Corrigé détaillé CCINP Modélisation TSI 2026

D'après l'énoncé, la fonction R_e est continue et 2\pi-périodique sur \mathbb{R}.

• Le segment [0, 2\pi] est une partie fermée et bornée (compacte) de \mathbb{R}. Toute fonction continue sur un segment y est bornée (théorème des bornes atteintes). Il existe donc deux réels m et M tels que :

  \forall \theta \in [0, 2\pi], \quad m \leqslant R_e(\theta) \leqslant M.

• De plus, la fonction R_e étant 2\pi-périodique, pour tout réel \theta \in \mathbb{R}, il existe k \in \mathbb{Z} tel que \theta - 2k\pi \in [0, 2\pi], d'où :

  R_e(\theta) = R_e(\theta - 2k\pi) \in [m, M].

Ainsi, l'image de \mathbb{R} par R_e coïncide avec celle du segment [0, 2\pi] :

La fonction R_e étant continue et 2\pi-périodique sur \mathbb{R}, ses coefficients trigonométriques de Fourier associés à l'écriture de la somme partielle

sont définis, pour tout intervalle d'intégration de longueur 2\pi (par exemple [-\pi, \pi] ou [0, 2\pi]), par :

• pour k = 0 (valeur moyenne de la fonction) :

  \boxed{a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \, \mathrm{d}\theta}

• pour tout entier k \in \mathbb{N}^* :

  \boxed{a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \cos(k\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \cos(k\theta) \, \mathrm{d}\theta}
  \boxed{b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} R_e(\theta) \sin(k\theta) \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} R_e(\theta) \sin(k\theta) \, \mathrm{d}\theta}

Dans le repère \mathscr{R} = (O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}), un point courant de la frontière extérieure de la section droite du flotteur a pour coordonnées polaires (\rho, \theta) = (R_e(\theta), \theta), soit pour vecteur position dans le plan (O, \vec{x}, \vec{y}) :

La réflexion par rapport à la droite (O, \vec{x}) laisse invariante la coordonnée selon \vec{x} et change le signe de la coordonnée selon \vec{y}. Le point symétrique M' de M(\theta) a donc pour vecteur position :

Ce point M' se situe dans la direction d'angle polaire -\theta à une distance R_e(\theta) de l'origine O. Pour que le profil extérieur soit symétrique par rapport à la droite (O, \vec{x}), il faut et il suffit que ce point appartienne au profil, c'est-à-dire que son rayon soit égal à R_e(-\theta) pour tout \theta \in \mathbb{R}.

La condition nécessaire et suffisante est donc :

La fonction R_e doit ainsi être paire.

D'après la question Q2, pour tout k \in \mathbb{N}^*, le coefficient b_k s'écrit :

Si la fonction R_e est paire, la fonction \theta \mapsto R_e(\theta) \sin(k\theta) est impaire (produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire). L'intervalle d'intégration [-\pi, \pi] étant centré en zéro, l'intégrale d'une fonction impaire est nulle :

Il en découle immédiatement la simplification de la somme partielle de Fourier S_N(\theta) :

où, par parité, les coefficients restants s'écrivent également a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi R_e(\theta)\,\mathrm{d}\theta et a_k = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi R_e(\theta)\cos(k\theta)\,\mathrm{d}\theta pour tout k \in \{1, \dots, N-1\}.

Soit R_e : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction 2\pi-périodique.

Si R_e est de classe \mathcal{C}^1 par morceaux sur \mathbb{R}, alors pour tout réel \theta \in \mathbb{R}, sa série de Fourier converge simplement et a pour somme :

où R_e(\theta^+) et R_e(\theta^-) désignent respectivement les limites à droite et à gauche de R_e en \theta.

Comme la fonction R_e est de plus continue sur \mathbb{R}, on a en tout point \theta \in \mathbb{R} :

La série de Fourier converge donc simplement vers la fonction R_e elle-même :

Compte tenu de la parité de R_e, le modèle recherché s'écrit pour N paramètres :

Bien que la fonction dépende non linéairement de \theta, elle est linéaire vis-à-vis des paramètres A = \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_{N-1} \end{pmatrix}^\top \in \mathbb{R}^N.

Pour les m points expérimentaux (\theta_i, r_i)_{1 \leqslant i \leqslant m} (avec m \gg N), on cherche le vecteur de coefficients A minimisant la somme des carrés des écarts :

avec :

La famille d'algorithmes utilisée est celle de la régression linéaire par la méthode des moindres carrés (ou moindres carrés ordinaires) :

• La condition d'optimalité conduit au système des équations normales :

  X^\top X A = X^\top Y \implies A = (X^\top X)^{-1} X^\top Y

• En pratique, pour garantir une meilleure stabilité numérique face au conditionnement de X^\top X, les algorithmes de résolution reposent sur :

  • la décomposition QR de la matrice X (X = QR) ;
  • ou la décomposition en valeurs singulières (SVD), qui donne la pseudo-inverse de Moore-Penrose X^+ telle que A = X^+ Y (implémentée par exemple via numpy.linalg.lstsq en Python).

Le flotteur est modélisé par le domaine matériel homogène (de masse volumique constante \mu) :

• Symétrie par rapport au plan (O, \vec{x}, \vec{y}) :
  L'intervalle de variation de la coordonnée axiale est centré en 0 : z \in \left[-\frac{\ell}{2}, \frac{\ell}{2}\right]. La réflexion par rapport au plan (O, \vec{x}, \vec{y}) transforme le point (x, y, z) en (x, y, -z) et laisse le domaine \mathscr{D} ainsi que sa masse volumique invariants. Le plan (O, \vec{x}, \vec{y}) est donc un plan de symétrie matérielle du flotteur, ce qui impose :

  z_G = 0.

• Symétrie par rapport au plan (O, \vec{x}, \vec{z}) :
  La réflexion par rapport au plan (O, \vec{x}, \vec{z}) transforme le point (x, y, z) en (x, -y, z), c'est-à-dire (\rho, \theta, z) en (\rho, -\theta, z). D'après les questions précédentes, le profil extérieur est symétrique par rapport à l'axe (O, \vec{x}), ce qui se traduit par la parité de la fonction R_e :

  \forall \theta \in \mathbb{R}, \quad R_e(-\theta) = R_e(\theta).

  Ainsi, si un point matériel (\rho, \theta, z) appartient à \mathscr{D}, alors le point symétrique (\rho, -\theta, z) vérifie \rho \in [R_i, R_e(-\theta)] = [R_i, R_e(\theta)] et appartient également à \mathscr{D}. Le plan (O, \vec{x}, \vec{z}) est donc un deuxième plan de symétrie matérielle, ce qui impose :

  y_G = 0.

Le centre d'inertie G appartient à l'intersection des deux plans de symétrie matérielle (O, \vec{x}, \vec{y}) et (O, \vec{x}, \vec{z}) :

On isole le flotteur (f) dans un référentiel lié à la surface de l'eau, supposé galiléen. Il est soumis à deux actions mécaniques extérieures modélisées par des glisseurs :

• le poids : \{\mathscr{T}_{\mathrm{pes}\to\mathrm{f}}\} = \left\{\begin{array}{c} -mg\,\vec{x}_0 \\ \vec{0} \end{array}\right\}_G ;
• la poussée d'Archimède : \{\mathscr{T}_{\mathrm{eau}\to\mathrm{f}}\} = \left\{\begin{array}{c} \rho V g\,\vec{x}_0 \\ \vec{0} \end{array}\right\}_C.

Le principe fondamental de la statique (PFS) appliqué au flotteur s'écrit :

1. Théorème de la résultante statique :

   \vec{R} = \vec{P} + \vec{F} = (-mg + \rho V g)\,\vec{x}_0 = \vec{0} \implies mg = \rho V g

2. Théorème du moment statique au point G :

   \vec{\mathcal{M}}_G(\text{ext}\to\mathrm{f}) = \vec{\mathcal{M}}_G(\mathrm{pes}\to\mathrm{f}) + \vec{\mathcal{M}}_G(\mathrm{eau}\to\mathrm{f}) = \vec{0}

Le moment du poids en G est nul puisque son centre d'application est G :

Par la formule de transport des moments, le moment de la poussée d'Archimède au point G s'exprime par :

Le point Z étant le projeté orthogonal de G sur la droite (C, \vec{x}_0), on décompose :

Le vecteur \overrightarrow{ZC} étant colinéaire à la verticale ascendante \vec{x}_0, son produit vectoriel avec \vec{x}_0 est nul :

Le moment résultant en G se réduit donc à :

À l'équilibre statique, ce moment doit être nul :

Or, par construction, \overrightarrow{GZ} est orthogonal à la droite (C, \vec{x}_0), donc \overrightarrow{GZ} \perp \vec{x}_0. Le produit vectoriel de deux vecteurs orthogonaux est nul si et seulement si l'un d'eux est nul. Comme \vec{x}_0 \neq \vec{0}, on en déduit :

Cas contraire (G \neq Z) : Si les points G et Z ne sont pas confondus, la résultante des moments en G n'est pas nulle : le flotteur n'est pas en équilibre statique. Il subit un couple de forces d'axe \vec{z} (couple de redressement ou couple de chavirement selon le sens de basculement) qui provoque une accélération angulaire de roulis autour de son axe longitudinal.

Signification des points A et C :

• Point A (\theta = 0) : Il correspond à la position d'équilibre stable du flotteur (flotteur droit, mer calme). En ce point :

  \overline{GZ}(0) = 0 \implies \Gamma(0) = 0,

  le moment des actions hydrostatiques et du poids est nul. L'énergie potentielle y présente un minimum local strict :

  \left.\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta=0} = 0 \quad \text{et} \quad \left.\frac{\mathrm{d}^2E_p}{\mathrm{d}\theta^2}\right|_{\theta=0} = mg \left.\frac{\mathrm{d}\overline{GZ}}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta=0} > 0,

  ce qui confirme la stabilité de l'équilibre.

• Point C (\theta = \theta_C) : Il correspond à la position d'équilibre instable et définit l'angle critique de chavirement (limite de stabilité statique). En ce point, le bras de redressement s'annule à nouveau (\overline{GZ}(\theta_C) = 0), et l'énergie potentielle de basculement E_p atteint un maximum local :

  \left.\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta=\theta_C} = 0 \quad \text{et} \quad \left.\frac{\mathrm{d}^2E_p}{\mathrm{d}\theta^2}\right|_{\theta=\theta_C} < 0.

  L'énergie E_p(\theta_C) représente la barrière d'énergie potentielle à franchir pour faire chavirer le flotteur.

Comportement en B :

• Le point B est situé dans le domaine de stabilité statique, c'est-à-dire 0 < \theta_B < \theta_C (il correspond d'ailleurs au maximum du bras de redressement \overline{GZ}).
• Comme \overline{GZ}(\theta_B) > 0, le couple de redressement \Gamma = \rho V g \overline{GZ} est strictement positif et s'oppose à l'inclinaison : il tend à ramener le flotteur vers la position d'équilibre \theta = 0.

Par conséquent, en l'absence de sollicitation extérieure déstabilisante, l'angle de gîte va diminuer pour revenir vers 0.

Le domaine matériel \mathscr{D} du flotteur est défini par :

En supposant le flotteur homogène, celui-ci admet deux plans orthogonaux de symétrie matérielle passant par O :

• Le plan (O, \vec{x}, \vec{z}) : d'après la question Q3, la fonction R_e est paire (R_e(-\theta) = R_e(\theta)), de sorte que le profil de la section droite est symétrique par rapport à l'axe (O, \vec{x}). L'invariance par l'application y \mapsto -y entraîne l'annulation des produits d'inertie correspondants :

  I_{xy} = \iiint_\mathscr{D} x\,y\,\mathrm{d}m = 0 \quad \text{et} \quad I_{yz} = \iiint_\mathscr{D} y\,z\,\mathrm{d}m = 0.

• Le plan (O, \vec{x}, \vec{y}) : la section droite ne dépend pas de z et la cote z varie sur l'intervalle symétrique \left[-\frac{\ell}{2}, \frac{\ell}{2}\right]. L'invariance par la transformation z \mapsto -z entraîne :

  I_{xz} = \iiint_\mathscr{D} x\,z\,\mathrm{d}m = 0 \quad \text{et} \quad I_{yz} = \iiint_\mathscr{D} y\,z\,\mathrm{d}m = 0.

Les trois produits d'inertie sont donc rigoureusement nuls :

Par conséquent, les directions (O, \vec{x}), (O, \vec{y}) et (O, \vec{z}) sont des axes principaux d'inertie du flotteur au point O.

Le segment intérieur (\mathrm{s}) est un cylindre homogène d'axe (O, \vec{z}). Cet axe constitue donc un axe de révolution matérielle pour le solide.

1. Caractère diagonal de la matrice : Tout plan contenant l'axe de révolution (O, \vec{z}) est un plan de symétrie matérielle pour le segment intérieur :

   • le plan (O, \vec{x}, \vec{z}) est un plan de symétrie matérielle, ce qui entraîne la nullité des produits d'inertie faisant intervenir la coordonnée normale y :

     I_{xy} = \iiint_{(\mathrm{s})} x y \, \mathrm{d}m = 0 \quad \text{et} \quad I_{yz} = \iiint_{(\mathrm{s})} y z \, \mathrm{d}m = 0 ;

   • le plan (O, \vec{y}, \vec{z}) est également un plan de symétrie matérielle, ce qui entraîne la nullité des produits d'inertie faisant intervenir x :

     I_{xy} = 0 \quad \text{et} \quad I_{xz} = \iiint_{(\mathrm{s})} x z \, \mathrm{d}m = 0.

   Tous les produits d'inertie étant nuls, la base (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) est une base principale d'inertie au point O, et la matrice d'inertie \overline{\bar{I}}_\mathrm{s}(O) est diagonale.

2. Égalité des moments d'inertie transverses : Du fait de l'invariance par rotation d'un quart de tour (\pi/2) autour de l'axe (O, \vec{z}), qui transforme l'axe (O, \vec{x}) en l'axe (O, \vec{y}), les moments d'inertie par rapport à ces deux axes sont égaux :

   I(O, \vec{x}) = I(O, \vec{y}) = A_s.

En notant C_s = I(O, \vec{z}), la matrice d'inertie prend bien la forme requise :

D'après la loi de composition des vecteurs taux de rotation, on a :

On en déduit l'expression du vecteur taux de rotation du segment intérieur (s) par rapport au référentiel galiléen :

En introduisant les données de l'énoncé, \vec{\Omega}_{f/0} = \dot{\theta}\,\vec{z} et \vec{\Omega}_{f/s} = \omega_m\,\vec{z}, il vient :

On étudie le flotteur (\mathrm{f}) dans le référentiel galiléen lié au repère \mathscr{R}_0 = (O, \overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{y_0}, \overrightarrow{z_0}), où l'axe (O, \vec{z}) est fixe (avec \vec{z} = \overrightarrow{z_0}).

Le flotteur est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :

• Le poids \vec{P} = -mg \overrightarrow{x_0}, appliqué en son centre d'inertie G. Avec \overrightarrow{GO} = c\vec{x}, on a \overrightarrow{OG} = -c\vec{x}. Sachant que \vec{x} = \cos\theta \overrightarrow{x_0} + \sin\theta \overrightarrow{y_0}, le moment en O s'écrit :

  \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P}) = \overrightarrow{OG} \wedge \vec{P} = (-c\vec{x}) \wedge (-mg\overrightarrow{x_0}) = mgc \, (\vec{x} \wedge \overrightarrow{x_0}) = -mgc\sin\theta\,\vec{z}.

• La poussée d'Archimède \vec{F} = \rho V g \overrightarrow{x_0}, appliquée au centre de carène C. Avec \overrightarrow{CO} = a\overrightarrow{x_0} + b\overrightarrow{y_0}, on a \overrightarrow{OC} = -a\overrightarrow{x_0} - b\overrightarrow{y_0}. Son moment en O s'écrit :

  \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) = \overrightarrow{OC} \wedge \vec{F} = (-a\overrightarrow{x_0} - b\overrightarrow{y_0}) \wedge (\rho V g \overrightarrow{x_0}) = -b\rho V g (\overrightarrow{y_0} \wedge \overrightarrow{x_0}) = \rho V g b\,\vec{z}.
• L'action exercée par le segment intérieur (\mathrm{s}) via la liaison pivot motorisée d'axe (O, \vec{z}) : le couple moteur selon l'axe est \overrightarrow{C_{\mathrm{s} \to \mathrm{f}}} = C_m \vec{z}. La liaison étant supposée sans frottement, les actions de guidage ont une composante de moment nulle selon l'axe \vec{z}.

D'après l'énoncé, le moment dynamique du flotteur en O par rapport au référentiel galiléen est :

D'après le principe fondamental de la dynamique (théorème du moment dynamique appliqué au flotteur en O, projeté sur l'axe \vec{z}) :

ce qui conduit à :

L'équation différentielle régissant le mouvement du flotteur s'écrit donc :

Par définition, le point Z est le projeté orthogonal du centre d'inertie G sur la droite verticale (C, \vec{x}_0). Le vecteur \vec{CZ} est donc colinéaire à \vec{x}_0.

La base (\vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}) étant orthonormée directe, on a :

Décomposons le vecteur \vec{GZ} à l'aide de la relation de Chasles :

En effectuant le produit scalaire avec \vec{y}_0, il vient :

D'après les données de l'énoncé :

• \vec{GO} = c \vec{x}, avec \vec{x} = \cos\theta \vec{x}_0 + \sin\theta \vec{y}_0, donc \vec{GO} \cdot \vec{y}_0 = c \sin\theta ;
• \vec{CO} = a \vec{x}_0 + b \vec{y}_0, donc \vec{CO} \cdot \vec{y}_0 = b.

On en déduit l'expression du bras de redressement :

Le couple de redressement est défini par \Gamma = \rho V g \overline{GZ}. En supposant le flotteur à l'équilibre de flottaison (m = \rho V), on obtient :

D'après les questions Q13 et Q14, l'équation différentielle régissant le mouvement de roulis du flotteur dans le référentiel galiléen s'écrit :

où le couple de redressement vaut :

À la position d'équilibre stable (\theta = 0), le centre d'inertie G et le centre de carène C sont alignés sur la même verticale (O, \vec{x}_0), ce qui impose b(0) = 0 (les points G et Z sont alors confondus, conformément à la question Q8).

Au voisinage de cette position d'équilibre, pour |\theta| \ll \theta_C, on effectue un développement limité au premier ordre en \theta :

En négligeant au premier ordre le déplacement latéral du centre de carène (b \approx 0), le couple de redressement s'approxime par :

L'équation différentielle du mouvement du flotteur se linéarise ainsi sous la forme demandée :

avec :

Sur le schéma-blocs de la figure 5, la grandeur C_r(p) s'additionne (algébriquement) directement au couple moteur C_m(p) délivré par l'actionneur : il s'agit donc de la transformée de Laplace d'un couple.

Dans la boucle d'asservissement, C_r(p) ne dépend ni de la consigne ni de la commande : il s'agit d'une entrée de perturbation extérieure.

Physiquement, C_r(p) représente un couple perturbateur extérieur (ou couple résistant) exercé sur le flotteur par le milieu marin, induit notamment par :

• l'action de la houle et des vagues (sollicitations hydrodynamiques instationnaires) ;
• les effets du vent et des courants marins.

1. Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) :

En l'absence de perturbation (C_r(p) = 0), la boucle interne présente une chaîne directe de transmittance :

et une chaîne de retour de transmittance :

La transmittance de cette boucle interne, H_u(p) = \left. \frac{\Theta(p)}{U(p)} \right|_{C_r=0}, vaut :

La fonction de transfert en boucle ouverte de la boucle principale s'écrit donc :

2. Classe minimale du correcteur :

L'erreur au niveau du comparateur est \varepsilon(p) = A \, \Theta_c(p) - K_{\text{capt}} \Theta(p). En choisissant le préfiltre d'adaptation A = K_{\text{capt}}, l'erreur s'écrit :

où H_r(p) = \left. \frac{\Theta(p)}{C_r(p)} \right|_{U=0} = \dfrac{(R + Lp) C_s p}{(R + Lp)(C_f p^2 + K_x) C_s p + K_t K_e \left[(C_f + C_s)p^2 + K_x\right]}.

Notons que le dénominateur de H_u(p) ne s'annule pas en p=0 car son terme constant vaut K_t K_e K_x \neq 0. Par suite, au voisinage de p=0 :

Le processus présente ainsi un zéro à l'origine.

Si le correcteur est de classe \alpha \in \mathbb{N}, de la forme C(p) = \dfrac{C_0(p)}{p^\alpha} avec C_0(0) \neq 0, le comportement basse fréquence de la FTBO est :

• Échelon de consigne \Theta_c(p) = \dfrac{\Theta_{c0}}{p} (avec C_r = 0) :
  D'après le théorème de la valeur finale :

  \varepsilon_{s,c} = \lim_{p \to 0} p \varepsilon(p) = \lim_{p \to 0} \frac{K_{\text{capt}} \Theta_{c0}}{1 + \mathrm{FTBO}(p)}

  Pour annuler cette erreur statique, il est nécessaire que \lim_{p \to 0} \mathrm{FTBO}(p) = +\infty, ce qui impose :

  \alpha - 1 \geqslant 1 \iff \alpha \geqslant 2

• Échelon de perturbation C_r(p) = \dfrac{C_{r0}}{p} (avec \Theta_c = 0) :
  Comme H_r(p) \underset{p \to 0}{\sim} \dfrac{R C_s p}{K_t K_e K_x}, l'erreur statique due à la perturbation vaut :

  \varepsilon_{s,r} = \lim_{p \to 0} - \frac{K_{\text{capt}} H_r(p) C_{r0}}{1 + \mathrm{FTBO}(p)} = \frac{0}{+\infty} = 0 \quad (\text{dès lors que } \alpha \geqslant 2)

La classe minimale du correcteur C(p) est donc :

3. Proposition d'un correcteur :

Pour introduire ce double intégrateur tout en assurant la stabilité en boucle fermée via une avance de phase, on propose un correcteur de la forme :

avec K_i > 0, \tau_1 > 0 et \tau_2 > 0.

Soit r_2 la rotation d'axe \operatorname{Vect}(\vec{z}) orientée par \vec{z} et d'angle \alpha = -\dfrac{\pi}{2}.

Dans la base orthonormée directe (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}), l'axe de rotation étant dirigé par \vec{z}, l'image de \vec{z} est invariante :

Dans le plan (O, \vec{x}, \vec{y}) orienté par \vec{z}, l'action de la rotation d'angle \alpha s'écrit :

En disposant en colonnes les coordonnées des images des vecteurs de la base (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}), on obtient la matrice R_2 :

D'après la définition d'un élément de SE(3), la matrice de configuration g_2 associée à la position 2 s'écrit sous forme de blocs :

où :

• p_2 \in \mathbb{R}^3 est le vecteur position du point M_2 dans le repère de référence \mathscr{R} = (O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}), soit :

  p_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}

• R_2 \in SO_3(\mathbb{R}) est la matrice de rotation établie à la question Q18 :

  R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

On obtient ainsi l'élément de SE(3) recherché :

D'après la figure 6 pour la position 3 :

• l'axe de la tête est inchangé : \vec{y}_3 = \vec{y} ;
• le haut de la tête est inversé : \vec{z}_3 = -\vec{z} ;

• la base (\vec{x}_3, \vec{y}_3, \vec{z}_3) étant orthonormée directe, on a :

  \vec{x}_3 = \vec{y}_3 \wedge \vec{z}_3 = \vec{y} \wedge (-\vec{z}) = -\vec{x}.

Le passage de la base (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) à la base (\vec{x}_3, \vec{y}_3, \vec{z}_3) correspond donc à une rotation d'angle \pi autour de l'axe \operatorname{Vect}(\vec{y}), dont la matrice s'écrit :

Le vecteur position du point M_3 dans le repère de référence est :

L'élément g_3 \in SE(3) associé à la configuration 3 est donc :

Par identification avec la définition d'un élément de SE(3), la matrice g_4 se décompose sous la forme :

où :

1. Translation : Le vecteur de translation correspond au bloc p_4. La tête du serpent subit une translation de vecteur :

   \vec{p}_4 = \vec{x} + 2\vec{y} + 3\vec{z},

   ce qui amène la tête du point de référence M_0(0,0,0) au point M_4(1,2,3).

2. Rotation : La matrice R_4 s'écrit sous la forme canonique d'une rotation autour de l'axe \vec{z} :

   R_4 = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

   avec :

   \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \text{ rad} \quad (45^\circ).

   Il s'agit donc d'une rotation d'axe \text{Vect}(\vec{z}), orienté par \vec{z}, et d'angle \frac{\pi}{4}.

La transposée de la matrice R s'écrit :

Calculons le produit matriciel R^{\mathsf{T}} R :

Puisque R^{\mathsf{T}} R = I_3, on conclut que :

Par définition, le groupe spécial orthogonal \mathrm{SO}_3(\mathbb{R}) est l'ensemble des matrices orthogonales de déterminant égal à +1 :

D'après le résultat de la question Q22, la matrice R est orthogonale (R \in \mathrm{O}_3(\mathbb{R})). Il suffit donc de vérifier que son déterminant vaut +1.

Écrivons R = \frac{1}{3} A avec :

Par propriété d'homogénéité du déterminant dans \mathscr{M}_3(\mathbb{R}) :

Calculons \det(A) en développant selon la première ligne :

On en déduit :

Comme R \in \mathrm{O}_3(\mathbb{R}) et \det(R) = 1, la matrice R appartient bien au groupe spécial orthogonal :

L'axe de la rotation r, noté \Delta, est l'ensemble des vecteurs invariants par r :

En posant \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} dans la base (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}), on a :

L'équation s'écrit sous forme du système scalaire :

En effectuant (L_2) - (L_1) :

En injectant z = -x dans l'équation (L_1) :

L'équation (L_3) est alors immédiatement vérifiée :

L'axe de rotation est donc la droite vectorielle :

En choisissant le vecteur directeur \vec{a} dont la première composante vaut 1, on obtient :

La matrice R est la matrice d'une rotation d'angle \theta autour de l'axe dirigé et orienté par le vecteur \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

La trace d'une matrice de rotation de \mathbb{R}^3 d'angle \theta est un invariant qui vérifie :

Or, d'après l'expression de R :

On en déduit :

ce qui implique \theta = \frac{\pi}{3} ou \theta = -\frac{\pi}{3} modulo 2\pi.

Pour déterminer le signe de \sin\theta, on utilise la partie antisymétrique de la matrice R. Si \vec{u}_a = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} désigne le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation, la partie antisymétrique de R s'écrit :

Avec \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, on a \|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}, d'où :

Calculons la matrice R - R^{\mathsf{T}} :

En identifiant par exemple le coefficient d'indice (2,1) :

Puisque \cos\theta = \frac{1}{2} et \sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}, l'angle \theta \in ]-\pi ; \pi] est :

D'après la modélisation introduite au paragraphe II.1, le passage de la configuration de référence g_0 = I_4 (où le repère de la tête coïncide avec le repère de référence \mathscr{R}) à la configuration g_5 = \begin{pmatrix} R & p \\ 0_{1,3} & 1 \end{pmatrix} se décompose en deux mouvements :

• Une translation de vecteur :

  \vec{p} = \overrightarrow{M_0 M_5} = p_x \vec{x} + p_y \vec{y} + p_z \vec{z}

  amenant le point de référence de la tête du point M_0(0,0,0) au point M_5 de coordonnées p = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} ;

• Une rotation r de la tête d'axe orienté par le vecteur :

  \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \vec{x} + \vec{y} - \vec{z} \quad \text{(d'après Q24)}

  et d'angle :

  \theta = -\frac{\pi}{3} \text{ rad} = -60^\circ \quad \text{(d'après Q25)}.

Soient g_1 et g_2 deux éléments quelconques de SE(3). Par définition de SE(3), il existe (R_1, R_2) \in (SO_3(\mathbb{R}))^2 et (p_1, p_2) \in (\mathbb{R}^3)^2 tels que :

D'après la formule du produit matriciel par blocs donnée par l'énoncé (avec a = 1 et b = 1) :

Vérifions les conditions d'appartenance de g_1 g_2 à SE(3) :

• Appartenance du bloc linéaire à SO_3(\mathbb{R}) : Comme R_1 \in SO_3(\mathbb{R}) et R_2 \in SO_3(\mathbb{R}), on a :

  (R_1 R_2)^\top (R_1 R_2) = R_2^\top (R_1^\top R_1) R_2 = R_2^\top I_3 R_2 = R_2^\top R_2 = I_3,

  donc R_1 R_2 \in O_3(\mathbb{R}). De plus :

  \det(R_1 R_2) = \det(R_1)\det(R_2) = 1 \times 1 = 1.

  Par conséquent, R_1 R_2 \in SO_3(\mathbb{R}) (le groupe spécial orthogonal SO_3(\mathbb{R}) est un sous-groupe de GL_3(\mathbb{R})).

• Appartenance du bloc de translation à \mathbb{R}^3 : Le produit matriciel R_1 p_2 est un vecteur colonne de \mathbb{R}^3, et la somme p_{12} = R_1 p_2 + p_1 appartient bien à \mathbb{R}^3.
• Dernière ligne : Elle est égale à \begin{pmatrix} 0_{1,3} & 1 \end{pmatrix}.

On en déduit que :

L'ensemble SE(3) est donc bien stable par produit matriciel.

La matrice g est définie par blocs sous la forme :

En développant le déterminant de g selon sa quatrième ligne, qui ne comporte qu'un unique coefficient non nul égal à 1 en position (4,4), on obtient :

Par définition du groupe des déplacements SE(3), la matrice R appartient au groupe spécial orthogonal \mathrm{SO}_3(\mathbb{R}). Elle vérifie donc :

On en déduit :

Comme \det(g) = 1 \neq 0, la matrice g est bien inversible dans \mathcal{M}_4(\mathbb{R}) (c'est-à-dire g \in \mathrm{GL}_4(\mathbb{R})).

Soit g = \begin{pmatrix} R & p \\ 0_{1,3} & 1 \end{pmatrix} \in SE(3), avec R \in \mathrm{SO}_3(\mathbb{R}) et p \in \mathbb{R}^3. On cherche g^{-1} sous la forme :

D'après la formule du produit matriciel donnée dans l'énoncé (avec ici a = 1), on a :

Pour que h = g^{-1}, il faut et il suffit que g h = I_4 = \begin{pmatrix} I_3 & 0_{3,1} \\ 0_{1,3} & 1 \end{pmatrix}, ce qui conduit par identification bloc par bloc au système :

Comme R \in \mathrm{SO}_3(\mathbb{R}), la matrice R est orthogonale, d'où R^{-1} = R^{\mathsf{T}}. Ainsi :

On vérifie immédiatement que h g = \begin{pmatrix} R^{\mathsf{T}}R & R^{\mathsf{T}}p - R^{\mathsf{T}}p \\ 0_{1,3} & 1 \end{pmatrix} = I_4. L'inverse de g est donc :

Stabilité de SE(3) par inversion :

• R \in \mathrm{SO}_3(\mathbb{R}), or \mathrm{SO}_3(\mathbb{R}) est un sous-groupe de \mathrm{GL}_3(\mathbb{R}), donc son inverse S = R^{\mathsf{T}} appartient bien à \mathrm{SO}_3(\mathbb{R}) ;
• q = -R^{\mathsf{T}}p \in \mathbb{R}^3 comme produit d'une matrice 3\times 3 par un vecteur de \mathbb{R}^3.

La matrice g^{-1} est donc bien de la forme \begin{pmatrix} S & q \\ 0_{1,3} & 1 \end{pmatrix} avec S \in \mathrm{SO}_3(\mathbb{R}) et q \in \mathbb{R}^3, ce qui prouve que :

SE(3) est stable par passage à l'inverse (c'est donc bien un sous-groupe de \mathrm{GL}_4(\mathbb{R})).

Pour tout t \in [0, \tau], la fonction f est une fonction polynomiale de degré 4, donc de classe \mathscr{C}^\infty sur [0, \tau]. En remarquant que les coefficients décimaux se simplifient :

l'expression de f(t) s'écrit sous la forme factorisée :

Calculons sa dérivée première f' par rapport à t :

Le trinôme du second degré se factorise immédiatement car \tau et \frac{\tau}{2} en sont les racines évidentes :

On obtient ainsi :

Étudions le signe de f'(t) sur [0, \tau] :

• f'(0) = f'\!\left(\frac{\tau}{2}\right) = f'(\tau) = 0 ;
• pour t \in \left]0, \frac{\tau}{2}\right[, on a t > 0, t - \frac{\tau}{2} < 0 et t - \tau < 0, d'où f'(t) > 0 ;
• pour t \in \left]\frac{\tau}{2}, \tau\right[, on a t > 0, t - \frac{\tau}{2} > 0 et t - \tau < 0, d'où f'(t) < 0.

Aux bornes de l'intervalle :

La fonction f admet un maximum strict en t = \frac{\tau}{2}. Sa valeur maximale vaut :

Avec \tau = 10\text{ s}, on a \tau^4 = 10\,000 :

Puisque 125 = 5^3 et 128 = 2^7 sont premiers entre eux, cette fraction est irréductible.

On en déduit le tableau de variations complet de f sur [0, \tau] :

D'après l'étude menée en Q30, la fonction f s'écrit pour tout t \in [0, \tau] :

avec \tau = 10\text{ s}.

Les caractéristiques principales de la courbe représentative de f sont :

• Elle part de l'origine (0, 0) avec une tangente horizontale (f'(0) = 0).

• Elle présente une symétrie par rapport à la droite d'équation t = \frac{\tau}{2} = 5\text{ s} puisque :

  f(\tau - t) = \frac{1}{640}(\tau - t)^2 (-t)^2 = f(t).

• Elle admet un maximum local et global au point d'abscisse t = \frac{\tau}{2} = 5\text{ s}, de valeur :

  f\left(\frac{\tau}{2}\right) = \frac{125}{128} \approx 0{,}98,

  avec une tangente horizontale (f'(\tau/2) = 0).

• Elle s'annule en t = \tau = 10\text{ s} avec également une tangente horizontale (f'(\tau) = 0).

1. Signification graphique de la relation :

La relation f(t) = -f(t-\tau) pour tout t \in [\tau, 2\tau] signifie que la fonction f est anti-périodique de demi-période \tau. Graphiquement :

• La courbe sur l'intervalle [\tau, 2\tau] se déduit de celle sur [0, \tau] par une translation de vecteur \tau\,\vec{u}_t le long de l'axe des temps, suivie d'une réflexion (symétrie axiale) par rapport à l'axe des abscisses.

• De plus, la fonction f vérifiant f(\tau - u) = f(u) pour tout u \in [0, \tau] (symétrie axiale du profil sur [0, \tau] par rapport à la droite t = \frac{\tau}{2}), on a pour tout u \in [0, \tau] :

  f(\tau + u) = -f(u) = -f(\tau - u)

  ce qui montre que le point de coordonnées (\tau, 0) est un centre de symétrie pour la courbe représentative de f sur [0, 2\tau].

2. Tracé de la courbe sur [0, 2\tau] :

Sur l'intervalle [\tau, 2\tau], la fonction f :

• s'annule en t = \tau = 10\text{ s} et en t = 2\tau = 20\text{ s} avec des demi-tangentes horizontales (f'(\tau) = f'(2\tau) = 0) ;

• admet un minimum local en t = \frac{3\tau}{2} = 15\text{ s}, valant :

  f\left(\frac{3\tau}{2}\right) = -f\left(\frac{\tau}{2}\right) = -\frac{125}{128} \approx -0{,}977

  avec une tangente horizontale (f'\left(\frac{3\tau}{2}\right) = 0).

Les 5 liaisons pivot reliant les 6 segments successifs ont des axes parallèles et sont pilotées par la même loi temporelle f(t) (flexion latérale uniforme). L'angle relatif à chaque articulation est donc identique :

1. Configurations extrêmes :

D'après les questions Q30 et Q32, la fonction f atteint ses extrema sur la période [0, 2\tau] aux instants :

• t = \frac{\tau}{2} = 5\text{ s} où f(t) = f_{\max} = \frac{125}{128}\text{ rad} ;
• t = \frac{3\tau}{2} = 15\text{ s} où f(t) = -f_{\max} = -\frac{125}{128}\text{ rad}.

Les configurations extrêmes correspondent à ces deux instants d'enroulement latéral maximal, où le corps du robot prend une forme d'arc circulaire régulier courbé au maximum d'un côté (en « C »), puis du côté opposé.

2. Différence d'orientation entre la tête et la queue :

Puisque les axes des 5 liaisons pivot sont tous parallèles, les rotations planes s'additionnent. La différence d'orientation totale \Delta \theta entre l'orientation de la tête et celle de la queue vaut :

Pour une configuration extrême (en valeur absolue) :

Exprimée en degrés :

En prenant \pi \approx 3{,}14 :

Dans le repère galiléen \mathscr{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0), la position du point d'attache mobile A est donnée par :

Le fil étant rectiligne de longueur constante \ell, la position de G par rapport à A s'écrit :

Par la relation de Chasles, le vecteur position de G dans \mathscr{R}_0 est donc :

Le repère (\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1) tourne autour de l'axe \vec{z}_0 = \vec{z}_1 avec le vecteur rotation instantané :

La dérivée du vecteur unitaire \vec{x}_1 par rapport au temps dans le référentiel galiléen \mathscr{R}_0 vaut :

Le vecteur vitesse de G dans \mathscr{R}_0 s'exprime donc par :

En dérivant à nouveau par rapport au temps dans \mathscr{R}_0, et sachant que :

on obtient l'accélération :

D'après les relations géométriques de la base tournante :

En projetant entièrement l'accélération dans la base (\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1), il vient :

Dans le référentiel galiléen \mathscr{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0), le champ de pesanteur uniforme est dirigé selon le vecteur unitaire vertical descendant \vec{x}_0, de sorte que le poids appliqué au point matériel G de masse m s'écrit :

Le vecteur position du point G dans \mathscr{R}_0 est donné par :

Le déplacement élémentaire de G dans \mathscr{R}_0 vaut alors :

Le travail élémentaire du poids dans \mathscr{R}_0 s'obtient par produit scalaire :

Soit, sous forme condensée :

Caractère conservatif Une force est dite conservative si la forme différentielle de son travail élémentaire est une différentielle totale exacte, c'est-à-dire s'il existe une fonction scalaire E_p (énergie potentielle) dépendant uniquement de la position telle que \delta W = -\mathrm{d}E_p.

Ici, \delta W(\vec{P}) = \mathrm{d}(mg\ell\cos\theta), ce qui montre que le travail élémentaire dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

Le travail du poids entre deux positions quelconques ne dépend donc que des positions initiale et finale, et est indépendant du chemin suivi (et en particulier indépendant de la trajectoire temporelle \lambda(t) du point d'attache). Par conséquent, le poids est une force rigoureusement conservative dans le référentiel galiléen.

On étudie la masse ponctuelle m située en G dans le référentiel galiléen \mathscr{R}_0.

Le système est soumis à deux actions mécaniques extérieures :

• son poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\vec{x}_0 ;
• la tension du fil \vec{T} = -T\vec{x}_1, où T = \|\vec{T}\| désigne l'intensité de la tension, orientée de G vers l'attache A.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Pour déterminer la tension T, on projette cette relation vectorielle sur l'axe colinéaire au fil orienté par le vecteur unitaire \vec{x}_1 :

D'après le paramétrage défini à la figure 7 :

En utilisant la composante radiale de l'accélération établie à la question Q34, \vec{a}(G/\mathscr{R}_0)\cdot \vec{x}_1 = \ddot{\lambda}\sin\theta - \ell\dot{\theta}^2, on obtient :

On en déduit l'expression de la tension dans le fil :

La loi horaire du déplacement de l'attache est donnée par :

En dérivant deux fois par rapport au temps, on obtient l'accélération du point A :

Pour de petites oscillations autour de la position d'équilibre vertical (\theta = 0), on effectue les développements limités à l'ordre 1 en \theta :

L'équation différentielle (4) devient ainsi :

soit, en isolant le terme d'excitation :

On identifie alors avec la forme proposée :

avec :

L'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants s'écrit :

1. Solution de l'équation homogène :
L'équation homogène \ddot{\theta}(t) + \omega^2 \theta(t) = 0 a pour solution générale :

2. Recherche d'une solution particulière :
Comme \Omega \neq \omega, le second membre n'est pas en résonance avec la pulsation propre du système. On cherche donc une solution particulière de la forme :

En dérivant deux fois par rapport au temps, il vient \ddot{\theta}_p(t) = -C \Omega^2 \sin(\Omega t). En réinjectant dans l'équation différentielle :

La solution particulière s'écrit ainsi :

3. Solution générale et conditions initiales :
La solution générale est la somme de la solution homogène et de la solution particulière :

Sa dérivée temporelle est donnée par :

L'application des conditions initiales \theta(0) = 0 et \dot{\theta}(0) = 0 fournit le système :

On en déduit l'expression de \theta(t) pour tout t \in \mathbb{R} :

Pour \Omega = \omega, l'équation différentielle (5) s'écrit :

La solution générale de l'équation homogène associée est :

Comme la pulsation d'excitation coïncide avec la pulsation propre du système, il y a résonance. On cherche une solution particulière sous la forme :

En dérivant deux fois par rapport au temps :

En injectant dans l'équation différentielle :

Par identification, on obtient :

La solution particulière s'écrit donc :

La solution générale de l'équation complète est alors :

Sa dérivée temporelle est donnée par :

Les conditions initiales imposent :

On en déduit l'expression de \theta(t) pour tout t \in \mathbb{R} :