Feuille d'entraînement : Électrostatique

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q12

   En négligeant les effets de bord (cylindre de grande hauteur devant l'interstice R_2 - R_1) :

   • Invariances : la distribution de charges est invariante par rotation autour de l'axe (\mathrm{O}z) et par translation selon l'axe (\mathrm{O}z). Le champ ne dépend donc que de la coordonnée radiale r.

   • Symétries : tout plan contenant l'axe (\mathrm{O}z) est un plan de symétrie plane de la distribution de charges, et le plan perpendiculaire à l'axe passant par un point quelconque est également plan de symétrie. Le champ électrostatique est donc purement radial selon \vec{e}_r :

     \vec{E}(r) = E(r)\,\vec{e}_r

   On applique le théorème de Gauss à une surface fermée \mathcal{S} constituée d'un cylindre coaxial d'axe (\mathrm{O}z), de rayon r \in ]R_1, R_2[ et de hauteur arbitraire h :

   • Le flux à travers les deux bases planes circulaires est nul car le champ \vec{E} est orthogonal à la normale \pm\vec{e}_z.

   • Le flux sortant à travers la surface latérale s'écrit :

     \Phi = \iint_{\text{latérale}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E(r) \times 2\pi r h

   • La charge Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur de la surface de Gauss provient de la portion de hauteur h du cylindre intérieur de rayon R_1. La charge Q étant uniformément répartie sur la hauteur H, la densité linéique de charge vaut \lambda = \frac{Q}{H}, d'où :

     Q_{\text{int}} = \lambda\,h = \frac{Q\,h}{H}

   D'après le théorème de Gauss :

   \Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \implies 2\pi r h \, E(r) = \frac{Q\,h}{\varepsilon_0 H}

   On en déduit l'expression du champ électrique entre les armatures :

   \boxed{\vec{E}(r) = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H r} \, \vec{e}_r}

   Résultat

   $$\vec{E}(r)=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_{0}Hr}{\vec{e}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q14

   La différence de potentiel U = V_1 - V_2 entre le cylindre intérieur de rayon R_1 et le cylindre extérieur de rayon R_2 s'obtient par circulation du champ électrostatique :

   U = V(R_1) - V(R_2) = \int_{R_1}^{R_2} \vec{E}(r) \cdot \mathrm{d}\vec{r}

   Le déplacement élémentaire radial s'écrit \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}r\,\vec{e}_r. En utilisant l'expression du champ électrique obtenue à la question Q12, \vec{E}(r) = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H r}\,\vec{e}_r, il vient :

   \begin{aligned} U &= \int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H r} \, \mathrm{d}r \\ &= \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H} \left[ \ln r \right]_{R_1}^{R_2} \\ &= \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) \end{aligned}

   D'après la définition établie à la question Q13, la capacité C_0 du condensateur cylindrique vide s'en déduit directement :

   C_0 = \frac{Q}{U}

   soit :

   \boxed{C_0 = \frac{2\pi \varepsilon_0 H}{\ln(R_2 / R_1)}}

   Résultat

   $$C_0=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}H}{\ln (R_2/R_1)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q28

   Pour un condensateur plan constitué de deux armatures planes parallèles séparées d'une distance e par un milieu de permittivité diélectrique \varepsilon, la capacité s'exprime par la relation :

   C = \varepsilon \, \frac{S}{e}

   où :

   • S désigne la surface utile en regard des armatures ;
   • e représente l'épaisseur du diélectrique (distance entre les deux armatures).

   Pour obtenir une capacité C la plus grande possible dans le cadre de ce modèle, il faut donc agir sur les paramètres géométriques de la manière suivante :

   \boxed{\text{Augmenter au maximum la surface } S \text{ et diminuer au maximum l'épaisseur } e.}

   Résultat

   $$\text{Augmenter au maximum la surface }S\text{ et diminuer au maximum l’eˊpaisseur }e.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q32

   Soit une charge ponctuelle q > 0 située à l'origine O. En repérant le point M par le vecteur position \vec{r} = \overrightarrow{OM} = r\,\vec{u}_r (avec r = \|\overrightarrow{OM}\| et \vec{u}_r le vecteur unitaire radial dirigé de O vers M), la loi de Coulomb donne l'expression du champ électrostatique créé dans le vide :

   \boxed{\vec{E}(M) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vec{u}_r}

   Le champ électrostatique dérive du potentiel scalaire selon la relation \vec{E} = -\vec{\mathrm{grad}}\,V. Par invariance sous toute rotation autour de O, le potentiel ne dépend que de la distance radiale r, de sorte que :

   \begin{aligned} \vec{E} &= -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\,\vec{u}_r \\ \implies \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} &= -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \end{aligned}

   En intégrant par rapport à r :

   V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} + \mathrm{Cte}

   Avec la condition d'un potentiel nul à l'infini (\lim_{r \to +\infty} V(r) = 0), la constante d'intégration est nulle, ce qui conduit à :

   \boxed{V(M) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}}

   Résultat

   $$\vec{E}(M)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\vec{u}}_r$$

   $$V(M)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q33

   Définitions :

   • Une ligne de champ est une courbe de l'espace en tout point de laquelle le vecteur champ électrostatique \vec{E} est tangent, orientée dans le même sens que \vec{E} (c'est-à-dire dans le sens des potentiels décroissants).

   • Une surface équipotentielle est le lieu géométrique des points de l'espace ayant la même valeur du potentiel électrostatique :

     \{M \in \mathbb{R}^3 \mid V(M) = \text{cste}\}.

   Cas de la charge ponctuelle q > 0 située en O :

   • D'après la question Q32, le champ électrostatique s'écrit \vec{E}(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r. Puisque q > 0, le champ est radial et centrifuge :

     \boxed{\text{Les lignes de champ sont les demi-droites issues de } O \text{ et orientées vers l'infini.}}

   • Le potentiel ne dépend que de la distance radiale : V(r) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}. L'équation V(r) = \text{cste} correspond donc à r = \text{cste} :

     \boxed{\text{Les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques centrées en } O.}

   Représentation dans un plan passant par O :

   Dans un plan passant par O, la trace des surfaces équipotentielles donne une famille de cercles concentriques centrés en O, et les lignes de champ forment des demi-droites radiales dirigées vers l'extérieur.

   Résultat

   $$\text{Les lignes de champ sont les demi-droites issues de }O\text{ et orienteˊes vers l’infini.}$$

   $$\text{Les surfaces eˊquipotentielles sont des spheˋres concentriques centreˊes en }O.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q32

   Soit \vec{u}_{B \to A} = \frac{\vec{BA}}{\|\vec{BA}\|} le vecteur unitaire orienté de la source B vers le point d'observation A, et notons r = AB = \|\vec{BA}\| la distance séparant les deux points.

   • Force d'interaction électrostatique (loi de Coulomb) :

     La force exercée par la charge q_B sur la charge q_A s'écrit :

     \boxed{\vec{F}_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_A q_B}{r^2} \, \vec{u}_{B \to A} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_A q_B}{r^3} \, \vec{BA}}

     où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide. Cette interaction est répulsive si les charges sont de même signe (q_A q_B > 0) et attractive si elles sont de signes opposés (q_A q_B < 0).

   • Force d'attraction gravitationnelle (loi de Newton) :

     La force exercée par la masse m_B sur la masse m_A est toujours attractive, dirigée de A vers B (donc opposée à \vec{u}_{B \to A}) :

     \boxed{\vec{F}_g = - G \frac{m_A m_B}{r^2} \, \vec{u}_{B \to A} = - G \frac{m_A m_B}{r^3} \, \vec{BA}}

     où G est la constante gravitationnelle universelle.

   Résultat

   $${\vec{F}}_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_A{q}_B}{r^2}{\vec{u}}_{B\to A}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_A{q}_B}{r^3}\overrightarrow{BA}$$

   $${\vec{F}}_g=-G\frac{m_A{m}_B}{r^2}{\vec{u}}_{B\to A}=-G\frac{m_A{m}_B}{r^3}\overrightarrow{BA}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q35

   Considérons une surface de Gauss \Sigma constituée d'un cylindre fermé d'axe (Oz), de section droite d'aire S, délimité par :

   • une base supérieure S_{\text{haut}} située à l'altitude z > H/2, de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = +\vec{u}_z ;
   • une base inférieure S_{\text{bas}} située à l'altitude -z < -H/2, de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = -\vec{u}_z ;
   • une surface latérale S_{\text{lat}} cylindrique de génératrices parallèles à (Oz), de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} \perp \vec{u}_z.

   Le flux sortant du champ gravitationnel à travers \Sigma se décompose en :

   \Phi = \oiint_\Sigma \vec{g}_c \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{S_{\text{haut}}} \vec{g}_c \cdot \vec{u}_z\,\mathrm{d}S + \iint_{S_{\text{bas}}} \vec{g}_c \cdot (-\vec{u}_z)\,\mathrm{d}S + \iint_{S_{\text{lat}}} \vec{g}_c \cdot \vec{n}_{\text{lat}}\,\mathrm{d}S

   D'après la question Q34 :

   • sur la surface latérale, \vec{g}_c(z) \parallel \vec{u}_z \perp \vec{n}_{\text{lat}}, d'où \vec{g}_c \cdot \vec{n}_{\text{lat}} = 0 et le flux latéral est nul ;
   • sur la base supérieure (z > H/2), \vec{g}_c(z) \cdot \vec{u}_z = g_c(z), donc le flux vaut g_c(z) S ;
   • sur la base inférieure (-z < -H/2), \vec{g}_c(-z) \cdot (-\vec{u}_z) = -g_c(-z).

   Par antisymétrie par rapport au plan (Oxy), g_c(-z) = -g_c(z), d'où :

   \Phi = g_c(z) S + \big(-g_c(-z)\big) S = 2 g_c(z) S

   Puisque z > H/2, le cylindre intercepte toute l'épaisseur H de la couche plane. La masse intérieure est donc :

   M_i = \rho_c V = \rho_c S H

   En appliquant le théorème de Gauss gravitationnel (question Q33) :

   \begin{aligned} \Phi &= -4\pi G M_i \\ 2 g_c(z) S &= -4\pi G (\rho_c S H) \end{aligned}

   On simplifie par 2S, ce qui donne la composante g_c :

   \boxed{g_c = -2\pi G \rho_c H}

   Ce résultat est indépendant de l'altitude z dans toute la région z > H/2.

   Résultat

   $$g_c=-2\pi G{\rho }_{c}H$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q13

   Un condensateur est constitué de deux conducteurs (les armatures) en situation d'influence totale, portant des charges électriques opposées : +Q sur l'armature A (au potentiel V_A) et -Q sur l'armature B (au potentiel V_B).

   La tension à ses bornes est définie par U = V_A - V_B.

   Par définition, la capacité C du condensateur est le coefficient de proportionnalité, strictement positif et ne dépendant que de la géométrie des armatures et de la nature du diélectrique intercalé, reliant la charge Q de l'armature vers laquelle est dirigée la flèche de tension à la différence de potentiel U :

   \boxed{Q = C\,U \quad \Longleftrightarrow \quad C = \frac{Q}{U}}

   La capacité C s'exprime en farads (\mathrm{F}).

   Résultat

   $$Q=CU⟺C=\frac{Q}{U}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q34

   D'après le principe de superposition, le potentiel électrostatique V(O) et le champ électrostatique \vec{E}(O) en l'origine O sont les sommes des contributions créées respectivement par la charge q_A = -q située en A(-a, 0, 0) et par la charge q_B = +q située en B(a, 0, 0).

   Les distances respectives au point O valent :

   OA = OB = a.

   1. Potentiel électrostatique en O :

   En prenant la référence usuelle d'un potentiel nul à l'infini (rappelée en question Q32), le potentiel créé en O s'écrit :

   \begin{aligned} V(O) &= V_A(O) + V_B(O) \\ &= \frac{q_A}{4\pi\varepsilon_0 OA} + \frac{q_B}{4\pi\varepsilon_0 OB} \\ &= \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 a} + \frac{+q}{4\pi\varepsilon_0 a} \end{aligned}

   soit :

   \boxed{V(O) = 0}

   2. Champ électrostatique en O :

   En utilisant l'expression du champ d'une charge ponctuelle établie en question Q32 :

   \begin{aligned} \vec{E}_A(O) &= \frac{q_A}{4\pi\varepsilon_0 OA^2}\,\frac{\overrightarrow{AO}}{OA} = \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\,\vec{u}_x \\ \vec{E}_B(O) &= \frac{q_B}{4\pi\varepsilon_0 OB^2}\,\frac{\overrightarrow{BO}}{OB} = \frac{+q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\,(-\vec{u}_x) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\,\vec{u}_x \end{aligned}

   Les deux contributions sont colinéaires et de même sens (orientées de la charge positive B vers la charge négative A, c'est-à-dire vers les x décroissants).

   Le champ total en O vaut donc :

   \begin{aligned} \vec{E}(O) &= \vec{E}_A(O) + \vec{E}_B(O) \\ &= -\left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\right)\vec{u}_x \end{aligned}

   \boxed{\vec{E}(O) = -\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a^2}\,\vec{u}_x}

   Résultat

   $$V(O)=0$$

   $$\vec{E}(O)=-\frac{q}{2\pi {\epsilon }_0{a}^2}{\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q23

    Sur la figure 5, les lignes en pointillés fléchées relient l'anode déversoir (borne positive du générateur) à la structure métallique à protéger (cathode, reliée à la borne négative) à travers le sol (qui joue le rôle d'électrolyte conducteur ionique).

    Ces lignes orientées représentent les lignes de courant électrique (ou lignes de champ du vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath}) circulant dans l'électrolyte.

    En vertu de la loi d'Ohm locale dans l'électrolyte homogène de conductivité \gamma,

    \vec{\jmath} = \gamma \vec{E},

    elles représentent également les lignes de champ électrique \vec{E} dans le milieu conducteur, orientées selon les potentiels décroissants depuis l'anode vers la cathode.

    Indice, stratégie et pièges de cette question