Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2024

Soit un axe vertical ascendant (Oz) dont l'origine correspond au fond de l'aquarium, où se situe la vanne d'évacuation. On note h(t) la hauteur d'eau dans l'aquarium à l'instant t. À t = 0, h(0) = a = 1,0\text{ m}.

La section horizontale de l'aquarium est S = a^2 = 1,0\text{ m}^2, et la section de l'orifice est s = 10\text{ cm}^2 = 1,0 \times 10^{-3}\text{ m}^2. On a s \ll S, ce qui justifie l'approximation du régime quasi-stationnaire : la vitesse de la surface libre v_{\text{surf}} est négligeable devant la vitesse d'évacuation v_s.

En appliquant la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant entre un point de la surface libre (à la pression atmosphérique P_0) et un point situé juste à la sortie de la vanne (également à la pression P_0) :

En négligeant v_{\text{surf}}^2, on obtient la formule de Torricelli :

Par conservation du débit volumique pour un fluide incompressible :

Il vient l'équation différentielle à variables séparables :

En intégrant entre t = 0 (h = a) et t = \tau (h = 0) :

On en déduit l'expression de la durée de vidange totale \tau :

Application numérique :

• a = 1,0\text{ m}
• s = 1,0 \times 10^{-3}\text{ m}^2
• g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

Si la pompe était située au point E d'altitude z_E = 25\text{ m}, l'ensemble de la colonne d'eau devrait être mis en mouvement par aspiration depuis la mer (z_O = 0) voire depuis le point de captage A (z_A = -50\text{ m}).

Pour qu'un liquide monte par aspiration, la pompe doit créer une dépression en amont. La pression minimale absolue ne pouvant être inférieure à la pression de vapeur saturante de l'eau (et strictement supérieure à 0\text{ Pa}), la hauteur maximale théorique d'aspiration h_{\max} sous la pression atmosphérique P_0 est donnée par la statique des fluides :

Avec P_0 = 1,0 \times 10^5\text{ Pa}, \rho = 1,0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Or, le dénivelé minimal à franchir en aspiration entre la surface libre de la mer et le point E vaut :

(et atteint \Delta z_{AE} = z_E - z_A = 75\text{ m} depuis le point de captage).

La pression chuterait en dessous de la pression de vapeur saturante bien avant d'atteindre le point E, ce qui provoquerait la cavitation (formation de poches de vapeur) et le désamorçage immédiat de la pompe.

L'eau étant un fluide incompressible en écoulement stationnaire dans une conduite de section droite constante S, le débit volumique Q_V est relié à la vitesse moyenne d'écoulement v par :

où D = D_a = D_r = 0,20\text{ m} est le diamètre commun aux conduites d'aspiration et de refoulement.

On en déduit l'expression de la vitesse de l'eau :

Application numérique avec Q_V = 40\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = \frac{40}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 1,11 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} et D = 0,20\text{ m} :

Par définition, le nombre de Reynolds caractérisant l'écoulement d'un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta à la vitesse moyenne v dans une conduite cylindrique de diamètre D s'écrit :

En utilisant la valeur de v obtenue à la question Q3 (v = \frac{4 Q_V}{\pi D^2} \approx 0,354\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) ainsi que les données de l'énoncé :

• \rho = 1,0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• D = 0,20\text{ m} ;
• \eta = 1,0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}.

L'application numérique donne :

Dans une canalisation cylindrique, l'écoulement devient turbulent dès que le nombre de Reynolds dépasse la valeur critique Re_c \approx 2\,000 (comme l'indique également le diagramme de Moody fourni en figure 7).

Comme Re \gg 2\,000, le régime d'écoulement est turbulent.

La rugosité relative de la canalisation vaut :

La démarche de lecture sur le diagramme de Moody (figure 7) est la suivante :

• Sur l'échelle de droite, on repère la courbe correspondant à la rugosité relative \varepsilon = 0,006.
• Sur l'axe des abscisses en échelle logarithmique, on se place à la valeur du nombre de Reynolds obtenue à la question Q4 : \mathrm{Re} \approx 7,1 \times 10^4, soit à une abscisse relative \log_{10}(7,1) \approx 0,85 entre 10^4 et 10^5.
• On remonte verticalement jusqu'à l'intersection avec la courbe \varepsilon = 0,006.
• On projette horizontalement ce point d'intersection vers l'axe des ordonnées à gauche afin d'y lire le coefficient \lambda.

On lit :

(une valeur comprise entre 0,032 et 0,035 est acceptable compte tenu de la précision de lecture).

Pour mettre en évidence expérimentalement les pertes de charge régulières, on réalise le montage suivant :

1. Dispositif expérimental :

• Une conduite horizontale rectiligne de section constante S et de diamètre intérieur D, sans obstacle singulier (ni vanne, ni coude).
• Une alimentation en eau assurant un écoulement stationnaire à débit volumique Q_V contrôlé (réservoir à niveau constant ou pompe régulée).
• Deux prises de pression statique (tubes piézométriques verticaux ouverts à l'air libre) distantes d'une longueur L.

2. Mesures et observations :

• La conduite étant horizontale (z_1 = z_2) et de section constante, la conservation de la masse impose des vitesses moyennes identiques : v_1 = v_2 = Q_V / S.
• En l'absence de frottements (théorème de Bernoulli pour un fluide parfait), la pression statique serait identique en tout point : P_1 = P_2, et la hauteur de liquide dans les deux piézomètres serait égale (h_1 = h_2).

• Expérimentalement, on constate que la colonne de liquide diminue dans le sens du courant : h_1 > h_2, traduisant une chute de pression :

  \Delta P_{\text{mesurée}} = P_1 - P_2 = \rho g (h_1 - h_2) = \rho g \Delta h > 0

3. Mise en évidence de la nature régulière des pertes :

• En déplaçant la prise de pression aval le long de la conduite ou en insérant plusieurs piézomètres intermédiaires, on observe que la perte de pression \Delta P est strictement proportionnelle à la distance L entre les points de mesure : \Delta P \propto L.
• Cette proportionnalité prouve que la dissipation d'énergie mécanique se produit de manière continue et uniforme tout au long de la canalisation, ce qui caractérise précisément les pertes de charge régulières.

D'après la définition du coefficient de pertes de charge régulières donnée dans l'énoncé :

on en déduit l'expression des pertes de charge régulières :

Pour le tuyau d'aspiration de longueur L_a = 200\text{ m} et de diamètre D_a = 0,20\text{ m} :

Avec les valeurs numériques :

• \lambda \approx 0,033 (d'après la question Q5) ;
• L_a = 200\text{ m} et D_a = 0,20\text{ m} ;
• \rho = 1,0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• v \approx 0,354\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q3).

On obtient :

Pour le tuyau de refoulement, le diamètre, le fluide et la vitesse sont identiques (D_r = D_a = 0,20\text{ m}), seule la longueur diffère (L_r = 100\text{ m} = L_a / 2). Par conséquent :

D'après la définition du coefficient de pertes de charge singulières fournie par l'énoncé :

On en déduit l'expression générale des pertes de charge singulières :

Pour chacun des deux circuits, le diamètre et donc la vitesse v sont identiques.

Tuyau d'aspiration : L'expression des pertes de charge singulières est :

Avec \alpha_a = 1,0, \rho = 1,0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et v \approx 0,354\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q3) :

Tuyau de refoulement : L'expression des pertes de charge singulières est :

Avec \alpha_r = 2,0 :

La relation de Bernoulli (sous sa forme usuelle, sans échange de travail avec une machine ni dissipation) s'applique sous les hypothèses suivantes :

• Écoulement stationnaire (ou permanent) : les grandeurs eulériennes ne dépendent pas explicitement du temps ;
• Fluide incompressible et homogène : la masse volumique \rho est constante dans tout l'écoulement ;
• Fluide parfait : les effets visqueux sont négligés (pas de dissipation d'énergie mécanique en chaleur par frottement interne) ;
• Forces volumiques conservatives : dans un référentiel galiléen, la seule force de volume est la pesanteur uniforme (\vec{g} = -g\,\vec{u}_z) ;
• Le long d'une même ligne de courant (la constante de Bernoulli est identique sur tout le domaine si l'écoulement est de surcroît irrotationnel) ;
• Absence de machine hydraulique (pompe ou turbine) sur le tronçon considéré.

Dans ces conditions, la charge se conserve :

On applique le théorème de Bernoulli généralisé avec pertes de charge à l'écoulement permanent et incompressible de l'eau entre un point O à la surface libre de la mer et le point B situé juste à l'entrée de la pompe.

Les caractéristiques du fluide aux deux points sont :

• En O (surface libre de la mer, assimilée à un réservoir de très grande dimension) :

  P(O) = P_0, \quad z_O = 0, \quad v_O \approx 0

• En B (dans la conduite d'aspiration, juste avant la pompe) :

  P(B) = P_B, \quad z_B = -47\text{ m}, \quad v_B = v

Entre O et le point de captage A, le fluide est quasiment au repos au sein de la mer, et les frottements y sont négligeables. Les pertes de charge dans le circuit d'aspiration ont lieu dans la conduite entre A et B :

En l'absence de machine hydraulique entre O et B, le théorème de Bernoulli généralisé s'écrit :

Avec z_O = 0 et v_O = 0, la différence de pression \Delta P_a = P_B - P_O s'exprime par :

ou, formulée de façon équivalente pour l'écart positif P_O - P_B :

Considérons une ligne de courant allant de la sortie de la pompe (point C) jusqu'à la surface libre de la citerne (point E).

Le fluide étant incompressible et l'écoulement permanent, le théorème de Bernoulli avec pertes de charge entre C et E s'écrit :

où \Delta P_{\text{pertes},r} = \Delta P_{\text{reg},r} + \Delta P_{\text{sing},r} représente la somme des pertes de charge régulières et singulières dans le circuit de refoulement.

Les conditions aux deux points sont les suivantes :

• au point C, dans la conduite de refoulement : v_C = v et l'altitude vaut z_C ;
• au point E, à la surface libre de la citerne de grande section devant celle du tuyau : v_E \approx 0, l'altitude vaut z_E et la pression est la pression atmosphérique P_E = P_0.

On en déduit l'expression de la différence de pression P_C - P_E :

Si l'on définit la variation de pression dans le sens de l'écoulement entre C et E par \Delta P_r = P_E - P_C (de façon analogue à \Delta P_a = P_B - P_O à la question Q10) :

soit encore :

La pompe étant située entre les points B et C, elle fournit au fluide un surcroît de pression \Delta P_{\text{pompe}} = P_C - P_B.

Les surfaces libres en O et E sont à la même pression atmosphérique P_O = P_E = P_0. On peut donc décomposer cette différence selon :

D'après les questions Q10 et Q11 :

où \Delta P_{\text{pertes},a} = \Delta P_{\text{reg},a} + \Delta P_{\text{sing},a} et \Delta P_{\text{pertes},r} = \Delta P_{\text{reg},r} + \Delta P_{\text{sing},r}.

En effectuant la différence, les termes d'énergie cinétique se compensent (conduites de même diamètre) et comme z_B = z_C, il vient :

avec \Delta P_{\text{pertes,tot}} = \Delta P_{\text{reg},a} + \Delta P_{\text{sing},a} + \Delta P_{\text{reg},r} + \Delta P_{\text{sing},r}.

La puissance mécanique P_m cédée par la pompe au fluide s'écrit alors :

Application numérique :

• Terme gravitaire :

  \rho g z_E = 1,0 \times 10^3 \times 9,8 \times 25 = 2,45 \times 10^5\text{ Pa} = 2,45\text{ bar}

• Pertes de charge totales (d'après Q7 et Q8) :

  \Delta P_{\text{pertes,tot}} \approx 2,1 \times 10^3 + 63 + 1,0 \times 10^3 + 126 \approx 3,3 \times 10^3\text{ Pa} = 0,033\text{ bar}

• Débit volumique :

  Q_V = \frac{40}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 1,11 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}

D'où :

Commentaire :

• La puissance mécanique nécessaire est modeste (environ 2,8\text{ kW}), ce qui correspond à une pompe industrielle de petite à moyenne taille, aisément alimentée par le réseau électrique usuel. En tenant compte d'un rendement global usuel de l'ordre de 70 à 80\,\%, la puissance électrique consommée sera de l'ordre de 3,5 à 4\text{ kW}.
• Le terme gravitaire \rho g z_E représente plus de 98\,\% de la puissance à fournir : les pertes de charge restent très faibles (moins de 2\,\%) en raison du grand diamètre des canalisations (D = 20\text{ cm}) qui maintient la vitesse d'écoulement à une valeur faible (v \approx 0,35\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

L'eau intervient dans deux couples d'oxydoréduction délimitant son domaine de stabilité thermodynamique :

• À haut potentiel, le couple met en jeu le dioxygène gazeux et l'eau :

  \mathrm{O_2(g)} + 4\,\mathrm{H^+(aq)} + 4\,\mathrm{e}^- = 2\,\mathrm{H_2O(\ell)}

  L'espèce qui capte les électrons est l'oxydant et celle qui les cède est le réducteur. On a ainsi :

  \boxed{\text{Oxydant : } \mathrm{O_2(g)} \quad \text{et} \quad \text{Réducteur : } \mathrm{H_2O(\ell)}}

• À bas potentiel, le couple met en jeu les protons (ou l'eau en milieu basique) et le dihydrogène gazeux :

  \begin{aligned} 2\,\mathrm{H^+(aq)} + 2\,\mathrm{e}^- &= \mathrm{H_2(g)} \\ \text{ou en milieu basique : } 2\,\mathrm{H_2O(\ell)} + 2\,\mathrm{e}^- &= \mathrm{H_2(g)} + 2\,\mathrm{HO^-(aq)} \end{aligned}

  Dans ce couple :

  \boxed{\text{Oxydant : } \mathrm{H^+(aq)} \text{ (ou } \mathrm{H_2O(\ell)}\text{)} \quad \text{et} \quad \text{Réducteur : } \mathrm{H_2(g)}}

Rappelons les règles d'attribution des nombres d'oxydation usuels :

• pour l'élément oxygène, le nombre d'oxydation vaut \text{n.o.}(\text{O}) = -\text{II} (sauf dans le difluor et les peroxydes) ;
• pour l'élément hydrogène, le nombre d'oxydation vaut \text{n.o.}(\text{H}) = +\text{I} lorsqu'il est lié à des éléments plus électronégatifs.

1. Nombre d'oxydation du manganèse dans \text{Mn(OH)}_2\text{(s)} :

L'espèce \text{Mn(OH)}_2 étant neutre, la somme des nombres d'oxydation de tous les atomes constitutifs est nulle :

2. Nombre d'oxydation de l'iode dans l'ion iodate \text{IO}_3^-\text{(aq)} :

La somme des nombres d'oxydation est égale à la charge globale de l'ion, soit -1 :

Déterminons le nombre d'oxydation de l'élément manganèse dans chacune des cinq espèces :

• \mathrm{Mn(s)} : \text{n.o.} = 0 ;
• \mathrm{Mn^{2+}(aq)} et \mathrm{Mn(OH)_2(s)} : \text{n.o.} = +\text{II} ;
• \mathrm{Mn^{3+}(aq)} et \mathrm{Mn(OH)_3(s)} : \text{n.o.} = +\text{III}.

1. Répartition selon l'axe des potentiels (axe vertical) :

• Le domaine le plus bas correspond au réducteur le plus fort, soit le degré d'oxydation 0 : le domaine E correspond donc à \mathrm{Mn(s)}.
• Les domaines intermédiaires C et D correspondent au degré d'oxydation +\text{II}.
• Les domaines situés aux potentiels les plus élevés A et B correspondent au degré d'oxydation +\text{III}.

2. Répartition selon l'axe de pH (axe horizontal) :

• Au degré d'oxydation +III : la réaction de précipitation s'écrit

  \mathrm{Mn^{3+}(aq)} + 3\,\mathrm{H_2O(\ell)} = \mathrm{Mn(OH)_3(s)} + 3\,\mathrm{H^+(aq)}

  La forme cationique \mathrm{Mn^{3+}(aq)} existe donc en milieu acide (bas pH, à gauche), tandis que l'hydroxyde \mathrm{Mn(OH)_3(s)} se forme à pH plus élevé (à droite). On en déduit :

  • Domaine A : \mathrm{Mn^{3+}(aq)}
  • Domaine B : \mathrm{Mn(OH)_3(s)}

• Au degré d'oxydation +II : la réaction de précipitation s'écrit de même

  \mathrm{Mn^{2+}(aq)} + 2\,\mathrm{H_2O(\ell)} = \mathrm{Mn(OH)_2(s)} + 2\,\mathrm{H^+(aq)}

  L'ion \mathrm{Mn^{2+}(aq)} est stable à bas pH (à gauche) et le précipité \mathrm{Mn(OH)_2(s)} à pH plus élevé (à droite). On en déduit :

  • Domaine C : \mathrm{Mn^{2+}(aq)}
  • Domaine D : \mathrm{Mn(OH)_2(s)}

La frontière du couple \mathrm{O_2(g)}/\mathrm{H_2O} est tracée en pointillés rouges sur la figure 2 ; le domaine de stabilité du dioxygène dissous \mathrm{O_2} se situe au-dessus de cette droite.

Analysons chacune des espèces de l'élément manganèse :

• Mn(s) (domaine E) : situé très en dessous de la frontière \mathrm{O_2/H_2O} (E < -1{,}18\text{ V}), son domaine est disjoint de celui de \mathrm{O_2}. Le manganèse métallique est donc instable en présence de \mathrm{O_2} dissous (il est spontanément oxydé).
• \mathbf{Mn(OH)_2(s)} (domaine D) : situé intégralement sous la droite frontière \mathrm{O_2/H_2O}, son domaine est disjoint de celui de \mathrm{O_2}. L'hydroxyde de manganèse (II) n'est donc pas stable en présence de dioxygène dissous (il est oxydé par \mathrm{O_2}).
• \mathbf{Mn^{3+}(aq)} (domaine A) : situé pour \mathrm{pH} \lesssim 0{,}8 à des potentiels supérieurs à 1{,}51\text{ V}, il se trouve entièrement au-dessus de la frontière \mathrm{O_2/H_2O} (E^\circ = 1{,}23\text{ V}). Son domaine empiète sur celui de \mathrm{O_2} : \mathrm{Mn^{3+}(aq)} est donc stable en présence de dioxygène dissous.
• \mathbf{Mn(OH)_3(s)} (domaine B) : il s'étend vers les hauts potentiels sans limite supérieure sur le diagramme. De plus, pour \mathrm{pH} \gtrsim 3{,}5, sa frontière inférieure passe en dessous de la droite \mathrm{O_2/H_2O}. Son domaine de stabilité possède donc une vaste intersection avec celui de \mathrm{O_2} : \mathrm{Mn(OH)_3(s)} est stable en présence de dioxygène dissous.
• \mathbf{Mn^{2+}(aq)} (domaine C) : pour \mathrm{pH} \lesssim 3{,}5, la frontière supérieure du domaine de \mathrm{Mn^{2+}} (frontières A/C puis B/C) est située à un potentiel plus élevé que la droite \mathrm{O_2/H_2O}. Les domaines de \mathrm{Mn^{2+}} et de \mathrm{O_2} possèdent ainsi une zone commune à \mathrm{pH} < 3{,}5 : \mathrm{Mn^{2+}(aq)} est thermodynamiquement stable dans l'eau en présence de dioxygène dissous en milieu acide.