Statique des fluides : 262 questions de concours corrigées

Établir l'expression de la pression P_eau de l'eau au niveau du point M(x), en fonction de P₀, ρ, g, h, θ et x.

Établir la loi d’évolution du champ de pression P(z) dans l’eau en fonction de la profondeur z.

Donner l'équation locale de la statique des fluides appliquée à un fluide de masse volumique uniforme µ, en présence d'un champ d'accélération de pesanteur uniforme g.

En déduire l'expression du champ de pression P(z) dans l'eau des océans modélisée par un fluide statique de masse volumique uniforme µ = 1000 kg.m⁻³.

En déduire la résultante totale des forces de pressions (air et eau) exercées sur le capteur. Quel résultat connu retrouvez-vous ?

En déduire l'expression de dp_st/dz puis une forme simplifiée de l'équation de Navier–Stokes.

Démontrer que l’on a ici dP/dz = -ρ₀ g.

Estimer la pression P à cette profondeur en explicitant la démarche suivie et toute hypothèse effectuée.

En supposant que l'eau est un fluide incompressible, établir l'expression du champ de pression P(z) dans l'eau.

En plus de ces forces de pression, le volume élémentaire est soumis à la seule force de pesanteur. Donner sans démonstration l'expression de la force volumique associée. En déduire la condition…

Déterminer l'expression de la pression P(z) dans l'eau de mer à une profondeur z en fonction de la masse volumique ρ₀, g et z. On suppose que l'eau de mer est incompressible et homogène. On prendra…

Établir la condition d'équilibre d'une tranche cylindrique de section S et d'épaisseur dz (figure 1) de la colonne d'eau (du sommet de la cheminée jusqu'au niveau de la cavité la plus profonde)…

Déduire, du résultat précédent, l'expression de la pression p = p(r, z). On notera A (A R) la constante d'intégration qui intervient.

L’expérience utilise un récipient dans lequel on verse un liquide de masse volumique ρ_l, qu’on supposera approximativement égale à celle de l’eau. On suppose dans un premier temps que le récipient…

Rappeler l’expression de la force de poussée d’Archimède F_A exercée sur une petite bulle d’air de volume V.

Déterminer l’expression de la valeur de D à l’équilibre, notée D₀, en fonction de h₀, ρ_f et ρ_l.

Établir la relation entre la variation élémentaire de pression dP, la variation élémentaire d'altitude dz, la masse volumique de l'air ρ et la valeur de l'accélération de la pesanteur g.

En déduire l'expression de la pression locale P(z) à l'altitude z en fonction de la pression au sol P₀, de la masse molaire M de l'air, de la température T₀, de la constante des gaz parfaits R et de…

On considère un solide homogène de masse volumique ρ et de volume V entièrement immergé dans un liquide de masse volumique ρ_ℓ en équilibre dans le champ de pesanteur. Par une analyse des forces…

En déduire l'expression de la pression P(z) à une profondeur donnée z, en fonction de P₀ la pression atmosphérique, g l'intensité de pesanteur uniforme qui règne dans l'océan, ρ₀ et z.

Rappeler l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède en indiquant la signification de chacun des termes utilisés dans cette expression.

La profondeur du lac étant de l'ordre de 30 m, évaluer la pression en bars au fond du lac, en précisant les grandeurs utiles et leurs valeurs usuelles.

Calculer la fraction de volume immergé des flotteurs lorsque l'équilibre vertical est réalisé.

Écrire l'équation qui traduit que le diazote est à l'équilibre hydrostatique.

Relier la surpression Δ P dans la bulle à la dénivellation h dans le manomètre à eau, de masse volumique ρₑ.

Un iceberg (photo 2) de volume total V flotte dans l'océan. Il présente un volume émergé v. Déterminer le rapport v/V.

Rappeler la force totale exercée par l'air sur l'étalon. Contribue-t-elle à augmenter ou diminuer la masse apparente de l'étalon ?

Déterminer la forme de l'équation d'Euler à l'ordre le plus bas (vitesse nulle).

En déduire l'expression explicite de p₀(z), que l'on supposera toujours valide, même en présence d'ondes.

Rappeler la définition, en fonction de la masse volumique et de la pression, du coefficient de compressibilité. Rappeler l'expression de l'équation locale de conservation de la masse.

En appliquant le théorème de Gauss, exprimer g(r) en fonction de G et M(r). Rappeler l'équation de la statique des fluides que l'on peut écrire pour cette étoile.

Établir l'équation différentielle vérifiée par le champ de pression P(z). On introduira une hauteur caractéristique H.

Déterminer l’expression de la résultante des forces pressantes exercée par l’eau sur le barrage. Évaluer l’ordre de grandeur de sa norme dans le cas du barrage poids étudié possédant les…

Déduire des indications précédentes une relation intégrale liant P(z) et la fonction ρ(z) puis l'équation différentielle : (d P)/P = - 1/(1 - z/H₁) (d z)/H₀ et exprimer les altitudes…

Établir la loi de Jurin–Laplace, P_i = Pₑ + 2ξ/R. Dans la suite on admettra qu'elle est constamment vérifiée avec pour Pₑ la pression atmosphérique à l'altitude z du ballon.

En utilisant l'équation locale de la statique des fluides, en déduire une relation entre les fonctions P(r) et n(r).

Justifier en quelques mots le fait que n(r), P(r) et s(r) ne dépendent pas de la direction de r.

Justifier en quelques mots le fait que la température T est uniforme dans tout le fluide.

Expliquer brièvement pourquoi, sous une hypothèse que l'on indiquera, on peut écrire P(r) &= n(r)⁵/³ g_P(s(r)) s(r) &= g_s(T/(n(r)²/³))

Vérifier que pour t 0, l'équation de Navier-Stokes générale (12) se réduit à une équation beaucoup plus simple dont on indiquera le nom.

Montrer que la pression P(z) évolue en fonction de l'altitude sous la forme P(z) = P₀ exp (-z/H) et exprimer la hauteur caractéristique H en fonction de k_B, T₀, g et de la masse moyenne m₀ des…

Rappeler l'expression de l'équivalent volumique des forces de pression dans un fluide, puis établir l'équation locale de la statique des fluides.

Montrer que la loi de variation de la pression se met sous la forme P(r) = C₀ exp (-r/H) dans l'atmosphère martienne (r Rₘ). Exprimer le facteur C₀ et la hauteur d'échelle H en fonction de P₀, Mₐ…

On considère que ce volume d'eau est à l'équilibre mécanique dans le champ de pesanteur terrestre. Établir la relation fondamentale de la statique des fluides : (dP(z))/dz = -ρ_eau g, où ρ_eau…

Montrer que l'évolution de la pression en fonction de l'altitude z est de la forme P(z)=P₀(1+b(z-z₀))α avec P₀=P(z=z₀). Déterminer les expressions de b et α en fonction de M_air, g, a, R et de T₀.

Rappeler, sans démonstration, l'expression vectorielle de la loi de la statique d'un fluide de masse volumique µ. Montrer que la pression atmosphérique P(z) obéit à l'équation différentielle…

En projetant l'équation de Navier-Stokes sur e_z, montrer que la pression peut s'écrire p(x, y, z) = p₁(z) + p₂(x, y) où p₁ est une fonction simple à déterminer, et p₂ une fonction inconnue à ce…

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'élément de volume d³τ précédemment défini, établir que le gradient de pression, en un point M du liquide, s'exprime selon la relation…

Nous décrivons la forme de la surface libre du liquide par la fonction Z = Z(r) (r [0, R]) où Z représente l'altitude d'un point de cette surface situé à la distance r de l'axe (Oz). Déterminer…

On considère un arbre de hauteur h. La pression de la sève au niveau des racines est la pression atmosphérique p₀. Quelle est la pression de la sève dans l'arbre à une altitude z ? À partir de…

En déduire la pression partielle de diazote p_N_2 en fonction de z. Calculer numériquement la longueur caractéristique qui apparaît dans le résultat.

Montrer que l'enthalpie généralisée h_* = h + gz est constante.

On s'intéresse au modèle isentropique, pour lequel l'entropie du gaz est supposée indépendante de la coordonnée verticale z. Écrire tout d'abord l'équilibre hydrostatique d'une parcelle…

En déduire que la masse volumique ρ du gaz dépend aussi de z et l'exprimer en fonction de P(z). Écrire la condition d'équilibre mécanique pour une tranche de gaz comprise entre les altitudes z et…

En déduire que la masse volumique ρ du gaz dépend aussi de z et l'exprimer en fonction de P(z). Écrire la condition d'équilibre mécanique pour une tranche de gaz comprise entre les altitudes z et z…

On admet que dp/dz=-ρ g. Déterminer la fonction T(z). Parmi les réponses proposées, T₀ désigne la température au sol (z=0). A) T(z)=T₀(1-z/H) avec H=(γ RT₀)/((1-γ)Mₐ g) B) T(z)=T₀(1+z/H) avec H=(γ…

Sur la base de considérations physiques et d'arguments dimensionnels, établir la dépendance de ω₀² avec les différents paramètres du problème. On d'étaillera chaque étape du raisonnement.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la variable u. On fera apparaître la pulsation ω₀ dont on donnera l'expression en fonction de g et D.

Déterminer le profil altimétrique de masse volumique ρₐ(Z) en fonction de ρₐ(0) et d'une hauteur caractéristique H_c que l'on exprimera et dont on calculera la valeur numérique.

Déterminer le profil altimétrique de masse volumique ρₐ(Z) en fonction de ρₐ(0) et d'une hauteur caractéristique H_c que l'on exprimera et dont on calculera la valeur numérique.

Déterminer le profil altimétrique de masse volumique ρₐ(Z) en fonction de ρₐ(0) et d'une hauteur caractéristique H_c que l'on exprimera et dont on calculera la valeur numérique.

Déduire des questions précédentes l'expression de la vitesse de l'écoulement v_∞ de l'air en fonction de ρ_l, ρ_∞, g et h. Comment évolue h lorsque la vitesse de l'air augmente ?

En réalisant un bilan des forces à l'équilibre sur la tranche de milieu granulaire d'épaisseur dz, montrer que la pression obéit à l'équation différentielle suivante : λ dP_v/dz + P_v = P_∞ où λ est…

Montrer que le moment par rapport à l'axe de rotation (Oz) des forces pressantes exercées par l'eau et par l'air sur la plaque s'écrit M_fluide = 1/6 ρ g ℓ h³/(sin ² θ)

On s'intéresse à l'équilibre de la colonne de fluide d'aire S et comprise entre les altitudes z₁ et z₂. Expliciter, éventuellement sous forme intégrale, les forces exercées sur cette colonne. En…

On s'intéresse à l'équilibre de la colonne de fluide d'aire S et comprise entre les altitudes z₁ et z₂. Expliciter, éventuellement sous forme intégrale, les forces exercées sur cette colonne. En…

Effectuer un bilan des forces sur cette parcelle de fluide, et en déduire que l'atmosphère sèche est stable si le gradient thermique -dT/dz est inférieur à Γ_d.

Discutez le mouvement vertical ultérieur de la parcelle d'atmosphère, selon que T_f < T(z_i + dz) ou T_f > T(z_i + dz). Quelle situation correspond à une atmosphère stable ? à une atmosphère…

À l'aide d'un bilan sur la tranche infinitésimale de hauteur dz, exprimer la résultante des forces de pression verticale.

Quelle est l'unité de la tension superficielle ?

Exprimer les forces pressantes élémentaires dF_eau et dF_air exercées respectivement par l'eau et par l'air sur cette bande.

Établir l'expression du champ de pression P(z) en fonction de l'altitude z, de la hauteur caractéristique H et de la pression atmosphérique Pₐₜₘ.

Montrer que la densité de quantité de matière de l'air s'exprime ainsi en fonction de l'altitude : n_v(z) = Pₐₜₘ/RT₀ exp (-z/H) .

Donner une valeur pour T₀. Préciser la dimension de α.

Justifier qualitativement que cette réaction permet effectivement un envol du ballon.

Justifier qualitativement que cette réaction permet effectivement un envol du ballon.

Dans le cas où l'eau est à l'équilibre, sans perturbation, comment se simplifie l'équation d'Euler ? En déduire l'expression du champ de pression Pₑ(z) en fonction de z et des constantes P₀, ρ et g.

Faire l'application numérique pour la face A. Quelle masse, exprimée en tonne, donnerait la même force si elle était posée sur la face A ?

Écrire, en fonction de la masse volumique ρ_air(z) de l'air atmosphérique et de celle ρ_S(z) de l'air dans le volume V, la résultante des forces de pesanteur et de pression exercées sur le volume V…

Le ballon est assemblé au sol, où Pₑ(z = 0) = P₀ = 1 bar avec un rayon d'équilibre R₁ = 2 m et une pression intérieure d'équilibre P_i = P₁ = 2 bar. Calculer ξ et β = 2ξ/(P₀ R₁). On considérera que…

En déduire la valeur numérique de la pression P₄₀₀₀ à une profondeur de H = 4 000 m.

Dans ce modèle, vérifier que la masse volumique de l’eau de mer à la profondeur H est ρ_e,4000 ≃ 1 044 kg · m⁻³.

Donner l'expression des forces de pression s'exerçant en amont et en aval du système.

Donner une expression de f(r) faisant apparaître k et n(r).

Donner une expression de f(r, t) faisant apparaître k(t) et n(r, t).

Exprimer la masse volumique ρ, supposée uniforme et constante, de l'étoile en fonction de M et R. En déduire, en fonction de M, R et r, les expressions de m (masse déjà constituée dans une sphère de…

Là où la densité particulaire des ions est maximale, on considérera que exp (-z/H) ≃ 10⁻¹⁰. En déduire une estimation de la densité particulaire nₘₐₓ des ions (N₂⁺ et O₂⁺) à cette altitude.

Déterminer une valeur numérique pour Mₐ compte tenu de la composition de l'atmosphère martienne fournie dans l'introduction de cette partie. Puis calculer H.

Indiquer, en justifiant la réponse, l'unité du coefficient directeur.

Énoncer la relation fondamentale de l'hydrostatique puis la projeter sur l'axe z, vertical ascendant. On notera µ la masse volumique de l'air.

Exprimer la norme de la poussée d'Archimède subie par la gouttelette en fonction des données de l'énoncé.

Calculer numériquement le rapport, en norme, de la poussée d'Archimède sur le poids de la gouttelette, puis justifier qu'il est possible de négliger la poussée d'Archimède dans cette modélisation.

Grâce à votre culture scientifique, donner le nom de l'énergie par unité de surface qui est responsable de la forme sphérique des gouttelettes d'eau de petites tailles.

Calculer numériquement la norme de cette résultante pour le barrage de Jinping I.

Quelle expression simplifiée de P(z) proposeriez-vous à la lumière de l'expression précédente et des valeurs des grandeurs engagées dans celle-ci ? À quoi cela revient-il à faire ?

On cherche à déterminer la pression exercée par l'eau sur la coque interne (dite coque épaisse) du sous-marin (voir figure 3). Pour simplifier, on assimile l'ensemble de celui-ci à un cylindre de…

En déduire l'expression de la pression dans une cavité à la profondeur H quand la colonne de la cheminée est remplie. On rappelle que la pression à l'altitude z = 0 vaut P(z = 0) = P⁰ avec P⁰ = 1…

On suppose que le champ de pression P du fluide vérifie la relation ρ g-grad P=0 (la démonstration de cette relation n'est pas attendue). Proposer une interprétation physique de celle-ci et indiquer…

Déterminer la force δ F_f, dite force de flottaison, s'exerçant sur le volume δ τ, définie comme la résultante du poids et de la poussée d'Archimède, en fonction notamment de l'écart de masse…

À quelle différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur de la vessie du gilet est sensible le dispositif de déclenchement ?

Justifier simplement que la gravité g peut être considérée indépendante de z, où z est la verticale dirigée vers le haut.

Exprimer de même la pression partielle dioxyde de carbone p_CO_2, et calculer numériquement la longueur caractéristique associée.

Est-ce que l'atmosphère standard est stable selon ce critère ?

Comment se comporte l'eau dans le siphon après le passage à la cote z_B ? Quelle approximation peut-on faire ?

Nous souhaitons que le cylindre flotte, à l'équilibre, en étant à moitié immergé dans l'eau. Préciser la relation que doit alors vérifier ρ_c. Calculer sa valeur numérique.

Dans le cas où Y₀ = H/2, exprimer Ω₀² en fonction de g et ℓ.

Exprimer, en valeur absolue, la variation de masse apparente Δ m₂ associée à cet effet, c'est-à-dire la variation de masse qui serait nécessaire pour, en l'absence de cet effet, obtenir la même force.

Exprimer ηₐ(x) en fonction notamment de la masse volumique du gaz atmosphérique ρₐ(x) au point d'abscisse x.

Dans le manomètre, il y a un liquide de masse volumique ρ_l. On mesure une différence d'altitude h entre les deux surfaces du liquide. Déterminer l'expression de la différence de pression, P_H -…

Vérifier que la pression s'écrit sous la forme p = p_cΨⁿ⁺¹, on donnera l'expression de p_c en fonction de K, ρ_c et n.

Etablir la relation dM/dr = 4π r² ρ.

Justifier qu'à la surface libre, on doit prendre P_v = 0. En particulier, on expliquera pourquoi la pression atmosphérique n'intervient pas (contrairement à un fluide).

En se contentant d'une analyse dimensionnelle, exprimer le temps typique τ_h pour que le jet se brise en fonction des paramètres µ, R₀ et α.

En appliquant le principe fondamental de la statique au flotteur, au point G, montrer qu'il n'est en équilibre que si les points G et Z sont confondus. Préciser ce qui se passe dans le cas contraire.

Expliquer précisément à quoi correspondent les points A et C de la figure 4. En B, indiquer si l'angle de gîte va augmenter ou diminuer.

En supposant que m = ρ V, déterminer une expression du couple de redressement Γ en fonction de m, g, b, c et de θ.

Justifier que l'on s'arrête à 40 km pour la modélisation numérique.

Commenter cette dernière valeur obtenue pour la température. Conclure sur la validité de la modélisation effectuée.

Considérons deux bulles de même volume V₀, l'une sphérique de rayon r et de surface S_s, l'autre cubique de côté a et de surface S_c. Montrer que S_s/S_c = (π/6)¹/³ < 1. Commenter ce résultat.

Considérons deux bulles de même volume V₀, l'une sphérique de rayon r et de surface S_s, l'autre cubique de côté a et de surface S_c. Montrer que S_s/S_c = (π/6)¹/³ < 1. Commenter ce résultat.

Donner la résultante vectorielle f_A des forces pressantes exercées par l'eau sur la face A. Faire de même pour f_B, résultante des forces pressantes exercées par l'eau sur la face B.

Montrer que la résultante des forces de pression f_C exercées par l'eau sur le pourtour restant du cylindre est nulle.

Montrer que P(z) = P₀ (1 - z/H₁)k et déterminer k puis la valeur numérique P(h) de la pression au sommet de la troposphère.

En déduire l'équation différentielle vérifiée par l'altitude z(t) du volume V d'air. Si l'air est, à l'arrivée, plus froid que l'air environnant, va-t-il redescendre ou continuer à monter ? Que dire…

Conclure quant à la stabilité de l'atmosphère relativement aux mouvements verticaux de l'air.

Calculer la masse maximale de l'enveloppe et des instruments.

Les courbes proposées figure 4 sont celles représentatives de ψ(x) et de δ(z). En déduire les valeurs numériques de R aux altitudes 3, 9 et 15 km.

Quel doit-être la valeur de V₀ pour que le flotteur soit à l’équilibre dans l’eau de mer à une profondeur H = 4 000 m avec une vessie vide (V_p = 0 L) ?

Calculer le volume V_p,max de la vessie nécessaire pour faire émerger 2,0

Justifier en quelques mots le fait que la valeur de P est la même en tout point de la paroi.

Pourquoi peut-on considérer que ℓ_* ≪ ℓ ? On attend une réponse brève, sans calcul ni estimation d'ordre de grandeur.

Tracer l'allure de n(r).

On admet que g_P(0) = ξ ħ²/m où m est la masse d'un atome, ħ = 1,05 × 10⁻³⁴ J est la constante de Planck réduite, et ξ est une constante qui vaut ξ ≈ 0.7 d'après des expériences et des simulations…

Dans le cas où la force extérieure est due aux faisceaux laser considérés dans la partie 1, cette force est-elle bien approximée par -k r pour tous les atomes du gaz ?

On admet que la fonction n(r) est strictement positive et décroissante sur l'ensemble des r positifs, et que n(r) r→∞ 0. Tracer l'allure de n(r).

En faisant l'hypothèse que la température des bulles d'air est constante, quelle est la variation de volume relative d'une bulle due à la pression hydrostatique ? En déduire que le volume V_b d'une…

Expliciter grâce au modèle précédent µ(r) en fonction de r, Rₘ, H et µ₀ = µ(Rₘ). On précisera l'expression de µ₀ en fonction de P₀, Mₐ, R et T₀.

En se plaçant dans le cadre du modèle de l'atmosphère isotherme à l'équilibre, calculer la masse totale de l'atmosphère m'ₐₜₘ correspondant à cette valeur limite de pression.

Exprimer la résultante des forces de pression dF_p subie par le volume mésoscopique d'eau en fonction de la pression en z et z + dz et d'une surface infinitésimale adaptée.

En déduire l'expression de la différence de pression Δ P entre la « bouche » et l'atmosphère en fonction de la masse volumique de l'eau ρ_eau, de l'accélération de la pesanteur g et la différence de…

Écrire la valeur du coefficient directeur avec son incertitude-type en conservant un seul chiffre significatif pour l'incertitude-type.

Aurait-il été possible de positionner la pompe au point E pour effectuer le même acheminement ? Justifier.

Déterminer alors l'expression de la masse volumique à l'altitude z₁. Effectuer l'application numérique Données : T₀=217 K et P₀=55 hPa à l'altitude z=z₀ · a=1,0 × 10⁻³ USI. Commenter le résultat…

Sachant que le pluviomètre ne contient que l'eau tombée dans l'espace entre ses deux armatures cylindriques, relier la hauteur d'eau h_s tombée au sol par unité de surface à la hauteur d'eau h dans…

À l'aide d'arguments de symétrie, déterminer la direction de la résultante F = F_air + F_eau des forces de pression qui s'exercent sur le barrage, puis représenter le sens de cette résultante sur un…

En déduire que la norme de la résultante des forces de pression qui s'exercent sur le barrage s'exprime : F = (R ρₑ g H²)/√(2).

Calculer la valeur numérique de β et représenter la variation de la température en fonction de la pression.

Pour quelle raison principale, le modèle étudié cesse-t-il d'être correct à partir d'une altitude de l'ordre de z = 20 km alors qu'il est censé fonctionner potentiellement jusqu'à 50 km ?

Discuter la possibilité d'observation des sylphes en lien avec la pression partielle en dioxygène depuis la Terre et depuis l'iss.

Établir l'expression de l'équivalent volumique F_v des forces de pression qui s'exercent sur ce volume élémentaire dτ.

Expliquer qualitativement le rôle des ballasts et pourquoi la coque externe du sous-marin est dite « mince » alors que la coque interne est dite « épaisse ». L'acier de la coque interne est un acier…

Le figure (2) représente l'élément de volume d³τ = dr × rdθ × dz autour d'un point M du liquide, vu de dessus, c'est-à-dire selon -e_z. Reproduire cette figure et représenter par une flèche l'action…

Nous nous plaçons dans le cas où h = H/2. Traduire l'hypothèse H_Ω (définie dans la présentation générale de l'étude) en une condition portant sur la vitesse angulaire Ω et faisant intervenir les…

Exprimer P₁ en fonction de P₀, D, et d’une longueur caractéristique H dont on donnera l’expression littérale et l’ordre de grandeur.

On suppose que le liquide reste immobile dans le référentiel du récipient. On admet que les lois de l’hydrostatique s’appliquent toujours, à condition de prendre en compte la force d’inertie…

En faisant l’approximation P₁ ≃ P₀, déterminer la profondeur critique D* au-delà de laquelle la bulle s’enfonce dans le liquide (voir figure 1 à droite). On exprimera D* en fonction de H et du…

La figure 1 donne la variation de la profondeur critique D* en fonction de l’amplitude A, pour une pulsation ω fixée. Les approximations P₁ ≃ P₀ et |P(t) - P₁| ≪ P₁ faites plus haut sont-elles…

En reprenant le résultat de la question 5, écrire l’expression de la poussée d’Archimède instantanée exercée sur le flotteur, en notant D(t) sa profondeur à l’instant t.

On formule l'hypothèse que la pression est quasiment uniforme sur toute la hauteur du nuage de la figure 2. Discuter la validité de cette approximation sachant qu'une variation relative de plus de 10

Toujours soumis au champ de pesanteur, le liquide est dans cette question en équilibre dans un référentiel R en translation rectiligne, d'accélération aₑ par rapport à R_T. Comment faut-il modifier…

Exprimer la résultante R et le moment Γ_C en C des forces de pression et de pesanteur que Σ subit en fonction des grandeurs judicieuses parmi ρ_ℓ, ρ₁, ρ₂, V₀, V₁, V₂, CG₀, CG₁, CG₂ et g.

Les sous-systèmes S₁ et S₂ procurent respectivement à Σ une propension à flotter ou à couler. À quelle condition ces effets antagonistes se compensent-ils ? Exprimer la réponse sous la forme d'une…

La relation précédente est supposée satisfaite. Montrer que le moment en C des forces s'exerçant sur l'ensemble Σ s'exprime sous la forme Γ_C = Mₘ G₁G₂ ∧ g et donner l'expression de Mₘ en fonction…

En tenant compte de la question 15, donner l'expression de la poussée d'Archimède. Quelle autre force s'exerçant sur le pendule faut-il considérer pour rendre compte du mouvement accéléré de R_S par…

En déduire que l'on a P(z)=P₀-1/χ_T ln (1-χ_T ρ₀ g z).

On assimile l'air à un gaz parfait. En supposant dans cette question que la pression dans le volume δ τ est la même que celle du fluide environnant, réécrire la force de flottaison en fonction…

Montrer que le volume du gilet gonflé doit être de 15 L pour obtenir la flottabilité souhaitée.

On fixe R₃ = 100 Ω et R₄ = 10 Ω, et on mesure R₂ = 100 Ω et C₂ = 32,5 . Calculer R₁ et L₁, puis vérifier que cette dernière valeur est compatible avec la valeur de la pression P attendue.

Montrer que le profil de masse volumique de l'atmosphère standard (figure 4c) est raisonnablement en accord avec le profil du modèle de la partie 4.1.

Justifier simplement que la masse volumique de l'air sec (c'est-à-dire sans vapeur d'eau ni eau liquide) peut être considérée comme indépendante de z dans la troposphère et la stratosphère. Dans la…

Justifier que la transformation subie par la parcelle de fluide est isentropique. Calculer la masse volumique ρ_p(z_i + dz) de la parcelle de fluide à l'altitude z_i + dz, en fonction de sa masse…

En déduire une expression du gradient thermique en fonction notamment de L et g.

Par analogie avec la partie 4.4, donner le critère de stabilité d'une atmosphère saturée.

Comparer la valeur de Γ_s à la valeur du gradient thermique de l'atmosphère standard. Commenter.

Nous considérons que l'atmosphère est saturée en eau. Est-ce que le profil de la question Q47 est stable ?

Faites une application numérique pour le gradient de température Γ = dT/dz dans ce modèle. On pourra considérer l'air comme un gaz parfait diatomique.

Le cas où T_f = T(z_i + dz) s'appelle le cas « marginalement stable ». Quel est le gradient de température vertical Γ = dT/dz de l'atmosphère dans cette situation marginalement stable ? Commentez…

Commentez alors l'allure qualitative du profil de température du modèle simplifié d'atmosphère standard utilisé en aéronautique et fourni en figure 2, en lien avec le profil du modèle purement…

En notant P₀ = P(z=0), montrer que (P(z))/P₀ s'exprime simplement grâce à la fonction A(z). Exprimer la distance caractéristique H en fonction de k_B, g, T₀ et mₘ. Calculer la valeur numérique de H…

En notant P₀ = P(z = 0), montrer que (P(z))/P₀ s'exprime simplement grâce à la fonction A(z). Exprimer la distance caractéristique H en fonction de k_B, g, T₀ et mₘ. Calculer la valeur numérique de…

Exprimer le rayon R de la bulle en fonction du rayon d'ouverture a du compte-gouttes et de la hauteur b de la bulle.

En déduire l'expression du coefficient de tension superficielle γ de l'interface entre l'eau savonneuse et l'air en fonction de h, a, b, ρₑ et de l'intensité de la pesanteur g. Calculer γ pour…

La masse d'une tuile en terre cuite est d'environ 2,8 kg. Le faible recouvrement offre une densité surfacique de masse réduite de la couverture, de l'ordre de 40 kg⁻². Justifier de la nécessité du…

Que se passe-t-il alors ? Dessiner alors le système dans cette nouvelle configuration.

Exprimer, au premier ordre relativement au rapport u/R et en fonction de L, D et u, la variation algébrique δ V_im de volume immergé du flotteur par rapport à la situation d'équilibre.

Évaluer numériquement la masse volumique de l'air au niveau de la mer (pression d'environ 1 bar) puis en déduire celle de l'air au sommet du mont Everest (8 848 m d'altitude) : on indique que exp…

Évaluer numériquement la masse volumique de l'air au niveau de la mer (pression d'environ 1 bar) puis en déduire celle de l'air au sommet du mont Everest (8 848 m d'altitude) : on indique que exp…

Évaluer numériquement la masse volumique de l'air au niveau de la mer (pression d'environ 1 bar) puis en déduire celle de l'air au sommet du mont Everest (8 848 m d'altitude) : on indique que exp…

On admet que la surpression p₂(z,t) est de la forme p₂(z,t) = 1/4 µ₀ℓ V₁q cos ((2ω z)/c) + f(z) cos (2ω t) où f(z) est une fonction dont il n'est pas nécessaire de connaître l'expression. Déterminer…

Montrer que la grandeur p + 1/2µ₀B² est uniforme si on reste proche de la surface du Soleil. A la surface du Soleil, mais à l'extérieur d'une tache solaire, la valeur de la pression est pₑₓₜ = 1,3…

On modélise le Soleil par un polytrope d'indice n = 10/3. La résolution de l'équation de Lane-Emden donne ξ_s = 26/3 et -ξ_s/(3Ψ'_s) = 7 × 16 = 112. Sachant que dans le cas du Soleil K = 4 × 10⁹ SI…

Toujours en se limitant au second ordre en ε, montrer que S=2 π R₀ λ(1+γ ε²) où γ est un coefficient que l'on exprimera en fonction de k et de R₀. En déduire que la perturbation n'est stable que si…

Exprimer au premier ordre en ε, l'écart de pression Δ P=P_int -Pₐₜₘ entre l'intérieur et l'extérieur du jet en fonction de R₀, k, z, γ, α et ε. Retrouver alors la condition de stabilité obtenue à la…

Expliquer pourquoi il est raisonnable de supposer que le jet se coupe en fractions de longueur λ_c. En se limitant au cas où se forment une succession de gouttes sphériques, déterminer le rayon de…

Déterminer numériquement la distance de l'orifice à partir de laquelle le jet se sectionne en gouttes. Calculer la fréquence des chocs sur l'évier.

Calculer le volume final V_f minimal du gilet gonflé permettant de respecter la norme de flottabilité.

Déterminer l'expression de F_v, résultante des forces de pression sur l'armature de centre O.

En séparant les variables, résoudre l'équation (6) et établir l'expression de la densité de quantité de matière n_v(z). On fera à nouveau apparaître la hauteur caractéristique H.

Faire le bilan des forces appliquées à une bulle de rayon critique r_c. En déduire l'expression de e en fonction de r_c et des masses volumiques utiles, puis la calculer numériquement.

Faire le bilan des forces appliquées à une bulle de rayon critique r_c. En déduire l'expression de e en fonction de r_c et des masses volumiques utiles, puis la calculer numériquement.

Justifier avec rigueur que l'une des configurations ne peut pas fonctionner, indépendamment de la puissance de la pompe. On pourra montrer que la pression atteint en certains points du circuit…

On considère que z - z₀ est assez faible pour qu'on puisse se contenter d'un développement au premier ordre en z - z₀. Montrer l'équation de Brunt–Väisälä : z + N² z = cte avec N² = g [ 1/h_air -…

Exprimer h_air en fonction de k, Γ et T(z)/T₀.

Dans le cas d'une évolution adiabatique réversible, rappeler la relation qui lie P(z), ρ(z) et leurs valeurs initiales P₀ et ρ₀ en fonction du rapport adiabatique γ = C_P/C_V. En déduire…

Exprimer la résultante f des forces de traction exercées par la partie basse du ballon sur la partie haute en fonction de R, ξ et θ puis la résultante F_p des forces de pression exercées sur la…

Déterminer la nouvelle équation différentielle vérifiée par P et en déduire la nouvelle valeur P'₄₀₀₀ de la pression à une profondeur de H = 4 000 m. Commenter.

Déterminer, en fonction des grandeurs physiques précédentes, l'expression littérale du débit volumique minimal d'eau brute pour que la saumure saturée remonte jusqu'au niveau de l'injecteur.

On définit une surface Σ et un volume R comme suit (voir figure 1) : • Σ est une petite portion de la paroi. La forme de Σ est approximativement un carré de côté ℓ_Σ, avec ℓ_Σ ≪ ℓ. • R est…

On note S_R l'ensemble des entiers i appartenant à 1; 2; ; N tels que la particule i est située dans la région R. En utilisant le résultat obtenu à la question 25a, obtenir une expression approchée…

En déduire une expression approchée simple de Σ_i=1N F_ext,i faisant apparaître P.

Dans cette question, on considère le cas où T = 0, et on admet que dans ce cas, il existe une distance R telle que : n(r) > 0 pour r < R, et n(r) = 0 pour r R. Exprimer n(r) en fonction de r, n(0)…

En réalité, T n'est jamais strictement nulle. Dans cette question, on considère que la température est non nulle mais proche de 0. On admet que la fonction g_P est continue. Justifier en quelques…

Expliciter le champ gravitationnel G(r) ressenti au sein de l'étoile en équilibre à la distance r du centre, en fonction de G, M, R et r. En déduire l'expression de la pression P(r) = 3GM²/(8π R⁶)…

Calculer l'énergie cinétique totale de l'étoile E_c en fonction de G, M et R ; commenter.

Expliciter le champ gravitationnel G(r) ressenti au sein de l'étoile en équilibre à la distance r du centre, en fonction de G, M, R et r. En déduire l'expression de la pression P(r) = 3GM²/(8π…

Calculer l'énergie cinétique totale de l'étoile E_c en fonction de G, M et R ; commenter.

Ces profils sont-ils conformes au modèle proposé ci-dessus ? Si oui, proposer une estimation de H ; sinon, quelle(s) interprétation(s) proposez-vous ?

La station spatiale internationale (ISS) est en orbite circulaire à une altitude h_ISS ≃ 400 km. Que dire de sa durée de chute dans le même modèle ?

Montrer que l'expression de la masse totale de l'atmosphère martienne – d'extension infinie dans le modèle étudié – se met sous la forme suivante : mₐₜₘ = (4π P₀)/g₀[2H² + 2HRₘ + Rₘ²]. En déduire…

Exprimer e en fonction de ℓ₀ et H en utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme précédent. En déduire une estimation de l'épaisseur de l'atmosphère martienne. Confronter le résultat à la valeur…

Estimer la masse d'astéroïdes, notée m_ast, à déplacer depuis la ceinture d'astéroïdes dans le but de former une atmosphère de masse m'ₐₜₘ composée majoritairement de dioxyde de carbone.

Compte tenu du programme de la figure 11, indiquer quelle est la valeur de la précision considérée pour la lecture de la hauteur du niveau d'eau. On rappelle que pour obtenir une différence de…

Expliquer si ce programme prend en compte une incertitude pour la commande envoyée. Justifier.

La ligne 5 comporte une erreur. Proposer une écriture correcte de la commande de la ligne 5. Compléter les lignes 18 et 21.

En déduire la valeur de la commande à envoyer pour obtenir une différence de pression dont la valeur est la plus proche possible de 0,030 bar.

Exprimer, puis calculer la variation d'altitude Δ z du sommet de la pile de pièce par rapport à la surface de l'eau lors de l'ajout d'une pièce. Le sommet de la pile est-il monté ou descendu ?

À l'aide des résultats précédents, déterminer l'expression de h_s en fonction de H, a₁, a₂, C₀, ε₀, ε, R₁ et T.

Exprimer la résultante F_air des forces de pression exercées par l'air sur le barrage en fonction de R, H et P₀.

Exprimer la résultante F_eau des forces de pression exercées par l'eau sur le barrage en fonction de R, H, P₀, g et ρₑ.

La modélisation de l'effet de serre passe par celle de l'atmosphère terrestre. Nous traitons celle-ci, de manière simplifiée, comme un gaz parfait de masse molaire M = 30 g⁻¹, dont la pression P et…

Exprimer µ(z) en fonction de P(z), x, M et g. En déduire la pression P(h) à l'altitude h.

Montrer que dans les conditions du problème on peut prendre α ≃ 1, β ≃ 2ε et γ ≃ ε/R_T. Montrer que la pression P(z) dans l'atmosphère est alors donnée par : P(z) = P₀ ((1-z/ℓ)/(1+z/R_T))ξ exp…

En raisonnant sur l'action mécanique que le liquide exerce sur le fond du récipient, établir que la fonction Z = Z(r) est définie par l'équation suivante : Z(r) = h + k(2r² - R²) On exprimera la…

Il apparaît que la constante k intervenant dans l'équation (3) ne dépend pas de la masse volumique ρ du liquide. Indiquer quelle en est la raison fondamentale.

Exprimer l'énergie potentielle E_p0 du liquide dans l'état initial. On l'écrira sous la forme suivante : E_p0 = E_p(1 + α_p) La grandeur positive E_p représente l'énergie potentielle du liquide…

En déduire la valeur moyenne de F_A(t) sur une période 2π/ω du mouvement du récipient. On fera apparaître la correction au résultat statique obtenu à la question 3, qui est proportionnelle à la…

Montrer que l’approximation |P(t) - P₁| ≪ P₁ se traduit, à la profondeur D*, par une condition sur le paramètre γ. Interpréter physiquement cette condition.

Estimer à partir de cette figure l’ordre de grandeur de la fréquence des oscillations.

Calculer la variation de l’énergie potentielle de pesanteur du liquide résultant du déplacement de sa surface. On notera E_p(t) cette variation, qu’on exprimera en fonction de ρ_l, g, S et ζ(t).

On élève le flotteur d’une hauteur δ au-dessus de la profondeur d’équilibre D₀, de telle sorte que le bas du flotteur soit à la profondeur D = D₀ - δ. On suppose δ < D₀ pour que le flotteur reste…

On suppose que la grandeur χ_T est une constante. En utilisant la relation de la statique des fluides, montrer que la masse volumique varie avec la profondeur selon ρ(z)=ρ₀/(1-ρ₀ χ_T g z).

La pression dans la fosse des Mariannes (profondeur zₘₐₓ =10,9 km) a été mesurée à 1,13 × 10⁸ Pa. Le modèle prenant en compte la compressibilité de l'eau est-il suffisant pour prédire la pression à…

Montrer l'égalité suivante : dq_s/dz = (L q_s)/(R_v T²)dT/dz + (g q_s)/(R_d T), avec R_d = R/M_d = 287 J⁻¹⁻¹ et R_v = R/Mₑ = 462 J⁻¹⁻¹.

Nous prenons comme forme pour τ : τ(z) = τ₀ exp (-z/Hₐ), avec Hₐ = 2 km, τ₀ = 5. Il s'agit de paramètres effectifs, une «moyenne» sur les spectres et les espèces chimiques. Justifier qualitativement…

Après avoir estimé le gradient de température dans les hautes et basses couches de ce modèle d'atmosphère, indiquez approximativement quelle partie de l'atmosphère est stable, et laquelle est…

On représente sur la figure 3 la circulation de Hadley, qui est le principal courant méridional de l'atmosphère au voisinage de l'équateur. Pourquoi la température de surface est-elle supérieure au…

Dans cette question, il vous est demandé de faire preuve d'autonomie. Toute démarche même partielle de résolution sera prise en compte. La banquise arctique pérenne occupe environ 1,5 % de la…

Établir l'équation algébrique satisfaite par l'ordonnée Y₀ ainsi que l'équation différentielle vérifiée par la variable u. On fera apparaître la pulsation propre Ω₀ (Ω₀ > 0) des oscillations du…

Application numérique : l'air sec à la pression p_air et à la température T_air, supposées uniformes, peut être assimilé à un mélange idéal de gaz parfaits de masse molaire M. On donne p_air = 1…

Parmi les effets étudiés précédemment, quels sont ceux qui contribuent le plus à l'incertitude des étalonnages de masses ? Lesquels peuvent être « facilement » corrigés ?

En tenant compte des ordres de grandeur du problème, précisément Z ≪ R_T et Z₀ ≪ R_T, exprimer √(r²/r₀²-1) en fonction de u = Z - Z₀. Exprimer dn en fonction de dρₐ puis dρₐ en fonction de H_c…

On s'intéresse maintenant au régime des basses fréquences, dans lequel pour chaque entier ℓ on a ω ≪ 2π S_ℓ. Etablir la condition d'existence d'ondes harmoniques radiales dans cette situation. En…

Indiquer les valeurs prises par la fonction Ψ au centre et à la surface du Soleil, dont on néglige l'atmosphère. En utilisant les trois questions précédentes montrer que, par un choix astucieux de…

On suppose connus la masse M = M(ξ_s) et le rayon R = r₀ξ_s du Soleil. Montrer que si l'on considère que la masse du Soleil est le produit de son volume par sa masse volumique moyenne ρ, l'équation…

Établir une relation de la forme ψ(x) = δ(z) en précisant l'expression de ψ(x) en fonction de x, β et γ_He. Montrer que R > R₁.

Estimer l’énergie consommée par le vérin du flotteur pour remonter à la surface depuis une profondeur H = 4 000 m.

Dans tout ce qui précède, le spa est vidé sans sa couverture. En supposant celle-ci parfaitement étanche, est-il possible de vider le spa avec la couverture ? Conclure.

Sachant que le Maître du temps joue en premier, qui remporte le duel ? S'agissant d'une question de type "résolution de problème", un raisonnement d'étaillé et rigoureux est attendu. Tout élément de…

On dépose, sur la surface du liquide, un flotteur sphérique de rayon assez faible pour que nous puissions considérer que le gradient de pression reste sensiblement uniforme à son échelle…

On considère finalement le cas où le liquide est en lévitation sur une poche d’air. Déterminer à quelle condition sur la hauteur h₀ le flotteur peut être en équilibre stable sous le liquide, à une…

En explicitant clairement votre démarche ainsi que les hypothèses que vous serez amené à formuler, évaluer la masse de ballast qui a été libéré pour permettre la remontée du sous-marin.

On étudie l'évolution de la parcelle au cours de son mouvement ascendant, toujours supposé quasi-statique et sans transfert thermique avec l'atmosphère environnante, dont le profil de température…