses donne la vitesse \vec{v}_p' de la particule dans \mathcal{R}' (le référentiel \mathcal{R} se déplaçant à la vitesse \vec{v} = v\,\vec{e}_x par rapport à \mathcal{R}') :

Soit :

2. Détermination de l'angle \theta'

D'après le triangle rectangle formé par les composantes de \vec{v}_p', l'angle \theta' formé par \vec{v}_p' avec l'axe Ox vérifie :

Comme \theta' \in [0, \pi/2], on en déduit :

3. Proportion des particules émises dans le cône de demi-angle \theta'

Dans le référentiel \mathcal{R}, l'émission est isotrope dans le plan (xOy). Les particules émises dans le demi-espace x > 0 correspondent à l'intervalle angulaire :

ce qui représente exactement la moitié (50\%) de l'ensemble des particules émises.

Les deux bornes \theta = -\pi/2 et \theta = +\pi/2 correspondent respectivement, dans le référentiel \mathcal{R}', à des vitesses faisant des angles -\theta' et +\theta' avec l'axe Ox.

La transformation étant monotone, toutes les particules émises vers l'avant (x > 0) dans \mathcal{R} sont confinées dans le cône de demi-angle \theta' autour de l'axe Ox dans \mathcal{R}'.

La proportion de particules émises dans ce cône est donc :

Le raisonnement précédent ne peut pas être exact pour deux raisons physiques fondamentales :

1. Invariance de la vitesse de la lumière : si les particules émises sont des photons, leur vitesse dans le référentiel propre \mathcal{R} vaut v_p = c. La composition galiléenne appliquée à la question précédente conduirait à une vitesse dans \mathcal{R}' de norme :

   \|\vec{v}_p'\| = \sqrt{v^2 + c^2} > c

   ce qui contredit le postulat d'Einstein imposant l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide dans tout référentiel galiléen (\|\vec{v}_p'\| = c).

2. Régime relativiste : l'électron circule dans le synchrotron à une vitesse v très proche de celle de la lumière (v \approx c et \gamma \gg 1). La cinématique galiléenne est hors de son domaine de validité ; il est impératif d'utiliser les transformations de Lorentz pour la composition des vitesses.

Dans le référentiel \mathcal{R} lié à l'électron, la moitié des particules (photons) est émise dans le demi-espace x > 0, c'est-à-dire pour des angles \theta \in [-\pi/2, \, \pi/2]. Les photons marquant la frontière de ce domaine sont émis à la vitesse c avec un angle \theta = \pm \pi/2, soit :

D'après les formules de transformation des vitesses de la relativité restreinte fournies :

L'angle \theta' formé par la vitesse \vec{v}_p' avec l'axe Ox dans le référentiel \mathcal{R}' vérifie :

Pour un électron ultrarelativiste, la vitesse est très proche de celle de la lumière (v \approx c), d'où :

Comme \gamma \gg 1, on a \theta' \ll 1, ce qui permet d'utiliser l'approximation des petits angles \tan\theta' \approx \theta' :

Application numérique : Pour \gamma = 5{,}0\cdot 10^4 :

Conclusion : La moitié de l'énergie rayonnée est concentrée dans un cône d'ouverture angulaire extrêmement étroite (\theta' \approx 20\ \mu\text{rad}) centré sur la direction instantanée de la vitesse de l'électron. Ce phénomène, appelé « effet de phare relativiste », confère au rayonnement synchrotron une directivité et une brillance exceptionnelles, très recherchées pour l'analyse structurale de la matière.

Le schéma du montage expérimental est représenté ci-dessous :

Les éléments essentiels du dispositif sont :

• La source collimatée : une source ponctuelle placée au foyer d'une lentille convergente L_c fournissant un faisceau de rayons parallèles en incidence normale sur l'interféromètre.
• L'interféromètre de Michelson en lame d'air : constitué de la séparatrice (Sp), d'une compensatrice (C) et des miroirs plans M_1 et M_2. L'orthogonalité des miroirs assure le parallélisme entre le miroir fixe M_1 et l'image M'_2 du miroir mobile M_2, délimitant une lame d'air d'épaisseur variable d.
• Le système de détection : une lentille convergente L de foyer image F' sur l'axe optique émergent, au niveau duquel est disposée la photodiode mesurant le signal s = K I(F').

L'interféromètre de Michelson est réglé en lame d'air d'épaisseur d, avec un indice de l'air n = 1, et éclairé en incidence normale (i = 0). Les deux faisceaux émergents interfèrent au foyer image F' de la lentille. La différence de marche géométrique entre les deux trajets s'écrit :

Le déphasage associé entre les deux ondes à la longueur d'onde \lambda_m est donc :

À deux ondes cohérentes de même amplitude, la formule de Fresnel donne l'intensité en F' :

où I_{\max} est l'intensité maximale observée lorsque l'interférence est totalement constructive.

Le contraste (ou facteur de visibilité) des franges est défini par :

Ce contraste est maximal (C = 1, avec I_{\min} = 0) lorsque les deux ondes qui interfèrent ont la même intensité (I_1 = I_2).

La propriété de l'interféromètre qui permet d'assurer cette égalité est l'utilisation d'une lame séparatrice semi-réfléchissante (ou équilibrée), c'est-à-dire présentant des facteurs de réflexion et de transmission énergétiques égaux :

associée à des miroirs identiques (R_1 = R_2).

D'après la question Q28, l'intensité en sortie s'écrit :

Avec la loi d'avancement du miroir d(t) = v_0 t, le signal s(t) = K I(t) délivré par la photodiode est purement sinusoïdal de pulsation temporelle \omega_t = \frac{4\pi v_0}{\lambda_m}. Sa période temporelle T vérifie donc :

Lecture graphique de la période T : Sur la figure 5, le signal commence à un maximum à t = 0\text{ s} (contact optique). En comptant le nombre d'oscillations, on observe que le 13^{\text{e}} pic coïncide très précisément avec la graduation t = 5{,}0\text{ s} (on compte également environ 21 périodes à t \approx 8{,}1\text{ s}). Pour un ensemble de N = 13 périodes sur une durée \Delta t = 5{,}0\text{ s} :

Calcul de la longueur d'onde :

En respectant la consigne générale d'arrondi à un seul chiffre significatif :

Estimation de l'incertitude-type : L'incertitude dominante provient de la lecture du temps \Delta t sur le graphique. On estime la demi-étendue de lecture à \Delta(\Delta t) \approx 0{,}1\text{ s}. En modélisant cette incertitude de lecture par une loi uniforme de demi-largeur 0{,}1\text{ s} :

En négligeant l'incertitude sur la valeur tabulée de v_0, la relation de propagation donne :

Dans l'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air d'épaisseur d(t) sous incidence normale, la différence de marche entre les deux bras est :

Les interférences se brouillent (le contraste s'annule) lorsque la différence de marche atteint la longueur de cohérence de la source, soit \delta(t_c) = L_c.

Sur l'interférogramme de la figure 6b, l'amplitude de modulation du signal s(t) décroît progressivement jusqu'à devenir quasi nulle pour un temps t_c \approx 50\text{ s} (une estimation à mi-hauteur conduirait à t \approx 30\text{ s}). Retenons t_c \approx 50\text{ s} :

Avec v_0 = 7,0\cdot 10^{-7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et t_c \approx 50\text{ s} :

Avec un seul chiffre significatif :

Par définition de la longueur de cohérence, le temps de cohérence de l'onde lumineuse est \tau_c = \frac{L_c}{c}. La relation de cohérence temporelle fournie s'écrit alors :

Comme \nu = \frac{c}{\lambda}, une différentiation donne au premier ordre :

On en déduit l'expression de la largeur spectrale :

D'après la question Q29, la longueur d'onde moyenne vaut \lambda_m \approx 5\cdot 10^{-7}\text{ m}. L'application numérique donne :