Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2024 (page 2/3 : Parties III et IV)

Le point \mathrm{M} est repéré en coordonnées polaires de pôle \mathrm{O} par ses coordonnées (r, \theta) associées à la base orthonormée directe \{\vec{u}_r, \vec{u}_\theta\}. Le fil étant inextensible de longueur \ell_0, on a :

avec r = \ell_0 = \text{cte}, soit \dot{r} = 0 et \ddot{r} = 0.

Les vecteurs de la base polaire dérivent selon :

On en déduit l'expression du vecteur vitesse du point \mathrm{M} dans le référentiel d'étude :

Par dérivation temporelle du vecteur vitesse, on obtient le vecteur accélération :

Le point matériel \mathrm{M} est soumis à son poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_x, force conservative.

Par définition, la variation élémentaire de l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit :

Le vecteur position du point \mathrm{M} s'exprime dans la base cartésienne (\vec{u}_x, \vec{u}_y) par :

d'où :

On en déduit :

En intégrant par rapport à \theta, on obtient :

où C est une constante d'intégration fixée par la condition de référence :

On obtient finalement :

Le système étudié est le point matériel \mathrm{M} de masse m, dans le référentiel d'étude terrestre \mathcal{R} supposé galiléen.

Les forces appliquées à \mathrm{M} sont :

• le poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg\cos\theta\,\vec{u}_r - mg\sin\theta\,\vec{u}_\theta ;
• la tension du fil : \vec{T} = -T\,\vec{u}_r (portée par le fil, sans composante selon \vec{u}_\theta).

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{u}_\theta et en utilisant l'expression de \vec{a} établie à la question Q16 (a_\theta = \ell_0\ddot{\theta}) :

En divisant par m\ell_0 et en introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{\ell_0}}, on obtient :

Dans l'approximation des petits mouvements (\theta \ll 1\text{ rad}), on effectue le développement limité à l'ordre 1 : \sin\theta \approx \theta. L'équation différentielle obtenue à la question Q18 devient :

avec \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{\ell_0}}.

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique linéaire. La solution générale s'écrit :

où A et B sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales :

• \theta(0) = A = \theta_0 ;
• \dot{\theta}(0) = B\omega_0 = 0 \implies B = 0.

La loi horaire du mouvement s'en déduit :

La période propre des oscillations libres est donnée par :

Application numérique : avec \ell_0 = 7{,}0\text{ m} et g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},

Le système étudié est le point matériel M de masse m, dans le référentiel terrestre \mathcal{R} supposé galiléen. Il est soumis à deux forces :

• son poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\cos\theta\,\vec{u}_r - mg\sin\theta\,\vec{u}_\theta ;
• la tension du fil \vec{T} = -T\,\vec{u}_r, portée par la direction radiale.

La position du point M s'écrit \vec{OM} = \ell(t)\,\vec{u}_r. En dérivant par rapport au temps sachant que \ell(t) varie :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant cette relation vectorielle selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{u}_\theta, la tension radiale n'intervient pas :

Comme la longueur \ell(t) est strictement positive, on peut diviser les deux membres par m\ell(t), ce qui conduit directement à l'équation différentielle recherchée :

Pendant le mouvement entre \mathrm{M}_{n,1} et \mathrm{M}_{n,2}, la longueur du fil est constante et vaut \ell(t) = \ell_0(1+\alpha).

Le système est le mobile de masse m dans le référentiel d'étude terrestre supposé galiléen. Il est soumis à deux forces :

• son poids \vec{P}, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur ;
• la tension du fil \vec{T}, colinéaire à -\vec{u}_r.

La longueur du fil étant constante sur cet intervalle, la trajectoire est circulaire de rayon \ell_0(1+\alpha). Le vecteur vitesse \vec{v} = \ell_0(1+\alpha)\dot{\theta}\vec{u}_\theta est orthogonal à la tension du fil : la puissance développée par la tension est identiquement nulle (\vec{T}\cdot\vec{v} = 0). En l'absence de frottement, les forces non conservatives ne travaillent pas :

En adaptant le résultat de la question Q17 avec la longueur \ell = \ell_0(1+\alpha), l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit :

Écrivons l'énergie mécanique aux deux points :

• Au point initial \mathrm{M}_{n,1}, le mobile est lâché sans vitesse (v_{n,1}=0) à l'angle \theta_n :

  \mathcal{E}_{\mathrm{m}}(\mathrm{M}_{n,1}) = -mg\ell_0(1+\alpha)\cos\theta_n

• Au point \mathrm{M}_{n,2}, le mobile passe par la verticale (\theta=0) avec la vitesse v_{n,2} :

  \mathcal{E}_{\mathrm{m}}(\mathrm{M}_{n,2}) = \frac{1}{2}mv_{n,2}^2 - mg\ell_0(1+\alpha)

Par conservation de l'énergie mécanique :

Par identification avec l'expression proposée v_{n,2} = \sqrt{2g\ell_0\beta}\,(1 - \cos\theta_n)^\gamma, on obtient :

Le moment cinétique du point matériel \mathrm{M} calculé au point fixe \mathrm{O} s'écrit de manière générale :

Au passage par la verticale (\theta = 0), le vecteur vitesse est orthogonal au fil (selon \vec{u}_\theta) :

• Au point \mathrm{M}_{n,2}, la longueur du fil vaut \ell_2 = \ell_0(1+\alpha) et la vitesse est v_{n,2}, d'où :

  \vec{L}_{\mathrm{O}}(\mathrm{M}_{n,2}) = m\,\ell_0(1+\alpha)\,v_{n,2}\,\vec{u}_z

• Au point \mathrm{M}_{n,3}, après le raccourcissement instantané, la longueur vaut \ell_3 = \ell_0(1-\alpha) et la vitesse est v_{n,3}, d'où :

  \vec{L}_{\mathrm{O}}(\mathrm{M}_{n,3}) = m\,\ell_0(1-\alpha)\,v_{n,3}\,\vec{u}_z

Le moment résultant exercé sur le système étant supposé nul durant cette transition, le moment cinétique est conservé :

En utilisant l'expression de v_{n,2} obtenue à la question Q21 :

on en déduit l'expression de v_{n,3} :

Entre les points \mathrm{M}_{n,3} et \mathrm{M}_{n,4}, le fil a une longueur fixe \ell_2 = \ell_0(1 - \alpha). La tension du fil étant orthogonale au déplacement, elle ne travaille pas ; le poids étant la seule autre force appliquée, l'énergie mécanique se conserve :

En prenant comme à la question Q17 l'énergie potentielle de pesanteur nulle pour \theta = \pi/2, on a :

• en \mathrm{M}_{n,3} (\theta = 0 et v = v_{n,3}) :

  E_{\mathrm{m}}(\mathrm{M}_{n,3}) = \frac{1}{2}m v_{n,3}^2 - mg\ell_0(1 - \alpha)

• en \mathrm{M}_{n,4} (\theta = \theta_{n+1} et vitesse nulle v = 0) :

  E_{\mathrm{m}}(\mathrm{M}_{n,4}) = - mg\ell_0(1 - \alpha)\cos\theta_{n+1}

L'égalité des deux énergies mécaniques conduit à :

D'après le résultat de la question Q22 :

En reportant cette expression dans la relation précédente, il vient :

Par identification avec la relation demandée :

soit :

D'après la relation établie à la question Q23 :

L'énoncé précise que le paramètre \alpha vérifie 0 < \alpha < 1. On a donc :

Puisque la fonction cube est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}, il en découle :

Pour une amplitude initiale non nulle (\theta_n \in ]0, \pi[), le terme 1 - \cos\theta_n est strictement positif. On en déduit :

La fonction cosinus étant strictement décroissante sur l'intervalle [0, \pi], on obtient :

L'amplitude des balancements augmente ainsi strictement à chaque demi-oscillation.

D'après le résultat de la question Q23, la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u_n = 1 - \cos\theta_n vérifie :

Il s'agit d'une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0 = 1 - \cos\theta_0, d'où pour tout n \in \mathbb{N} :

L'indice n représente le nombre de demi-oscillations (un aller correspond au passage de \mathrm{M}_{n,1} à \mathrm{M}_{n,4}, soit une incrémentation de n de 1). Un aller-retour complet correspond donc à deux étapes élémentaires (\Delta n = 2). Après N allers-retours, l'indice atteint est :

L'indice suspendu en hauteur est atteint dès que l'angle maximal dépasse \pi/2, soit :

Ce qui s'écrit :

Comme \alpha \in {]0, 1[}, on a \frac{1+\alpha}{1-\alpha} > 1, d'où le nombre minimal d'allers-retours :

où \lceil x \rceil désigne la partie entière par excès.

Application numérique :

• 1 - \cos(20^\circ) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) \approx 0{,}06031 \implies -\ln(1 - \cos 20^\circ) \approx 2{,}808

• Pour \alpha = 1/20 = 0{,}05 :

  \frac{1+\alpha}{1-\alpha} = \frac{1{,}05}{0{,}95} = \frac{21}{19} \approx 1{,}1053 \implies \ln\left(\frac{21}{19}\right) \approx 0{,}1001

On obtient :

Le nombre minimal d'allers-retours complets est donc :

Par définition du débit volumique à travers la section droite S = \ell h du canal microfluidique :

Convertissons le débit volumique en unités du Système International :

La section du canal vaut :

D'où l'application numérique pour la vitesse débitante :

Le nombre de Reynolds quantifie le rapport des effets inertiels aux effets visqueux au sein de l'écoulement. Il est défini par :

où L_{\mathrm{c}} est une dimension caractéristique transversale du canal (typiquement le diamètre hydraulique D_{\mathrm{h}} = \frac{4S}{2(\ell + h)} = \frac{2\ell h}{\ell + h} \approx 89\text{ }\mu\mathrm{m}, ou simplement L_{\mathrm{c}} \sim h \sim 80\text{ }\mu\mathrm{m}).

En prenant L_{\mathrm{c}} \approx 100\text{ }\mu\mathrm{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-4}\text{ m} :

Puisque \mathcal{R}e \ll 2\,000, les effets visqueux sont très largement prépondérants devant les effets inertiels :

Considérons un volume de contrôle fixe délimité par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite d'aire S_{\perp} perpendiculaire à l'axe (\mathrm{O}x), soit un volume élémentaire \mathrm{d}\tau = S_{\perp}\,\mathrm{d}x.

Le nombre de molécules de fluorescéine contenues dans ce volume à l'instant t vaut :

Pendant la durée \mathrm{d}t, en l'absence de création ou de destruction de fluorescéine, la variation du nombre de molécules résulte exclusivement du flux de particules à travers les parois en x et x+\mathrm{d}x orienté selon \vec{u}_x :

où j_x(x,t) = \vec{j}(x,t)\cdot\vec{u}_x désigne la composante selon (\mathrm{O}x) du vecteur densité de courant.

En divisant par S_{\perp}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t et en faisant tendre \mathrm{d}x et \mathrm{d}t vers zéro, on obtient l'équation locale de conservation de la matière :

D'après la première loi de Fick (équation 6), le transfert étant unidimensionnel suivant l'axe (\mathrm{O}x) :

En supposant le coefficient de diffusion D uniforme et constant dans le milieu, on reporte cette expression dans l'équation de conservation :

On en déduit l'équation de diffusion unidimensionnelle :

À l'instant t \to 0^+, la variable u = \dfrac{x}{\sqrt{4Dt}} tend vers l'infini :

• pour x > 0, u \to +\infty ;
• pour x < 0, u \to -\infty.

En utilisant la forme proposée pour la solution :

et la condition initiale C(x, 0^+) = C_0 pour x > 0 et C(x, 0^+) = 0 pour x < 0, on obtient :

D'après les données, \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-s^2}\,\mathrm{d}s = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, et par parité de la fonction gaussienne :

Le système d'équations s'écrit alors :

En sommant et en soustrayant ces deux équations, on en déduit immédiatement :

Pour tout instant t > 0, en x = 0, la variable u est nulle :

L'intégrale \displaystyle\int_0^0 \mathrm{e}^{-s^2}\,\mathrm{d}s est identiquement nulle, d'où :

L'écoulement le long de l'axe longitudinal \mathrm{O}y est stationnaire et à section constante. Les particules fluides sont transportées par advection à la vitesse moyenne v_{\mathrm{m}}, ce qui permet de relier la position y et la durée d'écoulement t par :

D'après l'équation de diffusion \dfrac{\partial C}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 C}{\partial x^2}, l'analyse dimensionnelle fournit l'ordre de grandeur de la durée typique de diffusion t^* sur une distance transverse caractéristique L (par exemple la demi-largeur \ell/2 du canal) :

La longueur caractéristique de mélange y^* correspond à la distance parcourue le long du canal pendant cette durée de diffusion :

On constate que la longueur de mélange y^* est proportionnelle au débit volumique Q :

• Si le débit Q augmente, la vitesse d'écoulement augmente, le fluide passe moins de temps dans une section donnée du canal et la diffusion transverse a moins le temps d'agir : la longueur de mélange observable le long de l'axe y augmente (le mélange nécessite une plus grande distance pour s'opérer).
• Si le débit Q diminue, la longueur de mélange observable diminue et le mélange s'opère sur une plus courte distance le long du canal.