Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2026

a - Équation du mouvement générale

On étudie une particule chargée du plasma (charge q, masse m, position \vec{r}, vitesse \vec{v}) dans le référentiel d'étude supposé galiléen. Le plasma étant peu dense, les collisions entre particules sont négligées. Le poids de la particule est totalement négligeable devant les forces électromagnétiques, et le champ magnétique terrestre est négligé conformément à l'énoncé.

La particule n'est donc soumise qu'à la force de Lorentz exercée par l'onde incidente :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

b - Forme simplifiée non relativiste

Pour une onde électromagnétique se propageant dans le milieu, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par l'ordre de grandeur issu de la structure d'onde plane :

où c désigne la célérité de la lumière dans le vide.

Comparons les ordres de grandeur de la force magnétique et de la force électrique :

L'hypothèse de particules non relativistes se traduit par v \ll c, ce qui implique :

La composante magnétique de la force de Lorentz est donc négligeable devant la composante électrique. De plus, à l'approximation des petits déplacements (l'amplitude d'oscillation de la particule étant très inférieure à la longueur d'onde de l'onde incidente), le champ électrique peut être évalué à la position moyenne \vec{r}_0 de la particule. L'équation du mouvement se simplifie ainsi en :

a - Négligence de la contribution des ions au courant électrique

D'après l'équation simplifiée du mouvement établie à la question 1, une particule de masse m et de charge q est soumise à la seule force électrique :

En notation complexe avec la convention \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, la dérivation temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow -\mathrm{i}\omega, ce qui conduit pour les vitesses complexes à :

La densité volumique de courant totale est la somme des contributions électronique et ionique :

Comme le plasma est quasi-neutre (n_i = n_e) et que les ions portent une charge q_i = +e, comparons les amplitudes des densités de courant :

À l'aide des valeurs numériques fournies :

En raison de leur inertie beaucoup plus grande que celle des électrons (m_i \ge m_p \approx 1800\,m_e), les ions ne peuvent pas suivre l'oscillation à haute fréquence du champ électrique. On peut donc négliger leur mouvement devant celui des électrons :

b - Expression de la conductivité complexe \underline{\sigma}

La vitesse complexe des électrons s'écrit, avec q = -e et m = m_e :

En reportant dans l'expression de la densité volumique de courant électronique, on obtient :

Par identification avec la loi d'Ohm locale en régime harmonique \underline{\vec{j}} = \underline{\sigma} \underline{\vec{E}}, on en déduit l'expression de la conductivité complexe :

a - Établissement de la relation de dispersion

Dans le plasma globalement neutre, la densité volumique de charge macroscopique moyenne est nulle : \rho = 0. Ainsi, d'après l'équation de Maxwell-Gauss, le champ électrique vérifie \mathrm{div}\,\vec{E} = 0. En notation complexe pour une onde plane progressive harmonique :

L'onde est donc transverse (\vec{k} \cdot \underline{\vec{E}} = 0).

Les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en régime harmonique s'écrivent :

En appliquant l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\underline{\vec{E}}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\underline{\vec{E}}) - \Delta\underline{\vec{E}} = -\Delta\underline{\vec{E}} :

où c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}. Avec -\Delta\underline{\vec{E}} = k^2\underline{\vec{E}} et l'expression de la conductivité complexe obtenue à la question 2, \underline{\sigma} = \mathrm{i}\frac{n_e e^2}{m_e \omega} :

On en déduit :

Cette relation met en évidence une pulsation caractéristique, appelée pulsation plasma :

La relation de dispersion s'écrit alors :

b - Ordre de grandeur de la fréquence plasma f_p

La fréquence plasma associée est f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{n_e e^2}{m_e \varepsilon_0}}. Avec les valeurs numériques fournies :

D'où la fréquence :

Sous forme d'ordre de grandeur (un seul chiffre significatif) :

c - Interprétation physique de la fréquence plasma

• Fréquence d'oscillation collective : \omega_p représente la pulsation propre d'oscillation collective du gaz d'électrons par rapport au fond neutralisant d'ions fixes (oscillations de Langmuir). Si une tranche d'électrons est déplacée d'une distance \delta x, il apparaît une densité superficielle de charge créant un champ électrostatique de rappel E = \frac{n_e e \delta x}{\varepsilon_0}, d'où une force de rappel F = - \frac{n_e e^2}{\varepsilon_0}\delta x, conduisant à l'équation harmonique d'oscillateur de pulsation \omega_p = \sqrt{\frac{n_e e^2}{m_e\varepsilon_0}}.

• Fréquence de coupure dynamique : Elle délimite deux régimes d'inertie :

  • Pour \omega < \omega_p, la période de l'onde est plus longue que le temps de réponse des électrons : ceux-ci ont le temps de se déplacer pour écranter le champ électrique (effet miroir/comportement conducteur).
  • Pour \omega > \omega_p, l'inertie des électrons les empêche de suivre les variations rapides du champ : le milieu ne peut plus écranter l'onde et devient transparent (comportement diélectrique).

d - Implications en matière de transmission d'ondes électromagnétiques

• Pour f < f_p (\omega < \omega_p) : k^2 < 0, donc le nombre d'onde k = \pm \mathrm{i}\alpha est imaginaire pur. L'onde ne peut pas se propager : elle est évanescente dans l'ionosphère et subit une réflexion totale. Ce phénomène est mis à profit pour les radiocommunications terrestres à longue portée en ondes décamétriques (ondes courtes, HF), qui contournent la courbure terrestre par rebonds successifs entre le sol et l'ionosphère, mais il interdit toute communication vers l'espace à ces fréquences.
• Pour f > f_p (\omega > \omega_p) : k est réel, l'onde se propage à travers l'ionosphère. C'est la condition indispensable pour communiquer entre la Terre et des satellites en orbite ou interplanétaires.

D'après la question 3.a, dans le domaine de propagation où \omega > \omega_p, la relation de dispersion s'écrit :

Vitesse de phase Par définition, la vitesse de phase est v_\varphi = \dfrac{\omega}{k}, ce qui donne :

Vitesse de groupe Par définition, la vitesse de groupe est v_g = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}. En différentiant la relation \omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2, on obtient :

D'où l'expression de la vitesse de groupe :

Commentaires

• Relation de Rayleigh : On constate la relation remarquable :

  v_\varphi \, v_g = c^2
• Principe de causalité relativiste : Pour tout \omega > \omega_p, on a v_\varphi > c et v_g < c. La vitesse de phase supérieure à c ne viole pas la relativité restreinte car une onde monochromatique infinie ne transporte aucune information. En revanche, l'information et l'énergie se propagent à la vitesse de groupe dans la bande passante transparente, et celle-ci est bien strictement inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide c.
• Dispersion : La vitesse de phase dépendant de la pulsation \omega, le plasma ionosphérique est un milieu dispersif.

• Comportements aux limites :

  • Lorsque \omega \to \omega_p^+, v_g \to 0 et v_\varphi \to +\infty : l'énergie ne se propage plus dans le milieu, on s'approche de la réflexion totale (coupure).
  • Lorsque \omega \gg \omega_p, v_g \to c^- et v_\varphi \to c^+ : le plasma devient équivalent au vide, la dispersion devient négligeable.

a - Courbe de dispersion et zones de dispersion

D'après la relation de dispersion établie à la question Q3, pour une onde progressive se propageant sans atténuation (\omega \ge \omega_p), le vecteur d'onde k est réel et vaut :

Pour \omega < \omega_p, il n'y a pas d'onde progressive (k imaginaire pur).

• En \omega = \omega_p, k = 0, et \displaystyle \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} = \frac{\omega}{c\sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}} \xrightarrow[\omega \to \omega_p^+]{} +\infty : la courbe présente une demi-tangente verticale.
• Pour \omega \gg \omega_p, k(\omega) \sim \dfrac{\omega}{c} : la courbe admet pour asymptote la droite k = \dfrac{\omega}{c} (droite de propagation dans le vide).

Critère de dispersion : Un milieu est non dispersif si la vitesse de phase v_\varphi = \omega/k est indépendante de la pulsation \omega (courbe de dispersion linéaire k \propto \omega), ce qui équivaut à v_g = v_\varphi. La dispersion est d'autant plus marquée que la dérivée \left|\dfrac{\mathrm{d}v_\varphi}{\mathrm{d}\omega}\right| (ou \left|\dfrac{\mathrm{d}v_g}{\mathrm{d}\omega}\right|) est grande :

• Zone de forte dispersion (\omega \gtrsim \omega_p) : v_\varphi \to +\infty et v_g \to 0. Les vitesses varient très rapidement avec \omega, l'écart à la droite asymptote k=\omega/c est maximal.
• Zone de faible dispersion (\omega \gg \omega_p) : v_\varphi \simeq v_g \simeq c. La courbe de dispersion se confond avec son asymptote linéaire ; les différentes composantes spectrales se propagent à la même vitesse.

b - Effets de la dispersion sur la transmission des données

Un signal porteur d'informations (impulsion, modulation) possède un spectre de largeur spectrale finie \Delta\omega autour d'une porteuse \omega_0.

• En milieu dispersif, chaque composante spectrale de l'impulsion se propage à une vitesse de groupe v_g(\omega) différente.
• Cela provoque un étalement temporel des paquets d'ondes au cours de la propagation.
• Cet élargissement engendre une diminution de l'amplitude crête et, pour un train numérique, un chevauchement des impulsions successives (interférence inter-symboles), ce qui dégrade le rapport signal sur bruit, augmente le taux d'erreur binaire et limite le débit de transmission admissible.

c - Justification de la bande Ku

La bande Ku utilise des fréquences comprises entre 10{,}7\text{ GHz} et 14{,}5\text{ GHz}, soit f \sim 1{,}2 \times 10^{10}\text{ Hz}.

• Transparence de l'ionosphère : d'après la question Q3, f_p \approx 9\text{ MHz} \sim 10\text{ MHz}. Comme f \gg f_p, la condition de propagation sans réflexion totale f > f_p est très largement vérifiée. L'onde traverse l'ionosphère sans être réfléchie.

• Absence de dispersion gênante : avec f / f_p \sim 10^3, on se place dans le régime \omega \gg \omega_p. Les vitesses valent alors :

  v_g \simeq c\left(1 - \frac{1}{2}\frac{f_p^2}{f^2}\right) \simeq c\left(1 - 5 \times 10^{-7}\right) \approx c

  Le milieu ionosphérique est donc rigoureusement assimilable au vide pour cette bande ; la dispersion est négligeable, ce qui autorise des débits binaires très élevés sans déformation des signaux.

• Directivité et débit : ces fréquences élevées permettent également d'embarquer des antennes directives de taille modérée (gain proportionnel à (D/\lambda)^2) et offrent une bande passante importante pour le transfert continu d'images et de données scientifiques.

a - Expression de la vitesse angulaire \Omega

Le système constitué du Soleil (centre S, masse M_S) et de la Terre (centre T, masse M_T) est supposé isolé. Son centre de masse O est fixe dans le référentiel sidéral galiléen \mathcal{R}_s. Par définition du barycentre :

Comme \vec{R} = \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{OT} - \overrightarrow{OS}, il vient :

La Terre décrit dans \mathcal{R}_s une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R_T = \|\overrightarrow{OT}\| = \frac{M_S}{M} R à la vitesse angulaire constante \Omega = \dot{\theta}. Son accélération est purement centripète :

où \vec{e}_x = \frac{\vec{R}}{R} est le vecteur unitaire dirigé de S vers T.

La Terre n'étant soumise qu'à l'attraction gravitationnelle du Soleil :

La seconde loi de Newton appliquée à la Terre dans \mathcal{R}_s s'écrit :

En simplifiant par le produit M_S M_T, on en déduit :

D'où l'expression de la vitesse angulaire :

b - Interprétation et valeur de la période T

La grandeur T = \frac{2\pi}{\Omega} représente la période de révolution orbitale du système Soleil-Terre dans le référentiel sidéral (année sidérale), c'est-à-dire le temps nécessaire à la Terre pour effectuer un tour complet autour du Soleil par rapport aux étoiles fixes.

Dans l'unité la plus naturelle et adaptée à ce mouvement, on a directement :

a - Équations du mouvement et existence du pseudo-potentiel

Le système \{\text{Soleil}, \text{Terre}\} étant supposé isolé et la masse m du satellite étant négligeable devant M_S et M_T, son centre de masse \mathrm{O} est en mouvement rectiligne uniforme : le référentiel sidéral \mathcal{R}_s = (\mathrm{O}, \vec{e}_\xi, \vec{e}_\eta, \vec{e}_\zeta) est donc galiléen.

On étudie le satellite \mathrm{P} de masse m dans le référentiel synodique \mathcal{R}_\Omega = (\mathrm{O}, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z), animé d'une vitesse de rotation uniforme \vec{\Omega} = \Omega \vec{e}_z par rapport à \mathcal{R}_s. Le point \mathrm{O} étant fixe dans \mathcal{R}_s et \vec{\Omega} étant constant :

• la vitesse et l'accélération relatives de \mathrm{P} dans le plan de l'écliptique (\mathrm{O}xy) sont :

  \vec{v} = \dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y \quad \text{et} \quad \vec{a} = \ddot{x}\vec{e}_x + \ddot{y}\vec{e}_y

• la force d'inertie de Coriolis s'écrit :

  \vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v} = -2m\,\Omega\vec{e}_z \wedge (\dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y) = 2m\Omega\dot{y}\vec{e}_x - 2m\Omega\dot{x}\vec{e}_y

• la force d'inertie d'entraînement (centrifuge) s'écrit :

  \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{r}) = m\Omega^2\vec{r} = m\Omega^2 (x\vec{e}_x + y\vec{e}_y)

• les forces gravitationnelles exercées par le Soleil et la Terre sont :

  \vec{F}_S = -\frac{G M_S m}{r_S^3}\vec{r}_S \quad \text{et} \quad \vec{F}_T = -\frac{G M_T m}{r_T^3}\vec{r}_T

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à \mathrm{P} dans \mathcal{R}_\Omega donne :

En divisant par m et en transposant le terme de Coriolis à gauche :

Calculons les gradients des termes de droite par rapport aux coordonnées (x,y) de \mathrm{P} :

• \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r_S}\right) = -\frac{\vec{\nabla} r_S}{r_S^2} = -\frac{\vec{r}_S}{r_S^3}, d'où \frac{\vec{F}_S}{m} = \vec{\nabla}\left(\frac{G M_S}{r_S}\right) ;
• \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r_T}\right) = -\frac{\vec{r}_T}{r_T^3}, d'où \frac{\vec{F}_T}{m} = \vec{\nabla}\left(\frac{G M_T}{r_T}\right) ;
• \vec{\nabla}\left(\frac{1}{2}r^2\right) = \vec{\nabla}\left(\frac{1}{2}(x^2+y^2)\right) = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y = \vec{r}, d'où \frac{\vec{F}_{ie}}{m} = \vec{\nabla}\left(\frac{1}{2}\Omega^2 r^2\right).

Par conséquent, la force totale par unité de masse (hors Coriolis) dérive d'une fonction scalaire U(\mathrm{P}) :

En projetant sur \vec{e}_x et \vec{e}_y, on obtient bien :

b - Expression et interprétation physique de U(\mathrm{P})

En intégrant le gradient obtenu ci-dessus, l'expression de U(\mathrm{P}) s'écrit (à une constante additive près) :

L'énergie potentielle effective du satellite dans le référentiel tournant \mathcal{R}_\Omega est la somme des énergies potentielles gravitationnelles et centrifuge :

On constate ainsi que :

Le pseudo-potentiel U(\mathrm{P}) représente donc l'opposé de l'énergie potentielle effective par unité de masse de la particule dans le référentiel synodique.

a - Établissement de la constante de Jacobi et interprétation :

D'après les équations (2) établies à la question Q7 :

En multipliant la première relation par \dot{x}, la seconde par \dot{y} et en effectuant la somme membre à membre :

Les termes issus de l'accélération de Coriolis se compensent exactement. Comme U(x,y) ne dépend pas explicitement du temps (\frac{\partial U}{\partial t} = 0), la dérivée particulaire s'écrit \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = \dot{x}\frac{\partial U}{\partial x} + \dot{y}\frac{\partial U}{\partial y}. On en déduit :

Avec v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2, cette équation se réécrit :

La grandeur C_J = 2U - v^2 est donc une constante du mouvement :

Interprétation physique :

Dans le référentiel synodique \mathcal{R}_\Omega, l'énergie cinétique de la particule \mathrm{P} s'écrit E_c = \frac{1}{2}m v^2 et son énergie potentielle effective vaut E_{p,\text{eff}} = -m U (d'après la question Q7). L'énergie mécanique relative E_{m,\text{rel}} est donc :

La constante de Jacobi représente ainsi, à un facteur -2/m près, l'énergie mécanique de la particule dans le référentiel tournant \mathcal{R}_\Omega. Sa conservation traduit le fait que la force d'inertie de Coriolis ne travaille pas (\mathcal{P}(\vec{F}_{ic}) = \vec{F}_{ic}\cdot\vec{v} = 0) et que les autres forces dérivent d'un potentiel effectif indépendant du temps.

b - Zones d'exclusion du mouvement :

La vitesse v étant une grandeur réelle, son carré est nécessairement positif ou nul :

La particule ne peut donc évoluer que dans les domaines spatiaux satisfaisant cette condition. Par conséquent, les zones d'exclusion (ou zones interdites) sont les régions de l'espace définies par :

La frontière entre les régions permises et interdites correspond à une vitesse relative nulle (v = 0), définie par la courbe de niveau :

Cette frontière est appelée « courbe de vitesse nulle » (ou surface de vitesse nulle dans l'espace tridimensionnel). La valeur de C_J, fixée par les conditions initiales de la sonde, détermine ainsi les passages autorisés ou fermés entre le Soleil et la Terre.

a - Vitesse angulaire et constante de gravitation adimensionnées

• Vitesse angulaire adimensionnée \omega :

  Une vitesse angulaire a pour dimension [\Omega] = \mathrm{T}^{-1}. L'unité associée est donc :

  u_\Omega = \frac{1}{u_t} = \frac{2\pi}{T}

  D'après le résultat de la question 6, la période orbitale s'écrit T = \frac{2\pi}{\Omega}, d'où u_\Omega = \Omega. La vitesse angulaire adimensionnée vaut donc :

  \boxed{\omega = \frac{\Omega}{u_\Omega} = 1}

• Constante de gravitation adimensionnée \Gamma :

  La loi de la gravitation universelle donne la dimension de la constante G :

  [F] = \left[\frac{G M m}{r^2}\right] \implies \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2} = [G]\,\mathrm{M}^2\,\mathrm{L}^{-2} \implies [G] = \mathrm{M}^{-1}\mathrm{L}^3\mathrm{T}^{-2}

  L'unité naturelle u_G associée à G dans ce système d'unités est par conséquent :

  u_G = \frac{u_L^3}{u_M u_t^2}

  En remplaçant par les grandeurs définies dans l'énoncé (u_L = R, u_M = M et u_t = \frac{1}{\Omega}) :

  u_G = \frac{R^3 \Omega^2}{M}

  Or, d'après la relation de Kepler obtenue à la question 6, \Omega^2 = \frac{G M}{R^3}, ce qui donne :

  u_G = \frac{R^3}{M} \left(\frac{G M}{R^3}\right) = G

  On en déduit que la constante de gravitation adimensionnée \Gamma = \frac{G}{u_G} vérifie :

  \boxed{\Gamma = 1}

b - Temps adimensionné et angle \theta

Le temps adimensionné \tau est défini par :

Le mouvement du référentiel synodique \mathcal{R}_\Omega par rapport au référentiel sidéral \mathcal{R}_s est une rotation uniforme autour de l'axe \vec{e}_z à la vitesse angulaire \Omega = \dot{\theta}. Avec la condition initiale \theta(0) = 0 (l'axe \vec{e}_x étant confondu avec \vec{e}_\xi à t=0), on a :

Par conséquent, on a bien l'égalité directe :

Dans le repère synodique adimensionné centré sur le centre de masse O, avec \mu_S + \mu_T = 1, les positions du Soleil et de la Terre sur l'axe (Ox) sont données par :

Les distances adimensionnées \rho_S et \rho_T d'un point P(\tilde{x}, \tilde{y}) à S et T vérifient :

Leurs dérivées partielles par rapport à \tilde{x} et \tilde{y} s'écrivent :

D'après l'équation (2), un point d'équilibre dans le référentiel synodique \mathcal{R}_\Omega vérifie \ddot{x} = \ddot{y} = \dot{x} = \dot{y} = 0, ce qui équivaut à l'annulation du gradient du pseudo-potentiel :

En dérivant l'expression (4) du pseudo-potentiel \tilde{U} :

Puisque les points \mathrm{L}_4 et \mathrm{L}_5 ne sont pas situés sur l'axe (Ox), on a \tilde{y} \neq 0. L'équation selon \tilde{y} impose :

En réinjectant cette relation dans l'équation selon \tilde{x}, le terme proportionnel à \tilde{x} s'annule, ce qui conduit à :

En combinant ces deux égalités, il vient nécessairement :

Comme les distances sont positives, on obtient pour \mathrm{L}_4 et \mathrm{L}_5 :

Les points \mathrm{L}_4 et \mathrm{L}_5 forment donc chacun un triangle équilatéral de côté unité avec le Soleil et la Terre.

Pour déterminer leurs coordonnées cartésiennes, soustrayons les expressions de \rho_S^2 et \rho_T^2 :

En factorisant avec \mu_S + \mu_T = 1 :

On en déduit l'ordonnée \tilde{y} :

Par convention (voir figure 2), \mathrm{L}_4 se situe dans le demi-plan \tilde{y} > 0 et \mathrm{L}_5 dans le demi-plan \tilde{y} < 0. On a donc :

Dans le repère synodique centré en O (centre de masse du système), le Soleil S et la Terre T sont situés sur l'axe (\mathrm{O}x) à des abscisses constantes vérifiant :

Sachant que \mu_S + \mu_T = 1, on a :

Le point \mathrm{L}_1 est situé sur l'axe (\mathrm{O}x) (\tilde{y}_1 = 0) strictement entre le Soleil et la Terre (\tilde{x}_S < \tilde{x}_1 < \tilde{x}_T). Les distances adimensionnées \rho_S = \frac{\mathrm{SP}}{R} et \rho_T = \frac{\mathrm{TP}}{R} s'écrivent donc :

On remarque immédiatement que :

De plus, en combinant les deux relations, l'abscisse \tilde{x}_1 s'exprime simplement selon :

À l'équilibre dans le référentiel tournant \mathcal{R}_\Omega, la somme des forces appliquées à une particule au repos en \mathrm{L}_1 est nulle :

En divisant cette équation par m\Omega^2 R = \frac{G M m}{R^2} (ce qui revient également à écrire \frac{\partial \tilde{U}}{\partial \tilde{x}}(\tilde{x}_1, 0) = 0), on obtient la condition d'équilibre adimensionnée :

En substituant \tilde{x}_1 = \mu_S \rho_S - \mu_T \rho_T :

En utilisant la relation \rho_S = 1 - \rho_T, développons le numérateur du membre de droite :

L'égalité devient ainsi :

En isolant le rapport \frac{\mu_T}{3\mu_S}, on obtient l'équation régissant la position du point \mathrm{L}_1 :

a - Calcul de \alpha et de \rho_T :

Par définition des grandeurs adimensionnées de masse (introduites au paragraphe 2.2) :

Le rapport \alpha s'écrit donc :

Avec les valeurs numériques fournies (M_T = 6{,}0 \times 10^{24}\text{ kg} et M_S = 2{,}0 \times 10^{30}\text{ kg}) :

L'équation (5) établie à la question précédente est :

Puisque \alpha \ll 1, la distance adimensionnée \rho_T est très petite devant 1. Au voisinage de \rho_T = 0, le terme fractionnaire admet pour développement limité d'ordre le plus bas :

L'équation (5) se réduit donc au premier ordre non nul à :

Numériquement :

b - Distance du point \mathrm{L}_1 à la Terre :

Par définition de \rho_T = \frac{r_T}{R}, avec R = 1\text{ UA} = 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m} :

Deux approches complémentaires permettent de justifier l'instabilité de ces trois points colinéaires :

1. Analyse graphique des courbes de niveau (figure 2) Les courbes de niveau (1), (2) et (3) de la fonction \tilde{U}(\tilde{x},\tilde{y}) se recoupent avec une allure de séparatrice (en forme de « huit » ou de nœud) aux points \mathrm{L}_1, \mathrm{L}_2 et \mathrm{L}_3.

• Les points \mathrm{L}_1, \mathrm{L}_2 et \mathrm{L}_3 sont donc des points-cols (ou points-selles) du pseudo-potentiel \tilde{U}, et par conséquent également de l'énergie potentielle effective E_p(x,y) = -mU(x,y).
• Un point-col ne présente pas de cuvette de potentiel : la courbure du potentiel est de signes opposés selon les directions principales. Une particule légèrement écartée de l'équilibre le long de la direction de descente de potentiel ne subit aucun rappel vers sa position initiale.

2. Analyse physique le long de l'axe (\mathrm{O}x) Considérons le comportement d'une particule au repos soumise à une perturbation \delta x le long de l'axe des centres (\mathrm{O}x) :

• En \mathrm{L}_1 : si la particule est déplacée d'une distance \delta x > 0 vers la Terre, la distance r_T diminue. L'attraction gravitationnelle terrestre, proportionnelle à 1/r_T^2, augmente fortement, tandis que l'attraction solaire diminue. La force résultante s'oriente donc vers la Terre, dans le même sens que le déplacement, ce qui amplifie l'écart initial. Inversement, pour \delta x < 0 (vers le Soleil), l'attraction du Soleil l'emporte et attire la particule vers lui.
• En \mathrm{L}_2 et \mathrm{L}_3 : le même déséquilibre apparaît : la force gravitationnelle exercée par l'astre le plus proche varie plus rapidement avec la distance que la force centrifuge d'entraînement et l'attraction de l'autre astre, de sorte que toute perturbation axiale génère une force déstabilisatrice.

Au point de Lagrange \mathrm{L}_4, la fonction U admet un minimum local, ce qui correspond pour la particule-test \mathrm{P} de masse m à un maximum local de l'énergie potentielle effective :

En l'absence d'autre force, une petite perturbation écartant \mathrm{P} de \mathrm{L}_4 engendre une force répulsive :

qui tend à éloigner la particule du sommet de potentiel (instabilité statique).

Cependant, dès que la particule acquiert une vitesse relative non nulle \vec{v} dans le référentiel tournant \mathcal{R}_\Omega, elle est soumise à la force d'inertie de Coriolis :

Cette force présente deux propriétés fondamentales :

• elle est orthogonale à la vitesse \vec{v} à chaque instant (\vec{F}_{ic} \cdot \vec{v} = 0), sa puissance est donc nulle : elle ne fournit ni ne dissipe d'énergie mécanique dans \mathcal{R}_\Omega ;
• elle dévie continûment le vecteur vitesse vers la droite du mouvement (pour un repère tournant dans le sens trigonométrique, \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{e}_z).

Si l'effet gyroscopique de Coriolis est prépondérant par rapport à la force répulsive issue du gradient de potentiel, la trajectoire de la particule est courbée avant qu'elle ne puisse s'échapper. La particule s'enroule alors autour du point \mathrm{L}_4 selon une trajectoire fermée (ou quasi-périodique de type libration), restant confinée dans son voisinage.

On parle de stabilité dynamique car cette stabilité n'est pas assurée par un puits de potentiel statique, mais par le mouvement lui-même via la force de Coriolis.

Le point \mathrm{L}_i de coordonnées (x_0, y_0) = (\tilde{x}_i, \tilde{y}_i) est une position d'équilibre dans le référentiel synodique, ce qui se traduit par l'annulation des dérivées premières du pseudo-potentiel en ce point :

Le développement de Taylor du pseudo-potentiel \tilde{U} à l'ordre 2 au voisinage de (x_0, y_0), avec \tilde{x} = x_0 + X et \tilde{y} = y_0 + Y, s'écrit :

où les dérivées partielles secondes sont évaluées en (x_0, y_0) selon les notations (6) :

On en déduit les composantes du gradient au premier ordre en X et Y :

En reportant ces expressions dans les équations du mouvement (7), on obtient :

En adjoignant à ces deux équations les identités cinématiques triviales \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\tau} = X' et \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}\tau} = Y', le système s'écrit sous forme matricielle :

La matrice \mathbf{A} cherchée est donc :

a - Condition sur µ_T pour la stabilité dynamique

D'après l'équation (9), la solution du mouvement linéarisé s'exprime comme une combinaison linéaire de modes en \mathrm{e}^{\lambda_k t}. Pour que les perturbations restent bornées au cours du temps (stabilité dynamique), il est nécessaire que :

L'équation caractéristique (10) vérifiée par les valeurs propres \lambda est bicarrée :

Cette équation ne comportant que des puissances paires de \lambda, si \lambda est racine, alors -\lambda est également racine. Par conséquent, s'il existait une valeur propre de partie réelle non nulle, l'une des valeurs propres aurait une partie réelle strictement positive, entraînant une divergence exponentielle et l'instabilité du point d'équilibre.

La stabilité dynamique requiert donc que les quatre valeurs propres soient imaginaires pures (distinctes pour éviter tout terme séculaire proportionnel à t) :

Posons X = \lambda^2. L'équation devient une équation du second degré :

Pour que cette équation admette deux racines réelles distinctes, son discriminant \Delta doit être strictement positif :

Lorsque \Delta > 0 :

• La somme des racines vaut S = -1 < 0 ;
• Le produit des racines vaut P = \frac{27}{4} \mu_T (1 - \mu_T) > 0 car pour le système physique \mu_T \in \left]0, \frac{1}{2}\right].

Les deux racines X_1 et X_2 sont donc automatiquement réelles et strictement négatives.

La condition de stabilité dynamique s'écrit ainsi :

Le discriminant de ce polynôme en \mu_T est \Delta' = 27^2 - 4 \times 27 = 27 \times 23 = 621. Comme \mu_T \le \frac{1}{2} (la Terre étant le corps de moindre masse), la condition devient :

Numériquement, \sqrt{1 - \frac{4}{27}} = \sqrt{\frac{23}{27}} \simeq 0{,}923, ce qui donne \mu_c \simeq 0{,}0385.

b - Application au système Soleil-Terre

D'après les données fournies pour la partie 2 :

• M_T = 6{,}0 \times 10^{24}\text{ kg} ;
• M_S = 2{,}0 \times 10^{30}\text{ kg}.

La masse réduite adimensionnée de la Terre vaut :

On constate que :

La condition de stabilité est très largement vérifiée.

L'équation caractéristique (10) s'écrit en posant \Lambda = \lambda^2 :

Le discriminant de cette équation du second degré vaut \Delta = 1 - 27\mu_T(1-\mu_T). D'après la question Q16, pour \mu_T < \mu_c, on a \Delta > 0, et les deux racines \Lambda_1 et \Lambda_2 sont réelles, distinctes et strictement négatives :

Les quatre valeurs propres \lambda_k sont donc deux paires d'imaginaires purs conjugués :

avec \omega_{\tau,1} = \sqrt{-\Lambda_1} et \omega_{\tau,2} = \sqrt{-\Lambda_2}.

Le mouvement au voisinage de \mathrm{L}_4 (ou \mathrm{L}_5) est une superposition de fonctions trigonométriques \cos(\omega_{\tau,k}\tau) et \sin(\omega_{\tau,k}\tau), sans terme divergent ni amorti. Il s'agit d'un mouvement quasi-périodique caractérisé par deux fréquences propres distinctes, et donc par deux périodes temporelles distinctes.

Comme \tau = \Omega t = \frac{2\pi}{T} t (où T = \frac{2\pi}{\Omega} \simeq 1\text{ an} d'après la question Q6), les pulsations physiques valent :

Les périodes physiques associées sont donc :

Pour le système Soleil-Terre, \mu_T \simeq 3{,}0 \times 10^{-6} \ll 1. On effectue un développement au premier ordre en \mu_T :

On en déduit les pulsations adimensionnées :

Puisque \omega_{\tau,1} > \omega_{\tau,2}, la condition T_2 > T_1 impose :

Applications numériques :

• Période courte T_1 :

  T_1 \simeq T \simeq 1\text{ an}

• Période longue T_2 :

  \begin{aligned} \omega_{\tau,2} &\simeq \frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{3{,}0 \times 10^{-6}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} \times 10^{-3} = \frac{9}{2} \times 10^{-3} = 4{,}5 \times 10^{-3} \\ T_2 &\simeq \frac{1\text{ an}}{4{,}5 \times 10^{-3}} = \frac{2\,000}{9}\text{ ans} \simeq 2{,}2 \times 10^2\text{ ans} \end{aligned}

D'après la description du mécanisme (figures 4 et 5), le système est composé de 6 solides :

• le corps du satellite, noté 0 (bâti) ;
• l'arbre d'orientation, noté 1 ;
• le bras de support, noté 2 ;
• les trois panneaux solaires articulés, notés respectivement 3, 4 et 5.

Les liaisons entre ces solides sont définies comme suit :

• Entre 0 et 1 : liaison pivot d'axe (O_1, \vec{x}_1) ;
• Entre 1 et 2 : charnière principale modélisée par une liaison pivot d'axe (O_2, \vec{z}_2) ;

• Entre 2 et 3 : deux liaisons en parallèle autorisant chacune les 3 rotations de l'espace, modélisées par deux liaisons sphériques (rotules) :

  • liaison rotule active de centre I_3 ;
  • liaison rotule passive de centre J_3.

• Entre 3 et 4 : deux liaisons en parallèle autorisant chacune les 3 rotations :

  • liaison rotule active de centre I_4 ;
  • liaison rotule passive de centre J_4.

• Entre 4 et 5 : deux liaisons en parallèle autorisant chacune les 3 rotations :

  • liaison rotule active de centre I_5 ;
  • liaison rotule passive de centre J_5.

Dans la configuration complètement déployée :

• L'arbre 1 est en liaison pivot d'axe (O_1, \vec{x}_1) par rapport au bâti 0 (satellite).
• Le bras 2 est en liaison pivot d'axe (O_2, \vec{z}_2) par rapport à l'arbre 1.
• Le panneau 3 est lié au bras 2 par l'association en parallèle de deux liaisons rotules en I_3 et J_3, équivalente à une liaison pivot d'axe (I_3 J_3) = (O_3, \vec{z}_3).
• De même, le panneau 4 est lié au panneau 3 par deux liaisons rotules en I_4 et J_4, d'axe équivalent (O_4, \vec{z}_4).
• Le panneau 5 est lié au panneau 4 par deux liaisons rotules en I_5 et J_5, d'axe équivalent (O_5, \vec{z}_5).

Dans cette configuration déployée, les axes des charnières sont tous colinéaires : \vec{z}_2 = \vec{z}_3 = \vec{z}_4 = \vec{z}_5.

Le schéma cinématique architectural du mécanisme en configuration déployée est représenté ci-dessous :

Le référentiel \mathcal{R}_0 lié au satellite n'est pas un référentiel galiléen, car le satellite est en orbite (mouvement accéléré curviligne sous l'action des champs de gravitation) et peut de surcroît posséder une rotation propre.

Pour pouvoir l'assimiler à un référentiel galiléen lors de l'étude du déploiement, on s'appuie sur les considérations suivantes :

1. Principe d'équivalence et chute libre : en orbite, le satellite est en chute libre dans le champ gravitationnel. Dans son référentiel lié au centre de masse, l'accélération d'entraînement de translation compense exactement le champ de pesanteur moyen :

   \vec{g}_{\text{ext}} - \vec{a}(G_{\text{sat}}) \simeq \vec{0}

   Les seuls effets gravitationnels résiduels sont les forces de marée (gradient de gravité). À l'échelle métrique des panneaux solaires (L \sim 1{,}2\text{ m}), ces forces différentielles sont totalement négligeables. Cela justifie pleinement l'hypothèse de l'énoncé : « Les actions de la gravité sont négligées ».

2. Échelle de temps très courte : la durée du déploiement est très brève (t_{\text{déploiement}} \le 8\text{ s}) devant la période orbitale du satellite (plusieurs heures pour une orbite terrestre haute, ou une année en orbite héliocentrique). L'accélération orbitale varie donc de manière imperceptible durant cette phase.
3. Stabilisation en attitude : le satellite est supposé stabilisé trois axes par son système de contrôle d'attitude, ou animé d'une vitesse de rotation propre \vec{\Omega}_0 extrêmement lente devant les vitesses angulaires de déploiement (\dot{\alpha}_2, \dot{\alpha}_3). Les forces d'inertie d'entraînement centrifuge et de Coriolis dues à une éventuelle rotation globale du satellite sont ainsi négligeables devant les couples exercés par les ressorts de torsion.
4. Inertie du corps principal : la masse du satellite m_0 est très grande devant celle du bras et des panneaux solaires (m_0 \gg m_2 + m_3), de sorte que le déploiement ne modifie pas sensiblement l'attitude du satellite, d'autant que les tuyères ou roues de réaction compensent les couples induits.

Le panneau 3 est modélisé par un parallélépipède rectangle homogène de masse m_3 et de dimensions :

• longueur L selon l'axe (G_3, \vec{x}_3) : x \in \left[-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}\right] ;
• épaisseur e selon l'axe (G_3, \vec{y}_3) : y \in \left[-\frac{e}{2}, \frac{e}{2}\right] ;
• largeur l selon l'axe (G_3, \vec{z}_3) : z \in \left[-\frac{l}{2}, \frac{l}{2}\right].

1. Forme de la matrice d'inertie :

Les plans (G_3, \vec{x}_3, \vec{y}_3), (G_3, \vec{y}_3, \vec{z}_3) et (G_3, \vec{x}_3, \vec{z}_3) sont des plans de symétrie géométrique et matérielle du panneau.

Comme deux de ces plans sont perpendiculaires entre eux, les produits d'inertie s'annulent par parité de l'intégrande :

La base (\vec{x}_3, \vec{y}_3, \vec{z}_3) est donc une base principale d'inertie en G_3, ce qui garantit la forme diagonale :

2. Expression des composantes :

Pour une distribution continue homogène de masse volumique \rho_3 = \frac{m_3}{L\,e\,l}, on a \mathrm{d}m = \rho_3 \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z. En séparant les variables :

Les moments principaux d'inertie sont les moments d'inertie par rapport aux axes (\vec{x}_3, \vec{y}_3, \vec{z}_3) :

On obtient ainsi :

L'arbre 1 étant bloqué, le repère \mathcal{R}_0 est fixe. Les axes de rotation étant tous portés par \vec{z}_0, les vecteurs unitaires normaux au plan du mouvement sont identiques :

1. Torseur \{\mathcal{T}_{0\to 2}\} au point O_2 L'action mécanique de 0 sur 2 se décompose en l'action de liaison (pivot parfaite d'axe (O_2, \vec{z}_0)) et l'action du ressort de torsion :

• la liaison pivot parfaite bloque les trois translations et les deux rotations hors plan, soit une résultante \vec{R}_{0\to 2} quelconque et un moment en O_2 orthogonal à \vec{z}_2 ;
• le ressort de torsion exerce le moment \vec{M}_{O_2, \text{ressort}} = -K_2 \alpha_2 \vec{z}_0 = -K_2 \alpha_2 \vec{z}_2.

Dans le cas tridimensionnel général, les éléments de réduction au point O_2 exprimés dans le repère \mathcal{R}_2 sont :

Dans le cadre de la modélisation plane du problème (mouvement confiné au plan (O_2, \vec{x}_0, \vec{y}_0)), les composantes hors plan s'annulent (Z_{02} = 0, L_{02} = 0, M_{02} = 0) :

2. Torseur \{\mathcal{T}_{2\to 3}\} au point O_3 De même, l'action mécanique de 2 sur 3 est constituée de la liaison pivot d'axe (O_3, \vec{z}_0) et du ressort de torsion au point O_3 de moment \vec{M}_{O_3, \text{ressort}} = -K_3 \alpha_3 \vec{z}_0 = -K_3 \alpha_3 \vec{z}_2.

Dans le cas tridimensionnel général :

Dans le cadre de la modélisation plane :

1. Vecteurs vitesse de rotation

Le repère \mathcal{R}_0 = (O_2, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0) est lié au bâti 0. Les axes de rotation des deux liaisons pivot sont colinéaires à \vec{z}_0 = \vec{z}_2 = \vec{z}_3. D'après les orientations définies sur la figure 5 :

Par composition des vitesses de rotation, le vecteur rotation du panneau 3 par rapport à 0 est :

2. Vitesse du point G_2 de 2 par rapport à 0

Le point O_2 appartient à l'axe de la liaison pivot entre 2 et 0, il est donc immobile dans \mathcal{R}_0 : \vec{V}_{2,0}(O_2) = \vec{0}.

Le bras 2 étant un solide indéformable, la relation de Varignon s'écrit :

Avec \overrightarrow{O_2 G_2} = \frac{L}{4}\,\vec{x}_2 et \vec{\Omega}_{2/0} = \dot{\alpha}_2\,\vec{z}_2 :

Sachant que \vec{z}_2 \wedge \vec{x}_2 = \vec{y}_2, on obtient :

3. Vitesse du point G_3 de 3 par rapport à 0

Le vecteur position du centre de masse G_3 s'exprime par la relation de Chasles :

Le point O_2 étant fixe dans le repère \mathcal{R}_0, la vitesse de G_3 par rapport à \mathcal{R}_0 s'obtient par dérivation vectorielle :

En utilisant la formule de dérivation d'un vecteur unitaire dans un repère en rotation :

On obtient ainsi :

Remarque (projection dans la base \mathcal{R}_2 du bras 2) :
Sachant que \vec{y}_3 = -\sin\alpha_3\,\vec{x}_2 + \cos\alpha_3\,\vec{y}_2, cette vitesse s'exprime également dans la base de \mathcal{R}_2 sous la forme :

D'après les résultats de la question Q23, les vitesses de G_2 et G_3 par rapport à \mathcal{R}_0 s'écrivent :

1. Accélération de G_2 par rapport à \mathcal{R}_0 :

En dérivant \vec{V}_{2,0}(G_2) par rapport au temps dans \mathcal{R}_0, sachant que \left(\frac{\mathrm{d}\vec{y}_2}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}_{2/0} \wedge \vec{y}_2 = \dot{\alpha}_2\vec{z}_0 \wedge \vec{y}_2 = -\dot{\alpha}_2\vec{x}_2 :

soit directement dans la base de \mathcal{R}_2 :

2. Accélération de G_3 par rapport à \mathcal{R}_0 :

On dérive de même chaque terme de \vec{V}_{3,0}(G_3) dans \mathcal{R}_0, avec \left(\frac{\mathrm{d}\vec{y}_3}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}_{3/0} \wedge \vec{y}_3 = -(\dot{\alpha}_2 + \dot{\alpha}_3)\vec{x}_3 :

D'après le paramétrage angulaire (figure 5), le passage de la base (\vec{x}_2, \vec{y}_2) à la base (\vec{x}_3, \vec{y}_3) s'effectue par rotation d'angle \alpha_3 autour de \vec{z}_0 :

En substituant ces expressions, on obtient les composantes suivant \vec{x}_2 et \vec{y}_2 :

Ce qui s'écrit de manière factorisée :

Par définition, le torseur dynamique d'un solide j de masse m_j et de centre d'inertie G_j, en mouvement par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_0, s'écrit en un point A :

1. Torseur dynamique du bras 2 au point O_2 :

D'après le résultat de la question Q24, la résultante dynamique de 2 s'écrit :

Le vecteur rotation du solide 2 est \vec{\Omega}_{2/0} = \dot{\alpha}_2 \vec{z}_0. L'axe (G_2, \vec{z}_0) = (G_2, \vec{z}_2) étant un axe principal d'inertie de moment d'inertie C_2, le moment cinétique en G_2 est \vec{\sigma}_{2/0}(G_2) = C_2 \dot{\alpha}_2 \vec{z}_0. La direction \vec{z}_0 étant fixe dans \mathcal{R}_0, on a :

Le moment dynamique au point O_2 s'obtient alors par transport :

D'où l'expression du torseur dynamique de 2 en O_2 :

2. Torseur dynamique du panneau 3 au point O_3 :

D'après la question Q24, la résultante dynamique du panneau 3 vaut :

avec :

Le vecteur rotation du solide 3 est \vec{\Omega}_{3/0} = (\dot{\alpha}_2 + \dot{\alpha}_3)\vec{z}_0. L'axe (G_3, \vec{z}_0) = (G_3, \vec{z}_3) étant un axe principal d'inertie de moment d'inertie C_3, le moment dynamique en G_3 est :

Calculons le moment de transport au point O_3 :

En décomposant \vec{a}_{3,0}(G_3) = \vec{a}_{2,0}(O_3) + \vec{a}_{3/2}(G_3) où :

• \vec{a}_{2,0}(O_3) = -\dfrac{L}{2}\dot{\alpha}_2^2 \vec{x}_2 + \dfrac{L}{2}\ddot{\alpha}_2 \vec{y}_2,

• \vec{a}_{3/2}(G_3) est l'accélération relative de G_3 dans la rotation autour de (O_3, \vec{z}_0), soit :

  \vec{a}_{3/2}(G_3) = -\frac{L}{2}(\dot{\alpha}_2 + \dot{\alpha}_3)^2 \vec{x}_3 + \frac{L}{2}(\ddot{\alpha}_2 + \ddot{\alpha}_3) \vec{y}_3

Le produit vectoriel avec \vec{O_3 G_3} = \dfrac{L}{2}\vec{x}_3 donne :

En sommant ces contributions, on obtient le moment dynamique en O_3 :

D'où l'expression du torseur dynamique de 3 en O_3 :