Feuille d'entraînement : Ondes électromagnétiques dans les milieux

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique MP 2026, Q32

   On applique la deuxième loi de Newton à l'électron dans le référentiel lié au noyau atomique fixe (Q24), supposé galiléen :

   • Système : électron de masse m, de charge q_e = -e, de vecteur position \vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}.

   • Bilan des forces :

     • force de rappel élastique modélisant l'attraction du nuage de charges positives : \vec{f}_r = -\kappa \vec{r} ;
     • force d'amortissement fluide : \vec{f}_f = -\alpha \vec{v} = -\alpha \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} ;
     • force de Lorentz exercée par l'onde électromagnétique : \vec{f}_{em} = -e(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) \simeq -e \vec{E}(t), où la composante magnétique est négligée (Q30) et où le champ électrique est uniforme à l'échelle de l'atome (approximation dipolaire électrique, Q31) ;
     • le poids est totalement négligeable devant les forces électrostatiques.

   Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = \vec{f}_r + \vec{f}_f + \vec{f}_{em} = -\kappa \vec{r} - \alpha \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} - e\vec{E}(t)

   En réorganisant les termes, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\alpha}{m}\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} + \frac{\kappa}{m}\vec{r} = -\frac{e}{m}\vec{E}(t)}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\vec{r}}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{\alpha }{m}\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}+\frac{\kappa }{m}\vec{r}=-\frac{e}{m}\vec{E}(t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique-SI MP 2026, Q1

   a - Équation du mouvement générale

   On étudie une particule chargée du plasma (charge q, masse m, position \vec{r}, vitesse \vec{v}) dans le référentiel d'étude supposé galiléen. Le plasma étant peu dense, les collisions entre particules sont négligées. Le poids de la particule est totalement négligeable devant les forces électromagnétiques, et le champ magnétique terrestre est négligé conformément à l'énoncé.

   La particule n'est donc soumise qu'à la force de Lorentz exercée par l'onde incidente :

   \vec{F} = q\left( \vec{E}(\vec{r},t) + \vec{v} \wedge \vec{B}(\vec{r},t) \right)

   D'après le principe fondamental de la dynamique :

   \boxed{m\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = q\left( \vec{E}(\vec{r},t) + \vec{v} \wedge \vec{B}(\vec{r},t) \right)}

   b - Forme simplifiée non relativiste

   Pour une onde électromagnétique se propageant dans le milieu, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par l'ordre de grandeur issu de la structure d'onde plane :

   B \sim \frac{E}{c}

   où c désigne la célérité de la lumière dans le vide.

   Comparons les ordres de grandeur de la force magnétique et de la force électrique :

   \frac{\|\vec{v} \wedge \vec{B}\|}{\|\vec{E}\|} \le \frac{v\,B}{E} \sim \frac{v}{c}

   L'hypothèse de particules non relativistes se traduit par v \ll c, ce qui implique :

   \|\vec{v} \wedge \vec{B}\| \ll \|\vec{E}\|

   La composante magnétique de la force de Lorentz est donc négligeable devant la composante électrique. De plus, à l'approximation des petits déplacements (l'amplitude d'oscillation de la particule étant très inférieure à la longueur d'onde de l'onde incidente), le champ électrique peut être évalué à la position moyenne \vec{r}_0 de la particule. L'équation du mouvement se simplifie ainsi en :

   \boxed{m\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \simeq q\,\vec{E}(\vec{r}_0,t)}

   Résultat

   $$m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=q\left(\vec{E}(\vec{r},t)+\vec{v}\wedge \vec{B}(\vec{r},t)\right)$$

   $$m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\simeq q\vec{E}({\vec{r}}_0,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique-SI MP 2026, Q2

   a - Négligence de la contribution des ions au courant électrique

   D'après l'équation simplifiée du mouvement établie à la question 1, une particule de masse m et de charge q est soumise à la seule force électrique :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \simeq q \vec{E}(\vec{r},t)

   En notation complexe avec la convention \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, la dérivation temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow -\mathrm{i}\omega, ce qui conduit pour les vitesses complexes à :

   -\mathrm{i}\omega m \underline{\vec{v}} = q \underline{\vec{E}} \implies \underline{\vec{v}} = \frac{\mathrm{i} q}{m\omega} \underline{\vec{E}}

   La densité volumique de courant totale est la somme des contributions électronique et ionique :

   \underline{\vec{j}} = \underline{\vec{j}}_e + \underline{\vec{j}}_i = -e n_e \underline{\vec{v}}_e + q_i n_i \underline{\vec{v}}_i

   Comme le plasma est quasi-neutre (n_i = n_e) et que les ions portent une charge q_i = +e, comparons les amplitudes des densités de courant :

   \frac{\|\underline{\vec{j}}_i\|}{\|\underline{\vec{j}}_e\|} = \frac{\|\underline{\vec{v}}_i\|}{\|\underline{\vec{v}}_e\|} = \frac{m_e}{m_i} \le \frac{m_e}{m_p}

   À l'aide des valeurs numériques fournies :

   \frac{m_e}{m_p} = \frac{9{,}1 \times 10^{-31}}{1{,}6 \times 10^{-27}} \simeq 5{,}7 \times 10^{-4} \ll 1

   En raison de leur inertie beaucoup plus grande que celle des électrons (m_i \ge m_p \approx 1800\,m_e), les ions ne peuvent pas suivre l'oscillation à haute fréquence du champ électrique. On peut donc négliger leur mouvement devant celui des électrons :

   \underline{\vec{j}} \simeq \underline{\vec{j}}_e = -e n_e \underline{\vec{v}}_e

   b - Expression de la conductivité complexe \underline{\sigma}

   La vitesse complexe des électrons s'écrit, avec q = -e et m = m_e :

   -\mathrm{i}\omega m_e \underline{\vec{v}}_e = -e \underline{\vec{E}} \implies \underline{\vec{v}}_e = -\mathrm{i} \frac{e}{m_e \omega} \underline{\vec{E}}

   En reportant dans l'expression de la densité volumique de courant électronique, on obtient :

   \underline{\vec{j}} = -e n_e \underline{\vec{v}}_e = \mathrm{i} \frac{n_e e^2}{m_e \omega} \underline{\vec{E}}

   Par identification avec la loi d'Ohm locale en régime harmonique \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma} \underline{\vec{E}}, on en déduit l'expression de la conductivité complexe :

   \boxed{\underline{\sigma} = \mathrm{i} \frac{n_e e^2}{m_e \omega}}

   Résultat

   $$\underline{\sigma }=\mathrm{i}\frac{n_e{e}^2}{m_e\omega }$$

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4. Exercice 4X-ENS Physique-SI MP 2026, Q3

   a - Établissement de la relation de dispersion

   Dans le plasma globalement neutre, la densité volumique de charge macroscopique moyenne est nulle : \rho = 0. Ainsi, d'après l'équation de Maxwell-Gauss, le champ électrique vérifie \mathrm{div}\,\vec{E} = 0. En notation complexe pour une onde plane progressive harmonique :

   \vec{\nabla}\cdot \underline{\vec{E}} = \mathrm{i}\vec{k}\cdot\underline{\vec{E}} = 0

   L'onde est donc transverse (\vec{k} \cdot \underline{\vec{E}} = 0).

   Les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en régime harmonique s'écrivent :

   \begin{aligned} \vec{\nabla} \wedge \underline{\vec{E}} &= -\frac{\partial \underline{\vec{B}}}{\partial t} = \mathrm{i}\omega \underline{\vec{B}} \\ \vec{\nabla} \wedge \underline{\vec{B}} &= \mu_0 \underline{\vec{j}} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \underline{\vec{E}}}{\partial t} = \mu_0 \underline{\sigma}\underline{\vec{E}} - \mathrm{i}\omega \mu_0\varepsilon_0 \underline{\vec{E}} \end{aligned}

   En appliquant l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\underline{\vec{E}}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\underline{\vec{E}}) - \Delta\underline{\vec{E}} = -\Delta\underline{\vec{E}} :

   -\Delta \underline{\vec{E}} = \mathrm{i}\omega \left(\vec{\nabla}\wedge\underline{\vec{B}}\right) = \mathrm{i}\omega \mu_0 \underline{\sigma}\underline{\vec{E}} + \frac{\omega^2}{c^2}\underline{\vec{E}}

   où c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}. Avec -\Delta\underline{\vec{E}} = k^2\underline{\vec{E}} et l'expression de la conductivité complexe obtenue à la question 2, \underline{\sigma} = \mathrm{i}\frac{n_e e^2}{m_e \omega} :

   \mathrm{i}\omega\mu_0\underline{\sigma} = \mathrm{i}\omega\mu_0 \left(\mathrm{i}\frac{n_e e^2}{m_e\omega}\right) = -\frac{\mu_0 n_e e^2}{m_e} = -\frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e c^2}

   On en déduit :

   k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e c^2}

   Cette relation met en évidence une pulsation caractéristique, appelée pulsation plasma :

   \boxed{\omega_p = \sqrt{\frac{n_e e^2}{m_e \varepsilon_0}}}

   La relation de dispersion s'écrit alors :

   \boxed{k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} \quad \Longleftrightarrow \quad \omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2}

   b - Ordre de grandeur de la fréquence plasma f_p

   La fréquence plasma associée est f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{n_e e^2}{m_e \varepsilon_0}}. Avec les valeurs numériques fournies :

   \begin{aligned} m_e \varepsilon_0 &= 9{,}1 \times 10^{-31} \times 8{,}8 \times 10^{-12} \simeq 8{,}0 \times 10^{-42}\text{ kg}\cdot\text{F}\cdot\text{m}^{-1} \\ \omega_p^2 &= \frac{10^{12} \times (1{,}6 \times 10^{-19})^2}{8{,}0 \times 10^{-42}} = \frac{2{,}56 \times 10^{-26}}{8{,}0 \times 10^{-42}} = 3{,}2 \times 10^{15}\text{ s}^{-2} \\ \omega_p &= \sqrt{3{,}2 \times 10^{15}} \simeq 5{,}7 \times 10^7\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   D'où la fréquence :

   f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} \simeq \frac{5{,}7 \times 10^7}{2\pi} \simeq 9 \times 10^6\text{ Hz}

   Sous forme d'ordre de grandeur (un seul chiffre significatif) :

   \boxed{f_p \sim 10\text{ MHz} \quad (10^7\text{ Hz})}

   c - Interprétation physique de la fréquence plasma

   • Fréquence d'oscillation collective : \omega_p représente la pulsation propre d'oscillation collective du gaz d'électrons par rapport au fond neutralisant d'ions fixes (oscillations de Langmuir). Si une tranche d'électrons est déplacée d'une distance \delta x, il apparaît une densité superficielle de charge créant un champ électrostatique de rappel E = \frac{n_e e \delta x}{\varepsilon_0}, d'où une force de rappel F = - \frac{n_e e^2}{\varepsilon_0}\delta x, conduisant à l'équation harmonique d'oscillateur de pulsation \omega_p = \sqrt{\frac{n_e e^2}{m_e\varepsilon_0}}.

   • Fréquence de coupure dynamique : Elle délimite deux régimes d'inertie :

     • Pour \omega < \omega_p, la période de l'onde est plus longue que le temps de réponse des électrons : ceux-ci ont le temps de se déplacer pour écranter le champ électrique (effet miroir/comportement conducteur).
     • Pour \omega > \omega_p, l'inertie des électrons les empêche de suivre les variations rapides du champ : le milieu ne peut plus écranter l'onde et devient transparent (comportement diélectrique).

   d - Implications en matière de transmission d'ondes électromagnétiques

   • Pour f < f_p (\omega < \omega_p) : k^2 < 0, donc le nombre d'onde k = \pm \mathrm{i}\alpha est imaginaire pur. L'onde ne peut pas se propager : elle est évanescente dans l'ionosphère et subit une réflexion totale. Ce phénomène est mis à profit pour les radiocommunications terrestres à longue portée en ondes décamétriques (ondes courtes, HF), qui contournent la courbure terrestre par rebonds successifs entre le sol et l'ionosphère, mais il interdit toute communication vers l'espace à ces fréquences.
   • Pour f > f_p (\omega > \omega_p) : k est réel, l'onde se propage à travers l'ionosphère. C'est la condition indispensable pour communiquer entre la Terre et des satellites en orbite ou interplanétaires.

   Résultat

   $${\omega }_p=\sqrt{\frac{n_e{e}^2}{m_e{\epsilon }_0}}$$

   $$k^2=\frac{{\omega }^2-{\omega }_p^2}{c^2}⟺{\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2$$

   $$f_p\sim 10\text{ MHz}(10^7\text{ Hz})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique MP 2025, Q22

   On étudie le mouvement d'une particule chargée dans le référentiel lié au satellite, considéré comme galiléen. D'après le résultat de la question Q21, la composante magnétique de la force de Lorentz est négligeable devant la composante électrique. De plus, le poids est totalement négligeable devant l'action du champ électrique de l'onde, et l'agitation thermique est écartée par hypothèse.

   Mouvement d'un électron : L'électron, de masse m_e et de charge q_e = -e, est soumis à la seule force électrique :

   \vec{F}_e = -e \vec{E}(M,t)

   Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

   m_e \frac{\mathrm{d}\vec{v}_e}{\mathrm{d}t} = -e \vec{E}(M,t)

   En adoptant la représentation complexe associée à l'évolution temporelle harmonique en e^{i\omega t}, la dérivation temporelle se traduit par une multiplication par i\omega :

   i m_e \omega \, \underline{\vec{v}}_e = -e \, \underline{\vec{E}}(M,t)

   On en déduit l'expression de la vitesse complexe de l'électron :

   \boxed{\underline{\vec{v}}_e = -\frac{e}{i m_e \omega}\,\underline{\vec{E}}(M,t) = \frac{ie}{m_e \omega}\,\underline{\vec{E}}(M,t)}

   Mouvement d'un cation : Le cation, de masse m_c et de charge q_c = +e, est soumis à la force électrique :

   \vec{F}_c = +e \vec{E}(M,t)

   Le principe fondamental de la dynamique s'écrit de même :

   m_c \frac{\mathrm{d}\vec{v}_c}{\mathrm{d}t} = +e \vec{E}(M,t)

   En notation complexe :

   i m_c \omega \, \underline{\vec{v}}_c = +e \, \underline{\vec{E}}(M,t)

   D'où l'expression de la vitesse complexe du cation :

   \boxed{\underline{\vec{v}}_c = \frac{e}{i m_c \omega}\,\underline{\vec{E}}(M,t) = -\frac{ie}{m_c \omega}\,\underline{\vec{E}}(M,t)}

   Résultat

   $${\underline{\vec{v}}}_e=-\frac{e}{i{m}_e\omega }\underline{\vec{E}}(M,t)=\frac{ie}{m_e\omega }\underline{\vec{E}}(M,t)$$

   $${\underline{\vec{v}}}_c=\frac{e}{i{m}_c\omega }\underline{\vec{E}}(M,t)=-\frac{ie}{m_c\omega }\underline{\vec{E}}(M,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique MP 2025, Q23

   Le milieu contient n électrons de charge -e et n cations de charge +e par unité de volume. Le vecteur densité volumique de courant s'écrit donc :

   \vec{j} = n(-e)\vec{v}_e + n(+e)\vec{v}_c

   En notation complexe, à la pulsation \omega :

   \underline{\vec{j}} = -ne\,\underline{\vec{v}}_e + ne\,\underline{\vec{v}}_c

   En injectant les expressions des vitesses complexes établies à la question Q22 :

   \begin{aligned} \underline{\vec{j}} &= -ne\left(\frac{ie}{m_e\omega}\underline{\vec{E}}\right) + ne\left(-\frac{ie}{m_c\omega}\underline{\vec{E}}\right) \\ &= -i\frac{ne^2}{\omega}\left(\frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_c}\right)\underline{\vec{E}} \end{aligned}

   Comme la masse des cations est très supérieure à celle des électrons (m_c \gg m_e), on a \frac{1}{m_c} \ll \frac{1}{m_e}, d'où :

   \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_c} \simeq \frac{1}{m_e}

   Le courant volumique est donc quasi exclusivement porté par les électrons, plus légers et plus mobiles :

   \underline{\vec{j}} \simeq -i\frac{ne^2}{m_e\omega}\,\underline{\vec{E}}

   D'après la loi d'Ohm locale sous forme complexe \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma}(\omega)\underline{\vec{E}}, la conductivité complexe s'identifie à :

   \underline{\gamma}(\omega) = -i\frac{ne^2}{m_e\omega} = -i\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega}

   avec :

   \boxed{\omega_p = \sqrt{\frac{n e^2}{m_e \varepsilon_0}}}

   Résultat

   $${\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{m_e{\epsilon }_0}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique MP 2025, Q25

   Pour une pseudo-onde plane progressive harmonique de la forme \underline{\vec{E}}(M, t) = \underline{\vec{E}}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})} avec \vec{k} = k\vec{e}_z, les opérateurs différentiels d'espace et de temps se traduisent par :

   \frac{\partial}{\partial t} \longleftrightarrow i\omega \quad \text{et} \quad \vec{\nabla} \longleftrightarrow -i\vec{k}

   Dans le plasma, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0, question Q24) et le vecteur densité volumique de courant s'écrit \underline{\vec{\jmath}} = \underline{\gamma}(\omega)\underline{\vec{E}}. Les équations de Maxwell s'écrivent donc sous forme complexe :

   \begin{aligned} \text{Maxwell-Gauss} \quad & : \quad \mathrm{div}\,\underline{\vec{E}} = 0 \iff -i\vec{k}\cdot\underline{\vec{E}} = 0 \\ \text{Maxwell-Thomson} \quad & : \quad \mathrm{div}\,\underline{\vec{B}} = 0 \iff -i\vec{k}\cdot\underline{\vec{B}} = 0 \\ \text{Maxwell-Faraday} \quad & : \quad \vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{E}} = -\frac{\partial\underline{\vec{B}}}{\partial t} \iff \vec{k}\wedge\underline{\vec{E}} = \omega\underline{\vec{B}} \\ \text{Maxwell-Ampère} \quad & : \quad \vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{B}} = \mu_0\underline{\vec{\jmath}} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\underline{\vec{E}}}{\partial t} \iff -i\vec{k}\wedge\underline{\vec{B}} = \mu_0\underline{\gamma}(\omega)\underline{\vec{E}} + \frac{i\omega}{c^2}\underline{\vec{E}} \end{aligned}

   Appliquons le produit vectoriel par \vec{k} à l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{k}\wedge(\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}) = \omega(\vec{k}\wedge\underline{\vec{B}})

   D'après la formule du double produit vectoriel fournie en préambule :

   \vec{k}\wedge(\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}) = (\vec{k}\cdot\underline{\vec{E}})\vec{k} - k^2\underline{\vec{E}} = -k^2\underline{\vec{E}} \quad (\text{car } \vec{k}\cdot\underline{\vec{E}} = 0)

   D'autre part, en utilisant l'expression de \underline{\gamma}(\omega) = -i\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega} (question Q23) et la relation c^2\varepsilon_0\mu_0 = 1 dans Maxwell-Ampère :

   \begin{aligned} \vec{k}\wedge\underline{\vec{B}} &= i\mu_0\underline{\gamma}(\omega)\underline{\vec{E}} - \frac{\omega}{c^2}\underline{\vec{E}} \\ &= i\mu_0\left(-i\varepsilon_0\frac{\omega_p^2}{\omega}\right)\underline{\vec{E}} - \frac{\omega}{c^2}\underline{\vec{E}} \\ &= \frac{\omega_p^2}{c^2\omega}\underline{\vec{E}} - \frac{\omega}{c^2}\underline{\vec{E}} = -\frac{\omega^2 - \omega_p^2}{\omega c^2}\underline{\vec{E}} \end{aligned}

   En reportant cette expression dans la relation vectorielle précédente :

   -k^2\underline{\vec{E}} = \omega\left(-\frac{\omega^2 - \omega_p^2}{\omega c^2}\underline{\vec{E}}\right) = -\frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2}\underline{\vec{E}}

   Comme l'amplitude \underline{\vec{E}} est non nulle, on en déduit la relation de dispersion :

   \boxed{k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2}}

   Résultat

   $$k^2=\frac{{\omega }^2-{\omega }_p^2}{c^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie MP 2025, Q36

   Pour établir l'équation vérifiée par le champ électrique \vec{E}, appliquons l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = - \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B})

   En utilisant la formule d'analyse vectorielle rappelée en annexe :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E}

   Le conducteur ohmique étant localement neutre (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \operatorname{div}\vec{E} = 0, d'où :

   \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) = \vec{0}

   Par ailleurs, en utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans l'ARQS établie à la question Q35 (\vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \sigma \vec{E}) et en supposant la conductivité \sigma uniforme et constante :

   - \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}) = - \mu_0 \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   En égalisant les deux membres, on obtient :

   - \Delta\vec{E} = - \mu_0 \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   soit :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \mu_0 \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

   Cette équation ne comporte qu'une dérivée première par rapport au temps : il s'agit d'une équation de diffusion (analogue à l'équation de la chaleur ou loi de Fick).

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0\sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie MP 2024, Q32

   Dans le conducteur ohmique modélisant la peau, la densité volumique de courant de conduction est reliée au champ électrique par la loi d'Ohm locale :

   \vec{j} = \gamma \vec{E}

   Les équations de Maxwell s'écrivent sous les hypothèses de l'énoncé :

   • Équation de Maxwell-Gauss : le milieu étant localement neutre (\rho = 0),

     \operatorname{div}\vec{E} = 0

   • Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

     \operatorname{div}\vec{B} = 0

   • Équation de Maxwell-Faraday :

     \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
   • Équation de Maxwell-Ampère : en négligeant le terme de courant de déplacement devant le courant de conduction (\vec{j}_{\text{D}} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ll \vec{j}), on a \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{j} = \mu_0 \gamma \vec{E}.

   Le système d'équations de Maxwell dans ce milieu s'écrit donc :

   \boxed{ \left\{ \begin{aligned} \operatorname{div}\vec{E} &= 0 \\ \operatorname{div}\vec{B} &= 0 \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} &= \mu_0 \gamma \vec{E} \end{aligned} \right. }

   Résultat

   $$\{\begin{array}{rl}\mathrm{div}\vec{E}& =0\\ \mathrm{div}\vec{B}& =0\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}& =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}& ={\mu }_0\gamma \vec{E}\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MP 2024, Q33

    D'après les équations de Maxwell obtenues à la question Q32, on a :

    \begin{aligned} \operatorname{div}\vec{E} &= 0 \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} &= -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} &= \mu_0 \gamma \vec{E} \end{aligned}

    Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

    \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{rot}}\left(-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right)

    En permutant les opérateurs de dérivation spatiale et temporelle (théorème de Schwarz), il vient :

    \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right)

    En remplaçant \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} par son expression issue de l'équation de Maxwell-Ampère :

    \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\mu_0 \gamma \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

    En utilisant l'identité vectorielle rappelée par l'énoncé et la nullité de la divergence du champ électrique (\operatorname{div}\vec{E} = 0), le membre de gauche s'écrit :

    \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E} = -\Delta\vec{E}

    On en déduit l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ \vec{E} :

    \boxed{\Delta\vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

    Résultat

    $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question