Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2020

Un dipôle électrostatique est constitué de deux charges électriques ponctuelles opposées, -q située en un point N et +q en un point P (avec q > 0), séparées par une distance d = NP.

Le moment dipolaire électrostatique de ce doublet est défini par le vecteur :

Par convention en physique, il est orienté de la charge négative vers la charge positive. Son unité dans le Système International est le coulomb-mètre (\text{C}\cdot\text{m}).

Plus généralement, pour une distribution localisée et globalement neutre de charges ponctuelles q_i situées aux positions P_i (\sum_i q_i = 0), le moment dipolaire électrostatique est défini par :

Cette grandeur est alors intrinsèque à la distribution, c'est-à-dire indépendante du choix de l'origine O.

Un exemple classique et fondamental de dipôle électrostatique permanent dans la nature est la molécule d'eau \mathrm{H_2O} (ou toute molécule polaire telle que le chlorure d'hydrogène \mathrm{HCl}).

Dans la molécule d'eau, la géométrie coudée (angle de liaison d'environ 104{,}5^\circ) et la différence d'électronégativité entre l'atome d'oxygène et les atomes d'hydrogène conduisent à un barycentre des charges partielles positives distinct de celui des charges partielles négatives.

Pour estimer son ordre de grandeur :

• la distance entre les centres de gravité des charges est de l'ordre des distances interatomiques : d \sim 10^{-10}\text{ m} (1\text{ \AA}) ;
• la charge partielle déplacée est une fraction de la charge élémentaire : q \sim 0{,}1\,e \sim 10^{-20}\text{ C}.

Le moment dipolaire permanent p = q\,d est donc de l'ordre de grandeur suivant :

Pour la molécule d'eau isolée, la valeur expérimentale est p_{\mathrm{H_2O}} \approx 6{,}2 \times 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m} (soit environ 1{,}85\text{ D}, où 1\text{ Debye} \approx 3{,}336 \times 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m}).

Soit d la dimension spatiale caractéristique du dipôle électrostatique, correspondant à la distance séparant les charges +q et -q (ou plus généralement à l'extension spatiale de la distribution de charges neutre).

Le point M est considéré à « grande distance » de l'origine O si la distance r = \|\overrightarrow{OM}\| est très supérieure à la dimension caractéristique d du dipôle :

À l'échelle atomique ou moléculaire, cela revient à se placer à une distance r très grande devant le rayon atomique ou la longueur de la liaison chimique (d \sim 10^{-10}\text{ m}).

D'après la figure 1, l'angle \theta correspond à l'angle entre le vecteur moment dipolaire \vec{p} et le rayon vecteur \overrightarrow{OM}. Le produit scalaire s'écrit donc :

où p = \|\vec{p}\| et r = \|\overrightarrow{OM}\|. L'expression du potentiel électrostatique en coordonnées sphériques devient :

Le potentiel présente une invariance par rotation autour de l'axe du dipôle (indépendance selon la coordonnée azimutale \varphi).

Le champ électrique dérive du potentiel selon la relation \vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}(V). En utilisant l'expression du gradient en coordonnées sphériques fournie en fin de sujet :

On en déduit l'expression vectorielle du champ électrique créé par le dipôle au point M :

Les lignes de champ électrostatique d'un dipôle \vec{p} = p\,\vec{u}_z présentent les propriétés remarquables suivantes :

• Symétries : invariance par rotation autour de l'axe (Oz) porté par \vec{p} (symétrie de révolution) et antisymétrie par rapport au plan équatorial (xOy) ;
• Sens : le champ électrostatique est centrifuge dans le demi-espace z > 0 (près du pôle positif) et centripète dans le demi-espace z < 0 (près du pôle négatif) ;
• Directions remarquables : sur l'axe (Oz), le champ \vec{E} est parallèle à \vec{p} ; dans le plan équatorial (\theta = \pi/2), le champ est antiparallèle à \vec{p} ;
• Équation des lignes de champ : l'équation différentielle \frac{\mathrm{d}r}{E_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{E_\theta} s'intègre en r(\theta) = r_0 \sin^2\theta, où r_0 est la distance maximale à l'origine atteinte dans le plan équatorial.

1. Justification qualitative de la relation (I.1)

En l'absence de champ extérieur, l'atome est globalement neutre et présente une symétrie sphérique : le barycentre des charges positives (le noyau) coïncide avec celui des charges négatives (le nuage électronique). Le moment dipolaire permanent est donc nul.

Lorsqu'on applique un champ électrique extérieur \vec{E}_{\text{ext}} :

• le noyau (de charge positive +Ze) subit une force \vec{F}_+ = +Ze\,\vec{E}_{\text{ext}} dans le sens du champ ;
• les électrons (de charge totale -Ze) subissent une force \vec{F}_- = -Ze\,\vec{E}_{\text{ext}} dans le sens opposé.

Cette force sépare les barycentres respectifs G_+ et G_-, faisant apparaître un vecteur déplacement \overrightarrow{G_-G_+} de même sens que \vec{E}_{\text{ext}}. Le moment dipolaire induit vaut :

À l'échelle atomique, le champ extérieur appliqué est très faible devant le champ intra-atomique régnant au voisinage du noyau. On peut donc réaliser un développement limité au premier ordre : la séparation des charges, et donc le moment dipolaire induit, est proportionnelle au champ appliqué \vec{E}_{\text{ext}} :

On introduit la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 par commodité dimensionnelle, ce qui conduit bien à la relation linéaire :

2. Unité de \alpha dans le système international

Déterminons la dimension de \alpha à partir de la relation (I.1) :

Dans le système international d'unités :

• [p] = \text{C}\cdot\text{m} ;
• [\varepsilon_0] = \text{F}\cdot\text{m}^{-1} = \text{C}\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} ;
• [E] = \text{V}\cdot\text{m}^{-1}.

Le produit \varepsilon_0 E a donc pour dimension :

On en déduit :

3. Justification du signe positif de \alpha

Le barycentre des charges positives G_+ est déplacé dans le sens de \vec{E}_{\text{ext}} et celui des charges négatives G_- en sens opposé, le vecteur \overrightarrow{G_-G_+} est donc de même sens que \vec{E}_{\text{ext}}. Il en résulte que le moment dipolaire induit \vec{p}_{\text{ind}} = Ze\,\overrightarrow{G_-G_+} est colinéaire et de même sens que \vec{E}_{\text{ext}}.

Comme la permittivité du vide \varepsilon_0 est strictement positive, le coefficient de proportionnalité \alpha doit être positif :

D'un point de vue énergétique, cette orientation de même sens garantit que l'énergie potentielle électrostatique induite E_{\text{pot}} = -\vec{p}_{\text{ind}}\cdot\vec{E}_{\text{ext}} = -\alpha\varepsilon_0 E_{\text{ext}}^2 est négative, ce qui correspond bien à un état d'équilibre stable (abaissement d'énergie du système en présence du champ).

La sphère de centre O et de rayon a porte une charge +e uniformément répartie en volume, soit une densité volumique de charge :

La distribution présente une symétrie sphérique par rapport à O. En coordonnées sphériques de centre O, les invariances par rotation impliquent que le champ électrostatique créé en un point M s'écrit \vec{E}(M) = E(r)\,\vec{u}_r, avec r = \|\overrightarrow{OM}\| \leqslant a.

On applique le théorème de Gauss à une sphère de centre O et de rayon r \leqslant a :

• le flux du champ électrique à travers cette surface fermée orientée vers l'extérieur vaut :

  \Phi = \iint_{\Sigma} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E(r) \times 4\pi r^2

• la charge intérieure à la surface de Gauss est :

  Q_{\mathrm{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = e\,\frac{r^3}{a^3}

D'après le théorème de Gauss :

Soit, sous forme vectorielle :

L'électron, de charge q = -e, subit la force électrostatique :

Commentaires :

• Cette force est centrale et attractive : elle est dirigée vers le centre O de la sphère, qui constitue une position d'équilibre stable pour l'électron.
• Elle est directement proportionnelle à la distance au centre (\vec{F} = -k\,\overrightarrow{OM} avec k = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a^3}) : il s'agit d'une force de rappel harmonique, ce qui justifie a posteriori le modèle phénoménologique de l'« électron élastiquement lié ».

Dans le référentiel galiléen d'étude lié au centre O de la sphère, l'électron de charge q = -e, assimilé à un point matériel M, est soumis à deux forces électrostatiques :

• la force de rappel due à la distribution sphérique uniforme de charge positive, établie à la question Q7 :

  \vec{F}_{\text{int}} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a^3}\overrightarrow{OM} ;

• la force exercée par le champ électrique extérieur uniforme \vec{E}_{\text{ext}} :

  \vec{F}_{\text{ext}} = -e \vec{E}_{\text{ext}}.

À l'équilibre mécanique, la résultante des forces est nulle :

En notant M_{\text{éq}} la position d'équilibre de l'électron, on obtient :

ce qui conduit immédiatement à :

Le barycentre des charges positives de l'atome est situé au centre O de la sphère, tandis que la charge négative -e se trouve en M_{\text{éq}}. D'après la définition du moment dipolaire électrostatique (question Q1), le moment dipolaire induit s'écrit :

En utilisant l'expression de la position d'équilibre obtenue à la question Q8, \overrightarrow{OM}_{\text{éq}} = -\dfrac{4\pi\varepsilon_0 a^3}{e}\vec{E}_{\text{ext}}, il vient :

Par identification avec la relation (I.1), \vec{p}_{\text{ind}} = \alpha\varepsilon_0 \vec{E}_{\text{ext}}, on en déduit l'expression de la polarisabilité de l'atome :

Pour un atome d'hydrogène, la taille typique du rayon atomique est donnée par le rayon de Bohr :

On calcule alors :

Un ordre de grandeur de la polarisabilité atomique est donc :

Bien qu'un atome de rubidium soit globalement neutre et possède une symétrie sphérique en moyenne temporelle (\langle \vec{p} \rangle = \vec{0}), la répartition de son nuage électronique fluctue constamment :

• À un instant donné t, le barycentre des charges négatives ne coïncide pas exactement avec le noyau positif. Il apparaît alors un moment dipolaire instantané fluctuant \vec{p}_1(t) sur un premier atome.
• Ce dipôle instantané engendre un champ électrique \vec{E}_1(t) au niveau d'un deuxième atome voisin, situé à une distance x.
• Sous l'effet de ce champ, le deuxième atome acquiert par polarisation un moment dipolaire induit \vec{p}_2(t) = \alpha \varepsilon_0 \vec{E}_1(t).
• Les deux dipôles sont alors mutuellement corrélés : le dipôle induit \vec{p}_2(t) s'oriente dans le sens favorisé par le champ dipolaire \vec{E}_1(t), ce qui minimise l'énergie d'interaction (E_{\mathrm{pot}} = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E}_1 < 0).

Même si la moyenne temporelle de chaque moment dipolaire est rigoureusement nulle (\langle \vec{p}_1 \rangle = \vec{0} et \langle \vec{p}_2 \rangle = \vec{0}), la moyenne temporelle de l'énergie d'interaction ne l'est pas :

Il en résulte une interaction mutuelle attractive en moyenne, appelée interaction dipôle instantané – dipôle induit ou force de dispersion de London.

D'après le formulaire fourni en fin d'énoncé, l'énergie potentielle d'un dipôle électrostatique de moment dipolaire \vec{p}_2 placé dans un champ électrique extérieur \vec{E}_1 s'écrit :

Les deux dipôles étant alignés selon l'axe (Ox), on a \vec{p}_2 = p_2 \, \vec{e}_x et le champ électrique créé par le premier dipôle au point O_2 d'abscisse x est dirigé selon cet axe : \vec{E}_1(x) = E_1(x) \, \vec{e}_x.

L'énergie potentielle ne dépend donc que de l'abscisse x du second dipôle :

La force s'exerçant sur le dipôle 2 dérive de cette énergie potentielle selon \vec{F}_{1/2} = -\vec{\operatorname{grad}}(E_{\mathrm{pot}}). Le problème étant unidimensionnel le long de l'axe (Ox), cette relation devient :

Le moment dipolaire \vec{p}_2 étant évalué en la position considérée, la dérivation spatiale porte sur le champ extérieur E_1(x) :

Le dipôle \vec{p}_1 = p_1 \vec{e}_x est situé en O_1. D'après la question Q4, sur l'axe du dipôle (\theta = 0 et \vec{u}_r = \vec{e}_x), le champ électrique créé en O_2 à la distance x s'écrit :

soit une composante algébrique E_1(x) = \dfrac{2 p_1}{4\pi\varepsilon_0 x^3}.

Sa dérivée par rapport à x vaut :

L'atome situé en O_2 acquiert sous l'action de ce champ un moment dipolaire induit donné par la relation (I.1) :

En utilisant le résultat de la question Q11, la force exercée par le premier dipôle sur le second s'écrit :

En présence de fluctuations dipolaires (forces de dispersion de London), on prend la moyenne temporelle de cette force, où intervient \langle p_1^2 \rangle > 0 :

Puisque \alpha > 0 (établi en Q6), \varepsilon_0 > 0 et \langle p_1^2 \rangle > 0, la constante K est strictement négative.

Le dipôle 1 étant placé en O_1 et le dipôle 2 en O_2 avec x > 0 le long de l'axe orienté par \vec{e}_x, la force exercée par le dipôle 1 sur le dipôle 2 s'écrit d'après la question Q12 :

Puisque K < 0, on a \vec{F}_{1/2} \cdot \vec{e}_x < 0. La force exercée sur le second atome est donc dirigée vers l'atome 1 (sens des x décroissants) :

Ce caractère attractif se prévoit sans calcul de deux manières équivalentes :

• Point de vue énergétique : le moment dipolaire induit \vec{p}_2 s'aligne spontanément sur le champ local \vec{E}_1 (\vec{p}_2 = \alpha\varepsilon_0 \vec{E}_1 avec \alpha > 0). L'énergie potentielle électrostatique associée s'écrit alors :

  E_p = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E}_1 = -\alpha\varepsilon_0 \|\vec{E}_1\|^2 \leqslant 0

  L'amplitude du champ \|\vec{E}_1\| augmentant lorsque la distance x diminue, l'énergie potentielle E_p devient d'autant plus basse que les deux atomes se rapprochent. Le système évoluant spontanément vers une minimisation de son énergie potentielle, il tend à réduire l'écartement x : l'interaction est nécessairement attractive.

• Point de vue microscopique : sous l'effet du champ créé par le premier dipôle, les charges du second atome sont polarisées de telle sorte que les charges de signe opposé se trouvent spatialement les plus proches l'une de l'autre. L'attraction coulombienne entre charges les plus rapprochées l'emporte toujours sur la répulsion entre charges de même signe plus éloignées, ce qui conduit à une force globale toujours attractive.

La force exercée par le premier dipôle sur le second est une force conservative qui dérive de l'énergie potentielle d'interaction E_p(x) :

D'après le résultat de la question Q12, \vec{F}_{1/2} = \dfrac{K}{x^7}\,\vec{e}_x, ce qui donne :

En intégrant entre une distance infinie (état de référence où E_p(\infty) = 0) et la distance x :

Comme établi à la question Q12, K < 0. En posant A = -\dfrac{K}{6} > 0, l'énergie potentielle d'interaction s'écrit :

En remplaçant K = -\dfrac{3\alpha\langle p_1^2\rangle}{4\pi^2\varepsilon_0}, la constante A s'exprime explicitement par :

Le caractère circulaire et uniforme du mouvement de l'électron découle des hypothèses du modèle de Bohr et des lois de la mécanique classique :

• Caractère circulaire : Bohr postule que, parmi les trajectoires permises par la mécanique classique, seules les orbites circulaires de centre le noyau (considéré fixe à l'origine O) sont stables.

• Caractère uniforme : La seule force appliquée à l'électron est la force d'interaction coulombienne exercée par le proton situé en O :

  \vec{F} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{u}_r

  Cette force est rigoureusement centrale. Pour une trajectoire circulaire de rayon r, le vecteur vitesse de l'électron est purement orthoradial : \vec{v} = r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta. La force est donc à chaque instant orthogonale au vecteur vitesse :

  \vec{F} \cdot \vec{v} = 0

D'après le théorème de l'énergie cinétique, la dérivée temporelle de l'énergie cinétique est égale à la puissance de cette force :

La norme de la vitesse v est donc constante : le mouvement circulaire est uniforme.

Le noyau, considéré comme un point fixe O dans le référentiel galiléen d'étude, exerce sur l'électron la force électrostatique coulombienne :

Cette force est centrale, de centre O. Son moment par rapport à O est donc rigoureusement nul :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué à l'électron par rapport au point fixe O :

Le moment cinétique de l'électron par rapport au noyau est donc une constante du mouvement (vecteur conservé au cours du temps) :

En particulier, sa direction constante impose que la trajectoire est plane, et sa norme est constante :

Le modèle de Bohr est qualifié de semi-quantique (ou semi-classique) car il juxtapose des lois de la physique classique et des règles de quantification postulées de manière ad hoc :

• Aspect classique : l'électron est décrit comme une particule ponctuelle classique de masse m_e, possédant une trajectoire spatiale bien définie (orbite circulaire de rayon r) et obéissant aux lois de la mécanique newtonienne (principe fondamental de la dynamique appliqué sous l'action de la force coulombienne centrale attractive).

• Aspect quantique : contrairement à la physique classique où toutes les orbites et toutes les énergies forment un continuum, Bohr impose une règle de discrétisation :

  • la quantification du moment cinétique orbital L = n\hbar (n \in \mathbb{N}^*), qui sélectionne uniquement certains rayons d'orbite discrets dits « états stationnaires » ;
  • l'hypothèse que l'électron sur ces orbites ne rayonne pas d'énergie électromagnétique (en contradiction avec l'électrodynamique classique de Maxwell-Larmor), l'échange d'énergie avec le champ de rayonnement ne s'effectuant que de façon discontinue lors de sauts quantiques (\Delta E = h\nu).

Ce modèle hybride ne constitue pas encore la mécanique quantique ondulatoire complète (équation de Schrödinger, principe d'indétermination d'Heisenberg), dans laquelle la notion même de trajectoire disparaît.

Dans le référentiel galiléen lié au proton fixe, l'électron (masse m_e, charge -e) décrit une orbite circulaire de rayon r à la vitesse v. Il est soumis à la force électrostatique coulombienne :

Le mouvement étant circulaire uniforme, l'accélération de l'électron est purement centripète : \vec{a} = -\dfrac{v^2}{r} \vec{u}_r. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe radial \vec{u}_r s'écrit :

D'après la condition de quantification de Bohr rappelée à la question Q17 :

En injectant cette vitesse dans la relation dynamique, on obtient :

On en déduit l'expression du rayon discret r_n de l'orbite associée au niveau n :

Les rayons des orbites permises vérifient bien :

L'énergie mécanique de l'électron sur une orbite circulaire de rayon r est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle électrostatique :

en choisissant l'origine de l'énergie potentielle à l'infini (E_p(r\to\infty) = 0).

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron en mouvement circulaire uniforme (établi à la question Q18) :

L'énergie mécanique s'écrit donc :

En injectant l'expression des rayons permis r_n = n^2 a_0 obtenue à la question Q18 :

avec, en remplaçant a_0 = \dfrac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2} :

Application numérique :

En convertissant en électron-volts (1\text{ eV} = 1{,}602\times 10^{-19}\text{ J}) :

Cette valeur concorde parfaitement avec la donnée fournie en fin d'énoncé.

L'ionisation d'un atome d'hydrogène correspond à l'arrachement de son électron, initialement dans son état fondamental (n = 1), pour l'amener à une distance infinie du noyau (n \to \infty) avec une vitesse nulle (état non lié).

D'après le résultat de la question Q19 :

• pour l'état fondamental (n = 1), l'énergie mécanique de l'électron vaut :

  E_1 = -E_I

• pour un électron libre à l'infini et au repos (n \to \infty), son énergie potentielle et son énergie cinétique sont nulles :

  E_\infty = \lim_{n \to \infty} E_n = 0

L'énergie minimale nécessaire à fournir à l'atome pour l'ioniser depuis son état fondamental, appelée énergie d'ionisation E_{\text{ion}}, s'écrit donc :

La constante E_I représente ainsi bien l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène.

D'après la question Q18, le rayon de l'orbite de Bohr pour le niveau quantique principal n s'écrit :

Pour un état de Rydberg de nombre quantique n = 100, avec a_0 = 52{,}92\text{ pm} = 52{,}92 \times 10^{-12}\text{ m} :

Un atome d'hydrogène se trouve initialement dans son état fondamental de nombre quantique n_i = 1, d'énergie E_1 = -E_I. L'absorption d'un photon d'énergie h\nu = \dfrac{hc}{\lambda} lui permet d'atteindre l'état de Rydberg n = 100, d'énergie E_{100} = -\dfrac{E_I}{100^2}.

La conservation de l'énergie s'écrit :

On en déduit l'expression de la longueur d'onde du photon :

Avec les valeurs numériques fournies :

• h = 6{,}626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• c = 2{,}998 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• E_I = 13{,}60\text{ eV} = 13{,}60 \times 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ J} = 2{,}179 \times 10^{-18}\text{ J} ;
• 1 - \dfrac{1}{100^2} = 0{,}9999.

L'application numérique donne :

Cette longueur d'onde se situe dans le domaine de l'ultraviolet (plus précisément l'ultraviolet lointain ou UV sous vide, pour \lambda < 200\text{ nm}).

Pour l'atome de sodium (Z = 11) :

• Le noyau porte une charge +11e.
• Les 10 électrons de cœur (1\text{s}^2\,2\text{s}^2\,2\text{p}^6) restent confinés à des distances de l'ordre du rayon atomique standard, soit r_{\text{cœur}} \sim a_0.
• L'électron de valence est dans un état de Rydberg caractérisé par n \gg 1, de sorte que son rayon orbital moyen vaut r_n \approx n^2 a_0 \gg r_{\text{cœur}} (d'après la question Q18).

Puisque l'électron de valence évolue à une distance r \gg r_{\text{cœur}}, l'ensemble constitué du noyau et des 10 électrons de cœur peut être assimilé, par symétrie sphérique et en vertu du théorème de Gauss, à une charge centrale ponctuelle effective :

L'électron de valence est donc soumis à un potentiel coulombien identique à celui créé par un proton unique :

Le système se comporte ainsi comme un atome hydrogénoïde de charge nucléaire efficace Z_{\text{eff}} = 1. Par conséquent, ses niveaux d'énergie pour les états très excités coïncident pratiquement avec ceux de l'atome d'hydrogène :

D'après le modèle de Bohr (établi à la question Q18 et étendu au sodium à la question Q23), l'atome dans un état de Rydberg possède un rayon orbital :

L'atome présente ainsi un encombrement spatial effectif de diamètre D_n = 2r_n = 2n^2 a_0, qui croît rapidement avec le nombre quantique principal n.

Considérons un modèle d'interception géométrique :

• la plaque métallique intercepte tout atome dont le nuage électronique entre en contact avec les parois de la fente (désexcitation, transfert de charge ou ionisation par la paroi conductrice) ;
• pour traverser sans encombre une fente de largeur géométrique d, le centre de l'atome doit se trouver à une distance d'au moins r_n de chaque bord de la fente.

La fente n'offre donc au centre de masse de l'atome qu'une largeur efficace de transmission :

Pour un flux uniforme incident, la probabilité de passage, et donc la transmission relative T, varie comme le rapport d_{\text{eff}}/d :

Lorsque n augmente, la taille de l'atome augmente en n^2, ce qui réduit la largeur efficace de passage et explique la diminution observée de la transmission.

1. Discussion de la valeur d'annulation de la transmission

D'après le graphe de droite de la figure 3, la transmission relative décroît et devient négligeable (proche de zéro) pour :

Dans le cadre du modèle d'exclusion stérique simple (question Q24), la fente serait totalement obstruée lorsque le diamètre de l'atome 2r_n = 2n^2 a_0 atteint la largeur d = 2\ \mu\text{m} :

Pour n^2 \approx 3\,600, le diamètre de l'atome de Rydberg n'est que :

ce qui ne représente qu'environ 19\,\% de la largeur de la fente (d = 2\ \mu\text{m}). La transmission devient donc négligeable pour des atomes bien plus petits que la fente (n \approx 60 \ll n_{\text{géom}} \approx 140).

2. Mécanismes explicatifs

La diminution beaucoup plus rapide de la transmission avec n^2 s'explique principalement par les interactions entre l'atome et les parois métalliques :

• Interaction avec les parois métalliques (force de van der Waals / Casimir-Polder) : la grille est métallique. L'atome de Rydberg possède un nuage électronique très étendu et une polarisabilité gigantesque. Par effet de charge image dans le métal, l'atome subit une force attractive intense vers les parois, même lorsqu'il passe à distance de celles-ci. Les atomes sont ainsi fortement déviés vers les bords et capturés ou absorbés.
• Ionisation par effet de champ au voisinage des parois : l'énergie de liaison de l'électron de Rydberg est très faible (|E_n| \propto 1/n^2). Les champs électriques inhomogènes créés par les irrégularités de potentiel de surface du métal (« patch potentials ») ou par l'interaction dipolaire induite peuvent provoquer une ionisation par effet de champ de l'atome lors de son passage. L'ion sodium ainsi formé est alors immédiatement dévié par les champs parasites et n'est pas détecté.

1. Mécanisme d'acquisition du moment dipolaire induit

• En l'absence de champ électrique extérieur : Pour un nombre quantique principal n donné, l'orbite de l'électron de Rydberg est une ellipse dont le noyau occupe l'un des foyers F (documents 1 et 2). En vertu de la loi des aires (vitesse minimale à l'apocentre), l'électron passe une fraction prépondérante de son temps à grande distance du noyau. Le barycentre instantané de sa charge négative ne coïncide donc pas avec le noyau, créant un moment dipolaire orbital dirigé le long du grand axe. Cependant, cette ellipse précesse de façon isotrope dans l'espace (document 4, gauche) : la moyenne temporelle du moment dipolaire est donc rigoureusement nulle,

  \langle \vec{p} \rangle = \vec{0}.
• En présence d'un champ électrique extérieur \vec{E}_{\text{ext}} : Le champ extérieur brise la symétrie sphérique. L'énergie électrostatique -\vec{p}\cdot\vec{E}_{\text{ext}} tend à aligner le grand axe de l'orbite avec le champ. Comme l'illustre le document 4 (droite), la précession ne balaie plus tout l'espace mais s'organise autour de l'axe du champ électrique : l'ellipse reste préférentiellement située d'un côté du noyau (l'électron négatif étant repoussé à l'opposé de \vec{E}_{\text{ext}}). En moyenne temporelle, le barycentre de la charge négative est ainsi décalé par rapport au noyau (document 5) : l'atome de Rydberg acquiert un moment dipolaire permanent moyen induit \vec{p}_{\text{ind}} \neq \vec{0}, dirigé dans le sens de \vec{E}_{\text{ext}}.

2. Ordre de grandeur du moment dipolaire maximal induit

D'après le document 3, lorsque l n'est pas trop faible (l \sim n), les orbites sont dites « non pénétrantes » : l'électron reste à distance r > r_c du cœur ionique, le défaut quantique \delta_l est négligeable (\delta_l \approx 0) et le comportement est purement hydrogénoïde. Les états de différents l sont quasi-dégénérés en énergie.

Dans le problème de Kepler-Coulomb, le demi-grand axe a ne dépend que de l'énergie mécanique E_n = -E_I / n^2 et s'identifie au rayon de l'orbite circulaire de Bohr obtenu à la question Q18 :

La distance entre le noyau (foyer F) et le centre O de l'ellipse est c = \epsilon a. Le décalage maximal du barycentre de charge négative par rapport au noyau est donc de l'ordre de grandeur du demi-grand axe a de l'orbite. Par conséquent, le moment dipolaire maximal induit s'écrit en ordre de grandeur :

Pour un état de Rydberg typique utilisé dans l'expérience (n \sim 60 à 100, figures 3 et 4) avec a_0 \approx 53\text{ pm} et e = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C} :

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_x, où k = \dfrac{2\pi}{\lambda} est la norme du vecteur d'onde et \lambda la longueur d'onde du laser.

Pour un atome dont le centre (le noyau) est situé à l'origine O, l'électron de valence se déplace au voisinage de O dans un domaine spatial d'extension caractéristique a_{\text{at}} le long de l'axe (Oz) (de l'ordre de la taille de l'atome ou de l'orbite électronique).

Le terme de phase spatiale kz est négligeable devant la phase temporelle (ou de façon équivalente, devant 2\pi sur toute l'extension de l'atome) si :

La condition requise est donc que la dimension caractéristique de l'atome a_{\text{at}} (ou le déplacement maximal de l'électron selon z) soit très petite devant la longueur d'onde du rayonnement :

Cette hypothèse porte le nom d'approximation dipolaire électrique (ou approximation des grandes longueurs d'onde) : à l'échelle de l'atome, le champ électromagnétique peut être considéré comme spatialement uniforme.

Le champ électrique créé par le laser correspond à une onde plane progressive monochromatique se propageant selon l'axe (Oz) dans le sens des z croissants, de vecteur d'onde \vec{k} = k\,\vec{u}_z avec la relation de dispersion du vide \omega = ck.

D'après la relation de structure d'une onde plane progressive dans le vide (issue de l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} en régime sinusoïdal forcé) :

Comme \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x = \vec{u}_y, on obtient directement :

Le flux instantané d'énergie électromagnétique par unité de surface à travers un plan d'onde est donné par le vecteur de Poynting :

L'intensité I de l'onde est la puissance électromagnétique moyenne transportée par unité de surface, c'est-à-dire la norme du vecteur de Poynting moyenné dans le temps. Avec \langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle = \frac{1}{2} et la relation c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} (soit \frac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c) :

On associe à la force excitatrice et au déplacement les grandeurs complexes :

où x_0 > 0 et \varphi \in \mathbb{R}.

En injectant \underline{x}(t) dans l'équation différentielle du mouvement :

soit :

L'amplitude x_0 = |\underline{x}_0| s'écrit donc :

Puisque \underline{x}_0 = x_0 \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi} = x_0(\cos\varphi - \mathrm{i}\sin\varphi), l'identification des parties réelle et imaginaire donne :

Comme \gamma > 0 et \omega > 0, \sin\varphi < 0, ce qui situe \varphi dans l'intervalle [-\pi, 0] (modulo 2\pi). Le déphasage vérifie :

Approximation au voisinage de la résonance (\gamma \ll \omega_0 et |\Delta| = |\omega - \omega_0| \ll \omega_0) :

En écrivant \omega + \omega_0 \approx 2\omega_0, il vient :

On obtient sous cette forme approchée usuelle :

Considérons le bilan énergétique de l'électron oscillant sur une période optique T = \frac{2\pi}{\omega}.

En régime sinusoïdal établi, le mouvement est périodique : la variation d'énergie mécanique \Delta E_m sur une période est nulle :

où \vec{F}_{\text{f}} = -m_e \gamma \vec{v} est la force d'amortissement.

La force d'amortissement étant colinéaire et de sens opposé à la vitesse instantanée, sa puissance est strictement négative à chaque instant non nul, et son travail sur une période est strictement résistant :

Pour entretenir l'oscillation et compenser cette dissipation continue d'énergie, le champ électrique de l'onde laser doit fournir un travail net moteur sur chaque période :

D'un point de vue ondulatoire, cet apport net d'énergie s'explique par le fait que l'amortissement introduit un retard de phase de la réponse de l'électron (\varphi \in {]-\pi, 0[}). La vitesse \vec{v}(t) de l'électron n'est donc pas en quadrature exacte avec le champ excitateur \vec{E}(t), de sorte que la moyenne temporelle de la puissance instantanée fournie par le laser, \mathcal{P}(t) = \vec{F}_{\text{laser}}\cdot\vec{v}(t), est strictement positive.

En régime sinusoïdal forcé permanent, l'énergie mécanique moyenne de l'électron sur une période est constante. Le théorème de la puissance mécanique en moyenne temporelle donne :

où P_{\text{frott}} = \vec{F}_f \cdot \vec{v} = -m_e \gamma v^2. La puissance moyenne absorbée par l'atome est donc égale à la puissance moyenne dissipée par frottement fluide :

Avec x(t) = x_0 \cos(\omega t - \varphi), la vitesse s'écrit v(t) = -\omega x_0 \sin(\omega t - \varphi), d'où :

En injectant l'expression de x_0 issue de la question Q29 :

on obtient l'expression générale de la puissance moyenne absorbée :

Dans l'approximation d'un amortissement très faible (\gamma \ll \omega_0), l'absorption est significative uniquement au voisinage immédiat de la résonance (\omega \approx \omega_0). En introduisant le désaccord \Delta = \omega - \omega_0 :

Il vient alors :

Cette courbe présente un profil lorentzien :

• elle atteint son maximum à la résonance \omega = \omega_0 (\Delta = 0) : \langle P \rangle_{\text{max}} = \frac{e^2 E_0^2}{2 m_e \gamma} ;
• la largeur à mi-hauteur vaut \Delta\omega_{1/2} = \gamma, délimitée par \omega = \omega_0 \pm \frac{\gamma}{2}.

L'absorption est dite résonante lorsque la pulsation de l'onde excitatrice coïncide avec la pulsation propre de l'oscillateur :

L'équation du mouvement de l'électron s'écrit alors :

En adoptant la notation complexe \underline{x}(t) = \underline{X}\, e^{i\omega_0 t}, l'équation différentielle devient :

Les termes en \omega_0^2 se compensent exactement, ce qui conduit à :

En prenant la partie réelle, on obtient l'expression du déplacement de l'électron :

soit :

La vitesse de l'électron s'obtient par dérivation temporelle :

La force de Lorentz subie par l'électron de charge -e placé au voisinage de l'origine (z \approx 0) s'écrit :

D'après les questions Q27, Q28 et Q32, à la résonance (\omega = \omega_0) et en z = 0 :

Calculons les deux composantes de la force :

• La partie électrique :

  \vec{F}_e(t) = -eE_0 \cos(\omega_0 t)\,\vec{u}_x

  Sa valeur moyenne sur une période est nulle :

  \langle \vec{F}_e \rangle = \vec{0}

• La partie magnétique, orientée selon \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z :

  \begin{aligned} \vec{F}_m(t) &= -e \left( v(t)\,\vec{u}_x \right) \wedge \left( \frac{E_0}{c}\cos(\omega_0 t)\,\vec{u}_y \right) \\ &= -e \left(-\frac{eE_0}{m_e \gamma}\cos(\omega_0 t)\right) \frac{E_0}{c}\cos(\omega_0 t)\,\vec{u}_z \\ &= \frac{e^2 E_0^2}{m_e \gamma c}\cos^2(\omega_0 t)\,\vec{u}_z \end{aligned}

Puisque \langle \cos^2(\omega_0 t) \rangle = \frac{1}{2}, la force de Lorentz moyenne se réduit à sa composante magnétique :

D'après la question Q28, l'intensité de l'onde électromagnétique plane dans le vide est reliée à l'amplitude du champ électrique par I = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2, soit E_0^2 = \frac{2I}{\varepsilon_0 c}. En injectant cette relation, on obtient :

Cette force moyenne est dirigée selon +\vec{u}_z, c'est-à-dire dans le sens de propagation de l'onde laser. Sa norme s'écrit :

Dans le cadre de la description corpusculaire de la lumière, l'onde laser est constituée d'un flux de photons, chacun possédant une énergie \mathcal{E}_{\text{ph}} = \hbar\omega et une quantité de mouvement :

L'interaction résonante entre l'atome et le rayonnement procède par cycles successifs d'absorption et d'émission spontanée :

1. Absorption : l'atome absorbe un photon issu du faisceau se propageant selon +\vec{u}_z. Par conservation de la quantité de mouvement totale du système {atome + rayonnement}, l'atome reçoit l'impulsion du photon :

   \Delta\vec{p}_{\text{abs}} = +\frac{\hbar\omega}{c}\,\vec{u}_z

2. Émission spontanée : l'atome désexcité réémet un photon d'énergie voisine de \hbar\omega dans une direction aléatoire. L'émission spontanée étant spatialement isotrope (ou présentant une symétrie centrale), la moyenne temporelle de l'impulsion transmise lors de ces réémissions est nulle :

   \langle\Delta\vec{p}_{\text{ém}}\rangle = \vec{0}

Au cours de chaque cycle, le transfert net moyen d'impulsion à l'atome vaut donc \Delta\vec{p}_{\text{cycle}} = \frac{\hbar\omega}{c}\,\vec{u}_z.

En notant \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} le nombre moyen de photons absorbés par unité de temps, la puissance moyenne absorbée s'écrit \langle P \rangle = \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\,\hbar\omega. La force moyenne subie par l'atome correspond au taux moyen de transfert d'impulsion :

On retrouve précisément la force de pression de radiation établie à la question précédente.

L'équation différentielle régissant le mouvement de l'électron de valence soumis au champ électrique \vec{E}_{\text{ext}}(t) = E_0 \cos(\omega t)\,\vec{u}_x s'écrit en représentation complexe :

d'où l'amplitude complexe du déplacement de l'électron :

Le désaccord à la résonance étant \Delta = \omega - \omega_0, on a :

Sous la condition |\Delta| \gg \gamma (hors de la bande de résonance), le terme dissipatif est négligeable devant le terme élastique :

On peut donc négliger i\gamma\omega au dénominateur, ce qui donne un déplacement en phase avec l'excitation :

Le barycentre des charges positives restant à l'origine, le moment dipolaire induit de l'atome est :

Par identification avec la définition (I.1), \vec{p}_{\text{ind}} = \alpha \varepsilon_0 \vec{E}_{\text{ext}}, on en déduit la polarisabilité :

Dans le cas d'un laser proche de la résonance avec \omega < \omega_0 (désaccord rouge, \Delta = \omega - \omega_0 < 0 et |\Delta| \ll \omega_0), on peut également approcher cette expression selon :

L'énergie potentielle d'interaction entre le dipôle et le champ électrique s'écrit (au facteur 1/2 près propre aux dipôles induits, ce qui ne modifie pas le signe) :

Dans le régime hors résonance avec désaccord rouge (\omega < \omega_0 et |\Delta| \gg \gamma), l'amortissement est négligeable devant l'écart à la pulsation propre. Le dipôle induit oscille donc en phase avec le champ électrique extérieur :

avec une polarisabilité \alpha > 0 d'après le résultat de la question Q35.

L'énergie potentielle instantanée s'écrit alors :

En prenant la moyenne temporelle sur une période optique T = \frac{2\pi}{\omega}, sachant que \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, il vient :

D'après la question Q28, l'intensité locale de l'onde lumineuse est liée à l'amplitude du champ par :

En injectant cette relation, on obtient :

où \beta est une constante positive proportionnelle à \frac{\alpha}{c} (avec \alpha > 0).

L'énergie potentielle moyenne d'interaction est donc bien proportionnelle à l'intensité locale I(r, z), avec un facteur de proportionnalité strictement négatif :

À cote z fixée, notons l'intensité sur l'axe :

L'expression de l'intensité s'écrit alors :

Il s'agit d'un profil gaussien dont les caractéristiques remarquables sont :

• un maximum sur l'axe en r = 0, avec une tangente horizontale (\left.\frac{\partial I}{\partial r}\right|_{r=0} = 0) ;
• une décroissance rapide vers 0 lorsque r \gg W(z) ;

• à la distance r = W(z), l'intensité vaut :

  I(W(z), z) = \frac{I(0, z)}{\mathrm{e}^2} \approx 0{,}135 \, I(0, z)
• à la distance r = \frac{W(z)}{\sqrt{2}}, l'intensité est divisée par \mathrm{e} : I = \frac{I(0, z)}{\mathrm{e}} \approx 0{,}368 \, I(0, z).

Le tracé schématique en coupe transverse (étendu aux valeurs négatives de la coordonnée radiale par symétrie de révolution) est représenté ci-dessous :

À une cote z fixée le long de la direction de propagation, l'intensité sur l'axe (r=0) vaut :

Pour une distance à l'axe r = W(z), l'intensité lumineuse s'écrit :

La grandeur W(z) représente donc le rayon transverse du faisceau gaussien (ou demi-largeur du faisceau) à la cote z.

Équivalemment, l'amplitude du champ électrique y est atténuée d'un facteur \mathrm{e} \approx 2{,}72 par rapport à sa valeur sur l'axe.

L'enveloppe du faisceau laser, définie par la surface où l'intensité vaut I(0,z)/\mathrm{e}^2, correspond dans un plan méridien passant par l'axe (Oz) aux deux courbes r = \pm W(z), où :

Il s'agit d'une branche d'hyperbole équilatère dont on distingue deux zones limites :

• Zone proche du col (|z| \ll L_R, champ proche) :
  En effectuant un développement limité au voisinage de z = 0 :

  W(z) \approx W_0 \left(1 + \frac{z^2}{2 L_R^2}\right) \approx W_0

  Le faisceau est quasi-cylindrique de rayon constant W_0. La courbure du front d'onde est faible et le faisceau ne diverge pratiquement pas : c'est la zone du col (waist) ou région de Rayleigh.

• Zone éloignée du col (|z| \gg L_R, champ lointain) :
  Pour les grandes distances devant la longueur de Rayleigh :

  W(z) \approx W_0 \frac{|z|}{L_R} = \frac{\lambda}{\pi W_0} |z|

  Le profil devient conique et asymptotique à des droites de demi-angle au sommet :

  \theta_{\mathrm{div}} = \frac{W_0}{L_R} = \frac{\lambda}{\pi W_0}

  Cette zone correspond au régime de diffraction de Fraunhofer (champ lointain).

Pour z \gg L_R, l'expression du rayon transverse du faisceau gaussien devient :

Le rapport \frac{W(z)}{z} tend vers une constante non nulle, ce qui montre que le faisceau s'évase selon un cône de demi-angle au sommet :

Cette quantité représente le demi-angle de divergence (ou divergence angulaire en champ lointain) du faisceau laser.

Analogie avec la diffraction : Lorsqu'une onde de longueur d'onde \lambda traverse une ouverture circulaire ou une fente de dimension caractéristique a \sim W_0, le phénomène de diffraction induit un étalement angulaire du faisceau dans le demi-angle :

L'étalement du faisceau gaussien en champ lointain est donc directement une manifestation de la diffraction d'une onde de section transverse finie (de demi-largeur W_0 au col) :

• à un facteur d'ordre unité près (\frac{1}{\pi} lié au profil d'intensité gaussien régulier sans bords francs, qui évite l'apparition d'anneaux secondaires), la divergence du faisceau laser obéit à la même loi d'échelle ;
• plus la taille du col W_0 est petite (focalisation étroite), plus la divergence angulaire \theta_{\mathrm{div}} est importante, conformément aux propriétés générales de la diffraction.

D'après l'expression du rayon transverse du faisceau gaussien :

la longueur de Rayleigh L_R = \frac{\pi W_0^2}{\lambda} caractérise l'extension axiale de la zone focale. Plus précisément :

• Définition quantitative : pour z = \pm L_R, le rayon du faisceau augmente d'un facteur \sqrt{2} :

  W(\pm L_R) = W_0 \sqrt{2}

  L'aire de la section droite du faisceau est donc doublée (\mathcal{S}(\pm L_R) = 2\,\mathcal{S}_0), et par conséquent l'intensité sur l'axe optique est divisée par deux :

  I(0, \pm L_R) = \frac{I_0}{2}
• Signification physique : L_R mesure la distance caractéristique sur laquelle le faisceau reste collimaté autour du col (z=0). La plage [-L_R, +L_R], de longueur 2L_R, définit la profondeur de champ (ou profondeur de foyer) du faisceau.
• Frontière de régimes : elle marque la transition entre la zone de champ proche (|z| \ll L_R, propagation quasi cylindrique) et la zone de champ lointain (|z| \gg L_R, divergence conique régie par la diffraction).

D'après la question Q36, l'énergie potentielle moyenne d'interaction de l'atome avec le faisceau s'écrit :

La force s'exerçant sur l'atome dérive de cette énergie potentielle (force de gradient dipolaire) :

Exprimons le gradient de l'intensité en coordonnées cylindriques (le faisceau présentant une symétrie de révolution autour de Oz) :

À l'équilibre, la force résultante est nulle, soit \vec{\nabla} I(r, z) = \vec{0} :

• \dfrac{\partial I}{\partial r} = 0 \iff r_{\text{éq}} = 0 (car I(r,z) \neq 0).

• Sur l'axe (r = 0), l'intensité s'écrit I(0, z) = \dfrac{I_0}{1 + z^2/L_R^2}. Sa dérivée par rapport à z vaut :

  \left.\frac{\partial I}{\partial z}\right|_{r=0} = -\frac{2I_0 z}{L_R^2\left(1 + \frac{z^2}{L_R^2}\right)^2}

  Elle s'annule uniquement pour z_{\text{éq}} = 0.

Il existe ainsi une unique position d'équilibre, située à l'origine (centre du col du faisceau ou waist) :

Étude de la stabilité :

Au voisinage de l'origine (r \ll W_0 et |z| \ll L_R), effectuons un développement limité au second ordre de l'intensité :

D'où l'expression de l'intensité :

L'énergie potentielle s'écrit alors :

Comme \beta > 0 et I_0 > 0, les dérivées secondes au point d'équilibre sont strictement positives :

L'énergie potentielle admet donc un minimum strict en (0,0) :

Action comme pince optique :

Puisque \vec{F} = \beta\,\vec{\nabla} I avec \beta > 0, la force exercée par le laser est toujours dirigée vers les régions de plus forte intensité lumineuse (force de gradient). Dès que l'atome s'écarte de la zone focale, il subit une force de rappel qui le ramène vers le point d'intensité maximale (r=0, z=0).

Le faisceau focalisé crée ainsi un puits de potentiel tridimensionnel qui piège et confine mécaniquement l'atome sans contact matériel : le laser agit comme une véritable « pince optique ».

Le faisceau gaussien incident présente son col (waist) en z = 0, où est placée la lentille mince convergente. En ce point, le front d'onde est plan (rayon de courbure infini) et le rayon du faisceau vaut W_0.