Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2022

On étudie le système constitué par le crochet, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le crochet est soumis à :

• la tension du câble \vec{T}, verticale et dirigée vers le haut ;
• son poids propre \vec{P}_c = m_c\,\vec{g}, vertical et dirigé vers le bas ;
• les forces de traction exercées par les deux élingues, notées \vec{T}_1 et \vec{T}_2, dirigées le long des élingues vers le bateau.

Les élingues étant de masses négligeables et symétriques, l'équilibre statique du bateau de masse m_b impose :

À l'équilibre du crochet, la somme vectorielle des forces extérieures est nulle :

Soit, en remplaçant la résultante de traction des élingues :

En projetant sur l'axe vertical ascendant Oz :

où m = m_b + m_c représente la masse totale de la charge suspendue.

Application numérique :

a) Le mouvement étant rectiligne uniformément accéléré selon un axe vertical ascendant avec une vitesse initiale nulle :

b) Par intégration par rapport au temps, la position initiale étant prise comme origine (h(0) = 0) :

c) De l'expression précédente, on tire a\,t = \dfrac{2h(t)}{t}. En réinjectant dans l'expression de la vitesse instantanée :

d) À la fin de cette phase de levage, pour h = H = 10\text{ m} et t_1 = 1\text{ min} = 60\text{ s} :

e) On applique le théorème de l'énergie cinétique au système global {bateau + crochet} de masse m = 4,0\cdot 10^3\text{ kg} (d'après la question Q1) entre les instants t = 0 et t = t_1 dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

Le système partant du repos, \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0. Les forces appliquées sont constantes et verticales :

Il vient :

D'où l'expression de la tension T' :

f) L'écart entre la tension dynamique T' et la tension statique T = m\,g vaut :

Numériquement :

On en déduit :

L'accélération du levage (a = \frac{v_f^2}{2H} \approx 5,6\cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) étant totalement négligeable devant g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on a bien :

a) D'après la relation établie à la question Q2.e, la tension du câble lors d'un levage vertical avec une accélération ascendante a constante s'écrit :

Pour ne pas dépasser la tension maximale admissible T_{\text{max}}, l'accélération doit vérifier T' \le T_{\text{max}}, soit m(g + a_{\text{max}}) = T_{\text{max}}. On en déduit :

b) Application numérique :

c) Pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale (v_0 = 0), la relation indépendante du temps entre la vitesse et la distance parcourue s'écrit v^2 = 2 a H. La vitesse théorique maximale atteinte au bout d'une hauteur H vaut donc :

Application numérique avec H = 10\text{ m} :

Sachant que 8,9^2 = 79,21 et 9,0^2 = 81 :

d) À la question Q2.d, la vitesse atteinte était v_f \approx 0,33\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On constate que :

La vitesse théorique maximale permise par la résistance du câble est environ 27 fois plus grande que la vitesse v_f adoptée lors de la manœuvre de levage en une minute.

La puissance mécanique utile P_u développée par le treuil pour enrouler le câble sous une tension T à la vitesse v_{\text{max}} est donnée par :

Convertissons la vitesse d'enroulement maximale dans les unités du Système International :

D'après les caractéristiques de la grue données dans le texte, la tension maximale du câble vaut T = T_{\text{max}} = 56 \text{ kN} = 56 \cdot 10^3 \text{ N}. On en déduit :

soit, avec deux chiffres significatifs :

Remarque : Si l'on utilisait la tension à l'équilibre du voilier calculée à la question Q1 (T = 40 \text{ kN}), on obtiendrait P_u = 40 \cdot 10^3 \times 2,0 = 80 \text{ kW}. Cependant, la formulation « à partir des caractéristiques de la grue » pour la « tension maximale T » fait référence à la capacité maximale du treuil de la grue (T_{\text{max}} = 56 \text{ kN}).

La puissance mécanique utile transmise au tambour du treuil en rotation à la vitesse angulaire \Omega sous un couple C s'écrit :

Le câble s'enroulant sans glissement sur la périphérie du cylindre de diamètre D (donc de rayon R = \frac{D}{2}), la vitesse linéaire maximale d'enroulement v_{\max} est reliée à la vitesse angulaire par :

En injectant cette relation dans l'expression de la puissance utile, il vient :

On en déduit l'expression littérale du couple maximum développé par le treuil :

Application numérique : avec P_u = 112\text{ kW} = 1,12\cdot 10^5\text{ W}, v_{\max} = 2,0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et D = 500\text{ mm} = 0,50\text{ m} :

À l'équilibre, la charge totale de masse m = m_b + m_c est soumise à son poids et à la tension du câble. D'après la question Q1, la tension du câble soutenant la charge vaut :

La poulie en haut de flèche étant supposée parfaite et le câble inextensible, la tension T est uniforme le long du câble. Le câble s'enroule tangentiellement sur le tambour du treuil de rayon R = \frac{D}{2}.

Le moment de la force exercée par le câble par rapport à l'axe de rotation du treuil s'écrit donc en valeur absolue :

Pour maintenir la charge immobile à l'équilibre, le treuil doit fournir un couple de maintien C_m compensant exactement cette action mécanique :

Application numérique avec m = 4,0 \cdot 10^3\text{ kg}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et D = 0,50\text{ m} :

Pour que le treuil puisse procéder au levage de la charge constituée du voilier et du crochet :

• Condition sur le couple du treuil :
  D'après la question Q6, le couple nécessaire pour maintenir ou lever le bateau à vitesse constante est :

  C_m = 10\text{ kN}\cdot\text{m}

  Les caractéristiques de la grue indiquent un couple de sortie dynamique maximal de :

  C_{\text{dyn, max}} = 23\text{ kN}\cdot\text{m}

  On a donc :

  C_m < C_{\text{dyn, max}} \quad (10\text{ kN}\cdot\text{m} < 23\text{ kN}\cdot\text{m})

  Même en appliquant la tension maximale du câble T_{\max} = 56\text{ kN}, le couple développé ne dépasserait pas C = 14\text{ kN}\cdot\text{m} (calculé en Q5), valeur qui reste bien inférieure à 23\text{ kN}\cdot\text{m}.

• Condition sur la résistance du câble :
  D'après la question Q1, la tension du câble à l'équilibre vaut T = 40\text{ kN}, ce qui reste inférieur à la tension maximale admissible :

  T < T_{\max} = 56\text{ kN}
• Condition sur la capacité globale de levage :
  La masse totale de la charge est m = 4,0\cdot 10^3\text{ kg} = 4,0\text{ t}, très largement en deçà de la capacité maximale de levage retenue (70\text{ tonnes}).

On étudie le système constitué par le voilier (ou l'ensemble de la charge suspendue) de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

On repère l'altitude suivant un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, dont l'origine z = 0 est prise au niveau de la surface de l'eau. Le bas de la quille se trouve initialement sans vitesse à l'altitude z_i = H = 10\text{ m}.

Le treuil étant débrayé et les frottements négligés, le système est uniquement soumis à son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z, qui dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

Le poids étant une force conservative et aucune autre force n'intervenant, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_{pp} se conserve au cours de la chute :

En développant avec v_i = 0 et v_f = v :

On en déduit l'expression littérale de la vitesse d'impact :

Application numérique :

Le système constitué par la charge totale (voilier et crochet de masse m = m_b + m_c = 4{,}0\cdot 10^3\text{ kg}) descend verticalement dans le référentiel terrestre supposé galiléen à une vitesse constante descendante :

L'accélération étant nulle, le principe fondamental de la dynamique appliqué à la charge se résume à l'équilibre des forces :

d'où une tension du câble dirigée vers le haut de norme :

Le câble se dévidant à la vitesse v, la puissance mécanique cédée par la charge au câble (puissance résistive reçue par la charge) vaut :

En l'absence de pertes au niveau de la poulie, la puissance de freinage \mathcal{P}_{\text{frein}} que doit développer le treuil pour dissiper ou récupérer cette puissance mécanique s'écrit :

Application numérique :