Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2022

D'après l'énoncé, le champ magnétique créé à l'extérieur de la bille aimantée (0) est assimilable à celui d'un dipôle magnétique ponctuel de moment \vec{\mathcal{M}}_0 = \mathcal{M}\,\vec{e}_z, situé à l'origine \mathrm{O}.

Les lignes de champ magnétique d'un dipôle s'obtiennent par l'équation différentielle :

ce qui s'intègre sous la forme :

À l'extérieur de l'aimant, les lignes de champ émergent par le pôle Nord (hémisphère supérieur, z > 0, orienté selon \vec{\mathcal{M}}_0) et se referment vers le pôle Sud (hémisphère inférieur, z < 0).

D'après la figure (2), le repère cylindro-polaire direct associé au plan (O, y, z) vérifie \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_x. En repérant l'angle polaire \theta depuis l'axe vertical (Oz), les vecteurs unitaires s'expriment dans la base cartésienne (\vec{e}_y, \vec{e}_z) par :

L'expression générale du champ créé par le dipôle \vec{\mathcal{M}}_0 = \mathcal{M}\vec{e}_z est :

Appliquons cette relation aux quatre points demandés, tous situés à la distance r = D :

• Au point P_1 = P(D, 0) : \theta = 0, d'où \vec{e}_r(0) = \vec{e}_z et \vec{e}_\theta(0) = -\vec{e}_y.

  \boxed{\vec{B}_0(P_1) = \frac{\mu_0 \mathcal{M}}{2\pi D^3}\,\vec{e}_z}

• Au point P_2 = P(D, \pi/2) : \theta = \pi/2, d'où \vec{e}_r(\pi/2) = -\vec{e}_y et \vec{e}_\theta(\pi/2) = -\vec{e}_z.

  \boxed{\vec{B}_0(P_2) = -\frac{\mu_0 \mathcal{M}}{4\pi D^3}\,\vec{e}_z}

• Au point P_3 = P(D, \pi) : \theta = \pi, d'où \vec{e}_r(\pi) = -\vec{e}_z et \vec{e}_\theta(\pi) = \vec{e}_y.

  \boxed{\vec{B}_0(P_3) = \frac{\mu_0 \mathcal{M}}{2\pi D^3}\,\vec{e}_z}

• Au point P_4 = P(D, 3\pi/2) : \theta = 3\pi/2, d'où \vec{e}_r(3\pi/2) = \vec{e}_y et \vec{e}_\theta(3\pi/2) = \vec{e}_z.

  \boxed{\vec{B}_0(P_4) = -\frac{\mu_0 \mathcal{M}}{4\pi D^3}\,\vec{e}_z}

La bille sphérique (0), de diamètre D, possède un volume :

La magnétisation étant uniforme de densité volumique M_{\mathrm{v}}, le moment magnétique total de la bille s'écrit :

D'après le résultat de la question 2, le champ magnétique au point \mathrm{P}_1 = \mathrm{P}(D, 0) est :

En y injectant l'expression de \mathcal{M}, on obtient la composante selon l'axe vertical :

Application numérique : Avec \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1} et M_{\mathrm{v}} = 9 \times 10^5\text{ A}\cdot\text{m}^{-1} :

Soit :

Commentaire :

• L'intensité du champ magnétique atteint presque 1\text{ T} à la surface de contact de l'aimant voisin (point \mathrm{P}_1 situé à la distance D du centre, c'est-à-dire au centre de la bille suivante posée dessus). C'est une valeur particulièrement élevée pour un aimant permanent, caractéristique des aimants néodyme-fer-bore (NdFeB).
• Cette valeur est indépendante du diamètre D de la bille, car le moment dipolaire \mathcal{M} \propto D^3 compense exactement la décroissance dipolaire en 1/r^3 = 1/D^3.

Les deux billes sphériques ont le même rayon R = D/2.

Approche géométrique : Lorsque le centre O_1 de la bille (1) s'est déplacé d'un angle \theta autour de O, le point de contact I s'est déplacé le long de la périphérie de la bille (0) fixe. L'arc parcouru sur la bille (0) depuis le point de contact initial I_0 est :

Puisque le roulement s'effectue sans glissement et que les points I_0 et I_1 coïncidaient pour \theta = 0, la longueur d'arc déroulée sur la bille (1) entre le point matériel I_1 et le point de contact actuel I est identique :

où \alpha = (\widehat{\vec{O_1 I},\,\vec{O_1 I_1}}) représente l'angle de rotation propre de la bille (1) relativement à la droite des centres (O O_1).

Par ailleurs, la droite des centres (O O_1) est elle-même inclinée de l'angle \theta par rapport à la verticale descendante (ou ascendante). Le vecteur unitaire \vec{u}_1 (porté par \vec{\mathcal{M}}_1) étant lié rigidement à la bille (1) et dirigé selon la verticale \vec{e}_z lorsque \theta = 0, son angle \theta_1 par rapport à la verticale fixe (Oz) est la somme de l'inclinaison de la ligne des centres et de la rotation propre de la bille :

Vérification cinématique : La vitesse du centre O_1 dans le référentiel lié à la bille (0) est :

La condition de roulement sans glissement au point de contact I impose :

En projetant avec \overrightarrow{O_1 I} = -\frac{D}{2}\,\vec{e}_r et \vec{\Omega}_{(1)/(0)} = \dot{\theta}_1\,\vec{e}_x (l'axe (Ox) étant normal au plan de la trajectoire) :

Il vient immédiatement :

Comme \theta_1(0) = 0, on en déduit par intégration temporelle :

Le système étudié est l'aimant (1). Les actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur lui se répartissent en actions à distance et action de contact :

1. Actions à distance :

   • Action de la pesanteur (due à la Terre) : modélisée par le poids \vec{P}_1 = m\vec{g}, appliqué au centre de masse \mathrm{O}_1.

   • Action magnétique (due à l'aimant (0)) : modélisée par un torseur magnétique constitué :

     • d'une résultante magnétique \vec{F}_{\mathrm{mag}} (force d'attraction dipolaire) ;
     • d'un couple magnétique \vec{\Gamma}_{\mathrm{mag}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 \times \vec{B}_0(\mathrm{O}_1) tendant à aligner le moment magnétique.

2. Action de contact :

   • Action de contact de la bille (0) sur la bille (1) au point de contact \mathrm{I} : modélisée par la force de réaction \vec{R}_{0 \to 1}, décomposable en :

     • une composante normale \vec{N} (qui assure le maintien du contact) ;
     • une composante tangentielle \vec{T} (force de frottement sec nécessaire pour assurer la condition de roulement sans glissement).

Considérons le système \mathcal{S} = \{(0), (1)\} dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

Faisons le bilan des puissances développées par l'ensemble des actions mécaniques :

• Actions de pesanteur (Terre \to \mathcal{S}) : cette interaction extérieure dérive de l'énergie potentielle de pesanteur E_g, elle est donc conservative.
• Interaction magnétique interne entre (0) et (1) : les aimants interagissent par l'intermédiaire de leurs champs magnétiques dipolaires. Cette interaction conservative interne dérive d'une énergie potentielle magnétique de couplage E_B.

• Action du support sur la bille (0) : la bille (0) étant maintenue immobile dans le référentiel du laboratoire (\vec{v}(\mathrm{O}) = \vec{0} et \vec{\Omega}_{(0)} = \vec{0}), la puissance développée par le support est strictement nulle :

  \mathcal{P}_{\text{support}\to(0)} = 0

• Actions de contact entre la bille (1) et la bille (0) : l'énoncé précise que le roulement s'effectue sans glissement au point de contact I. La vitesse de glissement est donc nulle :

  \vec{v}(I \in (1)/(0)) = \vec{0}

  La puissance des forces de contact mutuelles (force normale et force de frottement statique) est par conséquent identiquement nulle :

  \mathcal{P}_{\text{contact}} = 0
• Dissipation : l'énoncé indique explicitement qu'aucune cause de dissipation de l'énergie mécanique (frottements fluides dans l'air, résistance au roulement) n'est prise en compte.

La puissance totale de l'ensemble des forces non conservatives étant nulle (\mathcal{P}_{\mathrm{nc}} = 0), le théorème de l'énergie mécanique assure la conservation de l'énergie mécanique totale du système :

Dans la configuration de référence (\theta = 0), le moment magnétique de la bille (1) est orienté selon l'axe vertical ascendant :

D'après la condition de roulement sans glissement établie à la question Q4, lors d'un déplacement d'un angle \theta du centre O_1 de la bille (1), celle-ci effectue une rotation propre d'angle \theta_1 = 2\theta autour de l'axe (O_1, \vec{e}_x) par rapport à la verticale \vec{e}_z.

Dans le plan (O, y, z), le vecteur unitaire radial \vec{e}_r fait un angle \theta avec la verticale \vec{e}_z, tandis que \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 fait un angle \theta_1 = 2\theta avec cette même verticale, dans le même sens de rotation autour de \vec{e}_x.

L'angle orienté entre \vec{e}_r et \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 vaut donc :

Le moment magnétique \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 étant de norme \mathcal{M} et situé dans le plan (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta), sa projection dans la base polaire s'écrit directement :

Vérification par décomposition cartésienne :

On a bien :

L'énergie potentielle magnétique d'un dipôle rigide \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 plongé dans le champ \vec{B}_0 créé par le dipôle (0) s'écrit :

où C est une constante déterminée par l'origine des potentiels.

Le centre \mathrm{O}_1 de la bille (1) est situé à la distance r = D sous l'angle \theta. D'après l'équation (3) de l'énoncé :

D'après le résultat de la question 7, le moment magnétique de la bille (1) s'écrit dans la base polaire :

Le produit scalaire vaut donc :

L'origine des énergies potentielles étant prise pour \theta = 0, on a E_B(0) = 0, ce qui impose C = \left(\overrightarrow{\mathcal{M}}_1 \cdot \vec{B}_0(\mathrm{O}_1)\right)_{\theta=0} = \dfrac{2\mu_0 \mathcal{M}^2}{4\pi D^3}. Il vient alors :

Par identification avec la relation (4), E_B = \dfrac{1}{2}K\sin^2\theta, la constante K s'écrit :

Le moment magnétique d'une bille sphérique uniformément aimantée de diamètre D est relié à son aimantation à saturation M_{\mathrm{v}} par \mathcal{M} = M_{\mathrm{v}} V = M_{\mathrm{v}} \dfrac{\pi D^3}{6} (rappelé à la question 3). En injectant cette expression, on obtient :

D'après le second théorème de Kœ nig, l'énergie cinétique de la bille (1) dans le référentiel lié au support fixe (bille (0)) est la somme de l'énergie cinétique de translation de son centre de masse \mathrm{O}_1 affecté de la masse totale m, et de son énergie cinétique propre E_{\mathrm{c}}^\ast dans le référentiel barycentrique :

• Mouvement du centre de masse : Le point \mathrm{O}_1 décrit un cercle de centre \mathrm{O} et de rayon D. Dans la base polaire (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta), le vecteur position s'écrit \overrightarrow{\mathrm{OO}_1} = D \vec{e}_r, d'où la vitesse du centre d'inertie :

  \vec{v}(\mathrm{O}_1) = D \dot{\theta} \, \vec{e}_\theta \implies \vec{v}(\mathrm{O}_1)^2 = D^2 \dot{\theta}^2

  La composante cinétique associée au déplacement de \mathrm{O}_1 est donc :

  E_{\mathrm{c},\text{trans}} = \frac{1}{2} m D^2 \dot{\theta}^2

• Mouvement de rotation propre : Dans le référentiel lié au support, la rotation propre de la bille (1) est décrite par l'angle \theta_1 autour de l'axe (\mathrm{O}_1, \vec{e}_x). Le vecteur rotation instantané s'écrit donc \vec{\omega} = \dot{\theta}_1 \vec{e}_x. Par symétrie sphérique, tout axe passant par \mathrm{O}_1 est axe principal d'inertie avec le même moment d'inertie J. L'énergie cinétique dans le référentiel barycentrique vaut donc :

  E_{\mathrm{c}}^\ast = \frac{1}{2} J \dot{\theta}_1^2

En sommant ces deux contributions, on obtient :

D'après le résultat de la question Q9, l'énergie cinétique de la bille (1) s'écrit :

D'après la question Q4, la condition de roulement sans glissement impose \theta_1 = 2\theta, d'où :

En utilisant l'expression du moment d'inertie propre fournie par l'équation (2) de l'énoncé, J = \frac{1}{10}mD^2, l'énergie cinétique de rotation propre devient :

En sommant les deux contributions, il vient :

Par identification avec la relation (5) imposée, E_{\mathrm{c}1} = \frac{1}{2}J'\dot{\theta}^2, on en déduit :

Dans le repère \mathcal{R}(\mathrm{O}, x, y, z), le centre de masse \mathrm{O}_1 de la bille (1) est repéré par le vecteur position :

L'axe (\mathrm{O}z) étant vertical ascendant (\vec{g} = -g\,\vec{e}_z), l'altitude du centre \mathrm{O}_1 est donnée par la projection sur \vec{e}_z :

L'énergie potentielle gravitationnelle s'écrit de manière générale :

D'après l'énoncé, l'origine des énergies potentielles est fixée à la configuration de référence représentée sur la figure 3(a), c'est-à-dire pour \theta = 0 :

On en déduit l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle de la bille (1) :

D'après les questions Q8 et Q11, les deux composantes de l'énergie potentielle s'écrivent :

Pour \theta \in [-\pi, \pi], nous remarquons que :

• E_B(\theta) est une fonction paire, positive ou nulle, minimale et nulle en \theta = 0 et \theta = \pm\pi, et maximale en \theta = \pm \pi/2 où elle vaut \frac{1}{2}K ;
• E_{g1}(\theta) est une fonction paire, négative ou nulle, maximale et nulle en \theta = 0, et minimale en \theta = \pm\pi où elle vaut -2mgD.

L'allure de ces deux énergies est représentée ci-dessous :

Analyse des résultats :

• En \theta = 0 (position verticale haute) : L'énergie magnétique E_B présente un minimum local : l'attraction dipolaire tend à réaligner les billes verticalement, jouant ainsi un rôle stabilisant (force de rappel vers \theta = 0). À l'inverse, l'énergie gravitationnelle E_{g1} présente un maximum local : la pesanteur tend à faire tomber la bille vers la droite ou la gauche, jouant un rôle déstabilisant (comportement de pendule inversé). La stabilité de la position d'équilibre dépendra donc de la compétition entre le couplage magnétique et la gravité.
• En \theta = ± \pi (position verticale basse) : L'énergie gravitationnelle atteint son minimum absolu (pendule simple suspendu), et l'énergie magnétique est également minimale car les deux dipôles sont alignés tête-bêche dans une configuration attractive. Ces deux effets concourent ensemble à rendre la configuration pendante inconditionnellement stable.

D'après la question Q6, l'énergie mécanique de la bille (1) est conservée au cours du mouvement :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q8, Q10 et Q11 :

l'énergie mécanique s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport au temps t :

Pour tout mouvement non trivial (\dot{\theta} \not\equiv 0), on simplifie par \dot{\theta} :

Cette équation peut également s'écrire sous la forme :

L'énergie potentielle totale du système s'écrit, d'après les questions Q8 et Q11 :

La position \theta = 0 est bien une position d'équilibre car :

Cette configuration est stable (ou métastable) si l'énergie potentielle présente un minimum local strict en \theta = 0, soit si la dérivée seconde de E_p y est strictement positive :

En évaluant cette dérivée seconde en \theta = 0, on obtient la condition de stabilité :

En introduisant le paramètre sans dimension S = \dfrac{K}{mgD}, la condition de stabilité s'écrit :

D'après l'étude menée à la question Q14, la position verticale \theta = 0 constitue une position d'équilibre stable si et seulement si :

Puisque S \sim 100 \gg 1, cette condition est très largement satisfaite.

Par conséquent, la configuration \theta = 0 est un état d'équilibre stable vis-à-vis des petites perturbations.

Plus précisément, comme l'énergie potentielle totale présente un minimum absolu en \theta = \pm \pi (où E_p(\pm \pi) = -2mgD < E_p(0) = 0), la configuration \theta = 0 est un équilibre métastable : la bille reste piégée dans le puits de potentiel autour de \theta = 0 tant que l'amplitude angulaire ne franchit pas les maxima locaux d'énergie potentielle situés en :

Pour S \sim 100, on a \cos\theta_{\text{max}} \sim 10^{-2}, soit |\theta_{\text{max}}| \simeq 89^\circ \approx \frac{\pi}{2}.

D'après la question Q13, l'équation différentielle exacte vérifiée par l'angle \theta s'écrit :

Dans l'approximation linéaire, au voisinage de l'équilibre \theta = 0, on effectue un développement limité au premier ordre en \theta (|\theta| \ll 1) :

L'équation différentielle devient ainsi :

En utilisant J' = \dfrac{7}{5}mD^2 (question Q10) et le paramètre de stabilité S = \dfrac{K}{mgD} (question Q14), la raideur angulaire effective s'écrit :

Compte tenu de la valeur S \sim 100 \gg 1 établie à la question Q15, on peut négliger 1 devant S (S - 1 \simeq S), ce qui conduit à l'expression de la pulsation des oscillations :

Remarque : sans l'approximation S \gg 1, l'expression exacte est \omega_1 = \sqrt{\dfrac{5g(S - 1)}{7D}}.

Estimation numérique de la fréquence f_1 : Avec les données de l'énoncé :

• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• D = 13\text{ mm} = 1{,}3 \times 10^{-2}\text{ m} ;
• S \sim 100.

On calcule la pulsation :

La fréquence propre d'oscillation vaut alors :

L'hypothèse \mathrm{H}_\alpha impose que la courbure de la chaîne soit uniforme sur toute sa longueur (les centres des sphères sont situés sur un unique arc de cercle de rayon R). Cette contrainte réduit le système à un seul degré de liberté (l'angle \alpha).

Par conséquent, cette modélisation ne permet pas de décrire :

• les modes d'oscillation d'ordres supérieurs (harmoniques présentant un ou plusieurs nœuds de vibration, où la courbure changerait de signe le long de la chaîne) ;
• les situations où le moment fléchissant varie avec l'altitude, induisant une courbure locale non constante le long de l'édifice.

Sous l'hypothèse \mathrm{H}_\alpha, seul le mode fondamental de déformation (à courbure spatiale uniforme de signe constant) peut être représenté.

Le champ magnétique dipolaire créé par un aimant décroît en fonction de la distance r selon la loi en 1/r^3 (équation (3)). Corrélativement, l'énergie potentielle d'interaction entre deux dipôles magnétiques varie en :

Pour un aimant donné :

• les deux plus proches voisins se situent à une distance inter-centres r_1 = D ;

• les seconds voisins se trouvent à une distance r_2 \simeq 2D, ce qui réduit l'énergie de couplage d'un facteur :

  \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \simeq \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 12{,}5\,\%
• pour les voisins d'ordre supérieur (n \geq 3), l'atténuation est au minimum d'un facteur n^3 \geq 27.

La décroissance rapide en 1/r^3 de l'énergie d'interaction dipolaire (et a fortiori en 1/r^4 pour les forces) justifie de négliger les interactions au-delà des deux plus proches voisins.

D'après l'hypothèse \mathrm{H}_{\mathrm{ppv}}, l'interaction magnétique d'un aimant ne s'exerce qu'avec ses plus proches voisins. L'énergie potentielle magnétique globale E_{BN} de la chaîne de N billes mobiles reposant sur la bille fixe (0) est donc la somme des énergies de couplage des N paires successives (i-1, i) pour i \in \{1, \dots, N\} :

D'après l'hypothèse \mathrm{H}_\alpha, l'angle de flexion entre deux maillons successifs est uniforme et vaut \alpha. Par analogie directe avec le résultat obtenu à la question 8 pour le couplage entre deux billes adjacentes désalignées d'un angle relatif \alpha, l'énergie potentielle magnétique associée à chaque paire s'écrit :

L'hypothèse \mathrm{H}_{\mathrm{DL}} stipule que |N\alpha| \ll 1, ce qui implique a fortiori |\alpha| \ll 1. À l'ordre le plus bas non nul en \alpha, le développement limité donne :

L'énergie de couplage de chaque paire s'écrit donc :

Comme les N paires sont identiques sous l'hypothèse \mathrm{H}_\alpha, on en déduit l'énergie potentielle magnétique totale de l'édifice :

(ou sous forme non développée : \boxed{E_{BN} = \frac{1}{2} N K \sin^2\alpha}).

Dans la configuration de référence (édifice rectiligne vertical), le centre O_1 de la bille (1) est situé à la verticale du centre O de la bille fixe (0), à l'altitude :

Dans la configuration fléchie, la bille (0) restant orientée selon l'axe vertical (Oz), le premier segment [O O_1] est incliné de l'angle \alpha par rapport à la verticale ascendante. L'altitude du centre O_1 s'écrit alors :

La variation d'altitude de la bille (1) depuis la situation de référence est donc :

Sous l'hypothèse \mathrm{H}_{\mathrm{DL}}, on a |N\alpha| \ll 1, ce qui implique a fortiori |\alpha| \ll 1. Au premier ordre non nul en \alpha, le développement limité donne :

On en déduit :

Le segment [\mathrm{O}_0\mathrm{O}_1] fait un angle \alpha avec la verticale descendante inversée (\mathrm{O}z). D'après l'hypothèse \mathrm{H}_\alpha, le segment suivant [\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2] est incliné d'un angle supplémentaire \alpha par rapport au segment [\mathrm{O}_0\mathrm{O}_1], si bien que son inclinaison par rapport à l'axe vertical (\mathrm{O}z) vaut :

L'altitude z_2 du centre \mathrm{O}_2 s'obtient alors par addition géométrique des projections des deux segments successifs de longueur D :

Dans la situation de référence rectiligne verticale, l'altitude de la bille (2) est z_{2,\text{ref}} = 2D. La variation d'altitude s'écrit donc :

Sous l'hypothèse \mathrm{H}_{\mathrm{DL}} (|N\alpha| \ll 1, donc |2\alpha| \ll 1), effectuons le développement limité du cosinus au second ordre :

En utilisant le résultat de la question précédente, \Delta z_1 = -\frac{1}{2} D\alpha^2, on en déduit :

D'après les questions précédentes, le segment reliant le centre de la bille (k-1) au centre de la bille (k) a pour longueur D et fait un angle \phi_k = k\alpha avec la verticale (Oz) pour tout k \in \{1, \dots, n\}.

La cote z_n du centre O_n de la bille (n) s'obtient par la relation de Chasles :

Dans la configuration de référence rectiligne verticale (\alpha = 0), la cote de la bille (n) vaut z_n^{(0)} - z_0 = nD.

La variation d'altitude de la bille (n) depuis cette situation de référence s'écrit donc :

Sous l'hypothèse \mathrm{HDL} (|N\alpha| \ll 1, donc a fortiori |k\alpha| \ll 1), on effectue un développement limité à l'ordre le plus bas non nul :

Il vient ainsi :

En utilisant la formule classique de la somme des carrés des premiers entiers :

on obtient l'expression générale de la variation d'altitude :

L'origine des énergies potentielles étant fixée pour l'édifice rectiligne vertical (\alpha = 0), l'énergie potentielle de pesanteur de l'ensemble des N billes s'écrit :

D'après la question Q22, la variation d'altitude de la bille (n) s'exprime par :

En appliquant la formule d'approximation (8) pour \beta = 2 et I = n :

On en déduit l'expression approchée du déplacement vertical de la bille (n) :

L'énergie potentielle de pesanteur de l'édifice devient alors :

En appliquant à nouveau la relation (8) pour \beta = 3 et I = N :

On obtient finalement :

L'énergie potentielle totale de l'édifice au second ordre en \alpha est la somme de l'énergie potentielle magnétique de flexion (obtenue en Q19) et de l'énergie potentielle de pesanteur (obtenue en Q23) :

La configuration de référence rectiligne verticale (\alpha = 0) est une position d'équilibre puisque \left.\frac{\mathrm{d}E_{p,N}}{\mathrm{d}\alpha}\right|_{\alpha=0} = 0. Cet équilibre est stable si et seulement si l'énergie potentielle admet un minimum strict en \alpha = 0, soit :

Comme N > 0, cela équivaut à :

En introduisant le paramètre sans dimension S = \frac{K}{m g D} défini à la question Q14, la condition de stabilité s'écrit :

Commentaire vis-à-vis de l'approximation (8) :
L'approximation de la somme discrète par une intégrale continue, \sum_{i=1}^I i^\beta \sim \int_0^I x^\beta \mathrm{d}x, repose sur l'hypothèse I \gg 1. Pour de faibles valeurs de N, cette approximation sous-estime les sommes discrètes (car le rectangle à gauche sous la courbe omet les termes de bord), ce qui conduit à une légère sous-évaluation de l'énergie de pesanteur et surestime marginalement la stabilité de l'édifice. Toutefois, pour N \sim 10 (comme attendu avec S \sim 100), l'erreur relative reste modérée (de l'ordre de 1/N \sim 10\,\%) et la méthode fournit un ordre de grandeur pertinent de la limite de stabilité.

D'après la condition de stabilité établie à la question précédente (Q24), l'édifice vertical reste stable tant que :

Le nombre critique N_{\mathrm{c}}, représentant le nombre maximal d'aimants pouvant former un édifice vertical stable, correspond donc au plus grand entier vérifiant cette inégalité.

En prenant la valeur S \sim 100 fournie par l'énoncé (question 15) :

Or :

On a donc (12\,S)^{1/3} \simeq 10{,}6.

Le nombre critique d'aimants pour lequel la chaîne verticale reste stable est donc :

La loi de Hooke traduit une relation linéaire entre la contrainte normale \sigma = \frac{F}{S} et la déformation axiale relative (ou déformation unitaire) \varepsilon = \frac{u}{a} :

Cette approximation linéaire se justifie lorsque la déformation relative reste très faible devant l'unité :

et que la contrainte demeure inférieure à la limite d'élasticité du matériau, assurant ainsi un comportement réversible sans déformation plastique.

D'après la loi de Hooke unidimensionnelle (relation (9)), la force de traction axiale F nécessaire pour maintenir un allongement u s'écrit :

Le barreau se comporte ainsi comme un ressort élastique idéal de raideur équivalente :

La force élastique interne s'opposant à cet étirement vaut \vec{F}_{\mathrm{el}} = -F \vec{e}_\Delta. Lors d'une variation quasi-statique de l'allongement de u' à u' + \mathrm{d}u', le travail des forces élastiques internes est :

Par définition de l'énergie potentielle élastique, \mathrm{d}E_{Y,\mathrm{b}} = -\delta W_{\mathrm{int}} = \frac{YS}{a}u'\,\mathrm{d}u'.

En choisissant l'état non déformé (u=0) comme origine de l'énergie potentielle (E_{Y,\mathrm{b}}(0) = 0), on intègre entre 0 et u :

Considérons une fibre élémentaire de la lame, située à la distance h de la surface neutre, comprise entre h et h + \mathrm{d}h, s'étendant sur toute la largeur b. Sa section droite vaut :

À l'état non déformé, toutes les fibres ont la même longueur de repos a = L.

Lorsque la lame est fléchie selon un arc de cercle d'angle au centre \theta et de rayon de courbure R pour la surface neutre :

• La surface neutre (h = 0) ne subit aucune déformation axiale, si bien que sa longueur est conservée :

  L = R\theta

• Une fibre située à la coordonnée transversale h possède un rayon de courbure R + h. Sa longueur déformée s'écrit donc :

  L'(h) = (R + h)\theta = R\theta + h\theta = L + h\theta

L'allongement algébrique subi par cette fibre est alors :

D'après le résultat de la question 27, l'énergie élastique élémentaire emmagasinée par cette fibre de section \mathrm{d}S, de longueur initiale L et d'allongement u(h) est :

L'énergie potentielle élastique totale E_Y de la lame s'obtient en sommant sur l'ensemble des fibres pour h \in [-e/2, +e/2] :

On obtient finalement :

En introduisant R = L/\theta, cette énergie s'écrit bien sous la forme annoncée par l'énoncé :

D'après la question Q26, l'approximation linéaire de la loi de Hooke est valide sous condition de faibles déformations relatives :

Dans le cadre de la flexion d'une poutre (modélisation d'Euler-Bernoulli), la longueur initiale d'une fibre quelconque est la longueur au repos L de la fibre neutre. Une fibre située à la distance algébrique h \in [-e/2, \, +e/2] de la surface neutre subit un allongement :

La déformation relative longitudinale de cette fibre vaut donc :

La déformation maximale est atteinte pour les fibres les plus éloignées de la surface neutre, c'est-à-dire en surface de la lame pour |h| = e/2 :

La loi de Hooke est donc applicable dans toute l'épaisseur de la lame si :

La base de la lame est encastrée verticalement en \mathrm{O}(0,0), de sorte que la tangente à la fibre neutre en ce point reste portée par \vec{e}_z. Le centre de courbure \mathrm{A} se situe donc sur l'axe horizontal passant par l'origine, à l'abscisse y_{\mathrm{A}} = -R et la cote z_{\mathrm{A}} = 0.

Pour un point situé à l'abscisse curviligne s \in [0, L] le long de la surface neutre (qui conserve sa longueur L), le rayon vecteur issu de \mathrm{A} fait avec l'horizontale un angle :

où \theta = L/R est l'angle au sommet défini sur la figure (7).

La cote de ce point s'écrit alors :

Sous l'hypothèse de faibles déformations |\theta| \ll 1, effectuons un développement limité au troisième ordre du sinus :

ce qui donne pour l'altitude de la tranche :

Dans l'état de référence vertical non déformé, l'altitude de cette tranche était z_0(s) = s. La variation d'altitude s'élève donc, au premier ordre non nul en \theta, à :

Par symétrie de la section droite d'épaisseur e selon la variable h \in [-e/2, +e/2], le centre de masse de chaque tranche élémentaire d'épaisseur \mathrm{d}s se situe exactement sur la surface neutre (h=0). La masse de cette tranche élémentaire vaut :

L'énergie potentielle de pesanteur de la lame fléchie, nulle dans la configuration de référence, s'obtient par intégration :

On en déduit l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur :

L'énergie potentielle totale de la lame au second ordre en \theta est la somme de l'énergie potentielle élastique E_Y obtenue à la question Q28 et de l'énergie potentielle de pesanteur E_g obtenue à la question Q30 :

La position verticale \theta = 0 est une position d'équilibre puisque \left.\frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta=0} = 0. Cet équilibre est stable si et seulement si l'énergie potentielle y présente un minimum local strict, soit :

La configuration de référence devient donc instable dès que la longueur L dépasse la longueur critique L_{\mathrm{c}} définie par :

On en déduit l'expression du rapport adimensionné :

La relation s'écrit bien sous la forme demandée \dfrac{L_{\mathrm{c}}}{e} = F(Y, \rho, g, e) avec :

Justification de l'absence de la largeur b :

L'énergie potentielle élastique (qui tend à maintenir la lame rectiligne) et l'énergie potentielle gravitationnelle (dont la diminution tend à faire chuter la lame) sont toutes deux directement proportionnelles à la largeur b de la lame (la masse de la lame comme son moment quadratique de flexion sont proportionnels à b). La largeur b se factorise donc globalement dans l'énergie potentielle totale E_{\mathrm{p}}(\theta) et n'influe aucunement sur le signe de \left.\frac{\mathrm{d}^2 E_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}\theta^2}\right|_{\theta=0}. Chaque tranche longitudinale élémentaire de largeur \mathrm{d}x fléchit de manière identique et indépendante des autres.

La fonction F(Y, \rho, g, e) est par définition adimensionnée :

Déterminons les dimensions des quatre grandeurs physiques en jeu dans le système international (\mathrm{M, L, T}) :

• Module d'Young : [Y] = \mathrm{M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}} (pression en Pa) ;
• Masse volumique : [\rho] = \mathrm{M\cdot L^{-3}} ;
• Accélération de la pesanteur : [g] = \mathrm{L\cdot T^{-2}} ;
• Épaisseur : [e] = \mathrm{L}.

Cherchons une grandeur sans dimension sous la forme d'un produit monôme :

L'adimensionnalité de \Pi impose :

Ce qui conduit au système linéaire suivant :

En choisissant \alpha = 1, on obtient l'unique variable adimensionnée indépendante :

D'après le théorème de Vaschy-Buckingham, les 4 variables faisant intervenir 3 dimensions fondamentales indépendantes (la matrice dimensionnelle est de rang 3), toute fonction scalaire adimensionnée de ces variables s'exprime nécessairement sous la forme :

où \phi est une fonction arbitraire à une variable, a priori indéterminée.

Par conséquent :

Elle permet seulement d'identifier la combinaison sans dimension pertinente \dfrac{Y}{\rho g e}, mais ne permet en aucun cas de prédire :

• la forme analytique de la fonction \phi, et en particulier l'exposant 1/3 issu de la résolution mécanique ;
• une éventuelle constante multiplicative sans dimension (préfacteur numérique).

1. Estimation de la masse volumique du papier

Une feuille de papier standard pour imprimante présente typiquement un grammage surfacique \sigma \simeq 80\text{ g}\cdot\text{m}^{-2}. Sachant que son épaisseur est e \simeq 0{,}01\text{ cm} = 10^{-4}\text{ m}, sa masse volumique s'estime par :

Cet ordre de grandeur correspond bien à celui des fibres végétales (cellulose et bois) dont la masse volumique est proche de celle de l'eau.

2. Estimation de la longueur critique L_{\mathrm{c}}

La bande a été découpée le long de la feuille A4 (longueur totale de 29{,}7\text{ cm} \simeq 30\text{ cm}). D'après la figure (8), la bande est pincée et la longueur libre située au-dessus de la pince représente environ la moitié à deux tiers de la feuille, soit :

3. Ordre de grandeur du module de Young Y

D'après la question Q31, la longueur critique de flambage s'écrit :

En inversant cette relation, on obtient :

Avec les valeurs \rho \sim 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, e = 10^{-4}\text{ m} et L_{\mathrm{c}} \sim 0{,}15\text{ m} :

L'ordre de grandeur du module de Young du papier est donc :

La lame étant encastrée verticalement en O(0,0), la tangente à la fibre neutre en O est portée par l'axe (Oz). Le centre de courbure A se situe donc sur l'axe perpendiculaire (Oy) à la distance |R| de l'origine :

où R est le rayon de courbure algébrique (R > 0 pour la déformation représentée sur la figure 7).

La longueur de la fibre neutre étant conservée (L = R\theta, soit R = L/\theta), un point P de la fibre neutre situé à l'abscisse curviligne z \in [0, L] depuis l'origine O correspond à un arc de cercle sous-tendant un angle :

L'angle \theta étant orienté dans le sens trigonométrique depuis le segment horizontal [AO], le vecteur position \vec{AP} s'écrit :

On en déduit l'ordonnée du point P :

Dans la configuration non fléchie de référence, le point P_0 correspondant a pour coordonnées (0,0,z), d'où y(P_0) = 0. Le déplacement horizontal s'écrit donc exactement :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles (|\theta| \ll 1), effectuons un développement limité au second ordre de la fonction cosinus :

En injectant ce développement dans l'expression de \delta(z), on obtient à l'ordre le plus bas non nul :

Considérons une tranche élémentaire de la lame comprise entre les altitudes z et z + \mathrm{d}z. Son volume est \mathrm{d}V = b\,e\,\mathrm{d}z, ce qui correspond à une masse élémentaire :

D'après le résultat de la question 34, le déplacement horizontal du point \mathrm{P}_0 situé à l'altitude z s'écrit :

La vitesse de translation de cette tranche le long de l'axe (\mathrm{O}y) est donc :

L'énergie cinétique élémentaire associée au mouvement de translation pure de cette tranche s'exprime par :

En intégrant sur l'ensemble de la lame pour z \in [0, L], on obtient :

Soit finalement :

D'après la question Q35, l'énergie cinétique associée à la translation horizontale des tranches de la lame vaut :

L'énoncé donne pour l'énergie cinétique de rotation de ces mêmes tranches :

Calculons le rapport de ces deux contributions :

Pour qu'il soit légitime de ne conserver que la composante E_{\mathrm{ct}}, il faut que l'énergie cinétique de rotation soit négligeable devant l'énergie cinétique de translation (E_{\mathrm{cr}} \ll E_{\mathrm{ct}}), ce qui impose :

Puisque le facteur numérique \frac{5}{9} est d'ordre 1, cela équivaut à la condition géométrique :

Il s'agit de la condition de « lame mince » (ou de poutre élancée), l'épaisseur e de la lame devant être très faible devant sa longueur L.

Dans le cadre de l'approximation où l'énergie cinétique de rotation est négligée devant l'énergie cinétique de translation (question Q36), l'énergie cinétique de la lame s'écrit, d'après le résultat de la question Q35 :

L'énergie potentielle totale de la lame fléchie est la somme de l'énergie élastique (question Q28) et de l'énergie gravitationnelle (question Q30) :

En utilisant la définition de la longueur critique L_{\mathrm{c}} = \left(\frac{Y e^2}{\rho g}\right)^{1/3} (question Q31) et le rapport q = \frac{L}{L_{\mathrm{c}}}, il vient :

D'où l'expression de l'énergie potentielle :

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = E_{\mathrm{ct}} + E_p est constante au cours du mouvement :

Pour des oscillations de vitesse angulaire non identiquement nulle, on obtient l'équation du mouvement :

Pour L < L_{\mathrm{c}} (soit q < 1), le terme q^{-3}-1 est strictement positif. L'équation décrit un oscillateur harmonique de pulsation propre \omega :

Lorsque L > L_{\mathrm{c}}, soit q = L/L_{\mathrm{c}} > 1, la position verticale \theta = 0 correspond à un maximum d'énergie potentielle : le terme de rappel s'inverse et la configuration devient instable.

L'équation du mouvement établie à la question Q37 reste valable au voisinage de \theta = 0, mais avec un coefficient de \theta désormais négatif :

Cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants admet pour solutions générales des combinaisons d'exponentielles réelles :

Le temps caractéristique \tau de déstabilisation (taux de croissance de l'instabilité de flambage) s'obtient directement en posant \frac{1}{\tau^2} = -\omega^2 :

On en déduit l'expression du temps caractéristique :

1. Ensemble des valeurs du paramètre k :

• Condition de continuité de la coque : la variable angulaire \theta décrivant un tour complet, le rayon a(\theta, t) doit être invariant par une rotation de 2\pi :

  a(\theta + 2\pi, t) = a(\theta, t) \quad \forall \theta \in [0, 2\pi[

  ce qui impose \sin(k(\theta + 2\pi)) = \sin(k\theta), soit 2k\pi \equiv 0 \pmod{2\pi}. Comme k \in \mathbb{R}_+^*, cela conduit à :

  k \in \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\}

• Exclusion du mode k = 1 : pour k = 1, le déplacement radial s'écrit \overrightarrow{\mathrm{M}_0\mathrm{M}} = a_0 \varepsilon(t) \sin\theta\,\vec{u}_r(\theta). Le déplacement moyen du centre de masse de la section s'obtient par intégration :

  \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \overrightarrow{\mathrm{M}_0\mathrm{M}}\,\mathrm{d}\theta = \frac{a_0 \varepsilon(t)}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sin\theta \left(\cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y\right)\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} a_0 \varepsilon(t)\,\vec{e}_y \neq \vec{0}

  Ce mode correspond à une translation globale de corps rigide de la section selon l'axe (\mathrm{O}y), sans déformation de flexion locale (le périmètre et la courbure restent invariants au premier ordre).

  Les modes vibratoires décrivant effectivement une flexion de la coque sont donc caractérisés par :

2. Nature de l'onde : Le champ de déplacement radial s'écrit sous forme à variables séparées :

La dépendance spatiale \sin(k\theta) et l'évolution temporelle \varepsilon(t) sont découplées. Les positions des nœuds de vibration (k\theta \equiv 0 \pmod \pi) et des ventres (k\theta \equiv \pi/2 \pmod \pi) sont fixes au cours du temps : il s'agit donc d'une onde stationnaire.

3. Aspect de la déformation pour k = 2 : Pour k = 2, l'équation de la coque est a(\theta, t) = a_0 \left(1 + \varepsilon(t) \sin(2\theta)\right) :

• Les nœuds (a = a_0) sont situés en \theta \in \{0, \pi/2, \pi, 3\pi/2\}.
• Pour \varepsilon(t) > 0, l'extension maximale (a = a_0(1+\varepsilon) > a_0) a lieu le long des bissectrices \theta = \pi/4 et 5\pi/4, tandis que la contraction maximale (a = a_0(1-\varepsilon) < a_0) a lieu en \theta = 3\pi/4 et 7\pi/4. La section s'allonge selon la première diagonale.
• Pour \varepsilon(t) < 0, les rôles sont inversés : allongement selon la seconde diagonale (\theta = 3\pi/4 et 7\pi/4) et contraction selon la première diagonale.

Examinons successivement les deux propositions :

• Pour la proposition (a) :

  F(R) = \frac{1}{R^2} - \frac{1}{a_0^2}

  On a bien F(a_0) = 0. Cependant, pour une déformation entraînant une diminution locale de la courbure (R > a_0), on aurait F(R) < 0, conduisant à une énergie élastique élémentaire \mathrm{d}E_Y < 0. De plus, au voisinage de R = a_0, un développement au premier ordre en \Delta c = \frac{1}{R} - \frac{1}{a_0} donne :

  F(R) = \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{a_0}\right)\left(\frac{1}{R} + \frac{1}{a_0}\right) \simeq \frac{2}{a_0} \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{a_0}\right)

  La dérivée première en R = a_0 serait non nulle, ce qui contredit le fait que la configuration non déformée est un état d'équilibre stable (minimum d'énergie potentielle). La proposition (a) est donc physiquement inacceptable.

• Pour la proposition (b) :

  F(R) = \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{a_0}\right)^2

  Cette fonction s'annule en R = a_0, reste strictement positive pour toute courbure différente de a_0 (F(R) \ge 0), et est directement quadratique en la variation de courbure \Delta c = \frac{1}{R} - \frac{1}{a_0}, en accord avec la théorie des poutres et coques minces en régime d'élasticité linéaire.

La fonction à retenir est donc la proposition (b) :

D'après l'équation (12), la courbe délimitant la surface moyenne de la coque dans le plan orthogonal à l'axe (\mathrm{O}z) est paramétrée en coordonnées polaires par :

Les dérivées successives par rapport à \theta s'écrivent :

Le terme r'^2 est proportionnel à \varepsilon^2, il est donc négligeable au premier ordre devant r^2.

1. Développement du numérateur :

2. Développement du dénominateur :

3. Calcul du rayon de courbure : En effectuant le quotient et en utilisant le développement limité (1 + u)^{-1} = 1 - u + \mathcal{O}(u^2) au premier ordre :

On obtient finalement, au premier ordre par rapport à \varepsilon :

D'après la question Q41, le rayon de courbure local s'écrit au premier ordre en \varepsilon :

L'inverse du rayon de courbure s'obtient par un développement limité à l'ordre 1 en \varepsilon (|\varepsilon| \ll 1) :

D'après le résultat de la question Q40, la fonction de courbure s'écrit F(R) = \left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{a_0}\right)^2, ce qui donne au second ordre en \varepsilon :

L'énergie élastique totale s'obtient en sommant l'énergie élémentaire \mathrm{d}E_Y = \dfrac{1}{2} k_Y F(R(\theta))\,\mathrm{d}\theta sur l'ensemble de la coque cylindrique, soit pour \theta \in [0, 2\pi[ :

Le mode k étant un entier (k \ge 2, d'après la question Q39), la moyenne de \sin^2(k\theta) sur une ou plusieurs périodes vaut 1/2, d'où :

En remplaçant l'expression de k_Y = \dfrac{Y b e^3 a_0}{12} donnée par la relation (13), il vient :

D'après l'équation (12), le champ de déplacement radial de la coque s'écrit :

Le mouvement étant purement radial, la vitesse d'un point \mathrm{M} de la coque s'obtient en dérivant ce déplacement par rapport au temps :

La norme de la vitesse au carré vaut donc :

Considérons un élément de volume \mathrm{d}V de la coque cylindrique mince délimité par l'intervalle angulaire [\theta, \theta + \mathrm{d}\theta] et l'intervalle d'altitude [z, z + \mathrm{d}z]. L'épaisseur étant notée e et le rayon moyen a_0, sa masse est :

L'énergie cinétique élémentaire associée à cet élément de matière s'écrit :