Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2021 (page 3/3 : Parties 2 et 3)

L'admittance d'entrée s'écrit d'après l'équation (14) :

1. Détermination de la résistance R À la pulsation de résonance série \omega = \omega_s = \frac{1}{\sqrt{LC}}, l'impédance de la branche motrice s'annule pour sa partie réactive (L\omega_s - \frac{1}{C\omega_s} = 0). L'admittance vaut alors :

Dans le plan complexe, le terme \frac{1}{R + \mathrm{j}X} décrit un cercle passant par l'origine, de diamètre 1/R, dont la partie réelle maximale est atteinte pour X = 0. Sur le tracé de droite de la figure (11), le point d'abscisse maximale du cercle correspond donc à :

On en déduit :

2. Détermination de la capacité C_1 Au même point de fonctionnement \omega = \omega_s, la partie imaginaire de l'admittance d'entrée est uniquement due au condensateur C_1 :

Sur le tracé de gauche de la figure (11), le premier trait vertical en pointillés, repérant le maximum de |Y_1|, donne la fréquence de résonance série :

Sur le tracé de droite, l'ordonnée du sommet droit du cercle (abscisse maximale) est légèrement positive :

On en déduit la capacité C_1 :

3. Détermination de la capacité motionnelle C Sur le tracé de gauche de la figure (11), le second trait vertical en pointillés indique le minimum d'admittance (antirésonance ou résonance parallèle), qui se produit à la fréquence :

D'après les relations (15) données par l'énoncé :

Il vient :

D'où la valeur de C :

On constate bien a posteriori que C_1 \gg C (250\text{ pF} \gg 35\text{ pF}), conformément à l'hypothèse de l'énoncé.

4. Détermination de l'inductance motionnelle L À partir de l'expression de la pulsation de résonance mécanique \omega_s = \frac{1}{\sqrt{LC}} = 2\pi f_s, on extrait L :

Application numérique :

Au secondaire du transformateur, la charge totale d'impédance Z_2 est soumise à la tension U_2 et traversée par le courant J_2, soit :

Au primaire, le dipôle équivalent (D) est soumis à la tension U_1 et parcouru par le courant J_1, son impédance est donc :

D'après les relations de transformation U_2 = m U_1 et J_2 = J_1/m, il vient :

On en déduit l'expression de l'impédance ramenée au primaire :

L'admittance équivalente Y'_2 = 1/Z'_2 s'écrit alors en fonction de l'admittance secondaire Y_2 = 1/Z_2 :

Au secondaire, le dipôle est constitué de la résistance R_L en parallèle avec la capacité C_2, son admittance vaut donc :

On en déduit pour le dipôle primaire (D) :

En identifiant cette expression à celle d'une association parallèle d'une résistance R'_L et d'un condensateur de capacité C'_2, de forme Y'_2 = \frac{1}{R'_L} + j C'_2 \omega, on obtient :

D'après le schéma de la figure (12) où le dipôle (\mathrm{D}) est modélisé par l'association série de R_{\mathrm{s}} et C_{\mathrm{s}}, l'impédance de la branche motrice connectée aux bornes de la tension \underline{V}_1 s'écrit :

La résonance en courant correspond au maximum du module du courant traversant cette branche. En négligeant, conformément à la consigne, la dépendance de R_{\mathrm{s}} avec la pulsation, ce maximum est atteint lorsque l'impédance est purement résistive, c'est-à-dire lorsque la partie imaginaire s'annule :

On en déduit l'expression de la pulsation de résonance \omega_{\mathrm{r}} :

À la résonance \omega = \omega_{\mathrm{r}}, l'impédance de la branche se réduit à sa résistance totale :

L'amplitude complexe du courant \underline{J}_1 traversant cette branche est donc :

Les éléments réactifs L, C et C_{\mathrm{s}} ne consomment aucune puissance active en moyenne, et le transformateur idéal (\mathrm{T}) conserve la puissance active. Par conséquent, la puissance active P_2 transmise à la charge R_{\mathrm{L}} est égale à la puissance dissipée dans la résistance équivalente R_{\mathrm{s}} :

En remplaçant l'amplitude du courant, on obtient :

Remarque : si |\underline{V}_1| désigne la valeur efficace V_{1,\text{eff}}, le facteur 1/2 disparaît et P_2 = \frac{R_{\mathrm{s}}}{(R + R_{\mathrm{s}})^2} V_{1,\text{eff}}^2.

D'après la question Q32, la puissance transmise à la charge à la résonance série \omega = \omega_{\mathrm{r}} s'écrit :

Pour une amplitude de tension |\underline{V}_1| fixée, étudions les variations de la fonction f : R_{\mathrm{s}} \mapsto \frac{R_{\mathrm{s}}}{(R + R_{\mathrm{s}})^2} définie pour R_{\mathrm{s}} > 0. Sa dérivée par rapport à R_{\mathrm{s}} vaut :

Cette dérivée s'annule et change de signe en R_{\mathrm{s}} = R : elle est strictement positive pour R_{\mathrm{s}} < R et strictement négative pour R_{\mathrm{s}} > R. La puissance P_2 admet donc un maximum absolu pour :

La puissance maximale transmise à la charge vaut alors :

D'après l'expression de la capacité série issue de l'équation (16) :

Comme m \ge 1 et C_2 \gg C, il vient C_{\mathrm{s}} \gg C, ce qui entraîne \frac{1}{C_{\mathrm{s}}} \ll \frac{1}{C}. La pulsation de résonance en courant établie à la question 32 se simplifie donc :

La pulsation de résonance est ainsi quasiment indépendante de la charge R_{\mathrm{L}}.

À la résonance (\omega \approx \omega_{\mathrm{s}}), la résistance ramenée R_{\mathrm{s}} s'écrit en fonction de R_{\mathrm{L}} :

Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

• pour R_{\mathrm{L}} \to 0 (court-circuit) : R_{\mathrm{s}} \to 0 ;
• pour R_{\mathrm{L}} \to +\infty (circuit ouvert) : R_{\mathrm{s}} \to 0 ;

• elle atteint un maximum pour R_{\mathrm{L}} C_2 \omega_{\mathrm{s}} = 1, soit R_{\mathrm{L}0} = \dfrac{1}{C_2 \omega_{\mathrm{s}}}, dont la valeur est :

  R_{\mathrm{s},\max} = \frac{1}{2 m^2 C_2 \omega_{\mathrm{s}}}

La condition d'adaptation de puissance maximale R_{\mathrm{s}} = R obtenue à la question 33 se discute donc selon la valeur relative de la résistance interne R et du maximum R_{\mathrm{s},\max} :

• Si R > R_{\mathrm{s},\max} : la condition R_{\mathrm{s}} = R n'admet aucune solution réelle. Le transfert maximal théorique ne peut être atteint par le seul choix de R_{\mathrm{L}}.

• Si R = R_{\mathrm{s},\max} : il existe une unique résistance optimale réalisant l'adaptation :

  R_{\mathrm{L}} = \frac{1}{C_2 \omega_{\mathrm{s}}}

• Si R < R_{\mathrm{s},\max} : l'équation R_{\mathrm{s}}(R_{\mathrm{L}}) = R possède deux solutions distinctes :

  • une faible résistance R_{\mathrm{L},1} < \dfrac{1}{C_2 \omega_{\mathrm{s}}}, telle que R_{\mathrm{L},1} \approx m^2 R si R \ll R_{\mathrm{s},\max} ;
  • une forte résistance R_{\mathrm{L},2} > \dfrac{1}{C_2 \omega_{\mathrm{s}}}, telle que R_{\mathrm{L},2} \approx \dfrac{1}{m^2 C_2^2 \omega_{\mathrm{s}}^2 R} si R \ll R_{\mathrm{s},\max}.

Dans la situation initiale, la lampe fluorescente à cathode froide (LCF) est éteinte. Aucun courant ne la traverse :

D'après la courbe R_{\mathrm{L}}(I_2^{\text{eff}}) fournie à la figure (14), lorsque le courant s'annule, la résistance équivalente de la lampe devient extrêmement grande (R_{\mathrm{L}} \to +\infty). Le transformateur fonctionne donc à vide ou sur une très forte impédance, situation modélisée au plus près par la courbe de charge correspondant à la valeur maximale disponible sur la figure (15), à savoir R_{\mathrm{L}} \ge 750\text{ k}\Omega (courbe présentant le pic de résonance le plus haut).

Le dispositif électronique de commande impose initialement la fréquence maximale de la plage de balayage :

Le point initial \mathrm{P}_0 se trouve donc à l'intersection de l'abscisse f = 70\text{ kHz} et de la courbe de charge maximale (R_{\mathrm{L}} = 750\text{ k}\Omega). Sur la figure (15), on y lit une tension efficace de sortie de l'ordre de :

Le point \mathrm{P}_0 se trouve donc placé à l'abscisse f = 70\text{ kHz} sur la courbe R_{\mathrm{L}} = 750\text{ k}\Omega.

Tant que la décharge n'est pas amorcée, aucun courant n'a encore circulé dans le tube (I_2^{\text{eff}} = 0). La résistance équivalente de la lampe reste donc quasi infinie, et le point de fonctionnement évolue sur la courbe correspondant à la résistance de charge la plus élevée représentée, soit R_{\mathrm{L}} = 750\text{ k}\Omega (courbe présentant le pic le plus haut sur la figure 15).

D'après les données de l'énoncé, l'allumage est provoqué lorsque la tension efficace de sortie atteint la tension d'amorçage :

Le dispositif de pilotage diminuant continûment la fréquence depuis la valeur initiale f_{\max} = 70\text{ kHz}, la tension V_2^{\text{eff}} augmente en remontant le flanc droit du pic de résonance.

Le point \mathrm{P}_1 correspondant à l'amorçage est donc l'intersection entre le flanc droit de la courbe R_{\mathrm{L}} = 750\text{ k}\Omega et la droite horizontale V_2^{\text{eff}} = 950\text{ V}.

Une lecture sur le graphe de la figure 15 donne l'abscisse de ce point :

Sur la reproduction de la figure 15 réalisée à la question Q35, on place donc le point \mathrm{P}_1 aux coordonnées :

1. Détermination de la courbe de fonctionnement nominal :
Au régime nominal, la tension efficace et le courant efficace de la lampe sont donnés par :

La résistance équivalente de la lampe à cathode froide s'en déduit immédiatement :

Le point nominal se situe donc sur la courbe caractéristique correspondant à R_{\mathrm{L}} = 140\text{ k}\Omega, qui est la courbe dont le maximum est le plus bas sur la figure (15) (les maxima croissant avec R_{\mathrm{L}}).

2. Position du point \mathrm{P}_2 et valeur de la fréquence f_2 :
Sur la courbe R_{\mathrm{L}} = 140\text{ k}\Omega, l'ordonnée V_2^{\mathrm{eff}} = 680\text{ V} est atteinte pour deux fréquences : l'une située avant la résonance (vers 53\text{ kHz}) et l'autre située après la résonance (vers 56\text{ kHz}).

Le point d'amorçage se trouvant à f_1 \approx 60\text{ kHz}, le système électronique régule le fonctionnement du côté des fréquences supérieures à la résonance mécanique pour des raisons de stabilité. Le point \mathrm{P}_2 correspond donc à l'intersection sur le flanc droit de la courbe de résonance :

3. Ajustement de la fréquence depuis \mathrm{P}_1 :
Le dispositif électronique de pilotage doit continuer à réduire la fréquence de manière contrôlée depuis la valeur d'amorçage f_1 \approx 60\text{ kHz} jusqu'à la valeur nominale f_2 \approx 56\text{ kHz}.

4. Positionnement sur la figure :
Le point \mathrm{P}_2 se place sur la courbe inférieure (R_{\mathrm{L}} = 140\text{ k}\Omega) aux coordonnées approchées (56\text{ kHz} \, ; \, 680\text{ V}).

1. Expression du courant I sortant de l'amplificateur :

D'après le schéma de la figure (16), la sortie de l'amplificateur est modélisée par un générateur de Thévenin de f.é.m. G_0 V_1 et de résistance interne R. La loi des mailles appliquée à la sortie de l'amplificateur donne immédiatement :

2. Expression des grandeurs à l'entrée du filtre en fonction de V_3 :

Le filtre n'étant pas encore chargé en sortie (le bouclage intervient à la question suivante), le courant issu de la borne C est nul. Le courant traversant l'impédance Z_2 traverse donc intégralement l'impédance Z_1 :

La tension aux bornes de Z_2 s'écrit alors :

Le courant I entrant dans le filtre au nœud B se divise entre la branche dérivée vers la masse via Z_3 et la branche série (Z_2, Z_1) :

3. Établissement de la relation entrée-sortie :

En égalant les deux expressions du courant I, on obtient :

En injectant les expressions de V_2 et de I en fonction de V_3, il vient :

On en déduit l'expression de l'admittance Y :

Lors du raccordement du point C au point A, la tension d'entrée de l'amplificateur devient égale à la tension de sortie du filtre :

La résistance d'entrée R_{\mathrm{e}} de l'amplificateur se retrouve alors connectée en parallèle avec le dipôle d'impédance Z_1, entre le nœud C (ou A) et la ligne de masse.

La loi des nœuds au point C s'écrit désormais :

où I_{\mathrm{e}} désigne le courant prélevé par l'amplificateur.

La relation (17) a été établie sous l'hypothèse d'une sortie non chargée (I_{\mathrm{e}} = 0, soit I_{Z_2} = I_{Z_1}). Pour qu'elle demeure valable lors du bouclage, le courant I_{\mathrm{e}} dérivé par l'entrée de l'amplificateur doit être tout à fait négligeable devant le courant circulant dans Z_1, ce qui équivaut à ce que l'impédance équivalente Z_1 \parallel R_{\mathrm{e}} soit assimilable à Z_1.

La condition nécessaire et suffisante portant sur les composants du système est donc :

(cette condition devant être satisfaite à la pulsation de fonctionnement \omega).

Le bouclage du circuit par la connexion du point C au point A impose :

Sous l'hypothèse \mathrm{H}(R_{\mathrm{e}}), la relation (17) établie à la question Q38 reste valable et devient :

Pour obtenir un régime libre non trivial (v_3(t) \not\equiv 0), la variable complexe p doit être solution de l'équation caractéristique :

En régime libre, les solutions du système différentiel linéaire autonome sont des combinaisons linéaires de modes propres de la forme \exp(pt) (ou t^k\exp(pt) en cas de multiplicité), où p = \sigma + j\omega \in \mathbb{C} (\sigma, \omega \in \mathbb{R}) est racine de l'équation caractéristique :

• Partie réelle \sigma = \operatorname{Re}(p) : elle gouverne l'évolution de l'enveloppe temporelle (stabilité).

  • Si \operatorname{Re}(p) < 0 : régime stable, atténuation exponentielle vers 0 ;
  • Si \operatorname{Re}(p) > 0 : régime instable, divergence exponentielle (condition de démarrage d'un oscillateur) ;
  • Si \operatorname{Re}(p) = 0 : régime marginalement stable, oscillations non amorties d'amplitude constante.

• Partie imaginaire \omega = \operatorname{Im}(p) : elle gouverne la nature oscillatoire de la solution.

  • Si \operatorname{Im}(p) = 0 : régime apériodique pur (relaxation) ;
  • Si \operatorname{Im}(p) \neq 0 : régime oscillatoire (pseudo-périodique si \sigma \neq 0, sinusoïdal pur si \sigma = 0) de pulsation propre |\omega|.

D'après la question Q40, la variable de Laplace p vérifie l'équation caractéristique du système bouclé :

En utilisant l'expression de l'admittance Y établie à la question Q38 :

cette équation s'écrit :

Pour une solution harmonique à la pulsation \omega (p = j\omega) et des dipôles purement réactifs (Z_i(j\omega) = j S_i(\omega), avec S_i \in \mathbb{R}), les différents termes valent :

Le terme d'admittance multiplié par R devient donc purement imaginaire :

L'équation caractéristique s'écrit sous la forme d'un nombre complexe devant être nul :

L'annulation conjointe de la partie imaginaire et de la partie réelle conduit au système de deux équations :

• Annulation de la partie imaginaire (en supposant R \neq 0 et S_1 S_3 \neq 0) :

  S_1 + S_2 + S_3 = 0 \iff F(S_1, S_2, S_3) = 0

  avec :

  \boxed{F(S_1, S_2, S_3) = S_1 + S_2 + S_3}

• Annulation de la partie réelle :

  1 + \frac{S_2}{S_1} - G_0 = 0 \iff G(S_1, S_2, G_0) = 0

  avec :

  \boxed{G(S_1, S_2, G_0) = 1 + \frac{S_2}{S_1} - G_0}

Rôle de la résistance R :

La résistance R n'apparaît qu'en facteur global devant la partie imaginaire de l'équation caractéristique. Comme l'amplificateur réel présente une résistance de sortie non nulle (R > 0), la condition d'annulation de cette partie imaginaire se simplifie immédiatement par R. Enfin, la partie réelle est strictement indépendante de R car le quadripôle de réaction est constitué d'éléments purement réactifs, non dissipatifs. La résistance R n'a donc aucune influence sur la condition d'oscillation à la pulsation \omega.

D'après les résultats de la question Q41, le système d'équations (18) traduisant l'existence d'une oscillation harmonique non amortie (p = j\omega) s'écrit :

Par définition, on introduit les rapports adimensionnels de réactance :

1. Détermination de K_2 : La seconde relation donne immédiatement :

2. Détermination de K_3 : Le dipôle Z_1 étant présent dans le montage, sa réactance est non nulle (S_1 \neq 0). En divisant la première relation par S_1, on obtient :

En remplaçant K_2 par son expression G_0 - 1, il vient :

d'où :

On retrouve bien le système d'égalités (19) :

L'impédance Z_1 est celle d'un condensateur de capacité C_1 :

On en déduit la réactance S_1 :

D'après la seconde égalité du système (19) établie à la question Q42, on a :

ce qui donne pour la réactance S_3(\omega) :

L'impédance correspondante s'écrit alors :

Comme G_0 < 0, la constante C_3 = -\dfrac{C_1}{G_0} = \dfrac{C_1}{|G_0|} est strictement positive et indépendante de la pulsation \omega.

Le dipôle d'impédance Z_3 est donc un condensateur idéal de capacité :

D'après la question Q42, la condition d'oscillation du système bouclé impose :

Le dipôle Z_1 étant un condensateur de capacité C_1, son impédance s'écrit Z_1(j\omega) = \frac{1}{jC_1\omega} = jS_1(\omega), d'où :

La condition d'oscillation devient ainsi :

La pulsation d'oscillation \omega du système bouclé est donc déterminée par l'abscisse du point d'intersection entre :

• la courbe expérimentale \omega \mapsto S_2(\omega) du quartz fournie par la figure (17) ;
• la courbe théorique \omega \mapsto \frac{1 - G_0}{C_1\omega}.

Comme G_0 < 0 et C_1 > 0, le second membre est strictement positif :

L'oscillation ne peut donc survenir que sur les plages de pulsations où la réactance S_2(\omega) du quartz est positive (comportement inductif).

D'après la figure (17) (notamment le zoom horizontal de droite), la fonction S_2 n'est positive que dans la bande de pulsation très étroite comprise entre la pulsation de résonance série \omega_s (pour laquelle S_2(\omega_s) = 0) et la pulsation de résonance parallèle \omega_p (asymptote verticale où S_2 \to +\infty) :

Sur le tracé de droite de la figure (17), on relève l'annulation de S_2 en :

La pulsation d'oscillation se situe donc nécessairement dans un intervalle relatif :

1. Faisabilité avec une bobine idéale

D'après les questions précédentes, pour G_0 < 0 et avec des dipôles Z_1 et Z_3 purement capacitifs (S_1 = -\frac{1}{C_1\omega} < 0 et S_3 = -\frac{1}{C_3\omega} < 0), la relation (19) impose :

puisque G_0 - 1 < -1 < 0 et S_1 < 0. Le dipôle Z_2 doit donc impérativement présenter un comportement inductif (S_2 > 0).

Une bobine idéale (purement inductive) d'inductance L_0 présente l'impédance Z_2 = j L_0 \omega, soit une réactance :

Une telle bobine permet de satisfaire la condition d'amplitude G_0 - 1 = -L_0 C_1 \omega^2 et la condition de phase S_1 + S_2 + S_3 = 0, qui fixe la pulsation d'oscillation à la résonance du circuit équivalent en \pi (structure classique de l'oscillateur de Colpitts) :

2. Intérêt du choix d'un quartz

L'utilisation d'un quartz à la place d'une bobine présente des avantages déterminants pour la réalisation d'une base de temps :

• Stabilité exceptionnelle de la fréquence d'oscillation : pour une bobine, la pulsation \omega_0 varie avec les composants extérieurs selon \frac{\mathrm{d}\omega_0}{\omega_0} = -\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}C_{\text{eq}}}{C_{\text{eq}}}, rendant le montage sensible aux tolérances, aux capacités parasites et aux dérives thermiques. En revanche, le quartz ne présente un comportement inductif que dans une bande de fréquence extrêmement étroite encadrée par ses résonances propres :

  \frac{\Delta\omega}{\omega_p} \approx 10^{-3}

  La fréquence d'oscillation est ainsi rigoureusement verrouillée dans cet intervalle, quasi indépendamment des fluctuations des composants du circuit ou du vieillissement de l'amplificateur.

• Facteur de qualité très élevé : le résonateur piézo-électrique possède un facteur de qualité mécanique extrêmement grand (Q \sim 10^4 \text{ à } 10^6), sans commune mesure avec celui d'une bobine réelle (Q \sim 10 \text{ à } 100, limitée par les pertes Joule et magnétiques). Il en résulte une pente de phase \left|\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\omega}\right| considérable au voisinage de la fréquence de fonctionnement, garantissant une remarquable pureté spectrale et un très faible bruit de phase.
• Stabilité thermique et mécanique : le cristal de quartz présente un coefficient de dilatation très faible et une excellente tenue mécanique dans le temps.