Corrigé détaillé ENS Physique Chimie L PC 2022 (page 2/4 : Physique (questions 18 à 34))

D'après la question Q17, l'énergie potentielle gravitationnelle du liquide s'écrit sous forme intégrale :

Énergie potentielle de référence E_{\mathrm{p}}^\star : Si la surface libre restait plane et horizontale, on aurait Z(r) = h pour tout r \in [0, R]. L'énergie potentielle associée s'écrirait alors :

La masse totale du liquide s'exprimant par m = \rho \pi R^2 h, on obtient immédiatement :

Énergie potentielle initiale réelle E_{\mathrm{p}0} : Dans l'état initial, la surface libre parabolique est décrite par l'équation (3) (question Q5) :

Développons son carré :

Calculons l'intégrale \int_0^R r Z^2(r) \, \mathrm{d}r terme à terme :

• Premier terme :

  \int_0^R r h^2 \, \mathrm{d}r = \frac{1}{2} h^2 R^2

• Terme croisé (nul en vertu de la conservation du volume du liquide incompressible) :

  \int_0^R 2 h k (2r^3 - r R^2) \, \mathrm{d}r = 2 h k \left[ \frac{r^4}{2} - \frac{r^2 R^2}{2} \right]_0^R = 2 h k \left( \frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{2} \right) = 0

• Dernier terme :

  \begin{aligned} \int_0^R r k^2 (4r^4 - 4r^2 R^2 + R^4) \, \mathrm{d}r &= k^2 \int_0^R (4r^5 - 4r^3 R^2 + r R^4) \, \mathrm{d}r \\ &= k^2 \left[ \frac{2}{3} r^6 - r^4 R^2 + \frac{1}{2} r^2 R^4 \right]_0^R \\ &= k^2 R^6 \left( \frac{2}{3} - 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6} k^2 R^6 \end{aligned}

On en déduit l'expression de l'intégrale :

En multipliant par \pi \rho g, il vient :

avec :

Dans l'état final (t \to \infty), le liquide s'est entièrement immobilisé :

Par conservation de la masse d'un fluide incompressible, la surface libre retrouve sa forme plane et horizontale d'altitude uniforme h. D'après la définition de E_{\mathrm{p}}^\star donnée à la question Q18 :

L'énergie mécanique finale s'écrit donc :

Dans l'état initial (t = 0), d'après les résultats des questions Q16 et Q18 :

La variation d'énergie mécanique s'en déduit :

En identifiant avec la forme proposée \Delta E_{\mathrm{m}} = -E_{\mathrm{c}}^\star (1 + \alpha), on a :

Exprimons le rapport E_{\mathrm{p}}^\star / E_{\mathrm{c}}^\star à l'aide des définitions :

En utilisant \alpha_{\mathrm{c}} = \dfrac{k R^2}{3h} et \alpha_{\mathrm{p}} = \dfrac{k^2 R^4}{3h^2}, le second terme devient :

Rappelons la relation établie à la question Q5 : k = \dfrac{\Omega^2}{4g}, soit \dfrac{g}{\Omega^2} = \dfrac{1}{4k}. Il vient alors :

On en déduit l'expression de \alpha en fonction de k :

En remplaçant enfin k par son expression k = \dfrac{\Omega^2}{4g} :

On a bien la forme requise avec :

Considérons le système fermé constitué par le liquide de masse m entre l'état initial (à t = 0^+, liquide en mouvement) et l'état final (t \to \infty, liquide totalement immobilisé).

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à un système en mouvement macroscopique dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_0 s'écrit :

où \Delta E_{\mathrm{m}} = \Delta E_{\mathrm{c}} + \Delta E_{\mathrm{p}} est la variation de l'énergie mécanique macroscopique (analysée à la question Q19), \Delta U la variation de son énergie interne, Q le transfert thermique reçu et W le travail des forces extérieures autres que la pesanteur (cette dernière étant prise en compte dans E_{\mathrm{p}}).

Détaillons les échanges énergétiques avec l'extérieur au cours de la phase d'arrêt :

• Transfert thermique Q : l'énoncé stipule que tout échange de chaleur entre le liquide et le milieu extérieur (parois de la cuve et air ambiant) est négligeable, d'où :

  Q = 0

• Travail des forces de pression atmosphérique W_{\text{atm}} : la pression atmosphérique p_0 étant supposée uniforme et constante, le travail exercé sur la surface libre s'écrit :

  W_{\text{atm}} = -\int_{V_{\text{i}}}^{V_{\text{f}}} p_0 \,\mathrm{d}V = -p_0 \Delta V

  Le liquide étant incompressible, son volume global demeure rigoureusement constant (\Delta V = 0), d'où W_{\text{atm}} = 0.

• Travail des forces exercées par les parois de la cuve W_{\text{cuve}} : la cuve est maintenue immobile pour tout t > 0. Les points de la paroi ont une vitesse nulle dans \mathcal{R}_0. Par condition d'adhérence du fluide visqueux sur les parois fixes, la vitesse du fluide au contact des parois est nulle. La puissance des forces de contact (pression et frottement visqueux) exercées par la cuve sur le liquide est donc identiquement nulle à tout instant :

  \mathcal{P}_{\text{cuve}\to\text{liq}} = 0 \implies W_{\text{cuve}} = 0

Le travail total reçu par le liquide est donc nul :

On en déduit le bilan énergétique global :

En injectant le résultat de la question Q19, il vient :

Le liquide étant assimilé à une phase condensée indilatable et incompressible, sa capacité thermique massique à pression constante se confond avec celle à volume constant. La variation d'énergie interne entre l'état initial et l'état final s'écrit donc :

D'après le bilan énergétique établi à la question Q20, on a :

En utilisant l'expression de E_{\mathrm{c}}^{\star} = \frac{1}{4} m R^2 \Omega^2 (question Q16) et celle de \alpha = \frac{1}{8} \frac{R^2\Omega^2}{gh} (question Q19), il vient :

En simplifiant par la masse m, on obtient :

Application numérique :

• R = 4\text{ cm} = 0{,}04\text{ m} ;
• h = 4\text{ cm} = 0{,}04\text{ m} ;
• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \Omega = 6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
• c_p = 4\times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

On calcule le terme correctif \alpha :

Ainsi, 1 + \alpha \simeq 1{,}02 \simeq 1. La variation de température vaut alors :

Commentaire : La hausse de température est extrêmement faible (de l'ordre de quelques microkelvins) et totalement indétectable avec un thermomètre usuel. Cela s'explique par la très forte capacité thermique de l'eau (c_p = 4\times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) mise en regard de l'énergie cinétique massique macroscopique très modeste mise en jeu (\frac{1}{4}R^2\Omega^2 \sim 10^{-2}\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}). L'hypothèse d'une transformation isotherme est donc rigoureusement justifiée.

Considérons le liquide comme système fermé entre :

• l'état initial : rotation en bloc à la vitesse angulaire \Omega,
• l'état final : liquide totalement au repos dans \mathcal{R}_0.

Ces deux états d'équilibre mécanique étant rigoureusement identiques à ceux de la question précédente, la variation d'énergie mécanique \Delta E_{\mathrm{m}} < 0 est strictement la même dans les deux cas.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}_0 :

L'enceinte étant toujours supposée athermane (Q = 0), on a :

Distinguons les deux situations pour le travail mécanique W reçu par le liquide :

• Immobilisation brutale : les parois de la cuve sont immobiles dans \mathcal{R}_0 pour tout t > 0. Les forces surfaciques exercées par la paroi sur le fluide s'appliquent en des points de vitesse nulle dans \mathcal{R}_0, de sorte que la puissance reçue est nulle. Le travail reçu par le fluide est donc nul :

  W_{\text{brutal}} = 0 \implies \Delta U_{\text{brutal}} = -\Delta E_{\mathrm{m}}

  Toute l'énergie mécanique initiale perdue est alors convertie en énergie interne par dissipation visqueuse interne.

• Ralentissement progressif : le récipient est en rotation à une vitesse angulaire \Omega_c(t) > 0 qui décroît jusqu'à zéro. Le liquide tournant plus vite que le récipient en cours de décélération, la paroi exerce sur le liquide un couple résistant de freinage :

  \vec{\Gamma}_{\text{paroi}\to\text{liq}} = \Gamma_z \vec{e}_z \quad \text{avec} \quad \Gamma_z < 0

  La puissance mécanique reçue par le liquide dans \mathcal{R}_0 s'écrit :

  \mathcal{P}_{\text{reçue}} = \vec{\Gamma}_{\text{paroi}\to\text{liq}} \cdot \vec{\Omega}_c(t) = \Gamma_z \Omega_c(t) < 0

  Le travail mécanique reçu par le liquide est donc strictement négatif :

  W_{\text{progressif}} = \int \mathcal{P}_{\text{reçue}}\,\mathrm{d}t < 0

  Le fluide fournit un travail mécanique au récipient (qui le transmet à son système de freinage extérieur).

Il s'ensuit que :

Comme \Delta U = m c_p \Delta T, on en déduit que :

La variation de température du liquide aurait donc été plus faible.

Dans le cas d'une rotation en bloc du fluide à vitesse angulaire uniforme \Omega (mouvement de solide indéformable), le champ de vitesse s'écrit :

Lors d'un tel mouvement, la distance entre deux particules fluides quelconques reste invariante au cours du temps : il n'y a aucune déformation relative du milieu, et par conséquent les forces de frottement visqueux doivent être strictement nulles, soit \tau = 0.

• Si l'on omettait le terme en v/r, la contrainte s'écrirait \tau = \eta \frac{\partial v}{\partial r} = \eta \Omega \neq 0, ce qui prédirait une dissipation visqueuse lors d'un simple mouvement de corps rigide, ce qui est absurde.

• Avec l'expression (9), on constate que :

  \begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial r} - \frac{v}{r} &= \Omega - \frac{\Omega\,r}{r} = 0 \implies \tau = 0 \end{aligned}

La présence du terme -v/r est donc indispensable pour garantir l'absence de contrainte de cisaillement visqueuse lors d'une rotation globale de solide indéformable.

Considérons le domaine annulaire délimité par les rayons r et r+\mathrm{d}r, et les cotes z et z+\mathrm{d}z. Il possède quatre surfaces frontières : deux surfaces horizontales en z et z+\mathrm{d}z, et deux surfaces cylindriques en r et r+\mathrm{d}r.

1. Inventaire des forces agissant sur le domaine annulaire :

• Action à distance : le poids de l'élément de volume,

  \mathrm{d}^2\vec{P} = -\rho\,\mathrm{d}^2V\,g\,\vec{e}_z = -2\pi\rho g r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

• Forces de pression (actions normales) :

  • Sur les bases horizontales : forces dirigées selon \pm\vec{e}_z ;
  • Sur les faces cylindriques intérieure (r) et extérieure (r+\mathrm{d}r) : forces normales dirigées radialement selon \pm\vec{e}_r.

• Forces de viscosité (actions tangentielles de cisaillement) :

  • Sur les surfaces supérieure et inférieure : d'après les hypothèses du sujet, les contraintes de cisaillement de normale \pm\vec{e}_z sont nulles ;
  • Sur la surface cylindrique interne en r : force de cisaillement tangentielle exercée par le fluide intérieur (r' < r), colinéaire à -\vec{e}_\theta ;
  • Sur la surface cylindrique externe en r+\mathrm{d}r : force de cisaillement tangentielle exercée par le fluide extérieur (r' > r+\mathrm{d}r), colinéaire à +\vec{e}_\theta.

2. Identification des composantes de moment selon l'axe (\mathrm{O}z) :

Le moment élémentaire en \mathrm{O} d'une force \vec{F} appliquée en \mathrm{M} = r\vec{e}_r + z\vec{e}_z a pour projection sur l'axe (\mathrm{O}z) :

• Poids et forces de pression verticales : ces forces sont colinéaires à \vec{e}_z, d'où \overrightarrow{\mathrm{OM}} \wedge \vec{e}_z = (r\vec{e}_r + z\vec{e}_z) \wedge \vec{e}_z = -r\,\vec{e}_\theta, qui est orthogonal à \vec{e}_z. Leur moment selon (\mathrm{O}z) est strictement nul.
• Forces de pression radiales : ces forces sont colinéaires à \vec{e}_r et coupent l'axe (\mathrm{O}z). En effet, \overrightarrow{\mathrm{OM}} \wedge \vec{e}_r = (r\vec{e}_r + z\vec{e}_z) \wedge \vec{e}_r = -z\,\vec{e}_\theta, d'où une composante selon (\mathrm{O}z) nulle.

• Forces de cisaillement visqueux : elles sont orthoradiales (selon \vec{e}_\theta). Or :

  \overrightarrow{\mathrm{OM}} \wedge \vec{e}_\theta = (r\vec{e}_r + z\vec{e}_z) \wedge \vec{e}_\theta = r\,\vec{e}_z - z\,\vec{e}_r

  La projection sur \vec{e}_z vaut donc r \neq 0.

1. Moment cinétique du domaine élémentaire :

Le domaine annulaire élémentaire a pour volume \mathrm{d}^2V = 2\pi r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z et pour masse :

Tous les points de cet anneau sont situés à la même distance r de l'axe (\mathrm{O}z) et sont animés de la vitesse orthoradiale \vec{v}(r, t) = v(r, t)\,\vec{e}_\theta.

Le moment cinétique élémentaire en \mathrm{O} d'une particule de masse \mathrm{d}^3m située en \overrightarrow{\mathrm{OM}} = r\vec{e}_r + z\vec{e}_z vaut :

En intégrant sur \theta \in [0, 2\pi], le terme en \vec{e}_r(\theta) s'annule par symétrie. La composante selon l'axe (\mathrm{O}z) du moment cinétique du domaine annulaire s'écrit donc :

soit :

2. Théorème du moment cinétique et équation aux dérivées partielles :

D'après le bilan établi à la question précédente, seules les contraintes de cisaillement agissant sur les parois cylindriques de rayons r et r+\mathrm{d}r créent un moment non nul selon (\mathrm{O}z) :

• En r+\mathrm{d}r : le fluide extérieur (r' > r+\mathrm{d}r) exerce sur le domaine annulaire une contrainte \vec{\tau}(r+\mathrm{d}r, t) = \tau(r+\mathrm{d}r, t)\,\vec{e}_\theta à travers l'aire \mathrm{d}^2S_e = 2\pi(r+\mathrm{d}r)\,\mathrm{d}z. Le moment résultant en \mathrm{O} selon (\mathrm{O}z) est :

  \mathrm{d}\mathcal{M}_{z, e} = (r+\mathrm{d}r) \times \left[\tau(r+\mathrm{d}r, t)\,2\pi(r+\mathrm{d}r)\,\mathrm{d}z\right] = 2\pi (r+\mathrm{d}r)^2 \tau(r+\mathrm{d}r, t)\,\mathrm{d}z

• En r : par la troisième loi de Newton, le fluide intérieur (r' < r) exerce sur le domaine annulaire la force opposée à celle que le domaine exerce sur lui, soit une contrainte -\vec{\tau}(r, t) = -\tau(r, t)\,\vec{e}_\theta à travers l'aire \mathrm{d}^2S_i = 2\pi r\,\mathrm{d}z. Le moment résultant en \mathrm{O} selon (\mathrm{O}z) est :

  \mathrm{d}\mathcal{M}_{z, i} = -2\pi r^2 \tau(r, t)\,\mathrm{d}z

Le moment total selon (\mathrm{O}z) appliqué au système fermé de fluide contenu dans l'anneau vaut ainsi :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué à ce système fermé dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_0, et en tenant compte de la condition admise \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} :

ce qui donne :

En simplifiant par 2\pi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z, on obtient l'équation aux dérivées partielles liant v(r, t) et \tau(r, t) :

D'après la question Q25, le théorème du moment cinétique appliqué au domaine annulaire élémentaire fournit la relation :

En injectant l'expression de la contrainte de cisaillement issue de l'équation (9) :

il vient :

Dérivons cette expression par rapport à r :

En divisant par r^2, on obtient :

Or, d'après l'expression (1) du formulaire, le laplacien scalaire d'une fonction ne dépendant que de r (ici v(r, t) à t fixé) s'écrit :

On en déduit :

En introduisant la viscosité cinématique \nu = \dfrac{\eta}{\rho}, on parvient à l'équation aux dérivées partielles demandée :

1. Condition initiale (t = 0^+) :

Avant l'arrêt (t = 0^-), le liquide est animé d'un mouvement de rotation solide uniforme de vitesse angulaire \Omega, soit un champ de vitesse initial v(r, 0^-) = \Omega r.

Par inertie mécanique, le cœur du fluide ne s'arrête pas instantanément : pour tout point strictement intérieur au cylindre (0 \le r < R), on a :

2. Conditions aux limites spatiales :

• À la paroi latérale (r = R) :
  Le récipient est immobilisé pour tout t > 0. D'après la condition d'adhérence d'un fluide visqueux sur une paroi solide immobile, la vitesse relative du fluide par rapport à la paroi est nulle :

  \boxed{v(R, t) = 0 \quad \forall t > 0}

• Sur l'axe de symétrie (r = 0) :
  Le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta n'étant pas défini de manière univoque en r = 0, la continuité et la régularité du champ de vitesse \vec{v}(0, t) = v(0, t)\vec{e}_\theta au centre imposent que la vitesse s'y annule :

  \boxed{v(0, t) = 0 \quad \forall t \ge 0}

Remarque asymptotique :
Lorsque t \to +\infty, les frottements visqueux dissipent toute l'énergie cinétique du liquide, conduisant à l'arrêt complet :

D'après la relation (11) de l'énoncé, la vorticité \omega(r, t) s'écrit :

En multipliant par r, il vient :

En intégrant cette relation par rapport à la variable radiale muette u entre 0 et r, à l'instant t fixé :

Le membre de gauche s'évalue immédiatement :

D'après la question Q27, la vitesse reste finie sur l'axe et s'annule en u = 0 (v(0, t) = 0). Le terme limite en u=0 est donc nul :

On en déduit :

Soit, pour r > 0 :

D'après la question Q28, le champ de vitesse s'exprime en fonction de la vorticité par :

1. Calcul des dérivées partielles de v(r, t) :

• Dérivée par rapport au temps t : la dérivation sous le signe intégral donne immédiatement :

  \frac{\partial v}{\partial t}(r, t) = \frac{1}{r}\int_0^r u\,\frac{\partial \omega}{\partial t}(u, t)\,\mathrm{d}u

• Dérivée première par rapport à r : la fonction I(r, t) = \int_0^r u\,\omega(u, t)\,\mathrm{d}u a pour dérivée spatiale \frac{\partial I}{\partial r} = r\,\omega(r, t). En appliquant la règle de Leibniz :

  \begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial r}(r, t) &= -\frac{1}{r^2}\int_0^r u\,\omega(u, t)\,\mathrm{d}u + \frac{1}{r}\left[r\,\omega(r, t)\right] \\ &= -\frac{v(r, t)}{r} + \omega(r, t) \end{aligned}

  soit sous forme intégrale :

  \frac{\partial v}{\partial r}(r, t) = \omega(r, t) - \frac{1}{r^2}\int_0^r u\,\omega(u, t)\,\mathrm{d}u

• Dérivée seconde par rapport à r : en dérivant la forme \frac{\partial v}{\partial r} = \omega - \frac{v}{r} par rapport à r :

  \begin{aligned} \frac{\partial^2 v}{\partial r^2}(r, t) &= \frac{\partial \omega}{\partial r}(r, t) - \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r}(r, t) + \frac{v(r, t)}{r^2} \\ &= \frac{\partial \omega}{\partial r}(r, t) - \frac{1}{r}\left(\omega(r, t) - \frac{v(r, t)}{r}\right) + \frac{v(r, t)}{r^2} \\ &= \frac{\partial \omega}{\partial r}(r, t) - \frac{\omega(r, t)}{r} + \frac{2v(r, t)}{r^2} \end{aligned}

  soit sous forme intégrale :

  \frac{\partial^2 v}{\partial r^2}(r, t) = \frac{\partial \omega}{\partial r}(r, t) - \frac{\omega(r, t)}{r} + \frac{2}{r^3}\int_0^r u\,\omega(u, t)\,\mathrm{d}u

2. Équation aux dérivées partielles vérifiée par \omega(r, t) : Le champ de vitesse étant indépendant de \theta et z, le laplacien scalaire s'écrit, conformément au formulaire (1) de l'énoncé :

On calcule alors le terme intervenant dans l'équation (10) :

L'équation de Navier-Stokes projetée sur \vec{e}_\theta (équation (10) établie à la question Q26) s'écrit donc simplement :

En appliquant l'opérateur \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\,\cdot) de part et d'autre :

Puisque l'ordre des dérivations spatiale et temporelle peut être interverti (théorème de Schwarz) :

De plus, la vorticité \omega ne dépendant ni de \theta ni de z, le laplacien de \omega est donné par le formulaire (1) :

On en déduit finalement :

1. Propriétés de l'équation (12) et phénomène décrit

L'équation vérifiée par la vorticité \omega(r, t) :

présente les propriétés remarquables suivantes :

• Linéarité : elle est linéaire et homogène, ce qui permet l'application du principe de superposition.
• Ordres de dérivation : elle est du premier ordre par rapport au temps t et du second ordre par rapport aux coordonnées d'espace.
• Irréversibilité : la dissymétrie entre l'ordre 1 en temps et l'ordre 2 en espace brise l'invariance par renversement du temps (t \to -t) ; il s'agit d'une équation décrivant un phénomène dissipatif.

Cette équation décrit un phénomène de diffusion moléculaire de la vorticité (ou diffusion visqueuse de la quantité de mouvement), gouverné par la viscosité cinématique \nu qui joue le rôle de coefficient de diffusion. Elle rend compte de l'atténuation et de l'étalement spatial de la rotation du fluide vers les parois immobiles sous l'effet des frottements visqueux.

2. Analogie avec un autre domaine de la physique

Cette équation est formellement identique à :

• l'équation de la chaleur régissant le champ de température T en conduction thermique pure (loi de Fourier) :

  \frac{\partial T}{\partial t} = D_{\mathrm{th}} \Delta T \quad \text{avec } D_{\mathrm{th}} = \frac{\lambda}{\rho c}

• ou encore l'équation de diffusion de matière (première et deuxième lois de Fick) :

  \frac{\partial c}{\partial t} = D \Delta c

La situation étudiée est ainsi directement analogue au refroidissement d'un cylindre solide initialement à température uniforme, dont la paroi latérale extérieure serait brutalement maintenue à température nulle.

3. Définition du flux surfacique de vorticité

En exprimant l'équation de diffusion sous la forme d'un bilan local de conservation de la vorticité :

et en constatant que \Delta \omega = \mathrm{div}(\vec{\nabla}\omega), on identifie le vecteur densité de flux de vorticité :

Le champ \omega ne dépendant que de r et t, le gradient s'écrit \vec{\nabla}\omega = \frac{\partial \omega}{\partial r}\vec{e}_r, de sorte que \vec{j}_\omega = \varphi_\omega(r, t)\,\vec{e}_r.

Le flux surfacique algébrique de vorticité à travers une surface cylindrique d'axe (Oz) orientée vers l'extérieur par \vec{e}_r est donc :

Vérification dimensionnelle :

d'où :

ce qui correspond bien à la dimension imposée par l'énoncé.

1. Solution stationnaire générale de l'équation de diffusion de la vorticité

En régime stationnaire, la dérivée temporelle de la vorticité s'annule : \dfrac{\partial \omega}{\partial t} = 0. L'équation (12) se réduit à l'équation de Laplace :

Compte tenu des invariances (symétrie de révolution selon \theta et indépendance en z d'après l'hypothèse \mathcal{H}_v), le laplacien scalaire donné par l'équation (1) de l'énoncé s'écrit :

Pour r > 0, cela conduit par intégrations successives à :

où C_1 est une constante réelle. On en déduit la forme générale de la solution stationnaire :

2. Solution à retenir dans le cadre de notre étude

Le domaine occupé par le liquide comprend l'axe de rotation r = 0. Or, le terme en \ln(r/R) diverge quand r \to 0. Pour des raisons de régularité physique, le champ de vorticité doit rester borné sur l'axe :

La vorticité stationnaire est donc spatialement uniforme :

3. Expression de la vitesse v(r) associée

En utilisant la relation intégrale établie à la question Q28 :

Il vient ainsi :

4. Situations physiques décrites

Le champ de vitesse associé est de la forme v(r) = \Omega^* r avec \Omega^* = \dfrac{\omega_0}{2}, ce qui correspond au profil de vitesse d'une rotation solide (ou rotation en bloc) à la vitesse angulaire constante \Omega^*. Cette solution stationnaire peut décrire :

• L'état initial (t < 0) : le liquide tourne en bloc avec le récipient à la vitesse angulaire \Omega, soit \Omega^* = \Omega. On a alors \omega_0 = 2\Omega et v(r) = \Omega r.
• L'état final (t \to \infty) : le récipient étant immobilisé, la condition d'adhérence à la paroi latérale v(R) = 0 impose \Omega^* = 0, soit \omega_0 = 0 et v(r) = 0. Cela décrit l'arrêt total du liquide au repos.

5. Commentaire

Pour un champ de vitesse linéaire v(r) = \Omega^* r, la contrainte de cisaillement visqueux s'annule identiquement :

Il n'y a donc aucun frottement visqueux interne ni dissipation d'énergie : la rotation solide et le repos complet sont les seuls régimes stationnaires possibles d'un fluide newtonien occupant un cylindre plein. Tout autre profil de vitesse induit un cisaillement qui se dissipe au cours du temps par diffusion visqueuse.

1. Profil radial de vitesse v(r, t)

Pour t = 0^-, le profil est rectiligne :

Pour t > 0, la condition aux limites à la paroi v(R, t) = 0 s'applique immédiatement. Une couche limite d'épaisseur caractéristique \delta(t) \sim \sqrt{\nu t} pénètre dans le fluide depuis la paroi r = R. Aux temps courts (t_1), le cœ ur du fluide conserve une rotation quasi-solide (v \approx \Omega r), puis pour t_2 et t_3, la diffusion de la quantité de mouvement ralentit l'ensemble du volume jusqu'à l'arrêt total (v \to 0 quand t \to \infty).

2. Profil radial de vorticité \omega(r, t) et sens du flux \varphi_\omega

À t = 0^-, le liquide étant en bloc :

Pour t > 0, la paroi freine le fluide, ce qui induit une perte de vorticité en périphérie. Le gradient spatial de vorticité est négatif (\frac{\partial \omega}{\partial r} \le 0) et la tangente en r = 0 est horizontale par parité/symétrie axiale. Le vecteur densité de flux de vorticité s'écrit :

Puisque \frac{\partial \omega}{\partial r} < 0, la composante algébrique est positive : \varphi_\omega > 0. Le flux surfacique de vorticité est donc dirigé vers l'extérieur (du cœ ur du fluide vers la paroi).

Considérons le liquide contenu dans le récipient, occupant un volume caractéristique V \approx \pi R^2 h. Dans le cadre du modèle simplifié proposé, la quantité globale de vorticité Q_\omega(t) s'écrit :

Pendant la durée \mathrm{d}t, la variation de cette quantité de vorticité est due au flux surfacique sortant à travers la frontière du domaine. Les hypothèses de l'énoncé précisent qu'aucune contrainte de cisaillement n'agit sur les surfaces d'altitudes extrêmes (normale \pm \vec{e}_z) ; la diffusion s'effectue donc uniquement à travers la surface latérale du cylindre, d'aire S_{\mathrm{lat}} = 2\pi R h.

Le bilan global de quantité de vorticité s'écrit ainsi :

où \varphi_\omega(R, t) est la composante radiale du flux surfacique de vorticité défini à la question Q30 :

Dans ce modèle très simple à une seule dimension spatiale, le gradient radial à la paroi peut être approché par l'écart caractéristique de vorticité entre la paroi (où le fluide est immobilisé, \omega(R, t) \approx 0) et le centre (\omega(0, t) = \omega_0(t)), sur la distance caractéristique R :

Il vient alors :

En injectant cette relation dans le bilan global :

Soit, en simplifiant par \pi h :

On obtient l'équation différentielle régissant l'évolution de la vorticité :

avec pour temps caractéristique d'immobilisation :

1. Estimation du temps caractéristique \tau

La viscosité cinématique de l'eau vaut :

Avec le rayon du cylindre R = 4\text{ cm} = 4 \times 10^{-2}\text{ m}, le temps caractéristique de diffusion visqueuse radiale déterminé à la question Q33 s'évalue selon :

(ou \tau \sim R^2/\nu = 1600\text{ s} \approx 27\text{ min} en ordre de grandeur dimensionnel).

2. Explications de l'écart avec la valeur expérimentale \tau_{\exp} \sim 1\text{ min}

Le modèle de diffusion purement radiale surestime considérablement la durée de ralentissement : le fluide s'arrête en réalité beaucoup plus rapidement (\tau_{\exp} \ll \tau). Cet écart s'explique par les hypothèses simplificatrices de \mathcal{H}_v (détaillées à la question Q14) :

• Absence de dépendance en z et omission du frottement au fond : le modèle néglige les contraintes de cisaillement sur les surfaces horizontales de normale \pm\vec{e}_z. Or, le fond du récipient est immobile en z = 0, imposant par adhérence \vec{v}(r, \theta, z=0, t) = \vec{0}. Le gradient vertical de vitesse \partial v/\partial z dissipe une part majeure de l'énergie cinétique.

• Écoulement purement orthoradial (v_r = 0, v_z = 0) : à l'arrêt brutal des parois, le gradient de pression radial dans le fluide entraîne le liquide du fond vers le centre car la vitesse orthoradiale y est fortement ralentie (la force centrifuge ne compense plus le gradient de pression). Cela crée un écoulement secondaire méridien (circulation d'Ekman) qui pompe le fluide du cœur vers la couche limite visqueuse du fond. Ce phénomène classique de « spin-down » conduit à un temps caractéristique de freinage :

  \tau_{\text{Ekman}} \sim \frac{h}{\sqrt{\nu \Omega}} \sim \frac{0{,}04}{\sqrt{10^{-6} \times 2\pi}} \sim 16\text{ s} \sim 1\text{ min}

  qui correspond parfaitement à la valeur observée expérimentalement.

• Régime d'écoulement initial : le nombre de Reynolds basé sur l'échelle globale vaut \mathrm{Re} = \frac{\Omega R^2}{\nu} \sim \frac{2\pi \times 16 \times 10^{-4}}{10^{-6}} \sim 10^4. L'écoulement initialement cisaillé peut être turbulent, ce qui augmente le transport effectif de quantité de mouvement par rapport à la seule viscosité moléculaire laminaire.