Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2021

1. Signification physique des « ressorts »

Les ressorts modélisent les interactions de cohésion interatomiques (forces électrostatiques attractives et répulsives entre les ions ou atomes voisins dans le réseau cristallin).

Au voisinage de la position d'équilibre mécanique de la maille, l'énergie potentielle d'interaction interatomique E_{\mathrm{p}}(x) présente un minimum. Un développement de Taylor au second ordre (approximation harmonique) s'écrit :

La force d'interaction correspondante, F = -\dfrac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}x}, est donc linéaire par rapport à l'écart à l'équilibre, ce qui justifie parfaitement le comportement élastique linéaire régi par la loi de Hooke (constantes de raideur K_1 et K_2).

2. Condition portant sur la variable x_{\mathrm{B}}

Cette approximation harmonique n'est valable que pour des déformations faibles devant les distances interatomiques caractéristiques à l'état de référence. La variable x_{\mathrm{B}}, qui mesure la variation d'abscisse du bord droit de la maille (déformation globale de la maille), doit donc respecter la condition de petites déformations :

Les déplacements algébriques des points \mathrm{P}, \mathrm{N} et \mathrm{B} le long de l'axe (\mathrm{O}, x) par rapport à leurs positions de repos sont notés respectivement x_{\mathrm{P}}, x_{\mathrm{N}} et x_{\mathrm{B}}, l'extrémité \mathrm{A} étant fixe en x = 0.

Équilibre du barycentre \mathrm{P} (charge +q) : Le point \mathrm{P} est soumis à :

• la force de rappel du ressort de raideur K_1 lié à \mathrm{A} : \vec{F}_{1 \to \mathrm{P}} = -K_1 x_{\mathrm{P}} \vec{e}_x ;
• la force de rappel du ressort de raideur K_2 lié à \mathrm{B} : \vec{F}_{2 \to \mathrm{P}} = K_2 (x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{P}}) \vec{e}_x ;
• la force électrostatique : \vec{F}_{\mathrm{e},\mathrm{P}} = q E \vec{e}_x.

À l'équilibre, la somme de ces forces est nulle, ce qui donne en projection sur \vec{e}_x :

Équilibre du barycentre \mathrm{N} (charge -q) : Le point \mathrm{N} est soumis à :

• la force de rappel du ressort de raideur K_2 lié à \mathrm{A} : \vec{F}_{2 \to \mathrm{N}} = -K_2 x_{\mathrm{N}} \vec{e}_x ;
• la force de rappel du ressort de raideur K_1 lié à \mathrm{B} : \vec{F}_{1 \to \mathrm{N}} = K_1 (x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{N}}) \vec{e}_x ;
• la force électrostatique : \vec{F}_{\mathrm{e},\mathrm{N}} = -q E \vec{e}_x.

À l'équilibre, en projection sur \vec{e}_x :

Équilibre de l'extrémité \mathrm{B} : L'extrémité \mathrm{B} (de masse négligeable) est soumise à la force extérieure \vec{f} = f \vec{e}_x et aux forces de rappel exercées par les deux ressorts de droite :

En utilisant les relations d'équilibre (1) et (2), on remarque que K_2(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{P}}) = K_1 x_{\mathrm{P}} - qE et K_1(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{N}}) = K_2 x_{\mathrm{N}} + qE, d'où simplement :

En remplaçant x_{\mathrm{P}} et x_{\mathrm{N}} par leurs expressions :

D'après les résultats établis à la question précédente (Q2), les déplacements des barycentres \mathrm{P} et \mathrm{N} à l'équilibre s'écrivent :

La différence de position relative des deux barycentres vaut donc :

Par définition du moment dipolaire p = q(x_{\mathrm{P}} - x_{\mathrm{N}}), on en déduit :

Considérons l'assemblage de N_1 \times N_2 \times N_3 mailles élémentaires à l'équilibre :

• Selon la direction (\mathrm{O},x), le milieu est formé de N_1 mailles disposées en série. Le champ électrique extérieur \vec{E} = E\vec{e}_x étant uniforme, chaque maille subit le même champ E et transmet la même force axiale f. Les déformations x_{\mathrm{B}} de chacune des mailles d'une file sont donc identiques. L'allongement total \Delta de l'assemblage s'écrit alors :

  \Delta = N_1 x_{\mathrm{B}} \iff x_{\mathrm{B}} = \frac{\Delta}{N_1}

• Dans les directions transverses (\mathrm{O},y) et (\mathrm{O},z), l'assemblage comprend N_2 \times N_3 files de mailles disposées en parallèle. À la surface d'extrémité droite, la force extérieure totale \vec{F} = F\vec{e}_x se répartit uniformément sur chacune des files :

  F = N_2 N_3 f

D'après le résultat de la question 2, la force f à l'équilibre sur une maille s'écrit :

En substituant x_{\mathrm{B}} = \Delta / N_1 et en multipliant par N_2 N_3, on obtient l'expression de F :

D'après l'énoncé, chaque maille élémentaire est un cube de côté 2a selon les trois directions spatiales. On en déduit les dimensions macroscopiques de l'élément piézo-électrique :

• sa longueur : L = 2a \, N_1 ;
• sa section droite : S = L_y L_z = (2a \, N_2)(2a \, N_3) = 4 a^2 N_2 N_3.

D'après le résultat de la question précédente (Q4), la force totale à l'équilibre s'écrit :

En divisant par la section S = 4 a^2 N_2 N_3, la contrainte \sigma = F/S devient :

Comme N_1 = \dfrac{L}{2a}, le terme \dfrac{\Delta}{N_1} s'exprime en fonction de l'allongement relatif \Delta_r = \dfrac{\Delta}{L} selon :

En substituant cette relation, on obtient :

1. Construction et expression de la longueur caractéristique L_u^\star

Une longueur caractéristique de variation spatiale L_u^\star représente la distance sur laquelle le champ de déplacement u subit une variation relative de l'ordre de l'unité. En effectuant une analyse d'ordre de grandeur sur la dérivée spatiale :

on en déduit l'expression locale de cette longueur caractéristique :

À l'échelle globale de la structure, si u_0 désigne l'amplitude caractéristique du déplacement et (\partial u/\partial x)_{\max} le gradient spatial maximal, on peut également poser :

Pour une onde harmonique de pulsation \omega et de longueur d'onde \lambda, cette longueur est de l'ordre de L_u^\star \sim \dfrac{\lambda}{2\pi} = \dfrac{1}{k} (ou de l'ordre de la dimension macroscopique L pour les modes propres de vibration du milieu).

2. Hiérarchie des échelles de longueur

Le passage à la limite continue repose sur la définition d'un volume élémentaire mésoscopique de dimension caractéristique \mathrm{d}x. La hiérarchie requise est :

Cette double inégalité se justifie physiquement ainsi :

• Condition 2a \ll \mathrm{d}x (lissage statistique) : la tranche d'épaisseur \mathrm{d}x doit contenir un très grand nombre de mailles cristallines élémentaires (N_1^{\mathrm{meso}} \sim \mathrm{d}x/(2a) \gg 1) afin que les grandeurs continues (densité, déplacement u, contrainte \sigma, polarisation P) soient statistiquement bien définies par moyenne spatiale et affranchies des fluctuations discrètes atomiques.
• Condition \mathrm{d}x \ll L_u^\star (validité du calcul différentiel) : l'accroissement spatial \mathrm{d}x doit être suffisamment petit devant l'échelle de variation des champs macroscopiques pour que les grandeurs puissent être considérées comme quasi uniformes sur la tranche et pour justifier les développements de Taylor au premier ordre (tels que \mathrm{d}u \approx \dfrac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x).

Le volume d'une maille cubique élémentaire de côté 2a vaut :

La polarisation macroscopique P s'obtient comme la densité volumique de moment dipolaire. D'après le résultat de la question Q3 pour p, on a :

À la limite continue, l'allongement d'une maille de longueur 2a au repos s'identifie à la variation locale du déplacement :

En injectant cette relation dans l'expression de P, il vient :

Par identification avec la relation constitutive P = \alpha E + \beta \frac{\partial u}{\partial x}, on déduit :

D'autre part, la contrainte établie à la question Q5 s'écrit, avec \Delta_{\mathrm{r}} = \frac{\partial u}{\partial x} :

Par identification avec la loi \sigma = A \frac{\partial u}{\partial x} - B E, on obtient :

On constate immédiatement l'égalité :

Le milieu piézo-électrique est un isolant parfait dépourvu de charges libres (\rho_{\text{libre}} = 0). Les seules charges volumiques présentes sont les charges de polarisation :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi permanents (ARQP), l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit à chaque instant :

ce qui équivaut à :

Dans le modèle unidimensionnel considéré, le champ électrique et la polarisation sont dirigés selon \vec{e}_x et ne dépendent spatialement que de la coordonnée x :

L'opérateur divergence se réduit donc à la dérivée spatiale selon x :

En utilisant la relation locale de comportement issue de l'équation (2) :

il vient :

en ayant posé la permittivité diélectrique effective \varepsilon = \varepsilon_0 + \alpha. L'annulation de la dérivée spatiale implique que la quantité \varepsilon E + \beta\,\frac{\partial u}{\partial x} est uniforme dans le milieu et ne dépend que du temps t :

En introduisant une fonction du temps f_Q(t) arbitraire à ce stade, on obtient la relation :

D'après la question Q8, la combinaison de la loi de Maxwell-Gauss et de la définition de la polarisation \vec{P} = \left(\alpha E + \beta \frac{\partial u}{\partial x}\right)\vec{e}_x conduit à :

où f_Q(t) est uniforme dans tout le domaine piézo-électrique.

Considérons l'interface à l'extrémité droite du milieu (x = L), en contact avec l'électrode métallique (D) :

• L'électrode droite porte la charge totale +Q(t) répartie uniformément sur sa surface interne d'aire S, ce qui correspond à une densité surfacique de charge libre :

  \sigma_{\text{libre}} = \frac{Q(t)}{S}

• La polarisation fait apparaître à la surface du milieu piézo-électrique une densité surfacique de charge liée \sigma_P = \vec{P}(L^-, t)\cdot \vec{n}_{\text{ext}}. La normale unitaire sortant du diélectrique étant \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{e}_x, on a :

  \sigma_P = P(L^-, t)

La densité surfacique totale de charge à cette frontière s'écrit donc :

Appliquons la relation de passage du champ électrique à la traversée de cette surface chargée, orientée par \vec{e}_x du milieu piézo-électrique (x < L) vers le conducteur métallique (x > L) :

Le champ électrique étant nul dans le métal en régime quasi stationnaire (\vec{E}(L^+, t) = \vec{0}), sa projection sur l'axe (Ox) donne :

soit :

Or, la quantité \varepsilon_0 E(x, t) + P(x, t) ne dépend pas de x et vaut précisément f_Q(t). On en déduit :

En réinjectant cette expression dans la relation établie à la question Q8, on obtient l'équation régissant le champ électrique :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi permanents (ARQS), le champ électrique dérive d'un potentiel électrostatique scalaire :

En injectant cette relation dans l'équation (3) établie à la question précédente :

il vient directement :

On intègre spatialement cette équation entre l'électrode de gauche (x = 0) et une abscisse x quelconque :

L'énoncé précise que l'électrode de gauche est maintenue fixe et sert de référence de potentiel, ce qui impose :

On en déduit l'expression du potentiel électrostatique en tout point du milieu :

La différence de potentiel \psi(t) imposée par le générateur correspond au potentiel de l'électrode de droite (x = L) par rapport à l'électrode de référence (x = 0) :

Comme |u(L,t)| \ll L, on évalue l'expression en x = L :

En introduisant la capacité géométrique C_e = \frac{\varepsilon S}{L} de l'élément piézo-électrique :

D'après la seconde équation du système (2) issue du passage à la limite continue, la contrainte mécanique locale s'écrit :

Par ailleurs, l'équation (3) établie à la question Q9 relie le champ électrique local à la déformation et à la charge macroscopique Q(t) :

En injectant l'expression de E(x, t) dans celle de \sigma(x, t), on obtient :

En utilisant la relation \beta = B démontrée à la question Q7, cette équation prend bien la forme requise :

avec les constantes :