Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2021 (page 2/3 : Partie II)

Le problème présente les caractéristiques de symétrie et d'invariance suivantes :

• la source thermique est une sphère de centre O dont la température est spatialement uniforme à chaque instant, égale à T_s(t) ;
• le milieu extérieur (le gel) est supposé infini, homogène et isotrope ;
• la condition aux limites au contact de la sphère, T(a^+, t) = T_s(t), ainsi que celle à l'infini, T(r \to \infty, t) = T_0, sont indépendantes des coordonnées angulaires ;
• l'état initial est spatialement uniforme : T(M, 0) = T_0.

Le système matériel et l'ensemble des conditions aux limites et initiales sont donc invariants par toute rotation autour du centre O de la nanosphère.

D'après le principe de Curie, les effets possèdent au moins les symétries des causes. Par conséquent, en coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) d'origine O, le champ de température ne dépend pas des variables angulaires \theta et \varphi :

La température en un point du milieu ne dépend spatialement que de la distance r = OM.

Considérons comme système la portion de gel (milieu sans source interne de chaleur pour r > a) délimitée par une coquille sphérique comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r. Le volume de cette coquille est :

Le gel étant une phase condensée indéformable et incompressible, le travail des forces de pression est nul (\delta W = 0). Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système entre les instants t et t + \mathrm{d}t donne :

La variation d'énergie interne s'exprime au premier ordre en \mathrm{d}t par :

D'après la loi de Fourier et la dépendance radiale du champ de température établie à la question précédente, le vecteur densité de courant thermique s'écrit :

Le flux thermique traversant une sphère de rayon r orientée vers l'extérieur (dans le sens de \vec{e}_r) est :

Le transfert thermique net reçu par la coquille entre t et t + \mathrm{d}t s'obtient en faisant le bilan du flux entrant en r et sortant en r + \mathrm{d}r :

En égalant \mathrm{d}U et \delta Q :

En divisant de part et d'autre par 4\pi r^2 \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}t, on obtient l'équation aux dérivées partielles régissant la diffusion thermique dans le milieu :

En régime stationnaire, la température T(r) est indépendante du temps (\partial T / \partial t = 0). L'équation de diffusion thermique obtenue à la question Q14 se simplifie alors sous la forme :

Une double intégration par rapport à r conduit à :

où A et B sont deux constantes réelles déterminées par les conditions aux limites :

• Le milieu est infini et initialement à la température T_0, d'où à grande distance :

  \lim_{r \to +\infty} T(r) = T_0 \implies A = T_0

• Le contact thermique est parfait en surface de la sphère de rayon a (énoncé), ce qui impose la continuité de la température :

  T(a) = T_s \implies T_0 + \frac{B}{a} = T_s \implies B = a(T_s - T_0)

En réinjectant ces constantes dans l'expression générale, on obtient le profil spatial de température dans le gel (r \geqslant a) :

D'après la question Q15, la température dans le milieu en régime stationnaire s'écrit, en posant \delta T_s = T_s - T_0 :

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité volumique de courant thermique dans le milieu est donné par :

En dérivant l'expression de T(r) par rapport à r :

La puissance thermique P_{\mathrm{sph}\to\mathrm{milieu}} fournie par la nanosphère au gel correspond au flux sortant de \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} à travers la surface de la sphère de rayon a, orientée par la normale unitaire extérieure \vec{n}_{\mathrm{ext}} = \vec{e}_r :

On en déduit l'expression demandée :

Considérons comme système fermé la nanosphère d'or de rayon a, de volume V = \dfrac{4}{3}\pi a^3. Sa température T_s(t) étant spatialement uniforme, la variation de son énergie interne entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

puisque \delta T_s(t) = T_s(t) - T_0 avec T_0 constant, d'où \mathrm{d}T_s = \mathrm{d}(\delta T_s).

Le bilan énergétique pour la nanosphère entre t et t+\mathrm{d}t traduit les échanges d'énergie avec l'extérieur (absorption du faisceau laser et conduction vers le milieu) :

En utilisant l'expression admise pour le régime variable (d'après la question Q16) :

il vient :

En regroupant les termes en \delta T_s(t) et en divisant l'ensemble de l'équation par 4\pi a \kappa, on obtient :

Cette équation est bien de la forme attendue :

avec :

Vérification de la dimension de \tau :

• [a] = \mathrm{L} ;
• [C_{\mathrm{Au}}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2}\cdot\Theta^{-1} (car une capacité thermique volumique s'exprime en \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-3}) ;
• [\kappa] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\Theta^{-1} (car une conductivité s'exprime en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} = \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}).

Par quotient :

La constante \tau est donc bien homogène à un temps.

D'après la question Q17, l'élévation de température \delta T_s(t) obéit à l'équation différentielle :

Calculons numériquement la constante de temps \tau avec a = 10\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-8}\text{ m}, C_{\mathrm{Au}} = 2{,}5 \times 10^6\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-3} et \kappa = 0{,}6\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

La pulsation de modulation vaut \Omega = 2\pi \times 700\text{ kHz} \simeq 4{,}4 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. Le terme adimensionnel \Omega\tau s'élève à :

Par linéarité, la solution en régime forcé établi est la somme d'une composante continue et d'une composante sinusoïdale de pulsation \Omega :

Puisque \Omega\tau \ll 1, on a :

ce qui équivaut à négliger le terme dérivé \tau \frac{\mathrm{d}(\delta T_s)}{\mathrm{d}t} devant \delta T_s(t) dans l'équation différentielle.

Par suite, \delta T_s(t) \simeq \frac{P_0}{4\pi\kappa a}(1 + \cos(\Omega t)). Sachant que T_s(t) = T_0 + \delta T_s(t), on obtient bien :

D'après le résultat de la question Q18, l'élévation instantanée de la température de surface de la nanosphère s'écrit :

La valeur moyenne temporelle d'un terme sinusoïdal sur une période étant nulle (\langle \cos(\Omega t) \rangle = 0), l'élévation moyenne de température s'obtient directement par :

Application numérique : Avec les grandeurs fournies :

• P_0 = 0{,}375\text{ }\mu\text{W} = 3{,}75 \times 10^{-7}\text{ W} ;
• \kappa = 0{,}6\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• a = 10\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-8}\text{ m}.

On obtient :

La solution de l'équation de la diffusion pour la température dans le gel fait apparaître un terme modulé spatialement et temporellement :

avec

où D = \kappa / C_g désigne la diffusivité thermique du gel.

• Interprétation physique : La constante r_{\mathrm{th}} représente la longueur de diffusion thermique (ou épaisseur de peau thermique) de l'onde thermique oscillante à la pulsation \Omega. Elle caractérise la distance à partir de la surface (r - a) sur laquelle l'amplitude des oscillations temporelles de température est divisée par \mathrm{e}. Pour des distances r - a \gg r_{\mathrm{th}}, les oscillations de température sont totalement amorties et le milieu n'est sensible qu'au champ moyen stationnaire.

• Autre domaine de la physique : On retrouve une équation de diffusion rigoureusement identique et une solution de même forme en électromagnétisme dans les conducteurs ohmiques : il s'agit de l'effet de peau (ou effet Kelvin), où le champ électromagnétique pénètre dans le métal sur une profondeur caractéristique

  \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}

  (avec \gamma la conductivité électrique et \omega la pulsation de l'onde).

Le contact thermique entre la nanosphère et le gel étant supposé parfait, la température est continue à l'interface r = a :

En évaluant en r = a l'expression admise de la température dans le gel, on obtient :

Or, d'après le résultat de la question Q18, la température de surface de la sphère s'écrit :

Par identification directe pour tout instant t, il vient :

Soit finalement :

D'après l'expression fournie pour T(r, t) et le résultat de la question Q21 (\alpha = a\,\overline{\delta T_s}), l'élévation locale de température s'écrit :

La moyenne temporelle sur une période du terme en cosinus étant nulle (\langle \cos(\Omega t - \varphi) \rangle_t = 0), l'élévation moyenne temporelle en tout point ne dépend que de r :

Calculons à présent la moyenne spatiale de cette grandeur sur le volume V du gel contenu dans la sphère de rayon r_{\mathrm{th}}, soit pour a \leqslant r \leqslant r_{\mathrm{th}} :

L'intégrale sur ce volume vaut :

L'élévation moyenne \overline{\delta T} est donc donnée par :

Sachant que d'après la question Q19, \overline{\delta T_s} = \frac{\alpha}{a}, il vient :

Application numérique :

• Pulsation de modulation : \Omega = 2\pi \times 700\times 10^3 = 4{,}40\times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.

• Longueur de diffusion thermique :

  r_{\mathrm{th}} = \sqrt{\frac{2\kappa}{\Omega C_g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}6}{4{,}40\times 10^6 \times 4{,}2\times 10^6}} \simeq 2{,}55\times 10^{-7}\text{ m} = 255\text{ nm}

  On vérifie bien que a = 10\text{ nm} \ll r_{\mathrm{th}} = 255\text{ nm} (a/r_{\mathrm{th}} \simeq 0{,}039).

• Élévation moyenne de température :

  \overline{\delta T} = \frac{3}{2} \times \frac{10\times 10^{-9}}{2{,}55\times 10^{-7}} \times 4{,}97\text{ K} \simeq 0{,}29\text{ K}

L'élévation de température locale du gel entraîne, par effet thermo-optique, une variation locale de son indice de réfraction :

Pour de l'eau, \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}T} \approx -10^{-4}\text{ K}^{-1}, de sorte que pour \overline{\delta T} \approx 0{,}3\text{ K} (établi à la question Q22), la variation d'indice est extrêmement faible : |\Delta n| \sim 3 \times 10^{-5}.

Plusieurs techniques optiques permettent de mettre en évidence de si faibles variations :

1. La méthode de la lentille thermique / microscopie photothermique (technique de référence) :

• On superpose au faisceau laser de pompe (qui chauffe la particule à la pulsation \Omega) un second faisceau laser continu, dit faisceau sonde, dont la longueur d'onde n'est pas absorbée par la nanoparticule.
• Le gradient radial d'indice \frac{\partial n}{\partial r} autour de la particule se comporte comme une microlentille divergente (car \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}T} < 0). Cette « lentille thermique » défocalise et diffuse le faisceau sonde.
• La puissance transmise par le faisceau sonde à travers un diaphragme (ou collectée sur un photodétecteur) présente ainsi une composante modulée à la pulsation \Omega.

2. L'interférométrie optique (type Mach-Zehnder) :

• Un faisceau sonde est séparé en deux voies : le faisceau de mesure traverse la zone échauffée et subit un déphasage \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\int \Delta n\,\mathrm{d}z, tandis que le faisceau de référence n'est pas perturbé.
• La recombinaison des deux faisceaux transforme la modulation de phase en modulation d'intensité lumineuse détectable.

Rôle clé de la détection synchrone : Dans les deux dispositifs, la modulation de l'échauffement à haute fréquence (\frac{\Omega}{2\pi} = 700\text{ kHz}) permet d'effectuer une détection synchrone (amplificateur à détection synchrone, ou lock-in) à la fréquence de référence \frac{\Omega}{2\pi}. Ce filtrage passe-bande extrêmement étroit élimine les bruits basse fréquence (bruit en 1/f, dérives thermiques ambiantes) et permet d'atteindre la sensibilité requise pour détecter la nanoparticule unique.