Feuille d'entraînement : Mécanique des fluides

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q21

   L'atmosphère est modélisée par un gaz parfait de masse molaire M_{\text{air}}, à la température uniforme T_0. L'équation d'état du gaz parfait s'écrit pour une masse m occupant un volume V sous la pression P(z) :

   P V = n R T_0 = \frac{m}{M_{\text{air}}} R T_0

   On en déduit l'expression de la masse volumique \mu = \frac{m}{V} :

   \mu(z) = \frac{M_{\text{air}} P(z)}{R T_0}

   La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit, selon l'axe vertical ascendant Oz (équation 3) :

   \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} z} = -\mu g

   En remplaçant \mu(z) par son expression, on obtient :

   \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} z} = -\frac{M_{\text{air}} g}{R T_0} P(z)

   En introduisant la hauteur caractéristique d'échelle :

   H = \frac{R T_0}{M_{\text{air}} g}

   l'équation différentielle régissant le champ de pression s'écrit sous forme canonique :

   \boxed{\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} z} + \frac{P(z)}{H} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}+\frac{P(z)}{H}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q1

   Soit un axe vertical ascendant (A, \vec{u}_z) ayant pour origine le point \mathrm{A}, situé au fond du bassin. La surface libre de l'eau, à l'air libre à la pression P_0, se trouve à l'altitude z_{\text{surf}} = h.

   Le point \mathrm{M}(x) de la plaque est situé à la distance x de l'origine \mathrm{A} le long de la plaque inclinée d'un angle \theta par rapport à l'horizontale. Son altitude au-dessus du fond est donc :

   z_M = x \sin\theta

   L'eau étant un fluide incompressible au repos dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g \vec{u}_z, la loi fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\rho g

   Par intégration entre la surface libre (z = h, P = P_0) et l'altitude z_M d'un point immergé (x \leqslant h/\sin\theta) :

   P_{\text{eau}}(x) - P_0 = \rho g (h - z_M)

   On en déduit l'expression de la pression de l'eau en \mathrm{M}(x) :

   \boxed{P_{\text{eau}}(x) = P_0 + \rho g (h - x \sin\theta)}

   Résultat

   $$P_{\text{eau}}(x)=P_0+\rho g(h-x\sin \theta )$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q3

   L'eau n'est en contact avec la plaque que sur sa partie immergée. D'après la relation trigonométrique liant la hauteur d'eau h et l'abscisse le long de la plaque inclinée d'un angle \theta, la surface libre de l'eau atteint la plaque en :

   x_{\max} = \frac{h}{\sin\theta}

   Distinguons les deux zones de la plaque :

   • Pour la partie émergée (x_{\max} < x \leqslant L), la plaque est en contact avec l'air à la pression uniforme P_0 sur ses deux faces. Les forces pressantes se compensent exactement : \mathrm{d}\vec{F}_{\text{fluide}} = \vec{0}.

   • Pour la partie immergée (0 \leqslant x \leqslant x_{\max}), la plaque est soumise à la pression de l'eau sur sa face inférieure et à la pression atmosphérique P_0 sur sa face supérieure. La force pressante fluide résultante sur la bande comprise entre x et x + \mathrm{d}x s'écrit, d'après les résultats de la question Q2 :

     \mathrm{d}\vec{F}_{\text{fluide}} = \mathrm{d}\vec{F}_{\text{eau}} + \mathrm{d}\vec{F}_{\text{air}} = \rho g (h - x\sin\theta)\ell\,\mathrm{d}x\,\vec{u}_y

   Le point \mathrm{M}(x) étant repéré par \vec{AM} = x\vec{u}_x, le moment élémentaire de cette force par rapport au point \mathrm{A} (situé sur l'axe (\mathrm{O}z)) vaut :

   \mathrm{d}\vec{\mathcal{M}}_{\mathrm{A}} = \vec{\mathrm{AM}} \wedge \mathrm{d}\vec{F}_{\text{fluide}} = (x\vec{u}_x) \wedge \left(\rho g (h - x\sin\theta)\ell\,\mathrm{d}x\,\vec{u}_y\right) = \rho g \ell\,x(h - x\sin\theta)\,\mathrm{d}x\,\vec{u}_z

   Le moment scalaire par rapport à l'axe orienté (\mathrm{O}z) s'obtient par projection selon \vec{u}_z et intégration sur la partie immergée :

   \begin{aligned} \mathcal{M}_{\text{fluide}} &= \int_0^{x_{\max}} \rho g \ell \left(h x - x^2\sin\theta\right)\mathrm{d}x \\ &= \rho g \ell \left[ h \frac{x^2}{2} - \sin\theta \frac{x^3}{3} \right]_0^{h/\sin\theta} \\ &= \rho g \ell \left( \frac{h^3}{2\sin^2\theta} - \frac{h^3}{3\sin^2\theta} \right) \\ &= \rho g \ell \frac{h^3}{\sin^2\theta} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \end{aligned}

   On en déduit l'expression demandée :

   \boxed{\mathcal{M}_{\text{fluide}} = \frac{1}{6}\rho g \ell \frac{h^3}{\sin^2\theta}}

   Résultat

   $${\mathcal{M}}_{\text{fluide}}=\frac{1}{6}\rho g\ell \frac{h^3}{{\sin }^2\theta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q14

   La relation de Bernoulli s'applique sous les hypothèses suivantes :

   • fluide parfait (viscosité négligeable, absence de frottements visqueux) ;
   • fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cte}) ;
   • écoulement stationnaire (ou permanent) ;
   • écoulement dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, en l'absence de machine (pas de pompe ni de turbine sur la portion considérée, aucun échange de travail utile) ;
   • le long d'une même ligne de courant (valable dans tout le fluide si l'écoulement est irrotationnel).

   Sous ces conditions, la quantité suivante est conservée le long d'une ligne de courant :

   \boxed{P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{cte}}

   où :

   • P est la pression statique du fluide au point considéré (en \text{Pa}) ;
   • \rho est la masse volumique du fluide (en \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}) ;
   • v est la vitesse de la particule de fluide (en \text{m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
   • z est l'altitude du point considéré selon un axe vertical orienté vers le haut (en \text{m}) ;
   • g est l'accélération de la pesanteur (en \text{m}\cdot\text{s}^{-2} ou \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}).

   Résultat

   $$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\text{cte}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q1

   Considérons une tranche élémentaire d'eau de mer au repos, comprise entre les altitudes z et z + \mathrm{d}z, de section horizontale d'aire S. Le volume de cet élément est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z et sa masse vaut :

   \mathrm{d}m = \rho_0\,\mathrm{d}V = \rho_0\,S\,\mathrm{d}z.

   Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, cette tranche de fluide est soumise à :

   • son poids :

     \mathrm{d}\vec{P}_p = \mathrm{d}m\,\vec{g} = -\rho_0\,g\,S\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z \,;

   • les forces de pression s'exerçant sur les faces horizontales inférieure et supérieure :

     \mathrm{d}\vec{F}_{\text{inf}} = P(z)\,S\,\vec{e}_z \quad \text{et} \quad \mathrm{d}\vec{F}_{\text{sup}} = -P(z+\mathrm{d}z)\,S\,\vec{e}_z \,;
   • les forces de pression latérales qui s'exercent selon des directions horizontales et n'ont pas de composante suivant \vec{e}_z.

   À l'équilibre statique du fluide, la somme vectorielle des forces est nulle :

   \mathrm{d}\vec{P}_p + \mathrm{d}\vec{F}_{\text{inf}} + \mathrm{d}\vec{F}_{\text{sup}} + \vec{F}_{\text{lat}} = \vec{0}.

   En projetant cette relation sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z, on obtient :

   \begin{aligned} P(z)\,S - P(z+\mathrm{d}z)\,S - \rho_0\,g\,S\,\mathrm{d}z &= 0 \\ -(P(z+\mathrm{d}z) - P(z)) - \rho_0\,g\,\mathrm{d}z &= 0 \\ -\mathrm{d}P - \rho_0\,g\,\mathrm{d}z &= 0. \end{aligned}

   On en déduit ainsi :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\rho_0\,g}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=-{\rho }_{0}g$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q21

   On étudie le volume mésoscopique d'eau de volume \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z et de masse \mathrm{d}m = \rho_{\mathrm{eau}}\,\mathrm{d}\tau, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   Ce système est soumis à deux actions mécaniques :

   • la résultante des forces de pression, établie à la question Q20 :

     \overrightarrow{\mathrm{d}F}_p = \bigl(P(z) - P(z + \mathrm{d}z)\bigr)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\vec{e}_z \approx -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

     en effectuant un développement limité à l'ordre 1 : P(z + \mathrm{d}z) = P(z) + \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}\,\mathrm{d}z ;

   • le poids du fluide mésoscopique dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{e}_z :

     \overrightarrow{\mathrm{d}P}_{\mathrm{ext}} = \mathrm{d}m\,\vec{g} = -\rho_{\mathrm{eau}} g\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z.

   À l'équilibre mécanique, le principe fondamental de la statique impose :

   \sum \vec{F}_{\mathrm{ext}} = \overrightarrow{\mathrm{d}F}_p + \overrightarrow{\mathrm{d}P}_{\mathrm{ext}} = \vec{0}.

   Par projection sur l'axe vertical (Oz) :

   -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z - \rho_{\mathrm{eau}} g\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = 0.

   En divisant par le volume élémentaire non nul \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, on obtient la relation fondamentale de la statique des fluides :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}P(z)}{\mathrm{d}z} = -\rho_{\mathrm{eau}} g}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}P(z)}{\mathrm{d}z}=-{\rho }_{\mathrm{eau}}g$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q1

   Soit un axe vertical ascendant (Oz) dont l'origine correspond au fond de l'aquarium, où se situe la vanne d'évacuation. On note h(t) la hauteur d'eau dans l'aquarium à l'instant t. À t = 0, h(0) = a = 1,0\text{ m}.

   La section horizontale de l'aquarium est S = a^2 = 1,0\text{ m}^2, et la section de l'orifice est s = 10\text{ cm}^2 = 1,0 \times 10^{-3}\text{ m}^2. On a s \ll S, ce qui justifie l'approximation du régime quasi-stationnaire : la vitesse de la surface libre v_{\text{surf}} est négligeable devant la vitesse d'évacuation v_s.

   En appliquant la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant entre un point de la surface libre (à la pression atmosphérique P_0) et un point situé juste à la sortie de la vanne (également à la pression P_0) :

   P_0 + \rho g h(t) + \frac{1}{2}\rho v_{\text{surf}}^2 = P_0 + 0 + \frac{1}{2}\rho v_s(t)^2

   En négligeant v_{\text{surf}}^2, on obtient la formule de Torricelli :

   v_s(t) = \sqrt{2gh(t)}

   Par conservation du débit volumique pour un fluide incompressible :

   D_v(t) = s v_s(t) = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = -a^2 \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}

   Il vient l'équation différentielle à variables séparables :

   \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}} = -\frac{s}{a^2}\sqrt{2g}\,\mathrm{d}t

   En intégrant entre t = 0 (h = a) et t = \tau (h = 0) :

   \begin{aligned} \int_a^0 \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}} &= -\frac{s\sqrt{2g}}{a^2} \int_0^\tau \mathrm{d}t \\ \left[ 2\sqrt{h} \right]_a^0 &= -\frac{s\sqrt{2g}}{a^2} \tau \\ -2\sqrt{a} &= -\frac{s\sqrt{2g}}{a^2} \tau \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la durée de vidange totale \tau :

   \boxed{\tau = \frac{a^2}{s}\sqrt{\frac{2a}{g}}}

   Application numérique :

   • a = 1,0\text{ m}
   • s = 1,0 \times 10^{-3}\text{ m}^2
   • g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   \tau = \frac{1,0^2}{1,0 \times 10^{-3}} \sqrt{\frac{2 \times 1,0}{9,8}} \approx 1000 \times 0,452 \approx 4,5 \times 10^2\text{ s} \approx 7,5\text{ min}

   Résultat

   $$\tau =\frac{a^2}{s}\sqrt{\frac{2a}{g}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q9

   La relation de Bernoulli (sous sa forme usuelle, sans échange de travail avec une machine ni dissipation) s'applique sous les hypothèses suivantes :

   • Écoulement stationnaire (ou permanent) : les grandeurs eulériennes ne dépendent pas explicitement du temps ;
   • Fluide incompressible et homogène : la masse volumique \rho est constante dans tout l'écoulement ;
   • Fluide parfait : les effets visqueux sont négligés (pas de dissipation d'énergie mécanique en chaleur par frottement interne) ;
   • Forces volumiques conservatives : dans un référentiel galiléen, la seule force de volume est la pesanteur uniforme (\vec{g} = -g\,\vec{u}_z) ;
   • Le long d'une même ligne de courant (la constante de Bernoulli est identique sur tout le domaine si l'écoulement est de surcroît irrotationnel) ;
   • Absence de machine hydraulique (pompe ou turbine) sur le tronçon considéré.

   Dans ces conditions, la charge se conserve :

   \boxed{P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{cte le long d'une ligne de courant}}

   Résultat

   $$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\text{cte le long d’une ligne de courant}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q18

   Tout corps partiellement ou totalement immergé dans un fluide au repos subit de la part de celui-ci une résultante des forces de pression, appelée poussée d'Archimède, opposée au poids du fluide déplacé :

   \boxed{\vec{F}_A = - \rho \, V_{\mathrm{im}} \, \vec{g}}

   où :

   • \vec{F}_A est le vecteur poussée d'Archimède (exprimé en newtons, \mathrm{N}) ;
   • \rho est la masse volumique du fluide dans lequel le corps est immergé (exprimée en \mathrm{kg\cdot m^{-3}}) ;
   • V_{\mathrm{im}} est le volume de la partie immergée du solide, équivalent au volume de fluide déplacé (exprimé en \mathrm{m^3}) ;
   • \vec{g} est le vecteur champ de pesanteur local (exprimé en \mathrm{m\cdot s^{-2}} ou \mathrm{N\cdot kg^{-1}}).

   En introduisant un axe vertical (Oz) orienté vers le haut de vecteur unitaire \vec{u}_z, de sorte que \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, la force s'écrit également :

   \vec{F}_A = \rho \, V_{\mathrm{im}} \, g \, \vec{u}_z

   Résultat

   $${\vec{F}}_A=-\rho V_{\mathrm{im}}\vec{g}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q46

    L'énoncé indique que la viscosité dynamique \eta s'exprime en \mathrm{Pa\cdot s}.

    Une pression correspond à une force par unité de surface :

    [P] = \frac{[F]}{[S]}

    D'après la deuxième loi de Newton, une force est le produit d'une masse par une accélération :

    [F] = \mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}}

    Une surface ayant pour dimension [S] = \mathrm{L^2}, la dimension d'une pression est :

    [P] = \frac{\mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^2}} = \mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}}

    La dimension de la viscosité dynamique \eta est donc :

    [\eta] = [P] \cdot [\text{temps}] = (\mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}}) \cdot \mathrm{T} = \mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-1}}

    \boxed{[\eta] = \mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-1}} \quad \text{soit, en unités de base du SI : } \mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}}

    Résultat

    $$[\eta ]=\mathrm{M}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}\cdot {\mathrm{T}}^{-1}\text{soit, en uniteˊs de base du SI : }\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question