Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2026

Soit un axe vertical ascendant (A, \vec{u}_z) ayant pour origine le point \mathrm{A}, situé au fond du bassin. La surface libre de l'eau, à l'air libre à la pression P_0, se trouve à l'altitude z_{\text{surf}} = h.

Le point \mathrm{M}(x) de la plaque est situé à la distance x de l'origine \mathrm{A} le long de la plaque inclinée d'un angle \theta par rapport à l'horizontale. Son altitude au-dessus du fond est donc :

L'eau étant un fluide incompressible au repos dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g \vec{u}_z, la loi fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

Par intégration entre la surface libre (z = h, P = P_0) et l'altitude z_M d'un point immergé (x \leqslant h/\sin\theta) :

On en déduit l'expression de la pression de l'eau en \mathrm{M}(x) :

Soit (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) la base orthonormée directe associée aux axes de la figure 2, où \vec{u}_x est dirigé le long de la plaque de \mathrm{A} vers \mathrm{B}, \vec{u}_y est orthogonal à la plaque et dirigé vers la gauche (du côté de l'air), et \vec{u}_z est le vecteur unitaire le long de l'axe de rotation (\mathrm{O}z), dirigé vers le lecteur.

L'aire de la bande élémentaire considérée est :

Pour une bande située dans la partie immergée, c'est-à-dire pour x \in \left[0, \frac{h}{\sin\theta}\right] :

• L'eau, située du côté droit de la plaque, exerce sur cette bande une force pressante dirigée selon la normale orientée vers la plaque, c'est-à-dire suivant +\vec{u}_y :

  \mathrm{d}\vec{F}_{\text{eau}} = P_{\text{eau}}(x) \, \mathrm{d}S \, \vec{u}_y

  En injectant l'expression de P_{\text{eau}}(x) établie à la question Q1 :

  \boxed{\mathrm{d}\vec{F}_{\text{eau}} = \big[P_0 + \rho g (h - x\sin\theta)\big]\, \ell \, \mathrm{d}x \, \vec{u}_y}

• L'air, situé du côté gauche de la plaque, exerce une force pressante dirigée suivant -\vec{u}_y :

  \boxed{\mathrm{d}\vec{F}_{\text{air}} = - P_0 \, \ell \, \mathrm{d}x \, \vec{u}_y}

L'eau n'est en contact avec la plaque que sur sa partie immergée. D'après la relation trigonométrique liant la hauteur d'eau h et l'abscisse le long de la plaque inclinée d'un angle \theta, la surface libre de l'eau atteint la plaque en :

Distinguons les deux zones de la plaque :

• Pour la partie émergée (x_{\max} < x \leqslant L), la plaque est en contact avec l'air à la pression uniforme P_0 sur ses deux faces. Les forces pressantes se compensent exactement : \mathrm{d}\vec{F}_{\text{fluide}} = \vec{0}.

• Pour la partie immergée (0 \leqslant x \leqslant x_{\max}), la plaque est soumise à la pression de l'eau sur sa face inférieure et à la pression atmosphérique P_0 sur sa face supérieure. La force pressante fluide résultante sur la bande comprise entre x et x + \mathrm{d}x s'écrit, d'après les résultats de la question Q2 :

  \mathrm{d}\vec{F}_{\text{fluide}} = \mathrm{d}\vec{F}_{\text{eau}} + \mathrm{d}\vec{F}_{\text{air}} = \rho g (h - x\sin\theta)\ell\,\mathrm{d}x\,\vec{u}_y

Le point \mathrm{M}(x) étant repéré par \vec{AM} = x\vec{u}_x, le moment élémentaire de cette force par rapport au point \mathrm{A} (situé sur l'axe (\mathrm{O}z)) vaut :

Le moment scalaire par rapport à l'axe orienté (\mathrm{O}z) s'obtient par projection selon \vec{u}_z et intégration sur la partie immergée :

On en déduit l'expression demandée :

La masse m étant uniformément répartie sur la plaque rectangulaire de hauteur L, le centre de gravité G de la plaque est situé au centre géométrique de celle-ci. Son vecteur position par rapport à un point O situé sur l'axe (\mathrm{O}z) au niveau du bord inférieur A est :

où \vec{u}_x est le vecteur unitaire le long de la ligne de plus grande pente de la plaque.

En décomposant \vec{u}_x dans la base (\vec{u}_{\text{horiz}}, \vec{u}_{\text{vert}}) du plan de la figure (avec \vec{u}_{\text{horiz}} \wedge \vec{u}_{\text{vert}} = \vec{u}_z) :

Le poids total de la plaque s'écrit \vec{P} = -m g\,\vec{u}_{\text{vert}}. Le moment par rapport à l'axe (\mathrm{O}z) s'en déduit par le produit vectoriel :

Comme (\vec{u}_{\text{horiz}} \wedge \vec{u}_{\text{vert}}) \cdot \vec{u}_z = 1, le moment algébrique par rapport à l'axe (\mathrm{O}z) vaut :

Le système étudié est la plaque, modélisée comme un solide indéformable en équilibre dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'axe de rotation (\mathrm{O}z) étant fixe, la condition d'équilibre en rotation se traduit par la nullité de la somme des moments des actions mécaniques extérieures par rapport à cet axe :

La liaison pivot étant supposée parfaite (sans frottement), le moment des actions de liaison par rapport à l'axe de rotation est nul : \mathcal{M}_{\text{pivot}} = 0.

En utilisant les expressions des moments établies aux questions Q3 et Q4 :

la condition d'équilibre s'écrit :

En simplifiant par g \neq 0 et en multipliant par \frac{2 \sin^2 \theta}{m L}, il vient :

En utilisant la relation \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta, on obtient bien la condition d'équilibre sous la forme attendue :

D'après la relation d'équilibre obtenue à la question Q5 :

Comme les paramètres \rho, m, L, \ell ainsi que h sont strictement positifs, h(\theta) est maximale lorsque la fonction f(\theta) = \cos\theta(1 - \cos^2\theta) est maximale.

Posons la variable u = \cos\theta, avec u \in ]0, 1[ pour \theta \in ]0^\circ, 90^\circ[. On étudie la fonction :

Sa dérivée par rapport à u s'écrit :

Sur l'intervalle ]0, 1[, cette dérivée s'annule en changeant de signe (de positif à négatif) pour :

La fonction g admet donc un unique maximum en u_0 = 1/\sqrt{3}.

On en déduit l'angle \theta_0 correspondant :

Application numérique :

Soit, avec trois chiffres significatifs :

D'après les questions précédentes, pour une hauteur d'eau h = h_0 = h(\theta_0) maintenue constante, les expressions des deux moments s'écrivent :

1. Justification théorique

À l'équilibre mécanique, pour tout angle \theta, la hauteur d'eau h(\theta) vérifie :

Or, d'après l'étude de la fonction h(\theta) (question Q6), la hauteur d'équilibre atteint son maximum en \theta_0 : pour tout angle \theta, on a h(\theta) \leqslant h_0.

Comme \mathcal{M}_{\text{fluide}}(\theta, h) est proportionnel à h^3 avec un coefficient positif, on a pour tout \theta :

L'égalité n'a lieu qu'en \theta = \theta_0. Le graphe de \mathcal{M}_{\text{fluide}}(\theta) est donc tangent au graphe de |\mathcal{M}_{\text{poids}}|(\theta) en \theta_0 et se situe strictement au-dessus pour toute autre valeur de \theta.

2. Vérification numérique

Calculons la valeur du moment du poids en \theta = 45^\circ :

Sur la figure 4, à \theta = 45^\circ, la courbe 1 passe précisément par l'ordonnée \approx 694\text{ N}\cdot\text{m} (juste sous la graduation 700), alors que la courbe 2 se situe au-dessus de 750 N\cdotm.

On en déduit sans ambiguïté :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué à la plaque en rotation autour de l'axe fixe (\mathrm{O}z) dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

où J_\Delta > 0 est le moment d'inertie de la plaque par rapport à l'axe (\mathrm{O}z).

À l'angle \theta = \theta_0, il y a équilibre pour la hauteur h = h(\theta_0) puisque les deux moments se compensent exactement : \mathcal{M}_{\text{fluide}}(\theta_0) = \left|\mathcal{M}_{\text{poids}}(\theta_0)\right|.

D'après la figure 4, pour tout angle \theta > \theta_0 à hauteur h fixée :

Le moment résultant est donc strictement positif :

La position d'équilibre n'est donc pas rappelée vers \theta_0 mais s'en éloigne : la plaque bascule brutalement, ce qui caractérise une situation d'instabilité.

L'existence de cette instabilité présente :

• Un avantage : elle assure un déploiement automatique, rapide et complet de la protection. Dès que le niveau d'eau critique est atteint (\theta > \theta_0), la barrière bascule d'elle-même jusqu'à la butée verticale (\theta = 90^\circ) sans apport extérieur d'énergie et sans risquer de rester bloquée dans une position d'inclinaison intermédiaire. La hauteur de protection offerte est alors maximale (L = 1{,}00\text{ m}), ce qui est idéal face à une crue soudaine.
• Un inconvénient : le mouvement de basculement est brusque et accéléré, ce qui engendre un choc mécanique violent lors de l'impact sur la butée à 90^\circ. Ce choc peut dégrader à terme la liaison pivot, la butée ou les joints d'étanchéité, voire constituer un danger physique pour les usagers (piétons ou véhicules) se trouvant au niveau de la barrière au moment du déclenchement.

En régime permanent et en l'absence d'effets de bord, la conservation de la charge impose que l'intensité totale I traversant toute surface cylindrique coaxiale de rayon r \in [R_1, R_2] et de hauteur H est constante.

Le vecteur surface élémentaire sortant s'écrit en coordonnées cylindriques :

Le flux du vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath} = j(r)\vec{e}_r à travers cette surface latérale d'aire S(r) = 2\pi r H vaut alors :

On en déduit immédiatement :

D'après la loi d'Ohm locale dans l'air de conductivité \gamma_0 :

En utilisant l'expression de j(r) obtenue à la question Q10, le champ électrique s'écrit pour R_1 < r < R_2 :

Le potentiel électrostatique V(r) vérifie \vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} \vec{e}_r. La tension U = V_1 - V_2 s'obtient alors par circulation du champ électrique le long d'un rayon :

On en déduit :

On identifie bien la loi d'Ohm macroscopique U = R_0 I, avec :

En négligeant les effets de bord (cylindre de grande hauteur devant l'interstice R_2 - R_1) :

• Invariances : la distribution de charges est invariante par rotation autour de l'axe (\mathrm{O}z) et par translation selon l'axe (\mathrm{O}z). Le champ ne dépend donc que de la coordonnée radiale r.

• Symétries : tout plan contenant l'axe (\mathrm{O}z) est un plan de symétrie plane de la distribution de charges, et le plan perpendiculaire à l'axe passant par un point quelconque est également plan de symétrie. Le champ électrostatique est donc purement radial selon \vec{e}_r :

  \vec{E}(r) = E(r)\,\vec{e}_r

On applique le théorème de Gauss à une surface fermée \mathcal{S} constituée d'un cylindre coaxial d'axe (\mathrm{O}z), de rayon r \in ]R_1, R_2[ et de hauteur arbitraire h :

• Le flux à travers les deux bases planes circulaires est nul car le champ \vec{E} est orthogonal à la normale \pm\vec{e}_z.

• Le flux sortant à travers la surface latérale s'écrit :

  \Phi = \iint_{\text{latérale}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E(r) \times 2\pi r h

• La charge Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur de la surface de Gauss provient de la portion de hauteur h du cylindre intérieur de rayon R_1. La charge Q étant uniformément répartie sur la hauteur H, la densité linéique de charge vaut \lambda = \frac{Q}{H}, d'où :

  Q_{\text{int}} = \lambda\,h = \frac{Q\,h}{H}

D'après le théorème de Gauss :

On en déduit l'expression du champ électrique entre les armatures :

Un condensateur est constitué de deux conducteurs (les armatures) en situation d'influence totale, portant des charges électriques opposées : +Q sur l'armature A (au potentiel V_A) et -Q sur l'armature B (au potentiel V_B).

La tension à ses bornes est définie par U = V_A - V_B.

Par définition, la capacité C du condensateur est le coefficient de proportionnalité, strictement positif et ne dépendant que de la géométrie des armatures et de la nature du diélectrique intercalé, reliant la charge Q de l'armature vers laquelle est dirigée la flèche de tension à la différence de potentiel U :

La capacité C s'exprime en farads (\mathrm{F}).

La différence de potentiel U = V_1 - V_2 entre le cylindre intérieur de rayon R_1 et le cylindre extérieur de rayon R_2 s'obtient par circulation du champ électrostatique :

Le déplacement élémentaire radial s'écrit \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}r\,\vec{e}_r. En utilisant l'expression du champ électrique obtenue à la question Q12, \vec{E}(r) = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H r}\,\vec{e}_r, il vient :

D'après la définition établie à la question Q13, la capacité C_0 du condensateur cylindrique vide s'en déduit directement :

soit :

Les deux cylindres métalliques coaxiaux constituent des équipotentielles le long de la direction verticale (Oz). La tension U = V_1 - V_2 est donc identique pour :

• la partie inférieure immergée, de hauteur h, occupée par l'eau de conductivité \gamma_{\text{eau}} ;
• la partie supérieure émergée, de hauteur H - h, occupée par l'air de conductivité \gamma_0.

Le courant total issu du cylindre intérieur se divise entre ces deux milieux, ce qui correspond à une association en parallèle de deux résistances, soit à une somme de conductances :

D'après le résultat de la question Q11, la résistance d'un tronçon coaxial de hauteur L rempli d'un milieu de conductivité \gamma est R = \frac{\ln(R_2/R_1)}{2\pi \gamma L}, ce qui donne pour les conductances :

La conductance totale s'écrit donc :

D'après les données de l'énoncé :

Le rapport des conductivités vaut :

Puisque h et H sont du même ordre de grandeur, le terme \gamma_0 (H - h) est tout à fait négligeable devant \gamma_{\text{eau}} h. Par conséquent :

On en déduit l'expression approchée de la résistance de la sonde :

Les deux zones de la sonde sont soumises à la même différence de potentiel U = V_1 - V_2 entre les deux armatures cylindriques coaxiales. En négligeant les effets de bord, la sonde se modélise donc comme l'association en parallèle de deux condensateurs :

• la partie inférieure, de hauteur h, occupée par l'eau de permittivité \varepsilon_{\text{eau}} = \varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}} ;
• la partie supérieure, de hauteur H - h, occupée par l'air assimilé au vide de permittivité \varepsilon_0.

D'après le résultat de la question Q14, la capacité d'un condensateur cylindrique coaxial de hauteur L et de permittivité \varepsilon s'écrit :

Les capacités de chacune des deux parties valent donc :

Pour une association en parallèle, les capacités s'ajoutent :

L'eau présente une permittivité relative statique très élevée : \varepsilon_{\mathrm{r}} = 80 \gg 1. De plus, h et H étant du même ordre de grandeur, on a :

On peut donc négliger le terme H - h devant \varepsilon_{\mathrm{r}} h (ou de façon équivalente, négliger C_{\text{air}} devant C_{\text{eau}}) :

Pour une association en parallèle d'un conducteur ohmique de résistance R_{\text{sonde}} et d'un condensateur de capacité C_{\text{sonde}} soumis à un signal de pulsation \omega = 2\pi f, l'admittance complexe équivalente de la sonde s'écrit :

D'après les résultats des questions Q15 et Q16 :

Le produit R_{\text{sonde}} C_{\text{sonde}}, homogène à un temps de relaxation diélectrique, est indépendant de la géométrie et de la hauteur d'eau h :

Effectuons l'application numérique avec les grandeurs fournies :

Pour une fréquence d'oscillation de l'ordre du kilohertz (f \sim 10^3\text{ Hz}, soit \omega = 2\pi f \sim 6{,}3 \times 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) :

Par conséquent :

Le courant traversant la branche capacitive est tout à fait négligeable devant celui traversant la branche conductrice : la capacité se comporte comme un circuit ouvert. L'admittance se réduit à :

La sonde est donc équivalente, à cette fréquence, à la seule résistance R_{\text{sonde}}.

Les composants passifs du circuit (les résistances R, la sonde assimilée à la résistance R_{\text{sonde}} et le condensateur C) ne fournissent aucune énergie au circuit ; les résistances dissipent au contraire continûment de l'énergie par effet Joule.

L'amplificateur linéaire intégré (ALI) est un composant actif. L'entretien des oscillations et la compensation des pertes énergétiques sont donc assurés par l'alimentation électrique extérieure (continue, généralement symétrique \pm V_{\mathrm{alim}} ou \pm V_{\mathrm{cc}}) de l'ALI, bien que ses bornes d'alimentation ne soient pas explicitement représentées sur le schéma de principe de la figure 6.

Examinons les liaisons de l'amplificateur linéaire intégré (ALI) :

• La sortie de l'ALI est bouclée sur son entrée non-inverseuse (+) à travers un pont diviseur de tension constitué par les deux résistances R. Il s'agit d'une réaction positive (rétroaction sur la borne +).
• Il n'y a aucune liaison de rétroaction vers l'entrée inverseuse (-).

L'existence exclusive d'une rétroaction positive rend instable tout fonctionnement avec une tension différentielle d'entrée nulle. L'ALI fonctionne donc en régime de saturation (ou régime non linéaire), la tension de sortie ne pouvant prendre que deux valeurs discrètes :

Le signal d'entrée e(t) étant appliqué sur l'entrée inverseuse (-) tandis que le seuil de basculement dépend de la tension de sortie réinjectée sur la borne (+), cette partie du circuit constitue un :

L'amplificateur linéaire intégré étant supposé idéal, les courants d'entrée sur ses bornes inverseuse et non-inverseuse sont nuls :

• Potentiel de la borne inverseuse V^- :
  La borne inverseuse (-) est directement reliée à la tension d'entrée e(t) mesurée par rapport à la masse, d'où :

  V^- = e

• Potentiel de la borne non-inverseuse V^+ :
  Puisque le courant d'entrée i^+ est nul, les deux résistors de même résistance R constituent un pont diviseur de tension idéal entre la sortie à la tension s et la masse (0\text{ V}) :

  V^+ = \frac{R}{R + R}\,s = \frac{s}{2}

La tension différentielle d'entrée \varepsilon = V^+ - V^- s'exprime ainsi :

L'amplificateur opérationnel étant idéal et en régime non-linéaire (saturé), la tension de sortie ne peut prendre que deux valeurs :

D'après la question Q20, la tension différentielle s'écrit \varepsilon = \dfrac{s}{2} - e.

• Supposons initialement la sortie à l'état haut : s = +V_{\text{sat}}.
  La tension d'entrée différentielle vaut :

  \varepsilon = \frac{V_{\text{sat}}}{2} - e

  La sortie reste à +V_{\text{sat}} tant que \varepsilon > 0, c'est-à-dire tant que e < \dfrac{V_{\text{sat}}}{2}.
  Lorsque la tension d'entrée augmente et franchit le seuil haut :

  e_{\text{haut}} = +\frac{V_{\text{sat}}}{2}

  \varepsilon devient négatif et la sortie bascule instantanément à s = -V_{\text{sat}}.

• Supposons ensuite la sortie à l'état bas : s = -V_{\text{sat}}.
  La tension différentielle devient :

  \varepsilon = -\frac{V_{\text{sat}}}{2} - e

  La sortie reste à -V_{\text{sat}} tant que \varepsilon < 0, c'est-à-dire tant que e > -\dfrac{V_{\text{sat}}}{2}.
  Lorsque la tension d'entrée diminue et franchit le seuil bas :

  e_{\text{bas}} = -\frac{V_{\text{sat}}}{2}

  \varepsilon devient positif et la sortie bascule instantanément à s = +V_{\text{sat}}.

La caractéristique de transfert statique s(e) présente donc un cycle d'hystérésis de type inverseur, parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire).

Les grandeurs caractéristiques sont :

avec les niveaux de saturation \pm V_{\text{sat}}.

D'après la question Q17, aux fréquences d'intérêt, la sonde se comporte comme un conducteur ohmique de résistance R_{\text{sonde}}.

L'amplificateur linéaire intégré étant idéal, le courant entrant par sa borne inverseuse est nul :

Le potentiel au nœud situé entre la sonde et le condensateur est égal au potentiel V^- de la borne inverseuse, soit e(t) (rappelé à la question Q20). La tension aux bornes du condensateur C, dont une armature est reliée à la masse, est donc directement e(t).

Le courant i(t) circulant de la sortie de l'ALI (au potentiel s(t)) vers la masse à travers la sonde puis le condensateur s'écrit :

• à travers la résistance R_{\text{sonde}} de la sonde :

  i(t) = \frac{s(t) - e(t)}{R_{\text{sonde}}}

• à travers le condensateur C :

  i(t) = C\,\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}

En égalant ces deux expressions :

On obtient bien la forme demandée :

avec la constante de temps du circuit RC série :

Tant que la tension de sortie reste à s(t) = +V_{\text{sat}}, l'équation différentielle régissant e(t) (établie en Q22) s'écrit :

La solution générale est de la forme :

où A est une constante déterminée par la condition initiale à t = 0 :

On en déduit l'expression temporelle de e(t) pour t \in [0, t_1] :

La dérivée temporelle de cette tension vaut :

Comme V_{\text{sat}} > 0 et \tau > 0, on a \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} > 0 pour tout t \ge 0 : la tension e(t) est strictement croissante.

D'après les questions Q20 et Q21, tant que s = +V_{\text{sat}}, le potentiel de la borne non-inverseuse est V^+ = +V_{\text{sat}}/2. La sortie bascule vers -V_{\text{sat}} dès que la tension différentielle \varepsilon = V^+ - e(t) change de signe (devient négative), c'est-à-dire dès que e(t) atteint le seuil haut e_{\text{haut}} = +V_{\text{sat}}/2 à une date notée t_1 :

En prenant le logarithme népérien :

À cette date, e(t_1) = +V_{\text{sat}}/2 et, par stricte croissance, pour t > t_1 on a e(t) > +V_{\text{sat}}/2, ce qui impose \varepsilon < 0 : la sortie bascule instantanément à s(t) = -V_{\text{sat}}.

À l'instant t_1, la sortie a basculé à s(t) = -V_{\text{sat}}. Pour t > t_1, l'équation différentielle régissant e(t) (Q22) devient :

La solution générale est de la forme :

Par continuité de la tension aux bornes du condensateur, on a :

En évaluant e(t_1), on en déduit la constante A :

L'expression de e(t) pour t \in [t_1, t_2] est donc :

Calculons la dérivée temporelle de e(t) :

Puisque V_{\text{sat}} > 0 et \tau > 0, on a \dfrac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} < 0 : la tension e(t) est donc strictement décroissante pour t > t_1.

D'après le cycle d'hystérésis établi en Q21, lorsque la sortie est à s = -V_{\text{sat}}, elle rebascule à +V_{\text{sat}} dès que l'entrée inverseuse e(t) atteint par valeurs décroissantes le seuil bas :

La date t_2 de ce second basculement vérifie donc :

En utilisant la valeur t_1 = \tau \ln 3 obtenue en Q23, on trouve finalement :

À la date t_2, les grandeurs électriques du circuit vérifient :

Ces conditions sont strictement identiques aux conditions initiales posées à t = 0 :

L'équation différentielle régissant l'évolution du système étant invariante par translation temporelle (système autonome), le cycle de charge et de décharge du condensateur se reproduit à l'identique et de façon indéfinie. Les tensions s(t) et e(t) présentent donc une évolution périodique dans le temps.

La période T des oscillations correspond à la durée d'un cycle complet, soit :

La fréquence d'oscillation f = \dfrac{1}{T} s'écrit par conséquent :

D'après l'oscillogramme de la figure 7, la sensibilité horizontale (base de temps) est :

Sur la voie CH1 (tension carrée s(t)), une période complète T s'étend sur :

La période des oscillations vaut donc :

D'après le résultat de la question Q25, la période est liée à la constante de temps \tau par :

D'après la question Q22, \tau = R_{\text{sonde}} C, d'où :

D'après la question Q15, la résistance de la sonde s'exprime en fonction de la hauteur d'eau h selon :

On en déduit l'expression littérale de la hauteur d'eau h :

Avec le rapport des rayons \frac{R_2}{R_1} = \frac{3{,}0 \times 10^{-2}}{1{,}0 \times 10^{-2}} = 3{,}0, on a \ln(R_2/R_1) = \ln 3. L'expression se simplifie en :

Application numérique avec les données :

• \ln 3 \approx 1{,}0986
• \gamma_{\text{eau}} = 2{,}0 \times 10^{-2}\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
• R_{\text{sonde}} = 100\,\Omega

En conservant deux chiffres significatifs cohérents avec la lecture graphique et les données :

Le chlorure de sodium solide est un cristal ionique. Lors de sa dissolution dans l'eau liquide, les liaisons du réseau cristallin sont rompues et les ions sont hydratés (solvatés). L'équation de la réaction de dissolution s'écrit :

D'après l'équation de la réaction de dissolution établie en Q27 :

La loi de Hess permet d'exprimer l'enthalpie standard de réaction \Delta_{\mathrm{r}} H^\circ(298\text{ K}) à partir des enthalpies standard de formation :

Application numérique :

Commentaire sur le signe : Comme \Delta_{\mathrm{r}} H^\circ > 0, la réaction de dissolution du sel dans l'eau est endothermique. La dissolution nécessite un apport d'énergie thermique du milieu extérieur ; si l'opération est menée de manière adiabatique, elle s'accompagne donc d'un abaissement de la température de la solution.

L'influence de la température sur la constante d'équilibre K^\circ(T) d'une réaction chimique est régie par la relation de van 't Hoff :

D'après la question Q28, l'enthalpie standard de dissolution est strictement positive (\Delta_{\mathrm{r}} H^\circ > 0 : réaction endothermique). Il en résulte :

La constante d'équilibre K^\circ(T) (ici le produit de solubilité K_{\text{s}} du chlorure de sodium) est donc une fonction strictement croissante de la température.

Par conséquent, une élévation de la température déplace l'équilibre dans le sens direct (sens endothermique, conformément au principe de modération de Le Chatelier).

La masse molaire du chlorure de sodium vaut :

La quantité de matière de sel présente dans une pastille de masse m_{\text{sel}} = 5,0\text{ g} est :

Pour une dissolution à pression atmosphérique constante (transformation monobare sans travail autre que les forces de pression), le premier principe de la thermodynamique indique que le transfert thermique (énergie thermique) Q reçu par le système est égal à la variation d'enthalpie :

En supposant la solution idéale et la transformation monotherme à T = 298\text{ K}, la variation d'enthalpie associée à l'avancement \xi = n de la réaction s'écrit (en utilisant le résultat de la question Q28) :

Application numérique :

Compte tenu de la précision sur la masse de la pastille (5,0\text{ g}, deux chiffres significatifs) :

On étudie le système fermé constitué de la masse m_{\text{eau}} = 200\text{ g} d'eau et des dix pastilles de sel (m_{\text{tot}} = 10\,m_{\text{sel}} = 50\text{ g}), initialement à la température t_1 = 20,0\text{ }^\circ\text{C}, dans un calorimètre adiabatique à la pression atmosphérique constante P_0. La capacité thermique du calorimètre et de ses accessoires est négligée.

D'après le premier principe de la thermodynamique :

On décompose cette transformation en deux étapes fictives :

• dissolution complète des 10 pastilles de façon monotherme à la température t_1, consommant l'énergie thermique Q_{\text{diss, 10}} : \Delta H_1 = Q_{\text{diss, 10}} ;
• refroidissement de la solution salée formée de t_1 à t_2 : \Delta H_2 = C_{\text{sol}}\,(t_2 - t_1), où C_{\text{sol}} est la capacité thermique de la solution.

Le bilan enthalpique s'écrit donc :

L'énergie thermique Q_{\text{exp}} nécessaire pour dissoudre une pastille est ainsi :

L'énoncé précise que « la capacité thermique de l'eau salée est assimilée à celle de l'eau pure » :

• Si l'on assimile la capacité thermique globale de la solution à celle de l'eau initiale, C_{\text{sol}} \approx m_{\text{eau}}\,c_{\text{eau}} :

  Q_{\text{exp}} = \frac{m_{\text{eau}}\,c_{\text{eau}}\,(t_1 - t_2)}{10}
  Q_{\text{exp}} = \frac{0{,}200 \times 4{,}18\times 10^3 \times (20{,}0 - 16{,}4)}{10} = 301\text{ J} \approx 3{,}0 \times 10^2\text{ J}

• Si l'on assimile la capacité thermique massique de la solution à celle de l'eau pure, C_{\text{sol}} \approx (m_{\text{eau}} + 10\,m_{\text{sel}})\,c_{\text{eau}} :

  Q_{\text{exp}}' = \frac{(0{,}200 + 0{,}050) \times 4{,}18\times 10^3 \times (20{,}0 - 16{,}4)}{10} = 376\text{ J} \approx 3{,}8 \times 10^2\text{ J}

On retient l'expression stricte de l'énoncé :

Comparaison avec la question Q30 : À la question Q30, le calcul théorique fournissait :

L'accord entre la valeur expérimentale et la valeur théorique est très satisfaisant (écart relatif de l'ordre de 10\,\%). Les petits écarts s'expliquent par :

• la capacité thermique non nulle du calorimètre, de l'agitateur et de la sonde de température (qui cèdent également de la chaleur au mélange lors du refroidissement) ;
• les éventuelles pertes thermiques avec l'extérieur ;
• l'approximation faite sur la capacité thermique de la solution d'eau salée.

D'après la description de la structure cristalline (figure 9) :

• Les ions \mathrm{Cl}^- occupent les 8 sommets et les 6 centres de faces de la maille cubique :

  N(\mathrm{Cl}^-) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

• Les ions \mathrm{Na}^+ occupent les milieux des 12 arêtes et le centre du cube :

  N(\mathrm{Na}^+) = 12 \times \frac{1}{4} + 1 \times 1 = 3 + 1 = 4

La maille contient donc Z = 4 motifs \mathrm{NaCl} en propre.

La masse molaire du chlorure de sodium vaut :

La masse de la maille est donnée par m_{\text{maille}} = \frac{Z\,M(\mathrm{NaCl})}{\mathcal{N}_A}, et son volume cubique est V = a^3. La masse volumique \mu s'écrit donc :

On en déduit l'expression du paramètre de maille a :

Application numérique :

La charge ponctuelle q_2 crée au point où se situe la charge q_1, à la distance r_{12}, un potentiel électrostatique donné (en choisissant le potentiel nul à l'infini) par :

L'énergie potentielle électrostatique de la charge q_1 placée dans ce potentiel s'exprime par :

En prenant pour référence une énergie potentielle nulle lorsque les deux charges sont infiniment éloignées l'une de l'autre (r_{12} \to +\infty), il vient :

Considérons une chaîne infinie d'ions alternés \mathrm{Na}^+ et \mathrm{Cl}^- régulièrement espacés d'une distance a.

Choisissons comme origine x = 0 la position d'un ion de référence de charge q_0.

• Si l'ion de référence est un ion \mathrm{Na}^+ (q_0 = +e), les ions situés aux abscisses x_k = k a (avec k \in \mathbb{Z}^*) portent des charges alternées :

  q_k = (-1)^k e

  Le produit des charges vaut donc q_0 q_k = (-1)^k e^2.

• Si l'ion de référence est un ion \mathrm{Cl}^- (q_0 = -e), ses proches voisins (k = \pm 1) sont des ions \mathrm{Na}^+ (+e), d'où q_k = -(-1)^k e. Le produit des charges est inchangé :

  q_0 q_k = (-e) \times \left[-(-1)^k e\right] = (-1)^k e^2

D'après le résultat de la question Q33, l'énergie potentielle électrostatique totale de cet ion en interaction avec tous les autres ions de la chaîne s'obtient par sommation discrète :

Par symétrie entre les deux demi-chaînes (k > 0 et k < 0), cette somme s'écrit :

En utilisant la relation donnée par l'énoncé \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k} = -\ln 2, on obtient directement :

La masse molaire du chlorure de sodium \mathrm{NaCl} vaut :

La quantité de matière de sel présente dans la pastille est donnée par :

Chaque entité formulaire de \mathrm{NaCl} apporte deux ions : un cation sodium \mathrm{Na}^+ et un anion chlorure \mathrm{Cl}^-. Le nombre total N d'ions s'exprime donc par :

Application numérique avec les données de l'énoncé :

En ne conservant que deux chiffres significatifs (conformément à la donnée de m_{\text{sel}} = 5{,}0\text{ g}) :

L'énergie potentielle électrostatique totale d'un ensemble de N charges en interaction s'écrit :

Le facteur 1/2 permet d'éviter de compter deux fois l'interaction de chaque paire d'ions. Tous les ions étant équivalents dans ce modèle infini (en négligeant les effets de bord), on a :

Pour dissocier complètement le cristal et amener tous les ions à l'état de repos à l'infini (où l'énergie potentielle est nulle), l'opérateur doit fournir une énergie de séparation E_{\text{sep}} opposée à \mathcal{E}_{\text{p, tot}} :

En remarquant que \frac{N}{2} = n\,\mathcal{N}_A = \frac{m_{\text{sel}}}{M(\mathrm{NaCl})}\,\mathcal{N}_A représente le nombre de paires d'ions (\mathrm{Na}^+, \mathrm{Cl}^-) :

Calculons d'abord l'énergie potentielle par ion d'après la question Q34 avec a = 5{,}65 \times 10^{-10}\text{ m} (question Q32) :

Avec N \approx 1{,}03 \times 10^{23} ions (question Q35), on en déduit l'énergie de séparation totale :

Commentaire :

• Cette énergie de séparation dans le vide (E_{\text{sep}} \approx 29\text{ kJ}) est environ deux ordres de grandeur supérieure à l'énergie thermique de dissolution dans l'eau d'une pastille trouvée aux questions Q30 et Q31 (Q \approx 330\text{ J}).
• Cette différence spectaculaire s'explique par l'hydratation (ou solvatation) très exothermique des ions \mathrm{Na}^+ et \mathrm{Cl}^- par les molécules d'eau polaires lors de la dissolution, qui compense la quasi-totalité de l'énergie nécessaire à la rupture du réseau cristallin (\Delta_{\mathrm{diss}}H^\circ = E_{\text{réticulaire}} + \Delta_{\mathrm{hyd}}H^\circ \ll E_{\text{réticulaire}}).

D'après la définition fournie par l'énoncé, la flottabilité correspond à la norme de la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le gilet lorsqu'il est totalement immergé. Pour un gilet gonflé occupant un volume V_{\mathrm{f}}, cette norme s'écrit :

où \rho est la masse volumique de l'eau et g l'accélération de la pesanteur.

Le volume final minimal V_{\mathrm{f}} permettant d'atteindre la flottabilité requise \Pi = 150\text{ N} est donc :

Application numérique : Avec \Pi = 150\text{ N}, \rho = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Soit, en conservant deux chiffres significatifs :

La masse molaire du dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 est :

La quantité de matière de gaz libérée par la cartouche s'écrit donc :

En assimilant le dioxyde de carbone à un gaz parfait à la température T = 20\text{ }^\circ\text{C} = 293\text{ K}, l'équation d'état donne la pression finale P_{\mathrm{f}} du gaz dans le gilet :

d'où, en utilisant l'expression du volume minimal V_{\mathrm{f}} = \dfrac{\Pi}{\rho g} obtenue en Q37 :

Application numérique :

Commentaire : La pression finale est légèrement supérieure à la pression atmosphérique (P_0 \approx 1{,}0\text{ bar}). Cette surpression relative (\Delta P \approx 0{,}2\text{ bar}) est idéale en pratique :

• elle permet de maintenir l'enveloppe du gilet parfaitement tendue et rigide, évitant son affaissement sous le poids de la personne et la faible surpression hydrostatique de l'eau à la surface ;
• elle reste suffisamment modérée pour ne pas faire éclater l'enveloppe et ne pas nécessiter de parois trop lourdes ou rigides ;
• elle justifie a posteriori l'utilisation du modèle du gaz parfait, la pression étant faible devant les pressions caractéristiques de liquéfaction du \mathrm{CO}_2 à 20 °C (qui sont de l'ordre de 57\text{ bar}).

1. Intérêt pratique dans la cartouche : La masse volumique du dioxyde de carbone à l'état liquide (\rho_{\text{liq}} \sim 800\text{ à }1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) est environ deux à trois ordres de grandeur plus grande que celle du gaz aux pressions usuelles. Stocker une masse m_{\text{gaz}} = 33\text{ g} sous forme liquide permet de la confiner dans un très faible volume :

   V_{\text{cartouche}} \approx \frac{m_{\text{gaz}}}{\rho_{\text{liq}}} \sim 40\text{ mL}

   Ce faible encombrement rend la cartouche légère, discrète et facilement intégrable au gilet de sauvetage sans gêner les mouvements de l'utilisateur, tout en maintenant une pression de vapeur saturante raisonnable (\sim 60\text{ bar} à température ambiante).

2. Enjeu écologique du stockage du \mathbf{CO_2} liquide : Le dioxyde de carbone est l'un des principaux gaz à effet de serre responsables du réchauffement climatique anthropique. Dans le cadre des procédés de captage et stockage du carbone (CSC ou CCUS) mis en place sur les sites industriels fortement émetteurs (centrales thermiques, cimenteries, aciéries), la liquéfaction du \mathrm{CO}_2 est indispensable pour :

   • densifier le fluide afin de faciliter et sécuriser son transport (par bateaux méthaniers/méthaniers adaptés ou par canalisations) ;
   • permettre son injection et son piégeage durable sous forme dense (liquide ou supercritique) dans des réservoirs géologiques profonds (aquifères salins, anciens gisements d'hydrocarbures épuisés), évitant ainsi son rejet dans l'atmosphère.

Considérons le fluide traversant la vanne de détente V en régime stationnaire. Le premier principe de la thermodynamique appliqué à une unité de masse de fluide s'écrit :

où :

• w_{\mathrm{u}} est le travail massique utile (autre que celui des forces de pression aux frontières) échangé avec le milieu extérieur. La vanne ne comportant aucune pièce mobile en mouvement, on a :

  w_{\mathrm{u}} = 0

• q est le transfert thermique massique avec l'extérieur. La vanne étant calorifugée, la détente est adiabatique :

  q = 0

• d'après les hypothèses de l'énoncé, les variations d'énergie cinétique massique (\Delta e_{\mathrm{c}}) et d'énergie potentielle de pesanteur massique (\Delta e_{\mathrm{p}}) sont négligeables :

  \Delta e_{\mathrm{c}} \approx 0 \quad \text{et} \quad \Delta e_{\mathrm{p}} \approx 0

Le bilan énergétique se réduit ainsi à :

soit :

Le passage du \mathrm{CO}_2 dans la vanne est donc isenthalpe (détente de Joule-Thomson).

Considérons une unité de masse de dioxyde de carbone traversant l'un des compresseurs (C_1 ou C_2).

D'après le second principe de la thermodynamique en régime stationnaire pour un système ouvert à une entrée et une sortie, la variation d'entropie massique entre la sortie et l'entrée s'écrit :

où :

• s_{\text{éch}} = \dfrac{q}{T_{\text{frontière}}} est le transfert d'entropie massique avec le milieu extérieur. La compression étant supposée adiabatique, il n'y a aucun échange thermique avec l'extérieur : q = 0, donc s_{\text{éch}} = 0 ;
• s_{\text{créée}} est l'entropie massique créée par les irréversibilités. La transformation étant supposée réversible, il n'y a pas de création d'entropie : s_{\text{créée}} = 0.

On en déduit :

D'après l'énoncé et les questions précédentes :

• État 1 : Intersection de l'isobare P_1 = 6\text{ bar} et de l'isotherme T_1 = 0\,^\circ\text{C}. On lit :

  h_1 \approx 480\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad s_1 \approx 2{,}20\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• Évolution 1 \to 2 (compresseur C_1) : La compression est isentrope (Q41), on suit donc la courbe isentrope s = 2{,}20\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} depuis P_1 = 6\text{ bar} jusqu'à la ligne isobare P_2 = 20\text{ bar}.

• État 2 : Intersection de l'isentrope s_2 = s_1 \approx 2{,}20\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} et de l'isobare P_2 = 20\text{ bar}. On lit :

  h_2 \approx 545\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Évolution 2 \to 3 (échangeur E_1) : Le refroidissement est isobare (P_3 = P_2 = 20\text{ bar}), représenté par un segment horizontal orienté vers la gauche.

• État 3 : Intersection de l'isobare P_3 = 20\text{ bar} et de l'isotherme T_3 = 0\,^\circ\text{C}. On lit :

  h_3 \approx 460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad s_3 \approx 1{,}87\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• Évolution 3 \to 4 (compresseur C_2) : La compression est isentrope (Q41), on suit la courbe isentrope s = 1{,}87\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} depuis P_3 = 20\text{ bar} jusqu'à l'isobare P_4 = 80\text{ bar}.

• État 4 : Intersection de l'isentrope s_4 = s_3 \approx 1{,}87\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} et de l'isobare P_4 = 80\text{ bar}. On lit :

  h_4 \approx 532\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Évolution 4 \to 5 (échangeur E_2) : Le refroidissement est isobare (P_5 = P_4 = 80\text{ bar}), représenté par un segment horizontal orienté vers la gauche.

• État 5 : Intersection de l'isobare P_5 = 80\text{ bar} et de l'isotherme T_5 = 35\,^\circ\text{C}. On lit :

  h_5 \approx 348\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Évolution 5 \to 6 (vanne de détente V) : La détente est isenthalpe (Q40) : h_6 = h_5, ce qui se traduit sur le diagramme par un segment vertical orienté vers le bas jusqu'à la pression P_6 = 6\text{ bar}.

• État 6 : Intersection de la droite isenthalpe h_6 \approx 348\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et de l'isobare P_6 = 6\text{ bar}. Le point se situe sous la courbe de saturation (mélange diphasique liquide-vapeur), avec un titre massique en vapeur :

  x_6 \approx 0{,}76

Le dioxyde de carbone traverse successivement les compresseurs C_1 et C_2 en régime stationnaire avec un débit massique D_{\mathrm{m}} = 0{,}1\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}. Les variations d'énergie cinétique et potentielle massiques sont négligeables et les compresseurs sont adiabatiques (q = 0).

Le premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire s'écrit pour chaque compresseur :

où w_{u, 1} et w_{u, 2} représentent les travaux massiques indiqués reçus par le fluide lors des compressions respectives.

La puissance mécanique totale \mathcal{P}_{\text{comp}} fournie au fluide pour alimenter les deux compresseurs s'exprime ainsi par :

D'après les lectures effectuées à la question Q42 :

• h_1 \approx 480\,\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} et h_2 \approx 545\,\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}, soit h_2 - h_1 \approx 65\,\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} ;
• h_3 \approx 460\,\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} et h_4 \approx 532\,\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}, soit h_4 - h_3 \approx 72\,\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.

L'application numérique donne :

En respectant les deux chiffres significatifs demandés :

L'utilisation de deux compresseurs associés à un refroidissement intermédiaire dans l'échangeur E_1 présente deux intérêts majeurs :

• Économie d'énergie mécanique (puissance consommée moindre) :
  Le travail massique de transvasement reçu par le fluide au cours d'une compression réversible en système ouvert s'écrit :

  w_{\mathrm{u}} = \int_{P_{\mathrm{i}}}^{P_{\mathrm{f}}} v\,\mathrm{d}P

  où v est le volume massique du fluide. Le refroidissement intermédiaire à la pression intermédiaire de 20\text{ bar} dans l'échangeur E_1 diminue la température du gaz, et donc son volume massique (v \propto T selon le modèle du gaz parfait). Il en résulte que le travail requis pour comprimer le fluide de 20 à 80\text{ bar} est significativement réduit.
  Au total, le travail mécanique total fourni est strictement inférieur à celui qui serait nécessaire pour une compression isentrope directe en un seul étage de 6 à 80\text{ bar} :

  \boxed{(h_2 - h_1) + (h_4 - h_3) < h_{4'} - h_1}

  où l'état 4' correspondrait à l'aboutissement d'une compression isentrope directe depuis l'état 1 jusqu'à 80\text{ bar} (s_{4'} = s_1).

• Limitation de la température en fin de compression :
  Le rapport de pression global étant élevé (\tau = 80/6 \approx 13{,}3), une compression directe en un seul étage provoquerait un échauffement considérable du \mathrm{CO}_2 (la température atteindrait plus de 150\,^\circ\mathrm{C} sur le diagramme). Cette température excessive entraînerait des contraintes thermomécaniques sévères et risquerait de dégrader les huiles de lubrification des compresseurs ainsi que les joints d'étanchéité. Le fractionnement en deux étages permet de maintenir les températures de sortie à des niveaux modérés (environ 65\,^\circ\mathrm{C} en sortie de C_1 et 75\,^\circ\mathrm{C} en sortie de C_2).

Dans les échangeurs E_1 et E_2, le \mathrm{CO}_2 ne subit aucun travail utile de transvasement (w_{\mathrm{u}} = 0) et les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligeables.

Le premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire donne les transferts thermiques massiques reçus par le \mathrm{CO}_2 :

• dans l'échangeur E_1 (passage de l'état 2 à l'état 3) :

  q_{E_1} = h_3 - h_2

• dans l'échangeur E_2 (passage de l'état 4 à l'état 5) :

  q_{E_2} = h_5 - h_4

Le fluide étant refroidi, il cède de la chaleur à la machine frigorifique. La puissance thermique totale reçue par la machine frigorifique au niveau de sa source froide s'écrit donc :

D'après les valeurs d'enthalpies massiques déterminées à la question Q42 :

• h_2 \approx 545\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_3 \approx 460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, d'où h_2 - h_3 \approx 85\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_4 \approx 532\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_5 \approx 348\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, d'où h_4 - h_5 \approx 184\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

Soit un transfert thermique massique total à évacuer :

La puissance thermique extraite vaut alors :

Par définition, l'efficacité d'une machine frigorifique est le rapport du transfert thermique utile reçu à la source froide sur le travail mécanique total fourni à la machine :

Application numérique avec e_{\mathrm{F}} = 2{,}0 :

En écrivant le résultat avec deux chiffres significatifs (comme imposé par l'énoncé) :

À la sortie de la vanne de détente (état 6), le dioxyde de carbone se trouve sous forme d'un mélange diphasique liquide-vapeur sous une pression P_6 = 6\text{ bar}.

Par définition du titre massique en vapeur x_6, la fraction massique de vapeur dans ce mélange est x_6, et la fraction massique de liquide est donc :

Le séparateur S sépare intégralement les deux phases sans modifier la pression. Le débit massique D_{\mathrm{m}1} de \mathrm{CO}_2 liquide soutiré en fond de séparateur est donc :

D'après la question Q42, la lecture sur le diagramme enthalpique donne un titre massique en vapeur :

Avec D_{\mathrm{m}} = 0{,}10\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, on obtient :