Feuille d'entraînement : Circuits électriques et régimes transitoires

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q22

   D'après la question Q17, aux fréquences d'intérêt, la sonde se comporte comme un conducteur ohmique de résistance R_{\text{sonde}}.

   L'amplificateur linéaire intégré étant idéal, le courant entrant par sa borne inverseuse est nul :

   i^- = 0

   Le potentiel au nœud situé entre la sonde et le condensateur est égal au potentiel V^- de la borne inverseuse, soit e(t) (rappelé à la question Q20). La tension aux bornes du condensateur C, dont une armature est reliée à la masse, est donc directement e(t).

   Le courant i(t) circulant de la sortie de l'ALI (au potentiel s(t)) vers la masse à travers la sonde puis le condensateur s'écrit :

   • à travers la résistance R_{\text{sonde}} de la sonde :

     i(t) = \frac{s(t) - e(t)}{R_{\text{sonde}}}

   • à travers le condensateur C :

     i(t) = C\,\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}

   En égalant ces deux expressions :

   C\,\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} = \frac{s(t) - e(t)}{R_{\text{sonde}}} \iff \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{R_{\text{sonde}} C}\,e(t) = \frac{1}{R_{\text{sonde}} C}\,s(t)

   On obtient bien la forme demandée :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{\tau}\,e(t) = \frac{1}{\tau}\,s(t)}

   avec la constante de temps du circuit RC série :

   \boxed{\tau = R_{\text{sonde}}\,C}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{\tau }e(t)=\frac{1}{\tau }s(t)$$

   $$\tau =R_{\text{sonde}}C$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q10

   Le nœud A est relié à l'entrée non inverseuse (+) de l'ALI et se trouve au potentiel V_A = u_0 par rapport à la masse. L'ALI étant idéal, son courant d'entrée non inverseur est nul :

   i_+ = 0

   Le courant i_p(t) s'écoulant du point A vers la masse à travers l'association parallèle formée d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C s'écrit :

   i_p(t) = i_R(t) + i_C(t) = \frac{u_0(t)}{R} + C \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t}

   D'après la loi des nœuds appliquée au point A, le courant i_s(t) provenant de la sortie (à la tension u_1) à travers la branche série (R\text{--}C) vérifie :

   i_s(t) = i_p(t) + i_+ = \frac{u_0(t)}{R} + C \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t}

   En dérivant cette relation par rapport au temps :

   \frac{\mathrm{d}i_s}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} + C \frac{\mathrm{d}^2u_0}{\mathrm{d}t^2}

   Par ailleurs, la tension aux bornes de la branche série constituée de la résistance R et du condensateur C en série vaut :

   u_1(t) - u_0(t) = R i_s(t) + u_{C,\text{série}}(t)

   En dérivant cette équation par rapport au temps et en utilisant la relation constitutive du condensateur série, i_s = C \frac{\mathrm{d}u_{C,\text{série}}}{\mathrm{d}t} :

   \frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} = R \frac{\mathrm{d}i_s}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{C} i_s(t)

   En remplaçant i_s(t) et \frac{\mathrm{d}i_s}{\mathrm{d}t} par leurs expressions en fonction de u_0 :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} &= R\left(\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} + C \frac{\mathrm{d}^2u_0}{\mathrm{d}t^2}\right) + \frac{1}{C}\left(\frac{u_0}{R} + C \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t}\right) \\ &= RC \frac{\mathrm{d}^2u_0}{\mathrm{d}t^2} + 2\frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{RC} u_0 \end{aligned}

   En ajoutant \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} de part et d'autre :

   \frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t} = RC \frac{\mathrm{d}^2u_0}{\mathrm{d}t^2} + 3\frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{RC} u_0

   On identifie alors la pulsation caractéristique \omega_0 :

   \boxed{\omega_0 = \frac{1}{RC}}

   Ce qui conduit bien à la forme demandée :

   \frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\omega_0} \frac{\mathrm{d}^2u_0}{\mathrm{d}t^2} + 3 \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d}t} + \omega_0 u_0

   Résultat

   $${\omega }_0=\frac{1}{RC}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q8

   D'après l'énoncé, pour tout instant t \in [0, t_0], la source idéale de tension délivre une tension constante :

   u(t) = E

   Le solénoïde est modélisé par l'association en série d'une bobine d'inductance propre L et d'un résistor de résistance r. En adoptant la convention récepteur pour chacun de ces deux composants parcourus par le courant d'intensité I(t) :

   • la tension aux bornes du résistor s'écrit u_r(t) = r \, I(t) ;
   • la tension aux bornes de l'inductance idéale s'écrit u_L(t) = L \, \frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}.

   D'après la loi des mailles, la tension totale imposée au solénoïde est :

   u(t) = u_L(t) + u_r(t) = L \, \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + r \, I(t)

   Comme u(t) = E sur l'intervalle [0, t_0], l'équation différentielle vérifiée par I(t) s'écrit :

   \boxed{L \, \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + r \, I(t) = E}

   ou, sous forme canonique :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + \frac{r}{L} \, I(t) = \frac{E}{L}}

   Résultat

   $$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+rI(t)=E$$

   $$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+\frac{r}{L}I(t)=\frac{E}{L}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q9

   L'énergie emmagasinée sous forme magnétique dans une bobine d'inductance L parcourue par un courant d'intensité I(t) s'exprime par :

   \mathcal{E}_L(t) = \frac{1}{2} L I(t)^2

   Une discontinuité de cette énergie en t = 0 impliquerait une puissance électrique \mathcal{P}(t) = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_L}{\mathrm{d}t} infinie, ce qui est physiquement impossible pour un générateur réel ou idéal à tension bornée.

   Par conséquent, l'énergie magnétique \mathcal{E}_L(t) est une fonction continue du temps, ce qui entraîne la continuité du courant I(t) à travers la bobine :

   I(0^+) = I(0^-)

   Puisque I(0^-) = 0, on en déduit immédiatement :

   \boxed{I(0^+) = 0}

   Résultat

   $$I(0^{+})=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q16

   Avant la fermeture de l'interrupteur (t < 0), le circuit est ouvert, donc aucun courant ne circule :

   i(0^-) = 0\text{ A}

   De plus, l'énoncé indique que le condensateur est initialement déchargé :

   u_c(0^-) = 0\text{ V}

   Tension aux bornes du condensateur : L'énergie électrostatique emmagasinée par le condensateur, \mathcal{E}_e = \frac{1}{2}C u_c^2, est une fonction continue du temps pour éviter une puissance échangée infinie. La tension u_c(t) est donc continue en t = 0 :

   u_c(0^+) = u_c(0^-) = 0\text{ V}

   \boxed{u_c(0^+) = 0\text{ V}}

   Intensité du courant dans le circuit : L'énergie magnétique stockée dans la bobine, \mathcal{E}_m = \frac{1}{2}L i^2, est également une fonction continue du temps. L'intensité i(t) traversant la bobine est donc continue en t = 0 :

   i(0^+) = i(0^-) = 0\text{ A}

   \boxed{i(0^+) = 0\text{ A}}

   Résultat

   $$u_c(0^{+})=0\text{ V}$$

   $$i(0^{+})=0\text{ A}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q17

   Pour t > 0, l'interrupteur est fermé. En choisissant un sens horaire pour le parcours de la maille et pour l'intensité i(t), les dipôles R, L et C sont orientés en convention récepteur. La loi des mailles s'écrit :

   E = u_R(t) + u_L(t) + u_c(t)

   Les relations caractéristiques des dipôles s'écrivent :

   • pour le conducteur ohmique : u_R(t) = R \, i(t) ;
   • pour la bobine idéale : u_L(t) = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}(t) ;
   • pour le condensateur : i(t) = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}(t).

   En reportant l'expression de i(t) dans celles de u_R(t) et u_L(t), on obtient :

   \begin{aligned} u_R(t) &= R C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} \\ u_L(t) &= L C \frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} \end{aligned}

   En substituant ces tensions dans la loi des mailles, on aboutit à :

   L C \frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} + R C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + u_c(t) = E

   En divisant par LC, on met l'équation différentielle sous forme normalisée :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC} u_c(t) = \frac{E}{LC}}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2{u}_c}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}{u}_c}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{LC}{u}_c(t)=\frac{E}{LC}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q18

   D'après la question Q17, l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c(t) s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} + \frac{R}{L}\,\frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC}\,u_c = \frac{E}{LC}

   Par identification terme à terme avec la forme canonique proposée :

   \frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2\,u_c = \omega_0^2\,E

   • Pour le terme d'ordre 0 en u_c :

     \omega_0^2 = \frac{1}{LC}

     Comme la pulsation propre \omega_0 est une grandeur strictement positive :

     \boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

   • Pour le terme d'ordre 1 en dérivée première :

     \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} \implies Q = \frac{L\,\omega_0}{R} = \frac{L}{R}\,\frac{1}{\sqrt{LC}}

     Soit finalement :

     \boxed{Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}

   Résultat

   $${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

   $$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q25

   Lorsque l'interrupteur \mathrm{K} est fermé (t \geqslant 0) :

   • Pour le condensateur de capacité C, la flèche de tension u_c(t) est orientée vers le haut et le courant i(t) sort par l'armature supérieure (à potentiel supérieur). Le condensateur est donc orienté en convention générateur :

     i(t) = -C \frac{\mathrm{d}u_c(t)}{\mathrm{d}t}

   • Pour le résistor de résistance R, orienté en convention récepteur (courant orienté vers le bas, tension u_R vers le haut) :

     u_R(t) = R \, i(t)

   D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du résistor est égale à la tension aux bornes du condensateur :

   u_c(t) = u_R(t) = R \, i(t)

   En remplaçant l'expression de i(t), on obtient :

   u_c(t) = - R \, C \frac{\mathrm{d}u_c(t)}{\mathrm{d}t} \iff \frac{\mathrm{d}u_c(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{u_c(t)}{R\,C} = 0

   En posant \tau = R\,C, l'équation différentielle s'écrit sous forme canonique :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + \frac{u_c}{\tau} = 0 \quad \text{avec} \quad \tau = R\,C}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{u}_c}{\mathrm{d}t}+\frac{u_c}{\tau }=0\text{avec}\tau =RC$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q26

   D'après la question Q25, l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c(t) pour t \ge 0 s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + \frac{u_c}{\tau} = 0 \quad \text{avec} \quad \tau = RC

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre, dont la forme générale de la solution est :

   u_c(t) = A \, \mathrm{e}^{-t/\tau}

   où A est une constante d'intégration réelle.

   Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur (l'énergie électrostatique \mathcal{E}_e = \frac{1}{2} C u_c^2 ne pouvant subir de discontinuité) :

   u_c(0^+) = u_c(0^-) = U_0

   À t = 0, la solution générale donne :

   u_c(0) = A \, \mathrm{e}^{0} = A = U_0

   On en déduit l'expression littérale de la tension aux bornes du condensateur au cours de la décharge :

   \boxed{u_c(t) = U_0 \, \mathrm{e}^{-t/\tau} = U_0 \, \mathrm{e}^{-t/(RC)}}

   Résultat

   $$u_c(t)=U_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau }=U_0{\mathrm{e}}^{-t/(RC)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie TSI 2021, Q22

    D'après le modèle fourni par l'énoncé pour la diode idéalisée :

    • à l'état bloqué (u_d < 0), la diode se comporte comme un interrupteur ouvert, donc le courant qui la traverse est nul : i_s = 0 ;
    • à l'état passant (u_d \ge 0), la diode se comporte comme un interrupteur fermé, la tension à ses bornes est donc nulle (u_d = 0) et le courant ne peut circuler que dans le sens direct : i_s \ge 0.

    La caractéristique courant-tension i_s = f(u_d) est donc constituée de deux demi-droites :

    Caractère actif ou passif : En convention récepteur, la puissance instantanée reçue par la diode est :

    p(t) = u_d(t) \cdot i_s(t)

    • À l'état bloqué : i_s(t) = 0 \implies p(t) = 0 ;
    • À l'état passant : u_d(t) = 0 \implies p(t) = 0.

    La diode ne fournit jamais d'énergie au circuit extérieur (p(t) \ge 0, et sa caractéristique passe par l'origine (0,0) sans source d'énergie autonome).

    \boxed{\text{La diode idéalisée est un dipôle passif.}}

    Résultat

    $$\text{La diode ideˊaliseˊe est un dipoˆle passif.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question