Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2020 (page 3/3 : Parties III et IV)

Dans le vide de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell conduisent à l'équation de d'Alembert pour le champ électrique :

avec c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} la célérité de la lumière dans le vide.

L'onde incidente se propageant selon l'axe (Ox) est décrite en notation complexe par :

Le laplacien vectoriel se réduit ici à :

et la dérivée temporelle seconde s'écrit :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde, on obtient :

Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants (k > 0 et \omega > 0), la relation de dispersion s'écrit :

La vitesse de phase de l'onde est donnée par :

Cette vitesse étant indépendante de la pulsation \omega (et égale à la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c), le vide est un milieu non dispersif.

De plus, le vecteur d'onde k étant réel, la propagation s'effectue sans atténuation (ni absorption).

Le champ électromagnétique de l'onde incidente vérifie l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide :

En notation complexe, avec une dépendance temporelle en \exp(j\omega t), cette équation s'écrit :

Pour une onde plane se propageant selon l'axe (Ox), le gradient spatial se résume à \vec{\nabla} \equiv -jk\,\vec{u}_x, de sorte que l'opérateur rotationnel s'identifie à :

Le calcul direct avec \vec{\underline{E}}_i = \underline{E}_0 \exp(j(\omega t - k x))\,\vec{u}_y donne :

On en déduit immédiatement :

D'après la question Q33, l'onde se propageant dans le vide obéit à la relation de dispersion \omega = c\,k, soit \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}. Par conséquent :

En grandeurs réelles, en posant \underline{E}_0 = E_{0,\mathrm{m}} e^{j\varphi} :

Le vecteur de Poynting instantané associé à l'onde incidente dans le vide est défini par :

En posant \underline{E}_0 = E_{0m} \mathrm{e}^{j\phi_0} avec E_{0m} = |\underline{E}_0|, les champs réels s'écrivent :

Le produit vectoriel donne :

La valeur moyenne temporelle d'un cosinus au carré sur une période étant égale à \frac{1}{2}, on obtient :

puisque c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, d'où \dfrac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c.

En régime harmonique de pulsation \omega, les dérivées temporelles du champ électrique complexe \underline{\vec{E}}_t s'écrivent :

L'équation (III.1) devient ainsi :

Comparons les normes respectives du second terme (associé au courant de déplacement de Maxwell) et du premier terme (associé au courant de conduction d'Ohm) :

Effectuons l'application numérique dans le domaine du visible à \lambda = \lambda_{\text{obs}} = 600\text{ nm} :

Dans le domaine de l'infrarouge, les longueurs d'onde sont supérieures (\lambda > 800\text{ nm}), donc les pulsations sont plus faibles : le rapport \eta est encore plus petit.

Le terme de propagation diélectrique \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}_t}{\partial t^2} est donc tout à fait négligeable devant le terme de diffusion ohmique \mu_0 \gamma \frac{\partial \underline{\vec{E}}_t}{\partial t}. L'équation (III.1) se simplifie en une équation de diffusion :

soit, sous forme complexe :

L'onde transmise dans le conducteur s'écrit :

D'après la simplification établie à la question Q36 (régime de l'effet de peau), le champ électrique vérifie dans le métal (x > 0) l'équation de diffusion :

Sachant que \vec{\underline{E}}_t ne dépend spatialement que de x, le laplacien vectoriel se réduit à :

La dérivation temporelle donne :

On en déduit la relation de dispersion dans le métal :

En posant \underline{k}_m = k' - j k'' (avec k', k'' \in \mathbb{R}), le terme spatial s'écrit \exp(-j\underline{k}_m x) = \exp(-k'' x) \exp(-j k' x). L'onde se propageant selon +\vec{u}_x dans le demi-espace x > 0, l'amplitude du champ doit rester bornée et s'atténuer avec la profondeur x, ce qui impose k'' > 0 et k' > 0.

Or, (1 - j)^2 = 1 - 2j - 1 = -2j. On peut donc poser :

de sorte que :

Avec les conditions de signe k' > 0 et k'' > 0, le vecteur d'onde complexe est :

où la longueur caractéristique \delta s'exprime par :

Signification de \delta : La longueur \delta est appelée épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration). L'amplitude du champ s'écrit en effet :

\delta représente la distance caractéristique sur laquelle l'amplitude du champ électrique (et magnétique) est atténuée d'un facteur 1/e \simeq 0{,}37 sous l'effet des pertes par effet Joule dans le conducteur.

D'après la question Q37, l'amplitude du champ électromagnétique décroît en \exp(-x/\delta) dans le conducteur, où l'épaisseur de peau s'écrit :

avec \omega = \frac{2\pi c}{\lambda_{\mathrm{obs}}}.

À la longueur d'onde moyenne d'observation \lambda_{\mathrm{obs}} = 600\text{ nm} = 6{,}00 \times 10^{-7}\text{ m} :

Pour que l'approximation du demi-espace infini soit valable, l'onde doit être fortement atténuée à la traversée de la couche de métal afin que l'onde transmise ne subisse pas de réflexions multiples significatives sur la face arrière. À une profondeur x = 3\delta à 5\delta, la densité de flux d'énergie (décroissant en \exp(-2x/\delta)) est réduite d'un facteur supérieur à e^6 \approx 400 (99{,}7\,\% absorbé ou réfléchi).

On choisit donc une épaisseur de l'ordre de e \approx 4\delta à 5\delta, soit typiquement :

La voile est assimilée à une feuille plane de surface S = 100\text{ m}^2 et d'épaisseur e. Sa masse volumique vaut \rho = 19{,}3\text{ g}\cdot\mathrm{cm}^{-3} = 19{,}3 \times 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}. Sa masse est alors :

Application numérique avec e = 15\text{ nm} = 1{,}5 \times 10^{-8}\text{ m} :

Commentaire de la figure 6 :

• Dans le vide amont (x < 0) : la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne naissance à un régime d'ondes partiellement stationnaires. La courbe présente une modulation spatiale périodique résultant des interférences entre les deux ondes se propageant en sens inverses, oscillant entre des ventres et des nœuds.
• Dans la voile métallique (0 < x < a) : l'onde pénètre dans le conducteur sous forme d'onde atténuée. La grandeur décroît de façon exponentielle en fonction de x, caractéristique de l'effet de peau sur une longueur caractéristique \delta. L'épaisseur a de la voile étant du même ordre de grandeur que l'épaisseur de peau \delta, l'onde n'est pas totalement amortie lorsqu'elle atteint la face de sortie en x = a.
• Dans le vide aval (x > a) : l'onde transmise au-delà de la voile se propage sous la forme d'une onde plane progressive pure dans le sens des x croissants. En l'absence d'onde réfléchie revenant de l'infini, il n'y a pas d'interférence et la puissance transportée est uniforme (valeur constante strictement positive).

Phénomène analogue :

Cette situation est directement analogue à :

• L'effet tunnel en mécanique quantique, où une fonction d'onde associée à une particule d'énergie E < V_0 traverse une barrière de potentiel rectangulaire d'épaisseur finie a grâce au raccordement d'une onde évanescente dans la barrière, conférant une probabilité de transmission non nulle au-delà de celle-ci ;
• La réflexion totale frustrée en optique (ou effet tunnel photonique), où une onde évanescente établie dans un milieu d'indice plus faible d'épaisseur micrométrique est convertie en onde progressive transmise dans un troisième milieu diélectrique.

Dans le modèle corpusculaire, un photon incident de fréquence \nu possède l'énergie \mathcal{E} = h\nu et la quantité de mouvement :

Considérons une voile plane de surface S, normale à la direction de propagation de l'onde incidente. Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t, l'énergie électromagnétique incidente reçue par la voile s'écrit :

où \mathcal{P}_s désigne la puissance surfacique incidente et N_{\text{inc}} le nombre de photons incidents.

Le comportement des photons incidents à l'interface se répartit selon deux voies :

• Une proportion R de photons est réfléchie dans la direction -\vec{u}_x, avec une quantité de mouvement finale \vec{p}_r = -\frac{h\nu}{c}\vec{u}_x. La quantité de mouvement cédée à la voile par un photon réfléchi est donc :

  \delta\vec{p}_{\text{ref}} = \vec{p}_i - \vec{p}_r = 2\frac{h\nu}{c}\vec{u}_x

• Une proportion 1-R de photons est absorbée (la transmission étant négligeable pour une voile opaque d'épaisseur supérieure à la profondeur de peau). La quantité de mouvement cédée par un photon absorbé est :

  \delta\vec{p}_{\text{abs}} = \vec{p}_i - \vec{0} = \frac{h\nu}{c}\vec{u}_x

La quantité de mouvement totale transférée à la voile pendant la durée \mathrm{d}t vaut ainsi :

D'après le principe fondamental de la dynamique, la force de pression de radiation exercée sur la voile est :

Application numérique : À proximité de la Terre, \mathcal{P}_s \approx 1000\text{ W}\cdot\mathrm{m}^{-2}. Pour une voile en or de surface S = 100\text{ m}^2 (introduite à la question Q38), très réfléchissante dans le visible et le proche infrarouge (R \approx 1), avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1} :

La pression de radiation surfacique correspondante est de l'ordre de P_{\text{rad}} = \frac{F}{S} \approx 6{,}7\text{ }\mu\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2} = 6{,}7\text{ }\mu\mathrm{Pa}.

D'après la définition du centre de masse G du système {étoile + planète} :

En décomposant le vecteur \vec{GE} à l'aide de la relation de Chasles en passant par le point P :

L'équation barycentrique devient :

Comme M_E + M_P \neq 0, on obtient directement :

Contrôle de pertinence par l'étude de cas limites :

• Cas d'une étoile très massive devant la planète (M_E \gg M_P) :
  On a \frac{M_E}{M_E + M_P} = \frac{1}{1 + M_P / M_E} \xrightarrow[M_P \to 0]{} 1, soit :

  \vec{GP} \approx \vec{EP} \iff \vec{GE} \approx \vec{0}

  Le centre de masse G est pratiquement confondu avec le centre de l'étoile E, qui peut alors être considérée comme fixe. C'est l'approximation usuelle du corps central fixe.

• Cas hypothétique d'une planète ultra-massive (M_P \gg M_E) :
  Le rapport tend vers zéro, d'où \vec{GP} \approx \vec{0} : le barycentre est confondu avec le centre de la planète P.
• Cas de deux corps de masses égales (M_E = M_P) :
  Le rapport vaut 1/2, donc \vec{GP} = \frac{1}{2}\vec{EP} : le centre de masse G se situe exactement au milieu du segment [EP], ce qui est attendu pour un système symétrique.

L'expression établie est donc parfaitement cohérente.

On étudie le système constitué par la planète P, de masse M_P, assimilée à un point matériel.

Le référentiel d'étude est le référentiel barycentrique lié au centre de masse G du système {étoile + planète}, dont les axes sont fixes par rapport aux étoiles lointaines ; il est supposé galiléen par l'énoncé.

Toutes les interactions extérieures étant négligées, la planète P n'est soumise qu'à l'attraction gravitationnelle exercée par l'étoile E :

où \vec{r} = \overrightarrow{EP} et r = \|\vec{r}\|.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la planète P dans ce référentiel galiléen s'écrit :

D'après le résultat de la question Q 41, on a :

Les masses M_E et M_P étant constantes au cours du temps, la dérivation temporelle seconde donne :

En reportant cette relation dans le principe fondamental de la dynamique, on obtient :

En simplifiant par le produit non nul M_E M_P, il vient finalement :

D'après la question Q42, le vecteur position \vec{r} = \overrightarrow{GF} vérifie l'équation différentielle :

où \vec{u}_r = \frac{\vec{r}}{r} est le vecteur unitaire radial.

Le point F décrit une trajectoire circulaire de rayon r = \|\vec{r}\| = \text{cste} autour de G dans le référentiel galiléen d'étude. En repérant sa position par l'angle polaire \theta(t), son vecteur accélération s'écrit :

Par identification selon la composante orthoradiale \vec{u}_\theta :

Le mouvement circulaire est donc uniforme. La pulsation orbitale \omega est reliée à la période orbitale T par :

Par projection selon la direction radiale -\vec{u}_r :

On en déduit immédiatement la relation demandée :

Cette relation constitue la troisième loi de Kepler (ou troisième loi de Kepler généralisée au problème à deux corps).

D'après la relation barycentrique établie à la question Q41 :

En introduisant le point F défini par \vec{r} = \vec{GF}, il vient :

Or, d'après l'énoncé, le point F est en mouvement circulaire de période T autour de G :

• La distance r = \|\vec{r}\| = \|\vec{GF}\| est constante au cours du temps, donc la distance de l'étoile au centre de masse G est également constante :

  r_E = \|\vec{GE}\| = \frac{M_P}{M_E + M_P}\,r = \text{cte}

  La trajectoire de E dans le référentiel barycentrique est donc un cercle centré en G de rayon r_E.

• Les vecteurs \vec{GE} et \vec{GF} restent constamment colinéaires et opposés ; l'étoile E tourne donc autour de G avec la même vitesse angulaire constante que le point F :

  \omega = \frac{2\pi}{T} = \text{cte}

Le mouvement de l'étoile E autour de G est donc un mouvement circulaire uniforme de période T.

La vitesse de révolution v_E de l'étoile sur cette orbite circulaire s'exprime par le produit de son rayon orbital r_E par sa pulsation angulaire \omega :

soit :

D'après la troisième loi de Kepler généralisée (question Q43) :

D'après la question Q44, la vitesse de l'étoile E sur son orbite circulaire autour du centre de masse G s'écrit :

En substituant r dans cette expression, il vient :

Dans le cas étudié en IV.A et IV.B, l'observateur terrestre se trouve dans le plan de l'orbite (i = 90^\circ, soit \sin i = 1). La composante de la vitesse le long de la ligne de visée varie de manière sinusoïdale au cours du temps : V(t) = v_E \cos(\omega t + \varphi). L'amplitude de la vitesse radiale est donc égale à v_E.

En appliquant la relation de l'effet Doppler donnée dans l'énoncé pour la vitesse maximale V = \pm v_E, on obtient pour l'amplitude du décalage Doppler relatif :

Commentaire des différences avec la formule du professeur Bouchy :

• L'excentricité orbitale e : notre étude supposait une orbite circulaire (e=0), ce qui donne \frac{1}{\sqrt{1-e^2}} = 1. La formule de Bouchy généralise le résultat à une orbite képlérienne elliptique (0 \leqslant e < 1).
• L'inclinaison i du plan orbital : l'étude en IV.A suppose la Terre dans le plan orbital (i = 90^\circ \implies \sin i = 1). Si la ligne de visée fait un angle i avec la normale au plan orbital, seule la projection de la vitesse sur la ligne de visée est mesurée, ce qui introduit le facteur \sin i.
• Le signe global : la formule de Bouchy utilise la convention usuelle en astrophysique où la vitesse radiale est comptée positivement lors d'un éloignement (V > 0), ce qui correspond à un décalage vers le rouge (diminution de la fréquence, f_{\mathrm{obs}} < f_{\mathrm{em}}), d'où le signe négatif.

1. Exploitation de la figure 8 :

• Période orbitale T : On observe des oscillations périodiques de la vitesse radiale. En repérant les extrema de la courbe lissée (par exemple des maxima vers t \approx 12, 24, 35, 47, 58\text{ jours}), on compte environ 4 périodes complètes sur un intervalle de 46\text{ jours} :

  T \simeq \frac{58 - 12}{4} \simeq 11{,}5\text{ jours} \approx 11{,}2\text{ jours} = 9{,}7 \times 10^5\text{ s}

• Semi-amplitude de la vitesse radiale V_{\max} : L'amplitude crête-à-crête de l'oscillation rapide est d'environ \Delta V \simeq 10\text{ km}\cdot\mathrm{h}^{-1} (malgré une dérive globale de la ligne de base). La semi-amplitude est donc :

  V_{\max} = \frac{\Delta V}{2} \simeq 5\text{ km}\cdot\mathrm{h}^{-1} = \frac{5}{3{,}6}\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1} \simeq 1{,}4\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1}

2. Détermination de la masse de la planète :

D'après les résultats de la sous-partie IV.A et la formule de Bouchy, dans la configuration la plus favorable où l'orbite est vue par la tranche (\sin i = 1) et considérée comme circulaire (e = 0), l'amplitude de la composante radiale de la vitesse orbitale de l'étoile E s'écrit :

La masse de la planète étant très inférieure à celle de l'étoile (M_P \ll M_E), on a (M_E + M_P)^{2/3} \simeq M_E^{2/3}. L'expression de la masse planétaire devient :

3. Application numérique :

• M_E = 2{,}44 \times 10^{29}\text{ kg} \implies M_E^{2/3} \simeq 3{,}91 \times 10^{19}\text{ kg}^{2/3}
• \mathcal{G} = 6{,}674 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-2}
• T \simeq 11{,}2\text{ jours} = 9{,}68 \times 10^5\text{ s} \implies \left(\dfrac{T}{2\pi \mathcal{G}}\right)^{1/3} \simeq 1{,}32 \times 10^5\text{ s}
• V_{\max} \simeq 1{,}39\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1}

Ce résultat est parfaitement cohérent avec la valeur annoncée dans le texte introductif de la partie IV (« environ 1{,}3 masse terrestre »).