Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2022 (page 2/3 : Partie 1 (questions 17 à 25))

L'hypothèse \mathrm{H}_\alpha impose que la courbure de la chaîne soit uniforme sur toute sa longueur (les centres des sphères sont situés sur un unique arc de cercle de rayon R). Cette contrainte réduit le système à un seul degré de liberté (l'angle \alpha).

Par conséquent, cette modélisation ne permet pas de décrire :

• les modes d'oscillation d'ordres supérieurs (harmoniques présentant un ou plusieurs nœuds de vibration, où la courbure changerait de signe le long de la chaîne) ;
• les situations où le moment fléchissant varie avec l'altitude, induisant une courbure locale non constante le long de l'édifice.

Sous l'hypothèse \mathrm{H}_\alpha, seul le mode fondamental de déformation (à courbure spatiale uniforme de signe constant) peut être représenté.

Le champ magnétique dipolaire créé par un aimant décroît en fonction de la distance r selon la loi en 1/r^3 (équation (3)). Corrélativement, l'énergie potentielle d'interaction entre deux dipôles magnétiques varie en :

Pour un aimant donné :

• les deux plus proches voisins se situent à une distance inter-centres r_1 = D ;

• les seconds voisins se trouvent à une distance r_2 \simeq 2D, ce qui réduit l'énergie de couplage d'un facteur :

  \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \simeq \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 12{,}5\,\%
• pour les voisins d'ordre supérieur (n \geq 3), l'atténuation est au minimum d'un facteur n^3 \geq 27.

La décroissance rapide en 1/r^3 de l'énergie d'interaction dipolaire (et a fortiori en 1/r^4 pour les forces) justifie de négliger les interactions au-delà des deux plus proches voisins.

D'après l'hypothèse \mathrm{H}_{\mathrm{ppv}}, l'interaction magnétique d'un aimant ne s'exerce qu'avec ses plus proches voisins. L'énergie potentielle magnétique globale E_{BN} de la chaîne de N billes mobiles reposant sur la bille fixe (0) est donc la somme des énergies de couplage des N paires successives (i-1, i) pour i \in \{1, \dots, N\} :

D'après l'hypothèse \mathrm{H}_\alpha, l'angle de flexion entre deux maillons successifs est uniforme et vaut \alpha. Par analogie directe avec le résultat obtenu à la question 8 pour le couplage entre deux billes adjacentes désalignées d'un angle relatif \alpha, l'énergie potentielle magnétique associée à chaque paire s'écrit :

L'hypothèse \mathrm{H}_{\mathrm{DL}} stipule que |N\alpha| \ll 1, ce qui implique a fortiori |\alpha| \ll 1. À l'ordre le plus bas non nul en \alpha, le développement limité donne :

L'énergie de couplage de chaque paire s'écrit donc :

Comme les N paires sont identiques sous l'hypothèse \mathrm{H}_\alpha, on en déduit l'énergie potentielle magnétique totale de l'édifice :

(ou sous forme non développée : \boxed{E_{BN} = \frac{1}{2} N K \sin^2\alpha}).

Dans la configuration de référence (édifice rectiligne vertical), le centre O_1 de la bille (1) est situé à la verticale du centre O de la bille fixe (0), à l'altitude :

Dans la configuration fléchie, la bille (0) restant orientée selon l'axe vertical (Oz), le premier segment [O O_1] est incliné de l'angle \alpha par rapport à la verticale ascendante. L'altitude du centre O_1 s'écrit alors :

La variation d'altitude de la bille (1) depuis la situation de référence est donc :

Sous l'hypothèse \mathrm{H}_{\mathrm{DL}}, on a |N\alpha| \ll 1, ce qui implique a fortiori |\alpha| \ll 1. Au premier ordre non nul en \alpha, le développement limité donne :

On en déduit :

Le segment [\mathrm{O}_0\mathrm{O}_1] fait un angle \alpha avec la verticale descendante inversée (\mathrm{O}z). D'après l'hypothèse \mathrm{H}_\alpha, le segment suivant [\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2] est incliné d'un angle supplémentaire \alpha par rapport au segment [\mathrm{O}_0\mathrm{O}_1], si bien que son inclinaison par rapport à l'axe vertical (\mathrm{O}z) vaut :

L'altitude z_2 du centre \mathrm{O}_2 s'obtient alors par addition géométrique des projections des deux segments successifs de longueur D :

Dans la situation de référence rectiligne verticale, l'altitude de la bille (2) est z_{2,\text{ref}} = 2D. La variation d'altitude s'écrit donc :

Sous l'hypothèse \mathrm{H}_{\mathrm{DL}} (|N\alpha| \ll 1, donc |2\alpha| \ll 1), effectuons le développement limité du cosinus au second ordre :

En utilisant le résultat de la question précédente, \Delta z_1 = -\frac{1}{2} D\alpha^2, on en déduit :

D'après les questions précédentes, le segment reliant le centre de la bille (k-1) au centre de la bille (k) a pour longueur D et fait un angle \phi_k = k\alpha avec la verticale (Oz) pour tout k \in \{1, \dots, n\}.

La cote z_n du centre O_n de la bille (n) s'obtient par la relation de Chasles :

Dans la configuration de référence rectiligne verticale (\alpha = 0), la cote de la bille (n) vaut z_n^{(0)} - z_0 = nD.

La variation d'altitude de la bille (n) depuis cette situation de référence s'écrit donc :

Sous l'hypothèse \mathrm{HDL} (|N\alpha| \ll 1, donc a fortiori |k\alpha| \ll 1), on effectue un développement limité à l'ordre le plus bas non nul :

Il vient ainsi :

En utilisant la formule classique de la somme des carrés des premiers entiers :

on obtient l'expression générale de la variation d'altitude :

L'origine des énergies potentielles étant fixée pour l'édifice rectiligne vertical (\alpha = 0), l'énergie potentielle de pesanteur de l'ensemble des N billes s'écrit :

D'après la question Q22, la variation d'altitude de la bille (n) s'exprime par :

En appliquant la formule d'approximation (8) pour \beta = 2 et I = n :

On en déduit l'expression approchée du déplacement vertical de la bille (n) :

L'énergie potentielle de pesanteur de l'édifice devient alors :

En appliquant à nouveau la relation (8) pour \beta = 3 et I = N :

On obtient finalement :

L'énergie potentielle totale de l'édifice au second ordre en \alpha est la somme de l'énergie potentielle magnétique de flexion (obtenue en Q19) et de l'énergie potentielle de pesanteur (obtenue en Q23) :

La configuration de référence rectiligne verticale (\alpha = 0) est une position d'équilibre puisque \left.\frac{\mathrm{d}E_{p,N}}{\mathrm{d}\alpha}\right|_{\alpha=0} = 0. Cet équilibre est stable si et seulement si l'énergie potentielle admet un minimum strict en \alpha = 0, soit :

Comme N > 0, cela équivaut à :

En introduisant le paramètre sans dimension S = \frac{K}{m g D} défini à la question Q14, la condition de stabilité s'écrit :

Commentaire vis-à-vis de l'approximation (8) :
L'approximation de la somme discrète par une intégrale continue, \sum_{i=1}^I i^\beta \sim \int_0^I x^\beta \mathrm{d}x, repose sur l'hypothèse I \gg 1. Pour de faibles valeurs de N, cette approximation sous-estime les sommes discrètes (car le rectangle à gauche sous la courbe omet les termes de bord), ce qui conduit à une légère sous-évaluation de l'énergie de pesanteur et surestime marginalement la stabilité de l'édifice. Toutefois, pour N \sim 10 (comme attendu avec S \sim 100), l'erreur relative reste modérée (de l'ordre de 1/N \sim 10\,\%) et la méthode fournit un ordre de grandeur pertinent de la limite de stabilité.

D'après la condition de stabilité établie à la question précédente (Q24), l'édifice vertical reste stable tant que :

Le nombre critique N_{\mathrm{c}}, représentant le nombre maximal d'aimants pouvant former un édifice vertical stable, correspond donc au plus grand entier vérifiant cette inégalité.

En prenant la valeur S \sim 100 fournie par l'énoncé (question 15) :

Or :

On a donc (12\,S)^{1/3} \simeq 10{,}6.

Le nombre critique d'aimants pour lequel la chaîne verticale reste stable est donc :