Feuille d'entraînement : Ondes mécaniques et acoustiques

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique-SI MP 2025, Q17

   Les conditions aux limites sur le champ de déplacement s'écrivent :

   • En z = 0, la plaque inférieure est fixe et le film reste en contact avec elle, d'où pour tout y :

     u(y, 0) = 0

   • En z = d_0, la plaque supérieure subit une translation verticale d'amplitude \delta = \alpha d_0, d'où pour tout y :

     u(y, d_0) = \delta = \alpha d_0

   En injectant la forme proposée u(y, z) = \alpha z + A_n \sin(k_n z + \phi_n) \cos(q y) dans la condition en z = 0 :

   u(y, 0) = A_n \sin(\phi_n) \cos(q y) = 0 \quad \forall y

   Comme A_n \neq 0, cela impose \sin(\phi_n) = 0. En choisissant l'origine de phase usuelle (avec A_n > 0 et k_n > 0), on retient :

   \boxed{\phi_n = 0}

   En appliquant ensuite la condition en z = d_0 :

   u(y, d_0) = \alpha d_0 + A_n \sin(k_n d_0) \cos(q y) = \alpha d_0 \quad \forall y

   ce qui conduit à :

   A_n \sin(k_n d_0) \cos(q y) = 0 \quad \forall y \implies \sin(k_n d_0) = 0

   Puisque k_n \in \mathbb{R}_+^*, les nombres d'onde k_n sont quantifiés selon :

   k_n d_0 = n \pi \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   soit :

   \boxed{k_n = \frac{n \pi}{d_0} \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*}

   Pour le mode fondamental n = 1, le nombre d'onde vertical s'écrit k = \pi / d_0. La coordonnée verticale d'une couche initialement située à la cote z \in [0, d_0] devient :

   z'(y, z) = z + u(y, z) = (1 + \alpha) z + A \sin\left(\frac{\pi z}{d_0}\right) \cos(q y)

   L'amplitude de l'ondulation varie en \sin(\pi z / d_0) : elle s'annule sur les plaques rigides en z = 0 et z = d, et atteint sa valeur maximale au milieu de l'échantillon pour z \approx d_0 / 2.

   Résultat

   $${\varphi }_n=0$$

   $$k_n=\frac{n\pi }{d_0}\text{avec }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique MP 2023, Q6

   On applique le principe fondamental de la dynamique à la n^{\text{ième}} masse de masse m, repérée par sa position x_n(t) le long de l'axe (Ox), dans le référentiel galiléen du laboratoire.

   La masse n est soumise aux forces de rappel exercées par :

   • le ressort de gauche, reliant la masse n-1 à la masse n, de longueur instantanée x_n - x_{n-1} et de longueur à vide \ell_0 = a :

     \vec{F}_{n-1 \to n} = -k\left[(x_n - x_{n-1}) - a\right]\vec{u}_x

   • le ressort de droite, reliant la masse n à la masse n+1, de longueur instantanée x_{n+1} - x_n et de longueur à vide \ell_0 = a :

     \vec{F}_{n+1 \to n} = +k\left[(x_{n+1} - x_n) - a\right]\vec{u}_x

   En sommant ces deux forces selon l'axe (Ox), les termes constants a s'annulent :

   \begin{aligned} F_{x} &= k\left[(x_{n+1} - x_n - a) - (x_n - x_{n-1} - a)\right] \\ &= k\left[x_{n+1} + x_{n-1} - 2x_n\right] \end{aligned}

   D'après la relation établie à la question Q5, la position s'écrit x_n(t) = na + u_n(t). Par dérivation temporelle, on a :

   \ddot{x}_n(t) = \ddot{u}_n(t)

   De plus, la combinaison des positions s'exprime directement en fonction des écarts u_n :

   \begin{aligned} x_{n+1} + x_{n-1} - 2x_n &= \left[(n+1)a + u_{n+1}\right] + \left[(n-1)a + u_{n-1}\right] - 2\left[na + u_n\right] \\ &= u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n \end{aligned}

   Le principe fondamental de la dynamique projeté sur (Ox) donne alors :

   m\ddot{u}_n = k\left[u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n\right]

   En introduisant la pulsation propre \omega_o = \sqrt{\frac{k}{m}} définie à la question Q3, il vient :

   \ddot{u}_n = \omega_o^2\left[u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n\right]

   Par identification avec la relation proposée, on en déduit :

   \boxed{\alpha = 2}

   Résultat

   $$\alpha =2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique MP 2023, Q9

   D'après la question Q6 (avec \alpha = 2), l'équation du mouvement de la n^{\text{ième}} masse s'écrit :

   \ddot{u}_n(t) = \omega_o^2 \left[ u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t) \right]

   En notation complexe, en posant \underline{u_n}(t) = U_o \exp(i(\omega t - qna)), les grandeurs nécessaires valent :

   \begin{aligned} \ddot{\underline{u}}_n(t) &= -\omega^2 \underline{u}_n(t) \\ \underline{u}_{n+1}(t) &= U_o \exp(i(\omega t - q(n+1)a)) = \underline{u}_n(t) \, \mathrm{e}^{-iqa} \\ \underline{u}_{n-1}(t) &= U_o \exp(i(\omega t - q(n-1)a)) = \underline{u}_n(t) \, \mathrm{e}^{iqa} \end{aligned}

   En injectant ces expressions dans l'équation du mouvement et en simplifiant par \underline{u}_n(t) \neq 0, on obtient :

   -\omega^2 = \omega_o^2 \left( \mathrm{e}^{-iqa} + \mathrm{e}^{iqa} - 2 \right) = \omega_o^2 \left( 2\cos(qa) - 2 \right)

   D'après la formule de duplication rappelée dans le formulaire (\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)), on a :

   2\cos(qa) - 2 = -4\sin^2\left(\frac{qa}{2}\right)

   On en déduit immédiatement la relation de dispersion demandée :

   \boxed{\omega^2 = 4\omega_o^2 \left(\sin\frac{qa}{2}\right)^2}

   Puisque \omega > 0 et \omega_o > 0, on a de manière générale \omega(q) = 2\omega_o \left| \sin\frac{qa}{2} \right|.
   Sur l'intervalle prescrit q \in \left[0, \frac{2\pi}{a}\right], on a \frac{qa}{2} \in [0, \pi], d'où \sin\left(\frac{qa}{2}\right) \ge 0. L'expression se simplifie donc en :

   \omega(q) = 2\omega_o \sin\left(\frac{qa}{2}\right)

   Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

   • pour q = 0 : \omega(0) = 0, avec une tangente de pente \left.\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q}\right|_{q=0} = \omega_o a ;
   • pour q = \frac{\pi}{a} : \omega atteint un maximum égal à \omega_{\max} = 2\omega_o, avec une tangente horizontale ;
   • pour q = \frac{2\pi}{a} : \omega\left(\frac{2\pi}{a}\right) = 0, avec une tangente de pente -\omega_o a.

   Résultat

   $${\omega }^2=4{\omega }_o^2{\left(\sin \frac{qa}{2}\right)}^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique MP 2023, Q10

   1. Vitesse de phase

   • Définition : Pour une composante harmonique de pulsation \omega et de nombre d'onde q, la vitesse de phase est définie par :

     \boxed{v_\varphi = \frac{\omega}{q}}
   • Signification physique : Elle correspond à la vitesse de déplacement des surfaces d'égale phase (ou fronts d'onde), c'est-à-dire à la vitesse apparente de translation des crêtes et des creux de la sinusoïde.
   • Lecture graphique : Sur le graphe \omega(q) établi à la question Q9, la vitesse de phase v_\varphi associée au point (q, \omega(q)) est égale à la pente de la droite sécante joignant l'origine (0,0) au point de fonctionnement (q, \omega(q)).

   2. Vitesse de groupe

   • Définition : Pour un groupe d'ondes ou un paquet d'ondes centré autour du nombre d'onde q, la vitesse de groupe est définie par :

     \boxed{v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q}}
   • Signification physique : Elle représente la vitesse à laquelle se déplace l'enveloppe du paquet d'ondes. Dans un milieu transparent ou peu absorbant, elle correspond à la vitesse de propagation de l'énergie et de l'information (ou signal).
   • Lecture graphique : Sur le graphe \omega(q), la vitesse de groupe v_g est égale à la pente de la tangente à la courbe de dispersion au point d'abscisse q.

   Résultat

   $$v_{\phi }=\frac{\omega }{q}$$

   $$v_g=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}q}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 MP 2022, Q15

   Un déplacement élémentaire le long du fil à un instant t fixé s'écrit \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}x\,\widehat{e}_x + \mathrm{d}z\,\widehat{e}_z. L'élément de longueur \mathrm{d}s de la portion de fil vaut donc :

   \mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}z^2} = \mathrm{d}x \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}

   Au premier ordre par rapport à la petite quantité \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right| \ll 1, on a :

   \boxed{\mathrm{d}s \simeq \mathrm{d}x}

   Par définition de l'angle \alpha(x,t) formé par la tangente au fil avec l'horizontale (figure 8 de l'énoncé) :

   \begin{aligned} \cos[\alpha(x,t)] &= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}} \simeq 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 \simeq \boxed{1} \\ \sin[\alpha(x,t)] &= \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = \frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}} \simeq \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}} \end{aligned}

   Appliquons le théorème de la résultante cinétique au système constitué de la portion de fil comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}s \simeq \mu\,\mathrm{d}x, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. En négligeant la pesanteur, les seules forces extérieures appliquées sont les forces de tension exercées par le reste du fil aux deux extrémités :

   \mathrm{d}m\,\vec{a} = \vec{T}(x+\mathrm{d}x,t) - \vec{T}(x,t)

   L'énoncé précise que l'on ne s'intéresse qu'aux mouvements latéraux selon l'axe transversal (Oz) : le déplacement longitudinal selon (Ox) est nul (ou d'ordre supérieur en \alpha). L'accélération selon \widehat{e}_x est donc nulle. En projetant la relation fondamentale sur l'axe (Ox) :

   0 = T_x(x+\mathrm{d}x,t) - T_x(x,t) = \frac{\partial T_x}{\partial x}\mathrm{d}x

   On en déduit :

   \boxed{\frac{\partial T_x}{\partial x} = 0}

   Ainsi, T_x(x,t) est uniforme le long du fil : elle ne dépend pas de x.

   Par ailleurs, la tension est tangente au fil :

   \vec{T}(x,t) = T(x,t)\cos[\alpha(x,t)]\,\widehat{e}_x + T(x,t)\sin[\alpha(x,t)]\,\widehat{e}_z

   D'où T_x(x,t) = T(x,t)\cos[\alpha(x,t)]. Comme \cos\alpha \simeq 1 au premier ordre, il vient :

   T(x,t) \simeq T_x(t)

   Au premier ordre des faibles perturbations transversales, la norme de la tension T est donc uniforme le long du fil : elle ne dépend pas de x. De plus, la corde étant tendue à une tension imposée par ses extrémités fixes, T est constante, indépendante de x et du temps t :

   \boxed{T(x,t) = T = \text{cte}}

   Résultat

   $$\mathrm{d}s\simeq \mathrm{d}x$$

   $$1$$

   $$\frac{\partial z}{\partial x}$$

   $$\frac{\partial T_x}{\partial x}=0$$

   $$T(x,t)=T=\text{cte}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 MP 2022, Q16

   On applique le théorème de la résultante cinétique au tronçon de fil compris entre x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}x, dans le référentiel d'étude galiléen. La pesanteur étant négligée, le bilan des forces extérieures se résume aux forces de tension exercées par les parties adjacentes :

   \mathrm{d}m\,\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\,\widehat{e}_z = \vec{T}(x+\mathrm{d}x, t) - \vec{T}(x,t)

   En projetant sur l'axe (\mathrm{O}z), on obtient :

   \mu\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = T_z(x+\mathrm{d}x, t) - T_z(x,t) = \frac{\partial T_z}{\partial x}\,\mathrm{d}x

   D'après la question Q15, la composante transverse de la tension s'écrit au premier ordre :

   T_z(x,t) = T \sin[\alpha(x,t)] \simeq T\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,t)

   où T est la norme constante de la tension au repos. En dérivant par rapport à x :

   \frac{\partial T_z}{\partial x} = T\,\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}

   En reportant cette relation dans la projection du principe fondamental de la dynamique et en simplifiant par \mathrm{d}x, il vient :

   \begin{aligned} \mu\,\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} &= T\,\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} - \frac{T}{\mu}\,\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= 0 \end{aligned}

   Cette équation est l'équation de d'Alembert unidimensionnelle (1) de l'énoncé, sous réserve d'identifier :

   \boxed{c = \sqrt{\frac{T}{\mu}}}

   La grandeur c est la célérité (ou vitesse de propagation) des ondes mécaniques transverses le long de la corde.

   Résultat

   $$c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 MP 2022, Q17

   Soient f et g deux fonctions de classe \mathcal{C}^2 sur \mathbb{R}. On pose les variables :

   u = x - ct \quad \text{et} \quad v = x + ct

   Le déplacement s'écrit alors z(x,t) = f(u) + g(v). Par dérivation d'une fonction composée, les dérivées partielles spatiales valent :

   \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= f'(u)\frac{\partial u}{\partial x} + g'(v)\frac{\partial v}{\partial x} = f'(u) + g'(v) \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= f''(u) + g''(v) \end{aligned}

   De même, pour les dérivées partielles temporelles :

   \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial t} &= f'(u)\frac{\partial u}{\partial t} + g'(v)\frac{\partial v}{\partial t} = -c\,f'(u) + c\,g'(v) \\ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} &= (-c)^2 f''(u) + c^2 g''(v) = c^2 \left( f''(u) + g''(v) \right) \end{aligned}

   En combinant ces résultats, on obtient immédiatement :

   \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = c^2\left(f''(u) + g''(v)\right) - c^2\left(f''(u) + g''(v)\right) = 0

   Toute fonction de la forme z(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) est donc bien solution de l'équation de d'Alembert.

   Sens physique des fonctions f et g :

   • La composante z_1(x,t) = f(x - ct) décrit une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants à la célérité c. En effet, pour tout intervalle de temps \Delta t > 0, on a f((x + c\Delta t) - c(t + \Delta t)) = f(x - ct) : le profil spatial de déformation se translate rigoureusement sans déformation vers la droite d'une distance \Delta x = c\Delta t.
   • La composante z_2(x,t) = g(x + ct) décrit une onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants à la célérité c. Le profil spatial se translate sans déformation vers la gauche.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique MP 2022, Q44

   Le système est modélisé sans dissipation et l'effet de la pesanteur est négligé. L'énergie mécanique totale de la coque est donc conservée :

   \mathcal{E}_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c}} + E_Y = \text{cte}

   En utilisant les expressions obtenues aux questions Q42 et Q43 :

   E_Y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi Y b e^3 (k^2 - 1)^2}{12 a_0} \right] \varepsilon^2 \quad \text{et} \quad E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2} \left[ \pi \rho b e a_0^3 \right] \dot{\varepsilon}^2

   Par dérivation temporelle de l'énergie mécanique :

   \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t} = \left[ \pi \rho b e a_0^3 \ddot{\varepsilon} + \frac{\pi Y b e^3 (k^2 - 1)^2}{12 a_0} \varepsilon \right] \dot{\varepsilon} = 0

   Cette relation étant vérifiée quel que soit l'état de mouvement (\dot{\varepsilon}(t) \not\equiv 0), on en déduit l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique :

   \ddot{\varepsilon}(t) + \omega_k^2 \varepsilon(t) = 0

   avec :

   \omega_k^2 = \frac{\frac{\pi Y b e^3 (k^2 - 1)^2}{12 a_0}}{\pi \rho b e a_0^3} = \frac{Y}{\rho} \frac{e^2}{12 a_0^4} (k^2 - 1)^2

   Comme k \ge 2, la pulsation propre \omega_k s'écrit :

   \boxed{\omega_k = \frac{k^2 - 1}{2\sqrt{3}} \frac{e}{a_0^2} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}}

   Résultat

   $${\omega }_k=\frac{k^2-1}{2\sqrt{3}}\frac{e}{a_0^2}\sqrt{\frac{Y}{\rho }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique-SI MP 2021, Q12

   Considérons, dans le référentiel d'étude supposé galiléen, le système fermé constitué par la tranche de matériau comprise entre les plans d'abscisses au repos x et x + \mathrm{d}x, de section droite S.

   La masse de cette tranche élémentaire s'écrit :

   \mathrm{d}m = \rho S \, \mathrm{d}x

   Son accélération selon l'axe (Ox) est donnée au premier ordre par :

   \vec{a} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) \, \vec{e}_x

   D'après l'énoncé, la pesanteur est négligée. Les seules forces appliquées à la tranche selon (Ox) sont les forces de contact surfaciques exercées par les parties adjacentes du milieu :

   • en x + \mathrm{d}x, la partie droite (abscisses > x + \mathrm{d}x) exerce sur la tranche (située à gauche de cette interface) la force :

     \vec{F}_{\text{droite} \to \text{tranche}} = \sigma(x + \mathrm{d}x, t) \, S \, \vec{e}_x

   • en x, d'après le principe des actions réciproques, la force exercée par la partie gauche (abscisses \le x) sur la tranche (située à droite de x) est l'opposée de celle exercée par la tranche sur la partie gauche :

     \vec{F}_{\text{gauche} \to \text{tranche}} = - \sigma(x, t) \, S \, \vec{e}_x

   La résultante des forces s'exerçant sur la tranche est donc :

   \mathrm{d}\vec{F} = \left[ \sigma(x + \mathrm{d}x, t) - \sigma(x, t) \right] S \, \vec{e}_x = \frac{\partial \sigma}{\partial x}(x, t) \, S \, \mathrm{d}x \, \vec{e}_x

   D'après le résultat de la question Q11, la contrainte s'écrit :

   \sigma(x, t) = A' \frac{\partial u}{\partial x}(x, t) + \frac{B'}{S} Q(t)

   La charge Q(t) ne dépendant pas de l'abscisse x, la dérivée spatiale de la contrainte vaut simplement :

   \frac{\partial \sigma}{\partial x}(x, t) = A' \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t)

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche élémentaire projeté sur \vec{e}_x s'écrit :

   \mathrm{d}m \, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = \mathrm{d}F

   soit :

   \rho S \, \mathrm{d}x \, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = A' \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) \, S \, \mathrm{d}x

   En simplifiant par S \, \mathrm{d}x, on obtient l'équation d'onde de d'Alembert :

   \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

   avec pour coefficient c positif :

   \boxed{c = \sqrt{\frac{A'}{\rho}}}

   Résultat

   $$c=\sqrt{\frac{A^{\prime }}{\rho }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique-SI MP 2021, Q13

    Considérons la solution d'onde harmonique sous forme complexe donnée par l'équation (6) :

    \underline{u}(x, t) = \underline{\tilde{u}} \exp (j\omega t - jkx)

    En dérivant deux fois successivement par rapport au temps et par rapport à l'espace, il vient :

    \begin{aligned} \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial t^2}(x, t) &= (j\omega)^2 \, \underline{u}(x, t) = -\omega^2 \underline{u}(x, t) \\ \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial x^2}(x, t) &= (-jk)^2 \, \underline{u}(x, t) = -k^2 \underline{u}(x, t) \end{aligned}

    En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde de d'Alembert (5), \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, on obtient :

    -\omega^2 \underline{u}(x, t) = -c^2 k^2 \underline{u}(x, t)

    Pour une solution non triviale (\underline{\tilde{u}} \neq 0), on en déduit la relation de dispersion :

    k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}

    Structurellement, la présence d'une dérivée seconde en espace dans l'équation de d'Alembert conduit à une relation algébrique du second degré en k. À toute pulsation \omega sont donc associées deux racines opposées :

    \boxed{k_+ = \frac{\omega}{c} \quad \text{et} \quad k_- = -\frac{\omega}{c}}

    Résultat

    $$k_{+}=\frac{\omega }{c}\text{et}{k}_{-}=-\frac{\omega }{c}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question